高三一模单选

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山东省烟台市2024届高三一模化学-试题含解析

A．可用酸性 KMnO4 溶液检验粗品中的环己烯 B．饱和食盐水能降低环己烯在水相中的溶解度，利于分层 C．分液时，有机相应从分液漏斗上口倒出 D．操作 a 用到的仪器有酒精灯、直形冷凝管等 9．科学家用镍催化剂在光催化下，以 CO2 和芳基卤化物合成氧-芳基氨基甲酸酯，限速
试卷第 2页，共 11页
回答下列问题：
Ⅰ.制备 SCl2
(1)操作步骤的先后顺序为
。
①组装仪器并检验装置气密性，加入药品
②加热装置 C 使其中的硫磺熔化
③通入 N2 ，通冷凝水，一段时间后，关闭 K1
④打开 K1 、 K2 ，关闭 K3
⑤充分反应后停止滴加浓盐酸
⑥向装置 A 中滴加浓盐酸，加热装置 C 至 135℃左右
(2)仪器 b 的名称为
A． CO2 和 SO2 B． SO3 和 NF3
C． P4 和 CH4
D． S2Cl2 和 C2H2
4．某离子液体由原子序数依次增大的短周期元素 X、Y、Z、W、M 组成，结构简式如图。其中 Y、Z 位于同周期相邻主族，W 和 M 的 p 轨道均含一个未成对电子。下列说法错误的是
A．简单离子半径：W<Z<M
D．向 1-氯丁烷中加入硝酸酸化的 AgNO3 溶液检验氯元素
6．中药杜仲中某种黄酮类化合物结构如图。下列关于该分子的说法错误的是试卷第 1页，共 11页
A．所有碳原子可能共平面 B．含有 3 种官能团 C．能发生氧化、加成、取代和还原反应 D．1mol 该化合物和溴水反应，最多消耗 4mol Br2
量 Al2O3 、 SiO2 )制备 BiVO4 的工艺流程如下：
已知：Ⅰ. Bi2O3 、NiO 都是不溶于水的碱性氧化物
Ⅱ.0.1 mol L1

江苏省南京市盐城市2024届高三一模考试化学-试题含解析

7．一定温度和压强下，CO2 可转化为具有良好溶解能力和流动性能的超临界流体。C2H2 在氧气中燃烧放出大量的热，常用来切割金属。下列物质结构与性质或物质性质与用途
不具有对应关系的是
A．干冰中 CO2 分子间的范德华力较弱，CO2 具有较好的热稳定性 B．金刚石具有很高的硬度，可用作地质钻探钻头 C．石墨中碳原子未参与杂化的 2p 电子可在整个碳原子平面中运动，石墨具有导电性
n
CH3NH
nB
2
的投料比不低
于
。
(3)D 的熔点比邻硝基苯酚的
（填“高”或“低”或“无法确定”）。
(4) F 的一种同分异构体同时满足下列条件，写出该同分异构体的结构简式
。
分子中所有碳原子轨道杂化类型相同；1mol 该物质完全水解最多消耗 3molNaOH ，水解
产物之一的分子中不同化学环境的氢原子个数比为 2 :1。
(5)以电石渣[主要成分为 Ca(OH)2，还含有少量 SiO2 等杂质]为原料也可制备 CaO2，设
计制备 CaO2·8H2O 晶体的实验方案：
。（须使用的试剂：NH4Cl 溶液、H2O2
溶液、冰水）
17．乙醇是一种清洁的替代能源，催化加氢制备乙醇技术是当前的研究热点。
(1) CO2 催化加氢制备乙醇的反应为 2CO2 g 6H2 g C2H5OH l 3H2Ol 。
仅考虑上述反应，不同温度下反应体系达到平衡时，CO2 转化率 α 、产物选择性 S 的
变化如图所示。
已知： SCH3OH
或
CO
n CH3OH或CO
n转化 CO2
100%。下列说法不正确的是
A．反应 CO2 g 3H2 g CH3OH l H2OlΔH 49.5kJ mol1

