几何量子相位探析_江燕燕

到不同的结果。这里面的关键问题在于
115, 485 (1959).
Uhlmann 的定义依赖于选择什么辅助体系。 [3] Z.S.Wang,L.C.Kwek,i and C.
另一方面，关于m tunneling time v.s.
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一、几何相位的发现 几何相位的概念最早是印度物理学家
几何量子相位探析
Pancharatnam 提出来的[1]。1956 年，Pan－
charatnam 在研究偏振光的极化现象时注意 到，如果使偏振光的极化方向做周期性的改 变，偏振光在满足相位匹配的条件下，会得到
不能给出唯一性证明，只会给出非连续的几
Lett.60,2339 (1988).
何相位，结果很难给出物理解释。人们的普遍 [8] A.G.Wagh et al.,Phys.Rev.Lett.81,1992
信仰是几何相位具有几何结构，即与参数空 间的区域成比例，在复 Hilbert 映射空间中可 以用几何结构形式完全表述。
因子。遗憾的是，这些现象均未引起人们广泛 率波，概率仅仅依赖于波函数振幅而与相位 学家 Uhlmann 通过引入一个辅助系统的方
的共识，其背后的物理机制仍不得而知[3-6]。 无关。但是，量子系统的演化是由几何量子相 法，将混合态进行纯化并定义了混合态的几
1984 年，M.V.Berry 在研究绝热量子系统 位因子保持记忆的，该相位因子可以由未通 何相位[12]。这样整个体系就可以用一个波函数
工作也指出:绝热演化并不是能够得到几何 分解，他们都具有相同的物理性质，物理上是 现在仍然是一个有争议的问题。一方面，
相位的唯一条件，几何相位同样可以在非 无法区分的。因此，如何定义混合态的几何相 Uhlmann 的定义与 Sj觟qvist 的定义并不是完
绝热周期演化下得到，这就是 A-A 相[6]； 成为一个非常棘手的困难问题。
的周期性过程中又发现了几何相位。描述体 过演化的相干波函数对量子系统的演化波函 加以描述。引入对该波函数的演化，我们就可
系运动的 Hamiltonian 的本征态除了得到由 数的干涉来进行测量[8,9]。
以得到一个几何相位。Uhlmann 证明通过这
其动力学演化决定的相位以外，还存在一个 与演化过程无关的额外相位因子，这就是著
三、混合态的几何量子相位
种方法得到的相位具有确定的几何意义，并 将其定义为混合态的几何相位。很明显，
名的 Berry 几何相位。Berry 相位具有几何拓
在真实的物理世界中，量子系统同周 Uhlmann 关于混合态几何相位的定义由于不
扑特征，深刻地反映了量子系统中复 Hilbert 围环境的作用将不可避免导致系统信息 可避免地引入系统与辅助系统的纠缠而导致
事实上，纯态和混合态本质上来源于 Poincaré 球的表示的应用。对于纯态，相应于 Poincaré 球面上的点，而混合态相应于 Poincare 球内部的点。纯态的几何相位用 Poincaré 球 表 示 特 别 简 单 ，Pancharatnam 相位对应于 Poincaré 球面上曲线的一段弧 线，而 Berry 相位对应于 Poincaré 球面上的 封闭弧线，动力学相位就消失了[16-18]。基于对称
摘 要：波恩关于波函数的概率解释奠定了量子力学的理论基础。概率仅 仅依赖于波函数的振幅而与相位无关。在相当长的一段时间内，人 们的主要兴趣都集中在如何得到振幅。相位是所有干涉现象的根 源，与振幅一样有着深刻的物理意义和特别的几何意义。本文介绍 几何相位的发现和在开放系统中即混合态下的几何量子相位。
关键词：几何相位 几何量子相位 Berry 相位
江燕燕 李 娟
（安庆师范学院）
一个额外的相位差。这个相位差具有明确的 几何意义，并且可以通过干涉实验测量出其 大小。遗憾的是，他的工作在当时并未引起人 们足够的重视。
1958 年，Y.Aharonov 和 D.Bohm 在研究 电磁势场中运动的自由电子时，发现描述自 由电子运动的波函数在绕磁通管做圆周运动
L.C.Kwek,i,C.H.Oh,and V.
Vedral,Geometric phase induced by
度矩阵本征态的几何相的加权求和，权重为
nonlocality,Phys.Lett.A 372,775(2008).
