第四版姜启源数学模型复习总结(2015年春)

第四版姜启源数学模型复习总结（2015年春）

【内容总结与思考】

第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。

数学建模实例的建模思想及其步骤

§1 数学模型的概念：

模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。

1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（

）。

1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（）

A。数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。

B。数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。C。数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。

D。数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。

1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（）

A。数学模型和数学建模是完全相同的概念。

B。数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。C。数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。

D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。

§2 建模的重要意义

（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.

数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。

例1-2-1 数学建模的具体应用为（）。§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位

置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）

矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，

(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。

例1-3-1 椅子放稳问题中椅子的位置是用用（ ）来表示的，最后问题归结为（ ）。

例1-3-2 连续的零点定理可叙述为（ ） 1-4 实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。

例1-4-1商人过河问题属于（ ），该类问题三要素为（ ），在商人过河问题中，这三要素分别是（ ） 1-5实例3-施救问题。

药物排除过程-指数衰减方程：0,(0)dx x x x dt

λ=-=，分离变量，积分得到，解0()t x t x e λ-=。

吸收-排除过程的方程：,(0)0dy x y y dt

λμ=-=。 求解过程：凑微分（完全积分法）

()00,()t t t dy d y x e e y x e dt dt λμμλμ--+== 积分得到()0(t)y(0)[1]t t x e y e μμλμλ

--=--，因此 00()(0)[][]t t t t t x x y t e y e e e e μλμλμμλμλ

-----=+-=--- 半衰期确定衰减系数：***00()/2,ln 2/t x t x e x t λλ-===

例1-6-1 药物施救问题的微分方程模型为（ ）， 其解为（ ）

例1-6-2

§7 建模方法与步骤

基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律

测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。

建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。

模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。

模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。

模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。

模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。

模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）

掌握框图：

四个环节：表述（Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题