文科数学高考第一轮复习指数与指数函数
高考文科数学一轮复习：指数与指数函数
+2-2×
2
1 4
1 2
-(0.01)0.5;
(2)
5 a 13b-2·(-3 a
1 2
2
1
b-1)÷(4 a 3b-3 );2
6
(a
2 3
b1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
(3)
6 ab5
.
1
1
解析
(1)原式=1+ 1×
4
4 9
2
-
1 100
答案 B
解析
4
b=
1 2
3
,而函数y=
1 2
x
在R上为减函数,4 > 2> 1,所以
332
4
2
1 2
3
<
1 2
3
<
1
1 2
2
,即b<a<c.
命题方向二 指数型复合函数的单调性
典例4
(1)函数f(x)=
(3)原式= a
3b2a 2b3
15
a6b6
规律总结
11 1
115
1
= a 3 2 6 · b2 3 6 = .
a
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答. ▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又 含有负指数,形式力求统一.
高三第一轮复习指数及指数函数课件
THANKS
感谢观看
当 $a > 1$ 时，函数图像位于第 一象限和第四象限；当 $0 < a < 1$ 时，函数图像位于第一象 限和第二象限。
指数函数的过定点性质
无论 $a$ 的值是多少，函数图像 都会经过点 $(0,1)$。
指数函数的应用实例
01
02
03
复利计算
复利计算中，本金和利息 一起作为下一次的本金来 计算利息，可以使用指数 函数进行计算。
指数函数的图像与性质
指数函数的基本形式
$y = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$
指数函数的单调性
当 $a > 1$ 时，函数在 $mathbf{R}$ 上单调递增；当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $mathbf{R}$ 上单调递减。
01 02 03 04
指数函数的图像特点
详细描述：提升练习题在基础练习题的基础上，增加了难度和综合性，旨在提高学生的解题能力和思维水平，帮助学生掌握 更复杂的问题解决技巧。
综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合练习题涉及的知识点更为广泛和深入，需要学生综合运用指数及指数函数的知识和其 他数学知识，解决复杂的问题。通过这类练习，可以提高学生的综合运用能力和问题解决能力。
复杂指数不等式的转化
将复杂的指数不等式转化为更容易处理的形式，如通过化简、分离 参数等手段。
指数函数与其他函数的综合应用
复合函数
理解复合函数的概念，掌 握如何将复合函数转化为 更简单的形式。
函数图像
理解指数函数图像的特点 ，掌握如何利用图像解决 一些实际问题。
导数与微积分
理解导数的概念和性质， 掌握如何利用导数研究函 数的单调性、极值等性质 。
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第5讲指数与指数函数课件
1
2
D，左边＝a3 ÷a－3 ＝a1＝a，左边＝右边．故选 D．
3．(必修 1P107T2 改编)设 a>0，将
a2 表示成分数指数幂，其结
3
a·
a2
果是
( C)
A．a12
B．a56
C．a76
D．a32
[解析] 由题意得
a2
＝a2－12
－1 3
＝a67
，故选 C．
3
a·
a2
4．(必修 1P109T4 改编)化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝__－__2_x_2y___.
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有__两__个___，
它们互为__相__反__数___
±n a
零的 n 次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式 __a__，n为奇数，
①n an＝|a|＝____－a____a_a_≥a<00，， n为偶数.
②(n a)n＝__a__(注意 a 必须使n a有意义)．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．
m
m
(3)a－n ＝－an (n，m∈N*)．
(× ) (× ) (× )
考点突破·互动探究
考点一
例1
指数与指数运算——自主练透 (1)(多选题)下列命题中不正确的是
A．n an＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
一轮基础知识复习12、指数与指数函数课件
x
1 2
＋x
1 2
＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
3
3
x 2＋x 2＝(
1
x2
)3＋(
x
1 2
)3＝(
1
x2
＋ 1
x2
)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴
3
3
x2 x 2 3
x2 x 2
＝13.