本征值，即动能解法；通过量子跃迁方法，把 [5] F.Wilczek and A.Zee,Phys.Rev.Lett.
全等价的:相同的运动过程，两定义有可能得
34 2013年第 7 期
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后，F.Wilczek 和 A.Zee 将 Berry 相推广到了 阵来描述一系列纯态的非相干迭加。对于确 位，引入物理意义明确的混合态几何相位的
非 Abel 的情况[5]；Aharonov 和 Anandan 的 定混合态体系的密度矩阵，我们可以有不同 定义[13]。应该承认，关于混合态几何相的定义
考虑到 Uklmann 关于混合态几何相的
力学基本原理的必然结果。其标志着人们
如果把所有与体系相关联的环境都考虑 定义物理上不具有可操作性，Sj觟qvist 根据
对量子力学相位概念认识的突破，并极大 的话，那么整个体系仍然可以看作是若干不 Machzaner 干涉测量仪的原理，通过对各个纯
地刺激了物理学家们的研究热情。紧随其 同纯态间的非相干混合。而通常采用密度矩 态几何相位的研究，得到整个系统的几何相
混合态问题转化为纯态问题，即量子跃迁解
52,2111 (1984).
法。
[6] Y.Aharonov and J.Anandan,Phys.Rev.
量子跃迁解法[14]和动能解法[15]可以给出
Lett. 58, 1593 (1987).
开放系统的几何量子相位；但这些解法似乎 [7] J.Samuel and R.Bhandari,Phys.Rev.
径所包围曲面的磁通。A-B 相也是一种特殊
在量子理论中，物理状态是由波函数来 空间中归一化矢量的一一对应的关系，我们
的几何相因子。在此之后的近三十年里，人们 描述的，波函数的相位可分为动力学相位和 不可能在 Hilbert 空间找到一个归一化矢量
陆续发现了各种各样具有确定物理意义的相 几何相位。从薛定谔方程得出的波函数是概 去描述混合态的演化。基于上面的考虑，物理
相干是影响量子计算机实际应用的主要 实际应用中比较难于操作；但 Uhlmann 的定 二、Berry 几何量子相位的意义
障碍，研究开放体系（或称混合态）中几何 义从数学上讲是严谨的，不失为一个有效的
Berry 几何量子相位的物理意义在于揭 相位的行为成为物理学最为关心的热点 尝试。
示了量子力学中最普适的物理量，是量子 问题之一[10，11]。
空间的几何性质：仅依赖于系统演化中在复 的损失，引起退相干。退相干是最重要的 几何相位依赖于选择什么样的辅助系统(这一
Hilbert 空间投影的面积而不依赖于系统演化 限制量子计算的因素之一，特别影响量子 点己经被 Ericsson 所证实)。从物理上讲，这样
进行的具体过程，因而叫几何量子相位。 门的速度和误差率。所以，环境诱发的退 的定义不是唯一的，因而不是一个好的定义，
(1998). [9] R.L.Chiao et al.,Phys.Rev.Lett.81,1214
(1988). [10] Z.S.Wang,Jianqiu Wang,Yanyan Jiang,
Z.Q.Chen,and Y.H.Ji,Avoiding decoherence for open system and renormalizing for Hamiltonian,Adv.Studies Theor.Phys 4,241(2010). [11] Z.Q.Chen,L.P.Guo,Y.Chen,X.L.Li,G.Q. Liu,Y.H. Ji, Z. S. Wang, Controlling Decoherence from Fluctuating Magnetic Field, Int. J. Theor.Phys 49:18
后，电子的干涉条纹会受到影响，出现一个额 Samuel 和 Bhandari 的工作[7]进一步指出:对
量子力学混合态是用来描述量子体系状
外的相因子，这就是著名的 A-B 相因子[2]。A- 于物理非周期演化，也可以定义一个几何 态的一种特殊的波函数，由于混合态描述的
B 相具有明确的物理意义:电子运动的闭合路 相位，具有与 Berry 相相同的几何含义。 “经典”特征，不同于纯态波函数与复 Hilbert
义，迄今为止仍然没有一个严格的数学证明。
geometric phase,Phys.Lett.A 359,608
目前，开放量子系统（或混合态）的几何
(2006).
量子相位仍然是一个争论的课题，人们做了 [4] Z.S.Wang,Chunfeng Wu,Xun-Li Feng,
各种尝试：将混合态量子几何相位定义为密