2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质

一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。

山西省晋城市2024届高三一模数学试题及答案

山西省晋城市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M={x|−1<x<5}，N={y|y=x−1,x∈M}，则M∪N=（）A．(−2,5)B．(−1,4)C．(−2,4)D．(−1,5)3．若sin18°=m，则sin63°=（）A．−35B．35C．−21D．216．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为（）7．定义min{p,q,r}表示p，q，r中的最小值．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc=−1，则（）8．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（）A．3月5日或3月16日B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日D．3月8日或3月13日二、多选题9．若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（）A．函数f(x)=x2−2x在[1,+∞)上纯粹递增B．函数f(x)=x3−2x在[1,2]上纯粹递增C．函数f(x)=sinx−2x在[0,1]上纯粹递减D．函数f(x)=e x−3x在[0,2]上纯粹递减⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面ABE 10．如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1⃗⃗⃗⃗ E=3EC，下部分对应的几何体将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，则（）为Ω下A．Ω的体积为2下B．Ω的体积为12上C．Ω的外接球的表面积为9π下D．平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为2√511．双曲线C:x2−y2=m2(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P(t,s)(s≠0)为C的右支上一点，分别以线段PF1，PF2为直径作圆O1，圆O2，线段OO2与圆O2相交于点M，其中O为坐标原点，则（）A．|O1O2|=√3mB．|OM|=mC．点(t,0)为圆O1和圆O2的另一个交点D．圆O1与圆O2有一条公切线的倾斜角为π412．已知函数f(x)=x2e x+lnx，则（）A．“x>1”是“f(x)>e−x+ln e”的充要条件x”的充分不必要条件B．“x>1”是“f(x)>e−x+ln exC．当f(x)=(e2−1)x+2时，x+lnx=2D．当f(x)=(e2−1)x+2时，x+lnx=e三、填空题13．若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．14．已知两个单位向量a，b⃗的夹角为70°，则−a与a+b⃗的夹角为．15．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A，B，C，D）的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为（填入A，B，C，D中的1个）．16．若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在(π,5π)上至少有两个极大值点和两个零点，则2ω的取值范围为．四、解答题17．在△ABC中，AB=3√3，AC=5√3，BC=7√3．(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．18．已知数列{3×2n a n}的前n项和S n=4n+1−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3(a n−1a n )2，求数列{b n}的前n项和T n．以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X 元，求X 的分布列与数学期望．20．如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：ME//平面PBD ．(2)若PA =2，二面角A −PB −D 的大小为θ，求cos2θ．21．已知函数f(x)=e2x−a−2xe x．(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1+x2<0．22．已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F(x0,y0)，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点（用x0，y0表示）．参考答案：【详解】以A为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为x2=2py．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a米，则点B的横坐标为−14a，则y B=x B22p =(−14a)22p=98a2p，所以点B到桥面的距离为98a2+pbp米．故选：A.7．B【分析】由题先分析出实数a，b，c一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为abc=−1，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3，又a+b+c=0，所以在a，b，c中，1个为负数，2个为正数，不妨设c<0，则min{a,b,c}=c．因为2√ab≤a+b=−c，所以ab≤c24，因为c<0，所以c34≤−1，则c≤−√43，故min{a,b,c}的最大值是−√43，无最小值．故选：B.8．D【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n−1．假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为(1+3+⋅⋅⋅+2n−1)+[1+3+⋅⋅⋅+2(19−n)−1]=n(1+2n−1)2+(19−n)[1+2(19−n)−1]2=193，化简得n2−19n+84=0，解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用.9．BC【分析】求各选项函数的导数，利用所给定义判断即可求解.【详解】若f(x)=x 2−2x ，则f ′(x)=2x −2，因为f ′(1)=0，所以A 错误．若f(x)=x 3−2x ，则f′(x)=3x 2−2，当x ∈[1,2]时，f ′(x)>0恒成立，所以B 正确．若f(x)=sinx −2x ，则f′(x)=cosx −2<0，所以C 正确．若f(x)=e x −3x ，则f ′(x)=e x −3<0在[0,2]上不恒成立，所以D 错误．故选：BC 10．ACD【分析】根据题意求截面，可知Ω下为直三棱柱ADF −BCE ，进而可求相应的体积，即可判断AB ；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C ；可知平面ABE 截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF ，即可得面积判断D. 【详解】设D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接EF ，AF ，BE,GF,GH,EH ，由长方体的性质可知：EF//AB ，可知A ，B ，E ，F 四点共面，所以Ω下为直三棱柱ADF −BCE ，其体积为12×1×2×2=2，故A 正确； Ω上的体积为22×4 −2=14，B 错误．Ω下的外接球即为长方体ABCD −GHEF 的外接球，所以Ω下的外接球的半径R =√22+22+122=32，则Ω下的外接球的表面积为4πR 2=9π，C 正确．平面ABE 截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF ，其面积为2×√12+22=2√5，D 正确．故选：ACD. 11．BCD故选：BCD因为函数ℎ(x)=x +2lnx 为增函数，且ℎ(1)=1，所以x +2lnx >1⇔x >1，所以“x >1”是“f(x)>e −x +ln ex ”的充要条件．当f(x)=(e 2−1)x +2时，x +lnx =2，理由如下：（解法一）f(x)=(e 2−1)x +2可变为e x+2lnx +x +2lnx =e 2x +2+lnx =e 2+lnx +2+lnx ，则g(x +2lnx)=g(2+lnx)．因为g(t)是增函数，所以x +2lnx =2+lnx ，即x +lnx =2．（解法二）设x +lnx =m ，则lnx =m −x ，e m−x =x ，即e x =e m x，代入x 2e x +lnx =(e 2−1)x +2，得xe m +m −x =(e 2−1)x +2，即(e m −e 2)x =2−m ．假设m ≠2，则等式左右异号，矛盾．所以m =2，即x +lnx =2．故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数. 13． 6 42【分析】根据正n 棱台共有3n 条棱，从而得到不等式，求出n 的最小值为6，得到棱的长度之和最小值.【详解】因为正n 棱台的侧棱有n 条，底面有2n 条棱，所以正n 棱台共有3n 条棱，由3n >15，得n >5，所以n 的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42．故答案为：6，42 14．145°【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.【详解】设a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a −b ⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为a ，b ⃗ 均为单位向量，所以四边形OACB 为菱形，且OC 平分∠AOB ，所以a 与a +b ⃗ 的夹角为70°÷2=35°，则−a 与a +b⃗ 的夹角为180°−35°=145°．故答案为：145°易知OA=1，OD=3，得|cosθ|=√3√35，所以cos2θ=2cos2θ−1=2|cosθ|2−1=−2935.21．(1)(−∞,1](2)证明见解析【分析】（1）求导判单调性，求f(x)的最小值，列不等式求解；（2）通过证明g(x)=f(x)−f(−x)>0求解.【详解】（1）f′(x)=2e2x−2(1−x)e x =2(e3x−1+x)e x．令ℎ(x)=e3x−1+x，易知ℎ(x)单调递增，且ℎ(0)=0．当x<0时，ℎ(x)<0,即f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，ℎ(x)>0,即f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)min=f(0)=1−a≥0，即a≤1，所以a的取值范围是(−∞,1]．（2）由f(x)的单调性可设x1<0<x2．令g(x)=f(x)−f(−x)=e2x−e−2x−(2xe x +2xe−x)=(e x+e−x)(e x−e−x−2x)．令φ(x)=e x−e−x−2x(x>0)，则φ′(x)=e x+e−x−2>2√e x e−x−2=0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增，则φ(x)>φ(0)=0，所以φ(x2)>0．所以f(x2)−f(−x2)>0，即f(x1)−f(−x2)>0，即f(x1)>f(−x2)．因为当x<0时，f(x)单调递减，且−x2<0，所以x1<−x2，即x1+x2<0．【点睛】关键点点睛：本题考查函数恒成立问题及证明不等式，第二问将g(x)=f(x)−f(−x)分解因式判断符号是本题关键.22．(1)x24+y23=1(2)过定点(x07,−y07),证明见解析.【分析】（1）先求出两椭圆焦点坐标，从而确定方程；（2）设直线y=kx+m，将直线与椭圆联立，CF⊥DF转化为k CF⋅k FD=−1，坐标化将韦达定理代入化简求解【详解】（1）因为√6−2=2，所以P的焦点为(−2,0)，(2,0)，【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为。

