2016年度高考导数压轴题终极解答
◇导数专题
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x
x
<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x
x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数a x x f -=2)(.
（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.
解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3
3
±=x .
'
所以当33=
x 时，)(x g 有最小值9
32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(2
11a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=
曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(112
1x x x a x y -=--.
令0=y ，得12122x a x x +=，∴12
1
11211222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1，∴
021
2
1
<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a
x x a x x a x x =?>+=+=
1
1111212222222 所以a x x >>21.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数22()(23)(),x
f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
⑵当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴.3)1(')2()(')(02
2
e f e x x x f e x x f a x
x
=+===，故，时，当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=
⑵[]
.42)2()('22x
e a a x a x x
f +-++=
.223
2
.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令
以下分两种情况讨论：
①a 若＞
3
2
，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f
.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数
②a 若＜3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数
3. 已知函数2
21()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f (x )=ln x －
a x
. (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
，求a 的值.
解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝
1x ＋2a x ＝2
x a x +. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝
2
x a
x
+， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝
32，∴a ＝－3
2
(舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－
a e ＝3
2，∴a ＝－2
e (舍去). ③若－e f ′(x )＝0，得x ＝－a . 当1 ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝3 2 ?a 综上可知：a . 5. （最值直接应用）已知函数)1ln(2 1)(2 x ax x x f +-- =，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间； （Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）(1) (),(1,)1 x a ax f x x x --'= ∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. 经检验，1 3 a =时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1 x f x x '= +. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21 1x a =-. 当10< 所以，()f x 的单调增区间是(0, 1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a -+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下： 所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a --和(0,)+∞. ③ 当0 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10< 1)a -，减区间是)0,1(-和1 (1,)a -+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1 (1,1)a --和(0,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10< (1)f a -， 由1 (1)(0)0f f a ->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减， 可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. 6. （2010北京理数18） 已知函数()f x =ln(1+x )-x + 2 2 x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间. 解：（I ）当2k =时，2 ()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x = -++ 由于(1)ln 2f =，3 '(1)2 f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3 ln 2(1)2 y x -=- 即322ln 230x y -+-= （II ）(1) '()1x kx k f x x +-=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2 '()1x f x x =+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得11(1,0)k x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 7. （2010山东文21，单调性） 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⑵当1 2 a ≤时，讨论()f x 的单调性. 解：⑴ln 20x y -+= ⑵因为 11ln )(--+-=x a ax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--=，),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2 a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－ 1 1 x x +-，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切． 解：（Ⅰ） ()1 ()1x x f x x ?+=--11ln -+-=x x x ，()()() 2 2 211121-?+=-+='x x x x x x ?． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ?'>∴函数()x ?的单调递增区间为()()∞+，和1 1,0． （Ⅱ）∵1 ()f x x '= ，∴001()f x x '=， ∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -= -, 即00 1 ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴101x e x = ，∴10ln x x =-,∴0ln 10 1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x - =+， 即0000 ln 1 1x y x x x x =++， ② 由①②得 00 ln 1ln 1x x x x -= +，∴0001 ln 1x x x +=-． 由（Ⅰ）可知，()x ?1 ln -- =x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011 e e e e e ?+-=-=<--，2222 2 213()ln 01e e e e e ?+-=-=>-， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ?=唯一0x ，故结论成立． 9. （最值应用，转换变量） 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性； (2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21) ax x x +-=． 当2a <-时，112a -<，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -，1 (,)2+∞． 当2a =-时，11 2a -=，减区间为(0,)+∞． 当20a -<<时，112a ->，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2，1(,)a -+∞． ⑵由⑴知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[1,3]上单调递减， ∴12,[1,3]x x ∈，12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1 (12)[(2)ln 36]3 a a a =+--++， 即12|()()|f x f x -≤2 4(2)ln 33 a a -+-． ∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立， ∴(ln 3)2ln 3m a +-＞24(2)ln 33a a -+-，即2 43ma a >-， 又0a <，∴2 43m a <-． ∵(3,2)a ∈--，∴132384339a -<-<-，∴m ≤133 -． 10. （最值应用） 已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2 (1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数 19 ()()ln 28 f x g x m x =+++（m R ∈，0x >）． （Ⅰ）求()g x 的表达式； （Ⅱ）若x R +?∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ?∈，，恒有12|()()|1H x H x -<． 解：（Ⅰ）设()2 g x ax bx c =++，于是 ()()()()2 2 11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121. a c ?=? ??=-?， 又()11g =-，则12b =-．所以()211 122g x x x =--． …………3分 （Ⅱ）() 2 191()ln ln (0). 