第六章 平面向量及其应用 章末复习与总结
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章末复习与总结
知 识 体 系 构 建
一、数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究
对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图 形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术 语予以表征．在本章中主要表现为理解向量的基本概念.
四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达
问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．在本章 中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
[例7] 如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射 塔，且AM＝100 m，BN＝200 m，一测量 车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔 顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方 向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测 得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ， 经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
可知D错误．易知B、C正确．故正确命题为B、C． [答案] BC
二、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则
解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算 法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得 运算结果等．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积 运算及解三角形中.
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[解析]
由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝
π 3
，又由sin
B·sin C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2
＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为
π 3
的等腰三角形，即为
等边三角形． [答案] C
―→ BC
＝－2a ＋8b ，
―→ CD
＝3(a
－
b)，则共线的三点是________．
[解析]
(1)由(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝0，知
―C→B ·2―O→D ＝0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的垂直平分线
上．同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心．
[解析] (1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝
－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，
∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.
(2)―A→B ＝(2,2)，―C→D ＝(－1,3)，|―C→D |＝ 10，
―→ AB
∴―M→B ＝－3―M→A ，∴―AM→＝14―A→B . 又―A→O ＝12―A→B ＋12―A→D ，∴―OM→＝―O→A ＋―AM→＝－12―A→B － 12―A→D ＋14―A→B ＝－14―A→B －12―A→D ＝－14a－12b.故选A． [答案] (1)A (2)A
平面向量的数量积运算
平面向量的应用
[例5] (1)O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所
在平面内的一动点，若(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝(
―→ PC
－
―PA→)·(―O→A ＋―O→C )＝0，则O为△ABC的
()
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
(2)若
―→ AB
＝
2 2
(a
＋5b)，
―→ ·CD
＝－2＋6＝4，则向量 ―A→B
在向量
―C→D 上的投影
―→ ―→ ―→
பைடு நூலகம்
向量为
AB ·CD ―→ | CD |
·|―CC→DD |＝－25，65.故选B.
[答案] (1)C (2)B
利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例4] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解] (1)由bsin A＝ 3acos B 及正弦定理sina A＝sinb B，得sin B＝ 3cos B， 所以tan B＝ 3，又0<B<π，所以B＝π3.
(2)∵
―→ BD
＝
―→ BC
＋
―→ CD
＝a
＋5b，∴
―→ AB
＝
2 2
―→ BD
，则
A，B，D三点共线．
[答案] (1)B (2)A，B，D
判定三角形的形状
[例6] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
[例3] (1)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)
＝－72，则|a |＝
()
A．2
B．4
C．6
D．12
(2)已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量―A→B 在向
量―C→D 上的投影向量的坐标为
()
A．25，65
B．－25，65 C．－25，－65 D．25，－65
(2)由sin C＝2sin A及sina A＝sinc C，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝ 3，c＝2 3.
三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则
推出一个命题的思维过程．在本章中，主要表现在利用向 量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形 状等问题中.
平面向量的基本概念 [例1] (多选)下列命题中，其中正确的是
()
A．a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b＝λa
B．e为单位向量，且a ∥e，则a ＝±|a |e
C．|a ·a ·a |＝|a |3
D．若a ·b ＝b ·c且b ≠0，则a ＝c [解析] 若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念
A．－14a －12b C．－34a －12b
B．14a ＋12b D．34a＋12b
()
[解析] (1)由题，可得―O→A ＝(－1,3)，―A→B ＝(3，－7)， 所以―O→P ＝―O→A ＋m―A→B ＝(3m－1,3－7m)． 又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝13，故选A． (2)如图，∵―M→B ＋3―M→A ＝0，
平面向量的线性运算
[例2]
(1)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，
―→ OP
＝
―O→A ＋m―A→B .若点P在y轴上，则实数m的值为
()
A．13
B．14
C．15
D．16
(2)在平行四边形ABCD中，
―→ AB
＝a，
―→ AD
＝b
，AC与BD
相交于点O，点M在AB上，且―M→B ＋3―M→A ＝0，则向量―OM→＝
知 识 体 系 构 建
一、数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究
对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图 形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术 语予以表征．在本章中主要表现为理解向量的基本概念.
