向量值函数的极限值
普通向量和向量值函数的相同点和不同点的关系
普通向量和向量值函数的相同点和不同点的关系1. 引言在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，它在许多领域中都有重要的应用。
在向量的研究中，有两种常见的概念：普通向量和向量值函数。
本文将探讨普通向量和向量值函数的相同点与不同点的关系。
2. 普通向量普通向量是指一个具有大小和方向的量，常用箭头表示，如a→。
普通向量可以在几何空间中进行运算，包括加法、减法、数乘和点积等操作。
普通向量包含以下特点：2.1 大小和方向普通向量有大小和方向之分。
大小表示向量的长度，常用模表示，记作||a||。
方向表示向量所指向的方向，通常用单位向量表示。
2.2 加法运算普通向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新的向量。
两个向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之和，方向由两个向量之间的夹角决定。
2.3 减法运算普通向量的减法运算是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
两个向量相减的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之差，方向由两个向量之间的夹角决定。
2.4 数乘运算普通向量的数乘运算是指一个向量与一个标量的乘积。
数乘的结果是一个新的向量，其大小等于原向量的大小乘以标量的绝对值，方向与原向量的方向相同（如果标量为正数）或相反（如果标量为负数）。
2.5 点积运算普通向量的点积运算是指两个向量之间的乘积。
点积的结果是一个标量，其大小等于两个向量的大小之积乘以它们之间的夹角的余弦值，方向为无。
3. 向量值函数向量值函数是指一个定义域为实数集合的函数，其值为向量。
向量值函数可以将实数映射到向量空间中的向量。
向量值函数包含以下特点：3.1 定义域和值域向量值函数的定义域为实数集合，通常表示为连续的一段区间。
值域为向量空间中的向量。
3.2 图像和轨迹向量值函数的图像是指将定义域中的每个实数映射到值域中的一个向量，从而形成的全部向量。
当定义域为一维时，图像通常可以用曲线表示。
当定义域为二维时，图像通常可以用曲面表示。
向量函数的知识点总结
向量函数的知识点总结一、向量函数的定义向量函数是一个映射，它把一个或多个自变量映射到一个或多个向量上。
一般地，向量函数可以表示为：f: R^n -> R^m其中，f 是一个向量函数，R^n 和 R^m 分别表示 n 维和 m 维的实数向量空间，即 n 维向量和 m 维向量的集合。
向量函数可以表示为分量函数的形式，即：f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))其中，f(t) 表示向量函数在 t 时刻的取值，f1(t), f2(t), ..., fn(t) 分别表示向量函数在 t 时刻的各个分量的取值。
向量函数可以描述物体的运动、力的作用、电磁场的分布等各种物理现象。
二、向量函数的性质1. 连续性：向量函数 f(t) 在定义域上是连续的，即对于任意 t0 属于定义域，当 t 属于定义域时，f(t) 趋近于 f(t0)。
2. 可微性：向量函数 f(t) 在定义域上是可微的，即对于任意 t0 属于定义域，当 t 属于定义域时，f(t) 在 t0 处有导数存在。
3. 可积性：向量函数 f(t) 在定义域上是可积的，即对于定义域上的任意闭区间 [a, b]，f(t) 在 [a, b] 上可积。
4. 线性性：向量函数 f(t) 具有线性性质，即对于任意实数 k，向量函数 f(t) 满足 f(kt) =kf(t)。
5. 极限和导数：向量函数 f(t) 的极限和导数可以通过分量函数的极限和导数来进行计算，即对于 f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))，其极限和导数分别为 lim(f(t)) = (lim(f1(t)), lim(f2(t)), ..., lim(fn(t)))，f'(t) = (f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t))。
三、向量函数的应用向量函数在物理学、工程学和数学等领域中有广泛的应用，下面将介绍一些典型的应用：1. 运动学问题：向量函数可以描述物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。
台风路径中的向量值函数
台风路径中的向量值函数摘要：試图结合现在的教学实践，用向量值函数和概率论来解释台风运行路径的预报及其作用。
关键词：向量值函数；大数据中的概率论；台风路径预报1.1引言2018年的夏天是注定多灾多难的一个夏天，很多网友戏称这个夏天捅了台风窝了。