282 f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ， 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分 当m =0时，2 ()02 x f x =>对0x ?>，()0f x >恒成立； …………5分 当m <0 时，由()0m f x x x x '=+=?= ，列表： []min ()2 m f x f m ==-+这时， []min 0()0e<0.2 m m f x m m ?-+>?>??- 所以若0x ?>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，． 故0x ?>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞U ，．…………9分 （Ⅲ）因为对[1]x m ?∈，，(1)() ()0x x m H x x --'= ≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减． 于是21211 |()()|(1)()ln . 22H x H x H H m m m m -≤-=-- 2121113 |()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m - 记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤，则() 2 2 1133111()022332h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13 ()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， 所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e h m h -+≤=--=<，故命题成立． …………12分 11. 设3x =是函数()() ()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （2）设()2250,4x a g x a e ??>=+ ??? ，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围. 解：（1）∵()() 2 3x f x x ax b e -=++ ∴()()()()' ' 32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x x a x b a e -??=-+-+-?? 由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()' 0f x =得13x =，21x a =-- ∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠- 故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-. 当4a <-时，213x a =-->，由()' 0f x >得单增区间为：()3,1a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),3-∞和()1,a --+∞； 当4a >-时，213x a =--<，由()' 0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),1a -∞--和()3,+∞； （2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递 减，{},)32()4(),0(min )(3 min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+, ∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3 ++-a e a . 易知()2 254x g x a e ??=+ ??? 在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2 242525,44a a e ????+ + ??????? . 由于()2 22516042a a a ??? ?+-+=-≥ ? ???? ?， 又∵要存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-<成立， ∴必须且只须()202561 4a a a >? ? ???+-+< ??? ??解得:302a <<. 所以，a 的取值范围为30,2?? ??? . 12. 2()()()x f x x ax b e x R =++∈． （1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值； （2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确 定()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设0a >，函数2 4 ()(14)x g x a e +=+．若存在]4,0[,21∈λλ使得 1|)()(|21<-λλf f 成立，求a 的取值范围． 解:（1）∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++ 当2,2a b ==-时，2()(22)x f x x x e =+-, 则'()f x 2(4)x x x e =+. 令'()0f x =得2(4)0x x x e +=，∵0x e ≠,∴240x x +=，解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >， 当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，4 6()f x e 极大＝ ， 当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小． （2）由（1）知2 ()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =-- 则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =-- ∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- . 当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈-- 当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知： 当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a --。 （3）由2）知：当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增， ∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)x be a =-+0<，4 (4)(213)0f a e =+>， ∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4 [(2),(213)]a e a e -++] 又24 ()(14)x g x a e +=+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是2 4 2 8 [(14),(14)]a e a e ++. ∵2 4 (14)a e +－4 (213)a e +＝2 4 (21)a a e -+＝2 4 (1)0a e -≥， ∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须 24(14)a e +－4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ?- .22 1111a e e ?-<<+． 13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a ∈R . ⑴当1 2 a ≤ 时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2 ()2 4.g x x bx =-+当14 a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥， 求实数b 取值范围. 解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数. ⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222 l 11 ()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2 ()1(0)h x ax x a x =-+-> ①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. ②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a ==-. 当1 2a = 时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<时，1 110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1 (1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增； 1 (1,)x a ∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减. 当0a <时1 10a -<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减； 当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增； 当1 2a = 时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1 (1,)a -+∞递减. ⑵当1 4 a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11 ()(1)2 f x f =-≥， 又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21 ()2 g x -≥，[]21,2x ∈，（※） 又22 ()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈ 当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾； 当[]1,2b ∈时，2 min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾； 当2b >时，min 117()(2)84,28 g x g b b ==-≤-≥. 综上，实数b 的取值范围是17 [ ,)8+∞. 14. 设函数11ln )(--+-=x a ax x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当21 0< （Ⅲ）当31=a 时，设函数12 52)(2 --=bx x x g ，若对于e x ,01（∈ ?]，∈?2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+ 解：函数)(x f 的定义域为)0(∞+， ，211)(x a a x x f ---=' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ， 11 )(-='x x f ，∴000001ln 11)(x x x x x f --=-=' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22 e e -， （Ⅱ）22 1)(x a ax ax x f -++-= '2 2)1)(1() 1)(1(x a a x x a x a ax x -- -- =+---= ∵210<--a a