总结：指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数
√A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
2
2
2
解析 a＝43 ，b＝45 ，c＝53 ，
∵y＝4x 在 R 上单调递增，23>52，
2
2
∴ 43 > 45 ，即a>b，
2
∵y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，4<5，
2
∴43
2
< 53
，即a<c.∴b<a<c.
例题3、若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为
√C.1<b<a
D.1<a<b
解析 ∵当x>0时，1<bx，∴b>1. ∵当 x>0 时，bx<ax，∴当 x>0 时，abx>1. ∴ab>1，∴a>b，∴1<b<a，故选 C.
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
高考数学一轮复习：2.5指数与指数函数课件(文) (共39张PPT)
知识梳理
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a ②负分数指数幂：a
m n
n
＝________(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
1
m
am
1
m － n
am a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； ＝________ ＝________( a n
n
0 无意义． ③0 的正分数指数幂等于________ ，0 的负分数指数幂________
5 3 －1＝2－2－1＝0.
1 3 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 5
(2)原式＝
a －2b a×a ÷ × 1 1 1 1 1 1 a 3 2 3 3 3 2 2 3 a ＋a ×2b ＋2b a ×a a
1 3
1 3
[a －2b ]
1 3 3
＝a
易错剖析
n n 根式化简与指数运算的误区：混淆“ an”与“( a)n”；误用性质． 4 (1) a－b4＝____________________________；
7 (2)化简[(－2) ] －(－1)0 的结果为________ ．
1 6 2
a－ba≥b， |a－b |＝ b－aa<b
1 3
a 3 3 2 (a －2b )× 1 1 × 1 ＝a ×a×a ＝a . a 3 －2b 3 a 6
1 3
a
5 6
1
2
归纳小结
[点石成金] 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是 带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答． 易错提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数，形式力求统一．
2025年高考数学一轮复习-第10讲-指数与指数函数【课件】
对于 B，y＝ 143x－1的值域是[0，＋∞)； 对于 C，y＝121－2x的值域是(0，＋∞)；
对于 D，y＝ 1－3x的值域是[0，1).
(C)
5．函数y＝ax+2 024＋2 024(a＞0，a≠1)的图象恒过定点___(_－__2_0_2_4_，__2__0_2_5_)___．
1．根式
在(－∞，＋∞)上是__增__函__数____
在(－∞，＋∞)上是__减__函__数____
举题说法
指数式的求值与化简
1 指数式的求值与化简．
(1) －287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)-1＋π0＝_－__1_69_7___． 【解析】原式＝－32－2＋50012－( 51－0(2)5(＋52＋) 2)＋1＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
图(2)
1．(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，则下列关系式可能成立的是
( ABD )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．a＝b
【解析】如图，观察易知a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
2．函数y＝2|1-x|的图象大致是
(A )
A
B
C
D
【解析】函数 y＝2|1-x|＝221x--1x，，xx≤＞11，， 所以当 x＞1 时，y＝2x-1 是增函数，当 x≤1 时，
指数函数的图象及应用
2 已知函数f(x)＝|2x－1|. (1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】由 f(x)＝|2x－1|＝21x－－21x， ，xx≥ ＜00， ， 作出函数 f(x)的图象如 图(1)所示，因此函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单 调递增．
2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(知识点讲解)解析版
专题3.5 指数与指数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．【知识点展示】1．根式(1)根式的概念若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒n n1)n n1)x⎧>⎪=⎨>⎪⎩当为奇数且当为偶数且【特别说明】：(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．n为偶数，a为非负实数n为奇数，a为任意实数，且na符号与a的符号一致2．有理数指数幂3函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.【特别提醒】形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象和性质函数的定义域为R；值域为(0，＋∞)5．常用结论（1）指数函数图象的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1 (1,)a -.（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【常考题型剖析】题型一 根式的化简与求值例1.（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）（1）49的平方根为7； （2a (a ≥0)；（3）5155a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （4）13(3)=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为55a b -；（4）符号错误 【详解】49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；555aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，（3133，(4)错，正确个数为1个，故选：A例2．化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3. 【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1.【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对n a n 的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤题型二： 指数幂的化简与求值例3．（2022·河南·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A ．()22239a b a b +=+ B ．336325a a a += C ．248a a a ⋅=D ．()362328a b a b =【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则解答即可. 【详解】A 、222(3)96a b a ab b +=++，故A 错误；B 、333325a a a +=，故B 错误；C 、246a a a ⋅=，故C 错误；D 、2363(2)8a b a b =，故D 正确. 