今年夏天不仅仅是台风多而且出现了很多超级台风对全世界都造成了很大的经济损失，所以这时候的台风预报和台风行径路径预报就变得十分重要了。
在高等教育的教学中有两门非常常见的科目概率论与数理统计以及微积分，很多学生一直觉得这两门课又难又没有实际意义实际上我们的生活中处处都有他们的影子，就台风的路径预报中这两门课就有很重要的价值体现。
1.2 向量值函数1.2.1向量值函数是一个大学微积分学习中必须要学会的函数，它主要是出现在多元函数的微分在几何上的应用中。
给定一个数集，称映射为一元向量值函数（简称向量值函数），记为。
1.2.2向量值函数的性质：向量值函数的极限，连续性和导数都与各分量的极限，连续性和导数都密切相关：1.2.3向量值函数的几何意义：已知空间有一条曲线的参数方程记作，的向量值方程实际上就是以原点为起点以曲线上的点为终点构成的向量集，所以曲线是向量值函数的终端曲线。
1.2.4向量值函数导数的物理意义：设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量，则有：速度向量，加速度向量。
1.3.1概率论：我们知道对于一个事件（除了必然事件和不可能事件以外）而言除任何一事件在一次试验中有可能发生，也有可能不发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性大小，为此我们引入了频率，它描述了事件发生的频繁程度。
大量的试验证实，当重复试验的次数增多，频率呈现稳定性，这种“频率的稳定性”就是我们通常所说的统计性规律。
我们通过频率的这一特征给出了表示事件发生可能性大小的概率定义。
1.3.2大数据：现今社会我们几乎每天都能听到大家在讨论所谓的大数据时代，大数据安全等等。
所谓的大数据实际上就是大规模的数据而且无法在一定时间范围内用常规软件工具进行捕捉、管理和处理的数据集合，这就需要新处理模式才能具有更强的决策力、洞察发现力和流程优化能力的海量、高增长率和多样化的信息资产。
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件向量值函数列的Bochner积分极限定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了向量值函数列在Bochner意义下的积分极限的充要条件。
在本文中，我们将介绍这个定理的定义、证明过程以及相关的一些应用。
一、定义在介绍定理之前，我们先来回顾一下向量值函数的定义。
设$E$是一个度量空间，$F$是一个赋范空间，$f:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数，如果对于每一个$xin E$，$f(x)in F$都是一个向量，则称$f$为一个向量值函数。
我们用$mathcal{V}(E,F)$表示所有从$E$到$F$的向量值函数的集合。
设$f_n:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是$F$中的一个Cauchy列，则称$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，其中$f:Erightarrow F$也是一个向量值函数。
对于一个向量值函数$f:Erightarrow F$，我们定义其Bochner 积分为$$int_E f(x)dx=lim_{nrightarrowinfty}sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$x_0,x_1,cdots,x_n$是$E$中的$n+1$个点，且$x_0leqx_1leqcdotsleq x_n$。
如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是可积的，则称$f_n$在$E$上Bochner可积。
我们现在可以给出向量值函数列的Bochner积分极限定理的定义了。
定义：设$f_ninmathcal{V}(E,F)$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，$finmathcal{V}(E,F)$是另一个从$E$到$F$的向量值函数。
如果$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，且对于任意的$xin E$，${f_n(x)}_{ninmathbb{N}}$都是可积的，则有$$lim_{nrightarrowinfty}int_Ef_n(x)dx=int_Ef(x)dx$$ 其中等号右边的积分是Bochner积分。
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件Bochner积分是一种广泛应用于数学和物理学的积分形式。
它可用于计算向量值函数的积分，并且在众多领域中都有着重要的应用。
然而，对于向量值函数列的Bochner积分极限定理，其充要条件一直以来都是一个研究热点。
