高中数学概率知识点及例题自己整理
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1.事件的关系:
⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ⊆;
⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ⊆⊆,,则事件A 与B 相等,记作A=B ;
⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ⋃(或B A +);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ⋂(或AB ) ;
⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ⋂为不可能事件(φ=⋂B A ),则事件A 与互斥;
⑹对立事件:B A ⋂为不可能事件,B A ⋃为必然事件,则A 与B 互为对立事件。
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型:基本事件的总数
包含的基本事件的个数A A P =)(; ⑶几何概型:等)区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的积等)的区域长度(面积或体构成事件A A P =
)( ; 3. 随机变量的分布列
⑴随机变量的分布列:
①随机变量分布列的性质:p i ≥0,i=1,2,...; p 1+p 2+ (1)
1 1
2 2 n n 方差:DX =⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ;
注:DX a b aX D b aEX b aX E 2
)(;)(=++=+;
③两点分布:
X 0 1 期望:EX =p ;方差:DX =p(1-p).
P 1-p p
① 超几何分布:
一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则
},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N k n M N k M ====-- 其中,N M N n ≤≤,。 称分布列
X 0 1 … m
P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N
m n M N m M C C C -- 为超几何分布列, 称X 服从超几何分布。
⑤二项分布(独立重复试验):
若X ~B (n,p ),则EX =np, DX =np (1- p );注:k n k k n p p C k X P --==)1()( 。
⑵条件概率:称)
()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。 注:①0≤P (B|A )≤1;②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率:P (AB )=P (A )P (B )。 ⑷正态总体的概率密度函数:,,21
)(22
2)(R x e x f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与
标准差;
(6)正态曲线的性质:
①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x =μ 对称;
③曲线在x =μ处达到峰值πσ21
;④曲线与x 轴之间的面积为1;
② 当σ一定时,曲线随μ质的变化沿x 轴平移;
③ 当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集中;
σ越小,曲线越“高瘦”
,表示总体分布越分散。 注:P )(σμσμ+≤<-x =0.6826;P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544; P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974 例题:
例1、袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;
(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记X 为摸出两球中白球的个数,求X 的期望和方差.
例2、甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有平局,在一局比赛中,甲胜乙的概率为
53,甲胜丙的概率为5
4,乙胜丙的概率为53,比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中,有人获胜两局就算取得比赛的胜利,比赛结束.
(I )求只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率;
(II )求只进行两局比赛,比赛就结束的概率;
(III )求甲取得比赛胜利的概率.
例3、一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查,若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品,而前三次中只要抽查到次品就停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.
(I )求这箱产品被用户拒绝接收的概率;
(II )记X 表示抽检的产品件数,求ξ的概率分布列.
例4、将3封不同的信投进A B C D 、、、这4个不同的信箱,假设每封信投入每个信箱的可能性相等
(1)求这3封信分别被投进3个信箱的概率;
(2)求恰有2个信箱没有信的概率;
(3)求A 信箱中的信封数量的分布列和数学期望.