故选：D例4.（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a .【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-. 【规律方法】1.指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x−1，(x +x−1)2=x 2+2+x−2，x 32+x−32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形． 题型三：指数函数的概念例5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设()xf x a =，且()12f =，则()()02f f +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得函数()2xf x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x a =，因为()12f =，可得()112f a ==，解得2a =，即()2xf x =，所以()()0202225f f +=+=.故选：B.例6．（2022·浙江金华·模拟预测）已知a ∈R ，函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，(3)f =___________；若((2))2f f =，则=a ___________.【答案】 4 0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得； 【详解】解：因为()24,22,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，所以3(3)244f =-=，2(2)240f =-=，(0)||2f a =+， 即((2))(0)||22f f f a ==+=，所以0a =， 故答案为：4；0.题型四：指数函数的图象及应用例7.（2020·山东高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上递增. 注意到01a =， 所以B 选项符合. 故选：B例8．（2022·陕西咸阳·三模（文））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()22x x f x x-+=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断()f x 奇偶性，结合(1),(3)f f 大小判断(0,)+∞上是否递减，即可得答案. 【详解】由定义域为{|0}x x ≠，则()2222()()x x x xf x f x x x ----++-==-=--，所以()f x 为奇函数，排除A 、C ； 而565(1)(3)224f f =<=，故()f x 在(0,)+∞上不递减，排除B. 故选：D例9．（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①x y a =，①x y b =，①x y c =，①x y d =的图像，则a ，b ，c ，d 与0和1的大小关系是（ ）A ．01a b c d <<<<<B ．01b a d c <<<<<C ．1a b c d <<<<D ．01a b d c <<<<<【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性分析得到c ，d 大于1，a ，b 大于0小于1，再通过取1x =得到具体的大小关系．【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知c ，d 大于1，a ，b 大于0小于1． 又由图可知11c d >，即c d >．11b a <，即b a <．a ∴，b ，c ，d 与1的大小关系是01b a d c <<<<<．故选：B ．例10.（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.例11.（2021·湖南高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出[]0,2x ∈的图象，再根据一次函数的特点作出(]2,4x ∈的图象即可； （2）当02m ≤≤时，解不等式22m ≥，当24m <≤，解不等式822x -≥即可求解. 【详解】（1）函数()f x 的图象如图所示：（2）()2,0282,24m m f m m m ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，当02m ≤≤时， ()22mf x =≥，可得：12m ≤≤，当24m <≤，()822f x x =-≥，可得：23m <≤，所以()2f m ≥的解集为：{}|13m m ≤≤， 所以m 的取值范围为{}|13m m ≤≤. 【总结提升】 1. 常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 3.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．题型五：指数函数的性质及应用例12.（2016·全国·高考真题（理））已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =， 因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <，故选：A.例13.（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.例14.（2017·全国·高考真题（理））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,)4-+∞【解析】【详解】 由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.例15.（2014·全国·高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______________. 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得()2f x ≤成立的的取值范围是．故答案为．例16．（2015·福建·高考真题（文））若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：根据(1)(1)f x f x +=-可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.【总结提升】1. 底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用导数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．2. 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞ag (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．与指数函数有关的复合函数的单调性3.形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：(1)若a ＞1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；(2)若0＜a ＜1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”． 4.与指数函数有关的复合函数的值域形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t 的单调性确定y ＝af (x )的值域．。
2025年高考数学一轮复习-第三章-第四节-指数与指数函数【课件】
没有意义
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________.
r+s
r
s
a
(3)有理数指数幂的运算性质:a ·a =____,(ar)s=
rb r
r
a
(ab) =_____(其中a>0,b>0,r∈Q).
rs(其中a>0,r,s∈Q)
a
__________________,
2
2
得到f(x)=
1 |x+1|
( ) 的图象.