2024年山东省菏泽市高三一模考试数学试题及答案

2024 年高三一模考试数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据为xx1、xx2、xx3、xx4、xx5、xx6、xx7, 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比, 下列数字特征一定不变的是A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差2.已知复数zz满足zz(1+i)=i2024, 其中i为虚数单位, 则zz的虚部为A. −12B. 12C. −12iD. √223.已知集合AA={xx∣xx=3nn,nn∈ZZ},BB={xx∣0≤xx≤6}, 则AA∩BB=A. {1,2}B. {3,6}C. {0,1,2}D. {0,3,6}4.pp:mm=2,qq:(mmxx+yy)5的展开式中xx2yy3项的系数等于 40 , 则pp是qq的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知向量aa=(sin θθ,cos θθ),bb=(√2,1), 若aa⋅bb=|bb|, 则tan θθ=A. √22B. √2C. √3D. √326.已知ff(xx)=xxℎ(xx), 其中ℎ(xx)是奇函数且在R上为增函数, 则A. ff�log213�>ff�2−32�>ff�2−23�B. ff�2−32�>ff�2−23�>ff�log213�C. ff�log213�>ff�2−23�>ff�2−32�D. ff�2−23�>ff�2−32�>ff�log213�7.已知圆C1:xx2+(yy−3)2=8与圆C2:(xx−aa)2+yy2=8相交于A、 B两点, 直线AB交xx轴于点P, 则SS△CC1PPCC2的最小值为A. 32B. 92C. 272D. √2328.若数列{aa nn}的通项公式为aa nn=(−1)nn−1nn, 记在数列{aa nn}的前nn+2(nn∈NN∗)项中任取两数都是正数的概率为PP nn, 则A. PP1=23B. PP9<PP10C. PP10<PP11D. PP11<PP12二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9.已知函数ff(xx)=Asin (ωωxx+φφ)(AA>0,ωω>0,0<φφ<ππ)的部分图像如图所示, 令gg(xx)=ff(xx)−2sin2�ππ2+xx�+1, 则下列说法正确的有A. ff(xx)的最小正周期为ππB. gg(xx)的对称轴方程为xx=kkππ+ππ3(kk∈z)C. gg(xx)在�0,ππ2�上的值域为�−1,12�D. gg(xx)的单调递增区间为�kkππ+ππ3,kkππ+5ππ6�(kk∈z)10.如图, 在棱长为 2 的正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, PP为侧面AAAAAA1AA1上一点, QQ为BB1AA1的中点, 则下列说法正确的有A. 若点PP为AAAA的中点, 则过PP、QQ、AA1三点的截面为四边形B. 若点PP为AA1AA的中点, 则PPQQ与平面BBAAAA1BB1所成角的正弦值为√105C. 不存在点PP, 使PPQQ⊥AA1AAD. PPQQ与平面AAAAAA1AA1所成角的正切值最小为√5511.如图, 过点AA(aa,0)(aa>0)的直线AABB交抛物线yy2=2ppxx(pp>0)于AA,BB两点, 连接AAAA、BBAA,并延长, =−aa于MM,NN两点, 则下列结论中一定成立的有A. BBMM//AANNB. 以AABB为直径的圆与直线xx=−aa相切C. SS△AAAAAA=SS△MMAAMMD. SS△MMCCMM2=4SS△AAMMCC⋅SS△AACCMM三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.如图, 在正四棱台AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, AA1BB1=√2,AABB=2√2,该棱台体积V=14√33, 则该棱台外接球的表面积为____________13.已知斜率为√3的直线过双曲线AA:xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点FF且交双曲线右支于AA、BB两点, AA在第一象限, 若|AAFF|=|AAFF|, 则AA的离心率为_________14.关于xx的不等式xxee aaxx+bbxx−ln xx≥1(aa>0)恒成立, 则bb aa的最小值为_______四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分) 已知数列{aa nn}的前nn项和为SS nn, 且SS nn=2aa nn−2(nn∈NN∗).(1) 求数列{aa nn}的通项公式;(2) 若bb nn=log2aa2nn−1,cc nn=1bb nn bb nn+1, 求证: cc1+cc2+cc3+⋯+cc nn<12.16.(15 分) 某商场举行 “庆元宵, 猜谜语” 的促销活动, 抽奖规则如下: 在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球, 球内装有难度不同的谜语. 每次随机抽取 2 个小球, 答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语, 答错则终止游戏. 已知标号为1,2,3的小球个数比为1:2:1, 且取到异号球的概率为57.(1) 求盒中 2 号球的个数;（2）若甲抽到 1 号球和 3 号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示, 请帮甲决策猜谜语的顺序 ()球号 1 号球 3 号球答对概率0.8 0.5奖金100 50017.(15 分) 如图, 已知AABBAAAA为等腰梯形, 点EE为以BBAA为直径的半圆弧上一点, 平面AABBAAAA⊥平面BBAAEE,MM为AAEE的中点, BBEE=AABB=AAAA=AAAA=2,BBAA=4.(1) 求证: AAMM/ /平面AABBEE;(2) 求平面AABBEE与平面AAAAEE所成角的余弦值.18.(17 分) 如图, 已知椭圆AA:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)与yy轴的一个交点为AA(0,√2), 离心率为√22,FF1,FF2为左、右焦点, MM,NN为粗圆上的两动点, 且∠MMAAFF1=∠NNAAFF1.(1) 求粗圆AA的方程;(2) 设AAMM,AANN的斜率分别为kk1,kk2, 求kk1kk2的值;(3) 求△AAMMNN面积的最大值.19.(17 分) 帕德近似是法国数学家亨利. 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数mm,nn, 函数ff(xx)在xx=0处的[mm,nn]阶帕德近似定义为:RR(xx)=aa0+aa1xx+⋯+aa mm xx mm1+bb1xx+⋯+bb nn xx nn, 且满足: ff(0)=RR(0),ff′(0)=RR′(0),ff′′(0)=RR′′(0),⋯, ff(mm+nn)(0)= RR(mm+nn)(0).(注: ff′′(xx)=[ff′(xx)]′,ff′′′(xx)=[ff′′(xx)]′,ff(4)(xx)=[ff′′′(xx)]′,ff(5)(xx)=�ff(4)(xx)�′,⋯;ff(nn)(xx)为ff(nn−1)(xx)的导数)已知ff(xx)=ln (xx+1)在xx=0处的[1,1]阶帕德近似为RR(xx)=aaxx1+bbxx.(1) 求实数aa,bb的值;(2) 比较ff(xx)与RR(xx)的大小;(3) 若ℎ(xx)=ff(xx)RR(xx)−�12−mm�ff(xx)在(0,+∞)上存在极值, 求mm的取值范围.2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分所以盒中2号球的个数为4个. -----5分（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m ⃗⃗ =(x ，y ，z)则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分（3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++，由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M NM M N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分M M x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a abf x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时，时）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。

