任意角的三角函数的定义

附注
y
通过单位圆研究
T
三角函数的几何演
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A
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O
x 三角函数.gsp”文
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T'
因为 tan y AT( AT )，
x 所以 AT ( AT ' ) 称作角 的正切线 ．
练习 2（2） 在单位圆中作出下列各角的正切线 ．
π
（1） ；
3
T y
（2） 2π ． 3
tan y 3 ． x2
x
P（2，-3）
例 2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函数的定义可知，
sin ＝ y ，角 终边上点的纵坐标 y 的正、负 r
与角 的正弦值同号；
cos ＝ x ，角 终边上点的横坐标 x 的正、负 r
与角 的余弦值同号；
tan ＝ y ，则当 x 与 y 同号时，正切值为正， x
终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
r r r r x x
由于点 P，P 在同一象限内，
所以它们的坐标符号相同，因此得
y P
r P' y
r' y'
O x' x x
x x ，y y ，y y． r r r r x x
所以当角 不变时，不论点 P 在角 的
T y
π
3A OM x
M
A
O 2π
x
3
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（两种方法）． 3．任意角三角函数值的符号（记住口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
教材P138，练习 A 组，练习B 组．
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读书破万卷，下笔如有神--杜 甫
S3 求值 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）如图，
求角 的三个三角函数值．
y
解 已知点 P（2， -3），则
O
r OP 22 32 13．
sin y 3 3 13； r 13 13
cos x 2 2 13； r 13 13
(2) sin1.2， cos 3π ， tan 5π ．
4
6
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角 的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只
依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
于是我们有如下定义：
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点
的距离为 r.
比值
x
叫做角 的余弦.记作
r
cos x r
比值
y
叫做角 的正弦.记作
r
sin y r
y
比值 叫做角 的正切.记作
三角
三
三角
角
三角
5.2.1 任意角的三角函数的定义
初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)
B
斜
对
边
边
A 邻边 C
对边 sin A 斜边
邻边 cos A 斜边
对边 tan A 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的
当 x 与 y 异号时，正切值为负．
三角函数在各象限的符号如下图所示：
y
++
-o - x
sin
y
-+ -o + x
cos
y
-+ +o - x
tan
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
练习1 确定下列各三角函数值的符号：
(1)
sin( π ) ； 4
(2)
cos130 ；
(3)
tan 4π ． 3
解 (1) 因为 π 是第四象限角， 所以 sin( π ) ＜0.
4
4
(2) 因为 130 是第二象限角， 所以 cos 130 ＜0.
(3)
因为
4π 3
是第三象限角，
所以
tan
4π 3
＞0.
例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：
(1) sin67.5， cos372， tan (－86)；
P (cos , sin )
sin ＝ y ＝ MP，
A(1,0)
OM x
于是我们把规定了方向的线段
OM 称作角的余弦线，
MP 称作角的正弦线 .
练习 2（1） 在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线 ．
π
（1） ；
3
（2） 2π ． 3
y
P
π 3
OM x
y
M
O 2π
x
3
P
如何画正切线？
x
tan y x
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别
有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应
关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的
余弦函数、正弦函数和正切函数．
三角函数求值
计算三角函数值的步骤：
S1 画角 在直角坐标系中，作转角 ；
S2 找点 在角的终边上任找一点P，使 OP ＝1， 并量出该点的纵坐标和横坐标；