2
(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成
立的是(
)
A.a=b=0
B.a<b<0
C.0<a<bΒιβλιοθήκη D.0<b<a
【解析】选ABD.如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故选ABD.
考向
高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指
考法
数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.
预计2025年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的
预测
识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点,题型为选择题
或填空题.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.指数与指数运算
4
1
-3
x
1
x
所以2 ≤2 ≤2 ,所以函数y=2 的值域是[ ,2].
8
4 , ≥ 0,
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=ቊ −
年高考第一轮复习计划数学指数及指数函数
指数与指数函数●知识梳理 1.指数〔1〕n 次方根的定义假设x n=a ，那么称x 为a 的n 次方根，“n〞是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方 根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶 次方根.〔2〕方根的性质 ①当n 为奇数时，na n =a.②当n 为偶数时，na na (a 0),=|a|=(a 0).a〔3〕分数指数幂的意义m①a n =n a m〔a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1〕.m 11②a n=m = 〔a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1〕.a n n a m2.指数函数〔1〕指数函数的定义一般地，函数y=a x〔a ＞0且a≠1〕叫做指数函数.〔2〕指数函数的图象 〕y ( y=a xyx a>1y=a(0＜a ＜1)11OxOx底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.3〕指数函数的性质①定义域：R.②值域：〔0，＋∞〕.③过点〔0，1〕，即x=0时，y=1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当 0＜a ＜1时，在R 上是减函数.●点击双基1.3a·6a等于A.－aB.－aC.aD. a111 11解析：3a ·6 a =a 3 ·〔－a 〕6 =－〔－a 〕3 6=－〔－a 〕2.答案：Ax2.〔2003年郑州市质量检测题〕函数y=23 的图象与直线 y=x 的位置关系是yyOxOxAByyO x O xxC D解析：y=23=〔 3 2 〕 x .∵32＞1，∴不可能选D.xx又∵当x=1时，23 ＞x ，而当x=3 时，23 ＜x ，∴不可能选 A 、B.答案：C3.〔2004年湖北，文5〕假设函数y=a x +b －1〔a ＞0且a ≠1〕的图象经过二、三、四象限，那么一定有＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 ＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0解析：作函数y=a x +b －1的图象.答案：C4.〔2004年全国Ⅱ，理A.与y=e x 的图象关于C.与y=e －x 的图象关于6〕函数y=－e x 的图象y 轴对称B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称y 轴对称 D.与y=e －x 的图象关于坐标原点对称解析：图象法 .答案：D5.〔2004年湖南，文16〕假设直线y=2a 与函数y=|a x －1|〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么a 的取值范围是___________________.解析：数形结合 .由图象可知 0＜2a ＜1，0＜a ＜1. 2答案：0＜a ＜126.函数y=〔1〕x 22x2的递增区间是___________.2解析：∵y=〔1〕x在〔－∞，+∞〕上是减函数，而函数y=x2－2x+2=〔x－1〕2+1的2递减区间是〔－∞，1］，∴原函数的递增区间是〔－∞，1］.答案：〔－∞，1］●典例剖析【例1】以下图是指数函数〔1〕y=a x，〔2〕y=b x，〔3〕y=c x，〔4〕y=d x的图象，那么a、b、c、d与1的大小关系是y(1) (2)(3)(4)1OxA.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜c＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c剖析：可先分两类，即〔3〕〔4〕的底数一定大于1，〔1〕〔2〕的底数小于 1，然后再从〔3〕〔4〕中比拟c、d的大小，从〔1〕〔2〕中比拟a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，b＜a＜1＜d＜c.答案：B【例2】2x2x≤〔1〕x－2，求函数y=2x－2－x的值域.42－〔－〕－解：∵2xx≤22x2，∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y=2x－2x是［－4，1］上的增函数，∴2－442－2－1255，3］.－2≤y≤.故所求函数y的值域是［－216【例3】要使函数y=1+2x+4x a在x∈〔－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈〔－∞，1］上恒成立，即a＞－12x在x∈〔－4x∞，1］上恒成立.又∵－12x=－〔1〕2x－〔1〕x=－［〔1〕x+1］2+1，当x∈〔－∞，4x222241］时值域为〔－∞，－3］，∴a＞－3. 44评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.●闯关训练夯实根底x1.f〔x〕=a，g〔x〕=－log b x，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，那么y=f〔x〕与y=g〔x〕的图象A.关于直线x+y=0C.关于y轴对称对称 B.关于直线x－y=0对称D.关于原点对称解析：lga+lgb=0 ab=1.g 〔x 〕=－log b x=－log a －1x=log a x.f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象关于y=x 对称.答案：B2.以下函数中值域为正实数的是A.y=－5xC.y= (1)x12B.y=〔1〕1－x3D.y= 12x解析：∵y=〔1〕x的值域是正实数，而1－x ∈R ，∴y=〔1〕1－x 的值域是正实数 .33答案：Ba 3b 23ab23.化简11〔a ＞0，b ＞0〕的结果是___________________.(a42 43 bb ) a31 131 1104 解析：原式 =a 2b[(ab 2)3]2a 2ba 6b3a 6b3a1=27=27=.ab 2(b )3a 3b 3a 3b 3ba答案：ab4.满足条件m m 2 ＞〔m m 〕2的正数m 的取值范围是___________________.解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1.综上所述，m ＞2或0＜m ＜1.答案：m ＞2或0＜m ＜1 5.