四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达
问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．在本章 中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
[例7] 如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射 塔，且AM＝100 m，BN＝200 m，一测量 车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔 顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方 向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测 得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ， 经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
可知D错误．易知B、C正确．故正确命题为B、C． [答案] BC
二、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则
解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算 法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得 运算结果等．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积 运算及解三角形中.
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[解析]
由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝
π 3
，又由sin
B·sin C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2
＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为
π 3
的等腰三角形，即为
等边三角形． [答案] C
―→ BC
＝－2a ＋8b ，
―→ CD
＝3(a
－
b)，则共线的三点是________．
[解析]
(1)由(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝0，知
―C→B ·2―O→D ＝0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的垂直平分线
上．同理，O在AC的垂直平分线上，故O为△ABC的外心．
[解析] (1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝
－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，
∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.
(2)―A→B ＝(2,2)，―C→D ＝(－1,3)，|―C→D |＝ 10，
―→ AB
∴―M→B ＝－3―M→A ，∴―AM→＝14―A→B . 又―A→O ＝12―A→B ＋12―A→D ，∴―OM→＝―O→A ＋―AM→＝－12―A→B － 12―A→D ＋14―A→B ＝－14―A→B －12―A→D ＝－14a－12b.故选A． [答案] (1)A (2)A
平面向量的数量积运算
平面向量的应用
[例5] (1)O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所
在平面内的一动点，若(
―→ PB
－
―→ PC
―→ )·( OB
＋
―→ OC
)＝(
―→ PC
－
―PA→)·(―O→A ＋―O→C )＝0，则O为△ABC的
()
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
(2)若
―→ AB
＝
2 2
(a
＋5b)，
―→ ·CD
＝－2＋6＝4，则向量 ―A→B
在向量
―C→D 上的投影
―→ ―→ ―→
பைடு நூலகம்
向量为
AB ·CD ―→ | CD |
·|―CC→DD |＝－25，65.故选B.
[答案] (1)C (2)B
利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例4] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且bsin A＝ 3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解] (1)由bsin A＝ 3acos B 及正弦定理sina A＝sinb B，得sin B＝ 3cos B， 所以tan B＝ 3，又0<B<π，所以B＝π3.
(2)∵
―→ BD
＝
―→ BC
＋
―→ CD
＝a
＋5b，∴
―→ AB
＝
2 2
―→ BD
，则
A，B，D三点共线．
[答案] (1)B (2)A，B，D
判定三角形的形状
[例6] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
[例3] (1)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)
＝－72，则|a |＝
()
A．2
B．4
C．6
D．12
(2)已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量―A→B 在向
量―C→D 上的投影向量的坐标为
()
A．25，65
B．－25，65 C．－25，－65 D．25，－65
(2)由sin C＝2sin A及sina A＝sinc C，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝ 3，c＝2 3.
三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则
推出一个命题的思维过程．在本章中，主要表现在利用向 量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形 状等问题中.
平面向量的基本概念 [例1] (多选)下列命题中，其中正确的是
()
A．a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b＝λa
B．e为单位向量，且a ∥e，则a ＝±|a |e
C．|a ·a ·a |＝|a |3
D．若a ·b ＝b ·c且b ≠0，则a ＝c [解析] 若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念
A．－14a －12b C．－34a －12b
B．14a ＋12b D．34a＋12b
()
[解析] (1)由题，可得―O→A ＝(－1,3)，―A→B ＝(3，－7)， 所以―O→P ＝―O→A ＋m―A→B ＝(3m－1,3－7m)． 又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝13，故选A． (2)如图，∵―M→B ＋3―M→A ＝0，
平面向量的线性运算
[例2]
(1)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，
―→ OP
＝
―O→A ＋m―A→B .若点P在y轴上，则实数m的值为
()
A．13
B．14
C．15
D．16
(2)在平行四边形ABCD中，
―→ AB
＝a，
―→ AD
＝b
，AC与BD
相交于点O，点M在AB上，且―M→B ＋3―M→A ＝0，则向量―OM→＝