上海市崇明区2025届高三地理一模考试试题含解析

故选：C
【点睛】影响环境人口容量影响因素有：资源的丰富程度、科技发展水平、经济发达程度、对外开放程度、人口受教化水平及消费水同等。
13.北京市的街道大多横平竖直，如棋盘状。形成这种空间格局的主要因素是（）
A. 城市职能B. 交通条件
C. 地表形态D. 水源分布
【答案】C
【解析】
受历史因素影响，古时封建社会人们受“天圆地方”的思想影响，把道路建成“方格状”，街道多为东西－南北走向，皇宫修建成坐北朝南，所以北京二环路内道路呈方格状；在现代时期城市建设中，为使北京交通更为便捷，政府修建了二环至五环环行马路，加强了城市内部不同区域之间的联系。政府修建了多条向城外呈放射状的马路，加强了城市内部与外部之间的联系。综上所述，形成了北京的方格－环行－放射式道路网。城市向周边面状延长是因为北京市周边地区地形较为平坦，利于城市向四周延长。故答案选C项。
2.如图为天体系统的绕转关系示意图，其中a、b、c表示天体，a为恒星，椭圆表示天体运行的轨道。（）
A. a肯定是太阳B. 包含二级天体系统C. c肯定是地球D. 包含三级天体系统
【答案】B
【解析】
【详解】读天体系统的绕转关系示意图，其中a、b、c表示天体，a为恒星，不肯定为太阳，A错误；
椭圆表示天体运行的轨道，c绕转a是一级天体系统，b绕转c也是一级天体系统，故包含二级天体系统，B正确；
7.如图为“大气保温作用”示意图。全球气候变暖的主要缘由之一，是温室气体增多导致（）
A. 甲辐射增加
B. 乙辐射增加
C. 丙辐射增加
D. 丁辐射增加
【答案】D
【解析】
【分析】
本题难度适中，主要考查了大气的受热过程，获得图中信息即可。
【详解】依据所学学问，据图可知，甲为太阳辐射，乙为地面长波辐射，丙为大气辐射向宇宙空间的部分，丁为大气逆辐射，它是大气保温作用（形成温室效应）的主要缘由；全球气候变暖的主要缘由之一，是温室气体增多导致丁辐射增加。

2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析

山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。

2024届河南省洛阳市高三一模物理试题

2024届河南省洛阳市高三一模物理试题一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题如图，相距为r、长度均为L的两根平行直导线，通以大小和方向都相同的电流I，导线b处于导线a的磁场中，同时，导线a也处于导线b的磁场中，两导线之间的作用力满足，在国际单位制中，安培这个单位就是利用上式来定义的：放在真空中的两根平行直导线，通以相同的稳恒电流。