〔2004年湖北，理7〕函数f 〔x 〕=a x +log a 〔x+1〕在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，那么a 的值为A.1 14B.2解析：〔fx 〕在［0，1］上是单调函数，由〔f0〕+f 〔1〕=a1+log a 1+a+log a 2=alog a 2=－1a=1.2答案：B6.9x－10·3x+9≤0，求函数y=〔1〕x －1－4〔1〕x +2的最大值和最小值.42解：由9x－10·3x+9≤0得〔3x－1〕〔3x－9〕≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x ≤2.令〔1〕2x=t ，那么1≤t ≤1，y=4t 2－4t+2=4〔t －1〕2+1.当t=1即x=1时，y min =1；当t=1即x=0时，4 22y max =2.培养能力2x1x1≤0〔a＞02x x的值域.7.假设a+2·a－2且a≠1〕，求y=2a－3·a+4解：由a2x+1·a x－1≤0〔a＞0且a≠1〕知0＜a x≤1. 222令a x=t，那么0＜t≤1，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知y∈［3，4〕. 2x x8.〔2004年全国Ⅲ，18〕解方程4+|1－2|=11.原方程x x2x 1±412x=1－41＜0〔无解〕或2x=141＞4－2－10=0=222+2221知x＞0〔无解〕.当x＞0时，1－2x＜0.原方程4x+2x－12=02x=－1±72x=－4〔无解〕或2x=3x=log23〔为原方程22的解〕.探究创新－x－x9.假设关于x的方程25|+1|－4·5|+1|－m=0有实根，求m的取值范围.解法一：设y=5－xy2－4y－m=0在〔0，1］内有实根. |+1|，那么0＜y≤1，问题转化为方程设f〔y〕=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f〔0〕＞0且f〔1〕≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈〔0，1］，∴m=〔y－2〕2－4∈［－3，0〕.●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=a x〔a＞0，a≠1〕的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.13.指数函数的定义重在“形式〞，像y=2·3x，y=2x，y=3x2，y=3x+1等函数都不符合形式y=a x〔a＞0，a≠1〕，因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比拟大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论 .用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a2x+b·a x+c=0或a2x+b·a x+c≥0〔≤0〕的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元〞的范围.拓展题例1ab【例1】假设60a＝3，60b＝5.求122(1b)的值.解：a=log603，b＝log605，1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，1a b＝log604 1b ＝log124，log60121a b1log124＝12log122＝2.122(1b)＝122【例2】方程2x=2－x的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象〔如以下图〕. y21O 1 2 x由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.。
2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(真题测试)含详解
专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误； 故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误； 又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确； 故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】 【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断； 【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误； 对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立； 对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立； 故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】 【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解； 若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【解析】 【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<， 所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，） 【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，）， 所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】 【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<， 所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数， 所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数， 所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第5节指数与指数函数教师用书
第五节 指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．( × )(2)(－1)＝(－1)＝．( × )(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝2x 是指数函数．( √ )(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________． 解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－ 解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1 指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD 解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－ 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2 指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A 解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD 解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤ 解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3 指数函数的性质及应用——应用性考向1 比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A 解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2 解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0} 解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3 指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1] 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞) 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4 指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－ 解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C 解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。