当两导线相距1米，每根导线在每米长度上所受的力等于时，这个稳恒电流就是1安培。

图中P点与导线a、b的距离分别为r和，根据题干中的信息判断，P点的磁感应强度大小为（）A．B．C．D．第(2)题清晨，草叶上的露珠是由空气中的水汽凝结成的水珠，这一物理过程中，水分子间的A．引力消失，斥力增大B．斥力消失，引力增大C．引力、斥力都减小D．引力、斥力都增大第(3)题如图所示，汽车匀速率通过圆弧状拱形桥，假设汽车所受阻力总是与其速度方向相反。

汽车上桥的过程中（）A．汽车所受桥面的支持力变小B．汽车所受重力的功率不变C．汽车所受合力不变D．汽车克服阻力做的功小于牵引力做的功第(4)题用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L。

现用该弹簧沿斜面方向拉住质里为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L。

斜面倾角为30°，如图所示．则物体所受摩擦力（）A．等于零B ．大小为，方向沿斜面向下C．大小为，方向沿斜面向上D．大小为mg，方向沿斜面向上第(5)题如图所示，空气中有一折射率为的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90o、半径为R的扇形OAB、一束平行光平行于横截面，以45o入射角射到OA上，OB不透光，若考虑首次入射到圆弧上的光，则上有光透出的部分的弧长为（）A．B．C．D．第(6)题如图，小球甲从O点以10m/s的初速度水平抛出，同时小球乙从P点竖直向上抛出，当小球甲垂直打在倾角为45°的水平固定斜面上时，小球乙刚好回到P点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则小球乙被抛出时的初速度大小为（）A．0.5m/s B．5m/sC．10m/s D．20m/s第(7)题在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )A．一样大B．水平抛的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．分子间距离增大时，分子间引力和斥力都减小，分子势能可能增大B．一定质量的气体，在体积不断膨胀的过程中，内能可能增加C．液体与空气接触的表面层分子的势能比液体内部分子的势能小D．单位时间内气体分子对容器壁单位面积上的碰撞次数减小，气体的压强一定减小E．一切自发过程总是向着分子热运动无序性增大的方向进行的第(2)题氢原子在某三个相邻能级间跃迁时，可发出三种不同波长的辐射光．已知其中的两个波长分别为λ1和λ2，且λ1>λ2，则另一个波长可能是( )A．λ1＋λ2B．λ1－λ2C．D．第(3)题如图所示，A、B两球的质量相等，弹簧的质量不计，倾角为θ的光滑斜面固定放置，系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面，在细线被烧断的瞬间，下列说法正确的是（重力加速度为g）（）A．两个小球的瞬时加速度方向均沿斜面向下，大小均为g sinθB．B球的受力情况不变，瞬时加速度为零C．A球的瞬时加速度方向沿斜面向下，大小为2g sinθD．弹簧有收缩的趋势，B球的瞬时加速度方向沿斜面向上，A球的瞬时加速度方向沿斜面向下，瞬时加速度大小都不为零三、解答题：本题共4小题，每小题8分，共32分 (共4题)第(1)题某次导弹试射演习中，歼-16战斗机瞄准了前方同一直线上同方向匀速飞行的无人靶机。

河南省新乡市2024届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）A．B．C．D．2. 已知等差数列的首项，公差，数列满足若也是等差数列，则（）A．B．C ．1D ．23. 已知函数，则函数的减区间是（）A．B．C．D．4.已知函数的图象如图所示，则下面描述不正确的是（）A．B．C．D．5.设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若S 为的准线上一点，的面积为，则（）A．B．C．D．6. 设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s 和t，总存在不超过的正整数m 和k ，使得．下列说法正确的是（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①和②都是真命题D ．①和②都是假命题7. 已知为虚数单位，复数满足，（）A．B ．C ．-1D ．18.已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9. 已知函数，则（）A ．当时，B ．，方程有实根C ．方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“”D ．若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则10. 已知，，且，下列结论中恒成立的是（）A．B．C．D．河南省新乡市2024届高三一模数学试题河南省新乡市2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题11. 对于函数，下列说法正确的是（）A ．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D ．当时，方程有两解12.设向量，，则（）A．B．与的夹角为C ．与共线D．13.已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．14. 已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为__________；15. 已知函数，若不等式的解集恰好为，则__________．16. 如图所示，底面为菱形，，，，平面.(1)设与交于点，求证：平面；(2)求多面体的体积.17. 对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．(1)求实数的取值范围；(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，Q 、M 分别为、的中点，，，.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.19. 已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；20. 如图，在直四棱柱中，、分别是、的中点，与交于点．（1）求证：、、、四点共面；（2）若底面是菱形，且，求证：平面．21. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：函数在上有两个零点．。

江苏省南通市2024届高三上学期第一次调研测试(一模)化学-试题含解析

江苏省南通市2024届高三上学期第一次调研测试（一模）化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2023年是中国芯片产业突围之年。

下列属于芯片中常用半导体材料的是A ．石墨B ．晶体硅C ．镁铝合金D ．聚乙烯2．反应()22432342323Fe 2HPO 2CH COO 8H O Fe PO 8H O 2CH COOH +--+++=⋅↓+可应用于铁质强化剂()3422Fe PO 8H O ⋅的制备。

下列说法正确的是A ．3CH COOH 晶体属于共价晶体B ．2H O 的电子式为C ．P 原子的结构示意图为D ．2Fe +基态核外电子排布式为[]51Ar 3d 4s3．实验室利用下列装置进行实验，不能达到实验目的是A ．用装置甲制取2Cl B ．用装置乙除去2Cl 中混有的HCl 气体C ．用装置丙验证潮湿的2Cl 具有漂白性D ．用装置丁吸收尾气中的2Cl 4．金云母的化学式为()3310x 2x KMg AlSi O F (OH)-，下列说法正确的是A ．半径大小：()()2r Mg r F+-<B ．非金属性强弱：O Si <C ．电离能大小：()()11I Al I K <D ．碱性强弱：2KOH Mg(OH)<5．硫元素在自然界中通常以硫化物、硫酸盐或单质的形式存在。

斜方硫、单斜硫是常见的两种单质。

常见的含硫矿物有硫磺矿、黄铁矿()2FeS 、石膏()42CaSO 2H O ⋅等。

黄铁矿遇酸会生成硫化氢气体。

工业利用黄铁矿与空气高温反应得到2322Fe O SO SO 、、与2O 在25400500V O ~℃、催化作用下反应生成3SO ，每生成31molSO 释放出98.3kJ 的热量，生成的3SO 用98%的浓硫酸吸收。

利用酸性4KMnO 溶液可测定工业尾气中2SO 的含量。

2024年山东省聊城市高三一模理综物理试题

2024年山东省聊城市高三一模理综物理试题一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题质量为m的物块在水平向右，大小为F的恒力作用下由静止开始沿粗糙水平地面向右运动.物块与地面之间动摩擦因数为μ，与挡板碰撞时间为，碰后反弹速率为碰前速率的，零时刻物块与右侧固定挡板P之间距离为d，与挡板碰撞期间不考虑地面的摩擦，下列说法正确的是（）A．物块与挡板第一次碰撞时的速度大小为B．物块第一次向右匀加速运动的时间为C．物块第一次被挡板反弹的速度大小为D．物块第一次与挡板碰撞，挡板对物块的平均作用力大小为第(2)题1930年德国物理学家博特与贝克用粒子轰击一个原子核，生成一个碳核和一个粒子，其反应方程式为，下列说法正确的是（）A．B．Y为中子C．该核反应是衰变D．该核反应过程中质量一定守恒第(3)题如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。

若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中（）A．E点的动量最小B．B点的电势能最大C．C点的机械能最大D．F点的机械能最小第(4)题如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一包裹轻轻放在最上端的A点，包裹从A点运动到最下端B点的过程中，加速度随位移的变化图像如图乙所示（重力加速度取），则下列说法正确的是（）A．传送带与水平面的夹角为B．包裹与传送带间的动摩擦因数为0.4C．传送带运行的速度大小为D．包裹到B点时的速度为第(5)题2022年8月24日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将北京三号B卫星发射升空。

相比北京三号A卫星，B卫星轨道提高了约100km。

已知北京三号A卫星的轨道高度为500km，则（）A．A卫星的加速度大小小于B卫星的加速度B．A卫星所受万有引力一定大于B卫星所受的万有引力C．B卫星的运行速度大小大于静置在地球赤道上某物体的线速度D．已知B卫星的周期，根据题述物理量可以求出A卫星的周期第(6)题图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆周运动，如图乙所示。

2024届山东省德州市高三一模生物试题

2024届山东省德州市高三一模生物试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．核仁组织区(NOR)是染色体上含有rRNA基因的一段区域。

核仁由NOR、颗粒成分和NOR中的基因转录形成的细丝成分三部分构成。

通常认为，颗粒成分是核糖体亚基的前身，由细丝成分逐渐转变而成。

下列说法正确的是（）A．细胞中核糖体的形成都与NOR有关B．核仁由DNA、RNA和蛋白质组成C．细丝成分的形成需要DNA聚合酶的参与D．已分化的细胞内NOR中的基因不转录2．细胞内的钙稳态是靠Ca2+的跨膜运输来调节的，植物细胞的Ca2+运输系统如图所示，①~①表示相关的转运蛋白。

下列说法错误的是（）A．ATP水解释放的磷酸基团可以使①和①磷酸化，进而导致其空间结构发生变化B．抑制呼吸作用会影响①转运Ca2+的速率C．①转运H+的机制和①①转运Ca2+的机制类似，都不需要与其转运的离子结合D．①①①介导的转运过程保证了细胞质基质中低Ca2+水平3．科学家从菠菜中分离出类囊体，将其与多种辅因子和多样化的还原酶一起包裹在油包水滴中，构建出如图所示能实现CO①的连续转化且可编辑的人工光合细胞。

下列说法错误的是（）A．人工光合细胞膜应该由单层磷脂分子组成B．需持续加入多种辅因子为CO①转化提供能量和还原剂C．通过改变还原酶的种类能实现可定制的CO①转化D．与菠菜叶肉细胞相比，人工光合细胞更有利于有机物积累4．姐妹染色单体通过粘连蛋白相互黏附而不能分离。

分离酶(SEP)可水解粘连蛋白，其活性受核基因编码的两种蛋白调控：SCR蛋白与SEP结合抑制其活性，而APC蛋白可催化SCR蛋白水解。

下列说法错误的是（）A．SCR蛋白基因和APC蛋白基因可能在分裂间期表达B．SEP的功能异常可能导致子细胞染色体数目异常C．APC蛋白失活会导致姐妹染色单体不能正常分离D．SCR蛋白基因和APC蛋白基因的表达说明细胞发生了分化5．果蝇的有眼与无眼、正常翅与裂翅分别由基因D/d、F/f控制，已知这两对基因中只有一对位于X染色体上，且某一种基因型的个体存在胚胎致死现象。

天津和平区2024届高三一模数学试题(含解析)