备战2024年高考数学一轮复习13、指数函数与对数函数
指数函数与对数函数知识回顾：1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 互为 ，其图象关于直线 对称 典型例题分析：一、指对函数的图象及性质应用例1、已知实数,a b 满足等式11()()23ab=，下列五个关系式（1）0b a <<（2）0a b <<（3）0a b <<（4）0b a <<（5）a b = 其中不可能成立的关系式有A 、4个B 、1个C 、2个D 、3个 例2、对于函数()f x 定义域中任意1212,,()x x x x ≠，有如下结论 （1）1212()()()f x x f x f x += （2）1212()()()f x x f x f x =+ （3）1212()()0f x f x x x ->- （4）1212()()22x x f x x f ++<当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 。
例3、如图，是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =， （1） （2） （3） （4） （4）x y d =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系是 A 、1a b c d <<<<0 B 、1b a d c <<<< C 、1a b c d <<<< 2 D 、1a b d c <<<< 3例4、若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则A 、2,2a b ==B 、2a b ==C 、 2,1a b ==D 、a b ==例5、方程log 2(01)a x x a =-<<的实数解的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 例6、函数2xy -=的单调递增区间是A 、(－∞,+∞)B 、(－∞, 0)C 、(0, +∞)D 、不存在例7、当a ＞1时,函数x y a -=与log a y x =的图像是 ( )例8、设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 取值范围是 A 、(－∞,0) B 、(0, +∞) C 、(－∞,log 3a ) D 、（log 3a , +∞） 例9、函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 A 、12 B 、2 C 、4 D 、14例10、已知不等式2log (21)log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围是 A 、1(0,)3 B 、1(0,)2 C 、1(,1)3 D 、11(,)32二、比较大小例1、若92log 3a =, 8log b =14c =，则这三个数的大小关系是 A 、a c b << B 、a b c << C 、c a b << D 、c b a <<例2、若60a =︒, 2log sin30b =︒, 3log 45c tg =︒，则,,a b c 的大小关系是（ ）。
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －m n＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域________值域________性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________当x >0时，□11________；当x <0时，□12________在(－∞，＋∞)上是□13________在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.n a n 与(n a )n 都等于a (n ∈N *)．()2．2a ·2b ＝2ab .()3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．()4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .()题组二教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是()A ．a 43a 34＝a B ．a ÷a 23＝a 32C ．a 23a-23＝0D ．(a 14)4＝a 2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y 的一个是()。
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
[易错与防范] 1．指数函数的单调性取决于底数 a 的大 小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0 ＜a＜1 和 a＞1 两种情况分类讨论． 2．对与复合函数有关的问题，要弄清复 合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一 定要注意函数的定义域． 3．对可化为 a2x＋b·ax＋c＝0 或 a2x＋b·ax ＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元 法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
13
例 2、(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( A )
A
B
C
D
(2)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图，其中 a，b 为常数，
则下列结论正确的是( D )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
14
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则 下列关系式中一定成立的是( )
∵f(x)在[-1,1]上是增函数
1 f(x)minf(1)
a2a1(a1
a)
a g1 a2 a2 1 a
b1 ∴b的取值范围是（-∞，-1）
27
[思想与方法] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的， 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指 数幂进行根式的化简运算． 2．判断指数函数图象上底数大小的问题， 可以先通过令 x＝1 得到底数的值再进行比较．
29
DC．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
讨论函数f(x)=|3x－1|的单调性.