【详解】设球 O 的半径为 r ，则 4πr2 260π ，得 r 65 ，
答案第 3 页，共 16 页
如图所示， M1 为△A1B1C1 的中心， M 为 ABC 的中心，
1 又 a1, 4 a3, a2 成等差数列，
可得
1 4
a3
2
a1
a2
2a1
2a2
a3
2a1
2a1q
a1q 2
，
又 a1 0 ，所以 q2 2q 2 0 ，解得 q 1 3 或 q 1 3 ，
又 q 0 ，所以 q 1 3
则
a9 a8
a10 a9
a9 1 q a8 1 q
a9 a8
q
3 1，
故选：A
答案第 1 页，共 16 页
4．B 【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要
性成立，即可得到答案.
【详解】例如： a 2,b 1 ，此时 a2 b2 5 2 ，但 a b 2 1 2 ，所以充分性不成
2
2
2
立；
设直线 l : x y 2 ，圆 C : x2 y2 2 ，则圆心为 O(0,0) ，半径为 r 2 ，
【详解】由题意， f (x) sin2 x cos2 x cos 2x, f (x) 2sin 2x ，
对 A,
f
x
π 2
cos
2
x
π 2
cos
2x
为偶函数，故
A
错误；
对 B，易知 f (x) 的值域为1,1 ， f x 的值域为2,2 ，故 B 错误；
对 C, f ( π ) cos π 0 ,故 C 错误；
(3)若直线 MF 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 3 22 ，求此时 MC 的长度. 22

2024届山东省青岛市高三一模生物-试题含解析

2024届山东省青岛市高三一模生物试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．冷休克蛋白（CSP）对细胞在低温时恢复生长和发挥细胞各种功能有重要作用。

如大肠杆菌从37℃转到10℃培养时，出现4h左右的生长停滞，此时绝大多数蛋白质合成受阻，仅有24种CSP蛋白被合成。

冷休克时，在大肠杆菌CSP家族中，CspA表达量非常高，易与mRNA结合，从而有效阻止mRNA二级结构的形成，使mRNA保持线性存在形式，易化了其翻译过程。

下列说法正确的是（）A．CSP家族的合成需要核糖体、内质网和高尔基体的参与B．大肠杆菌低温培养时，核糖体功能停止，细胞内酶活性减弱C．大肠杆菌低温培养时合成的CSP能够提高细胞抵抗寒冷的能力D．冷休克时，mRNA链保持二级结构有助于与核糖体的结合并翻译2．荧光漂白恢复（FPR）技术是使用荧光分子，如荧光素、绿色荧光蛋白等与相应分子偶联，检测所标记分子在活体细胞表面或细胞内部的运动及其迁移速率。

FPR技术的原理是：利用高能激光束照射细胞的某一特定区域，使该区域内标记的荧光分子发生不可逆的淬灭，这一区域称光漂白区。

一段时间后，光漂白区荧光强度的变化如图所示。

下列说法错误的是（）A．荧光恢复的速度可反映荧光标记分子的运动速率B．FPR技术只能用于检测活体细胞膜蛋白的动态变化C．图中曲线上升是由周围非漂白区的荧光分子迁移所致D．在适当范围内提高温度可以缩短光漂白区荧光恢复的时间3．核糖体中的rRNA具有维持核糖体的整体结构以及协助tRNA在mRNA上的定位等功能。

研究表明，肽键形成位点（肽酰转移酶中心）由rRNA组成。

下列说法错误的是（）A．核糖体主要由rRNA和蛋白质组成B．肽键形成的催化反应是由rRNA执行的C．线粒体和叶绿体中都存在肽酰转移酶D．细胞内的核糖体在细胞核的核仁内合成4．人体中的促红细胞生成素（EPO）是由肾脏和肝脏分泌的一种激素类物质，能够促进红细胞生成。