o
x
18
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
y
o
x
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则 下列关系式中一定成立的是( )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0.
二．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
(1)过定点 (0,1)
(2)当x>0时，y>1
(2)当x>0时，0<y<1
x<0时，0<y<1
x<0时，y>1
(3)在(－∞，增＋函∞数)上是
(3)在(－∞，＋∞)上是
减函数
问题 1：指数函数 y＝ax 与 y＝(1a)x(a>0 或 a≠1)的图象有何关系？
∴0<3c<1<3a，
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1
∵f(c)>f(a)
∴1－3c>3a－1
即3c＋3a<2.
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( )
D
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
讨论函数f(x)=|3x－1|的单调性.
(2)正数的负分数指数幂： 11
m
a－ n
m
＝ an
n ＝
am
(a＞0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)．
(3)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂
无意义
2．有理指数幂的运算法则： (1)aαaβ＝ aα＋β (a＞0，α，β∈Q)； (2)(aα)β＝ aαβ (a＞0，α，β∈Q)； (3)(ab)α＝ aαbα (a＞0，b＞0，α∈Q)．
【新坐标】
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
复习四 指数与指数函数
考纲要求
考情分析
1、理解有理指数幂的含义，了 解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算；
2、了解指数函数模型的实际背 景，理解指数函数概念及其单 调性，掌握指数函数图像通过 的特殊点；
3、体会指数函数是一类重要的 函数模型。
4、会解简单的指数方程，能利 用数形结合思想判断方程解的 个数，会求与不等式相结合的 代数式的最值或参数的取值范 围等。
例 2、(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( A )
A
B
C
D
(2)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图，其中 a，b 为常数，
则下列结论正确的是( D )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则 下列关系式中一定成立的是( )
本节内容在高考中的重点是指数 函数的图像、性质以及简单的应 用，但幂的运算是解决与指数有 关问题的基础，也要引起重视， 另外由于底的取值不同，函数的 单调性也不相同，因此，分类讨 论的思想也是本节中的一个重点 学习内容。高考中，可能以选择 题、填空题的形式考查，也可能 与方程、不等式等知识结合出现 在解答题中。
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既 有分母又有负指数幂．
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
关于y轴对称
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
(2)当n为奇数时，n an＝ a ；
a a≥0 当n为偶数时，n an＝|a|＝ －a a＜0. (3)负数的偶次方根在实数范围内不存在． (4)零的任何次方根都是零．
二、有理指数幂 1．分数指数幂的表示： (1)正数的正分数指数幂：
a1n＝n a(a＞0)；
m
an ＝
n amΒιβλιοθήκη (a＞0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)．
c1>d1>1>a1>b1 ∴c>d>1>a>b 即无论在y轴的左侧还是右侧， 底数按逆时针方向变大．
考点1 指数幂的运算
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1．化简原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序． 2．结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数 指数幂表示；
一、指数幂的概念 1．根式：如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n＞1，n
∈N＋)，则 x 叫作a的n次方根
．当n a有意义时，n a叫
作_根__式___，n 叫作 根指数 ．求 a 的几次方根，叫作把 a 开几
次方，称作开方运算．
2．根式的性质：
n (1)(
a)n＝
a
(n＞1，且n∈N＋)．