2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题及答案

2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M =（）A ．{}0,5B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3,4,5D ．U2．已知复数z 满足(43i)i z +=−，则z 的虚部为（） A ．425−B ．425C ．4i 25−D ．4i 253．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A ．1B 1C ．2D 14．在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（） A ．7T B ．8TC ．10TD ．11T5．关于函数4125x y x −=−，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（） A ．函数只有最大值没有最小值 B ．函数只有最小值没有最大值 C ．函数没有最大值也没有最小值 D ．函数有最小值也有最大值6．已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m=对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A．B ．C ．D ．88．,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba c c a a−=>=+，则下列说法正确的是（）A ．2c a b −>−B ．2c b a −≤−C ．2c a b +<+D ．2c a b +≤+二、多选题9．已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（） A ．这10个数据中至少有8个数小于或等于31 B ．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C ．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D ．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是3110．函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A ．()()3.14D D π>B ．()D x 的值域为[]2,3C ．()()D D x 是偶函数D ．a ∀∈R ， ()()D x a D a x +=−11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A ．该圆台轴截面ABCD 的面积为2B ．该圆台的表面积为211πcmC ．该圆台的体积为3cmD三、填空题12．已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t −+=，则=a . 13．已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12−=F F N.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P ﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为 .四、解答题15．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且2cos a ab C =+. (1)求角B ； (2)求21AD CD+的取值范围. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T . 17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.(1)求椭圆的标准方程； (2)求AB 的范围.18．《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：(1)从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.(2)经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫−=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？19．如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ； (2)求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；参考答案：1．B【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4UN =，所以(){}1,2,3,4U MN =，故选：B. 2．A【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解. 【详解】因为(43i)i z +=−，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z −−−===−−++−，所以z 的虚部为425−. 故选：A. 3．D【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++ sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x x ϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α+()2x α+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈−[]0,2，所以[]0,2a ∈. 故选：D. 4．D【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a ==不符合题意；()48127845T a a a a a a ==不符合题意； ()5101291056T a a a a a a ==不符合题意；11111210116T a a a a a ==为确定常数，符合题意.故选：D 5．D【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值. 【详解】()22594192252525x x y x x x −+−===+−−−，52x ，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >， y 在5,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =−，同理max y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值. 故选：D. 6．A【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断. 【详解】令()11ππ12m k k −=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A. 7．C【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,M x y ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯= 故选：C 8．A【分析】对于2ln0cc a a−=>可构造函数()2ln f x x x =−，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a−=>得2ln 2ln c c a a −=−且c a >，构造函数()2ln f x x x =−，所以()21f x x'=−，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b −>−. 故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论. 9．AB【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB. 10．AC【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可. 【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x −∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D −==，所以()()()()D D x D D x =−，x ∉Q 时，x −∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D −==，()()()()D D x D D x =−，所以()()D D x 为偶函数，C 正确；x 1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D −=−=，则()()D x a D a x +≠−，D 错误.故选：AC11．AB【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D.【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O =则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm 1c S =⨯=上，()22π24πcm S =⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()31π142cm 3V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB. 12．12−/-0.5【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx=，所以21()f x x '=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t −+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =−.故答案为：12−13【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12−F F 平方即可计算对应的值. 【详解】由123++=F F F 0，可得123+=−F F F ，所以()()22312−=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=−F F ，所以12−=F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14．2【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a−，2(,0)F c ，22(2,)b PF c a =−，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =−−，由223PF MF =得2(2,)3(,)b c c x y a−=−−，223()3c c x b y a =−⎧⎪⎨−=−⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,)33b OM c a =，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=−=，c e a =，222b c a =−代入得2222(1)0e e −−=，因为1e >故解得e =15．(1)2π3(2)⎤⎥⎝⎦【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）22cos 3a S ab C=−+， 2sin cos a Cab C ∴=+，即sin cos a C b C=+，由正弦定理得，sin sin sin cos A B C B C =+， ()sin sin sin cos B C B C B C∴+=+， cos sin sin B C B C ∴=， sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =. （2）由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BD DBC C =∠，即π2sin16sin sin DC C C ==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==， sin sin 21sin si 22n 11A C C C A A D D∴++=+=， 2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=, 21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=−+=−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π03C <<，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin 3C ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16．(1)21n a n =− (2)242n n n T n +=+【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可. 【详解】（1）2241n n n a a S +=−，2111241n n n a a S ++++=−，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++−−=，102n n n a a a +>∴−=，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a −=，所以11a =即()11221n a n n =+−⨯=−（2）由（1）知21n a n =−，则()()1212122n n n a a n n S n ++−===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥−+−+⎢⎥⎣⎦ 1111482121n n ⎛⎫=+− ⎪−+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+−+−++− ⎪−+⎝⎭2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+−=+= ⎪+++⎝⎭.17．(1)22143x y += (2)[]3,4【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【详解】（1）由题意可知，将点3(1,),(2代入椭圆方程，得222291416241a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()11,0F −，()21,0F ，当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690m y my ++−=，易得()22Δ636(34)0m m =++>，则12122269,3434m y y y y m m −−+==++，所以AB =2221212443434m m m +=−++，因为20m ≥，所以2344m +≥，所以240134m <≤+，所以34AB ≤<，综上，34AB ≤≤，即AB 的范围是[]3,4.18．(1)25； (2)详见解析；【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【详解】（1）由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===; （2）因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b −+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b −⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%−−==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 19．(1)证明见解析【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【详解】（1）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =−，又3(1,,1)2MN =−，可得00MN n ⋅=，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .（2）依题意，可得(1,0,0)BC =−，(1,2,2)BE =−，(0,1,2)CF =−，设111(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z =为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅=10=. 于是10sin ,10m n <>=所以平面EBC 和平面BCF。

湖南省郴州市2024届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 随机变量的分布列如下表，且，则（）2A ．10B ．15C ．40D ．452.对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是（）A ．若为“s 数列”，则为“t 数列”B．若，则为“t 数列”C ．若，则为“s 数列”D ．若等比数列为“t 数列”则为“s 数列”3. 复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 若，，则（）A．B．C ．2D ．105. 复数满足为纯虚数，且，则可能为（）A．B．C．D．6. 若，且，则等于（）A．B．C．D．7. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于k ，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（）①k =1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；②k =2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；③在2k 局比赛中，甲获胜的局数的期望为k ；④随着k 的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．③④8. 如图，在正四棱锥中，，，点,分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（）A．B．C．D．湖南省郴州市2024届高三一模数学试题湖南省郴州市2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题9. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B．若只有一个零点，则C ．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D ．对于任意的，一定存在极值10. 若连续函数在其定义区间上的任意个点，恒有，则称在上满足性质．设函数在区间上满足性质，且过点，的图象与线段围成封闭图形的面积记为，则（）A．B ．可以为C．D．11.设函数，则（）A ．在单调递增B．的值域为C．的一个周期为D ．的图像关于点对称12.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（）A．函数图像关于直线对称B ．函数的周期为6C．D ．和的图像所有交点横坐标之和等于813. 已知为第三象限角，且，则__________.14. 已知，，则__________.15. 在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝|＋|＝||，则＝______.16. 已知椭圆E ：的离心率为，且过点．(1)求椭圆E 的方程；(2)斜率为1的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积．17. 已知函数.(1)若曲线在处的切线过点，求的值；(2)若在内有两个不同极值点，.证明：.18. 一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.(1)若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望；(2)记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为（单位：，），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图．2.731952851095注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中，（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求y 关于t 的方程，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．参考公式：回归直线方程是；，，参考数据：．百台20. 已知函数的一段图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项，试求数列的前项和．21. 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于、两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.。