本文将探讨向量值函数列的Bochner积分极限定理的充要条件。
正文Bochner积分是指对于一个向量值函数f(t)，其在区间[a,b]上的积分可以表示为：∫a^b f(t) dt = limn→∞∑i=1n f(ti)(titi1)其中，titi1是区间[a,b]上的分割，即t0=a<t1<...<tn=b，且titi1=Δti，Δti表示第i个分割的长度。
当n趋于无穷时，该积分的极限存在，即f(t)在区间[a,b]上可积。
对于向量值函数列F={fn(t)}，其在区间[a,b]上的Bochner积分可以表示为：∫a^b F(t) dt = limn→∞∑i=1n Fn(ti)(titi1)其中，Fn(ti)表示fn(t)在ti处的取值，即Fn(ti)=fn(ti)。
当n趋于无穷时，该积分的极限存在，即F(t)在区间[a,b]上可积。
那么，向量值函数列的Bochner积分极限定理的充要条件是什么呢？我们将从两个方面进行探讨。
充分条件首先，我们来讨论向量值函数列的Bochner积分极限定理的充分条件。
对于一个向量值函数列F={fn(t)}，其在区间[a,b]上的Bochner积分极限存在的充分条件是：1. F={fn(t)}在[a,b]上一致有界。
即存在一个正数M，使得对于任意的t∈[a,b]和n∈N，有||fn(t)||≤M。
2. F={fn(t)}在[a,b]上几乎处处收敛。
即存在一个可测集E[a,b]，使得m(E)=0，且对于任意的t∈[a,b]E，有F(t)=limn→∞ fn(t)。
3. F={fn(t)}在[a,b]上可积。
多元向量值函数
f 1 ( x 0 ) x1 f 2 ( x 0 ) Df x1 f m ( x0 ) x 1
f 1 ( x 0 ) f 1 ( x 0 ) x 2 x n f 1 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) f ( x ) 2 0 . x 2 x n f ( x ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) m 0 x 2 x n
A 2 f 2(1,0) 2, B f1(1,0) 1, C 2 f 2(1,0) 2,
f ( x, y) 【例4】设 z f ( x, y ) 在点 (0,0) 处连续,且 lim 1 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) sin( x y ) 则 A) f x (0,0) 不存在; B) f x (0,0) 存在但不为零; C) f ( x, y ) 在点(0,0)处取极小值; D) f ( x, y ) 在点(0,0)处取极大值;
z 2 x 12 0, x 解法1 由 z 2 y 16 0, y
得 x 6, y 8.
F ( x , y , ) x 2 y 2 12 x 16 y ( x 2 y 2 25) 25 12 x 16 y ( x 2 y 2 25)
f1 ( x1 , x 2 ) f 2 ( x1 , x 2 ) f ( x ) f ( x1 , x 2 ) f ( x , x ) m 1 2
f 1 ( x 0 ) x1 f 2 ( x 0 ) df ( x0 ) x1 f m ( x0 ) x 1
向量值函数的极限与连续
向量值函数的极限与连续向量值函数是指以实变量为自变量，以向量为函数值的函数。
在数学中，研究向量值函数的极限和连续性对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将介绍向量值函数极限和连续性的概念及其性质。
一、向量值函数的极限向量值函数的极限与实值函数的极限类似，但在定义和性质上存在一些差异。
设向量值函数$\mathbf{F}(t)$定义在实数集上，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$| t - t_0 | <\delta$时，有$|| \mathbf{F}(t) - \mathbf{A} || < \varepsilon$成立，其中$\mathbf{A}$为定值向量，则称向量值函数$\mathbf{F}(t)$当$t$趋于$t_0$时的极限为$\mathbf{A}$，记作$\lim_{t \to t_0} \mathbf{F}(t) =\mathbf{A}$。
类似于实值函数的极限，向量值函数的极限也有唯一性和局部性。
具体来说，如果向量值函数$\mathbf{F}(t)$当$t$趋于$t_0$时存在极限，则该极限唯一，并且函数在$t_0$的某个去心邻域内有定义时，极限与函数在该邻域内的取值有关。
二、向量值函数的连续性向量值函数的连续性是指函数在某一点处的极限与该点函数值之间的关系。
设向量值函数$\mathbf{F}(t)$在点$t_0$的某个邻域内有定义，如果$\lim_{t \to t_0} \mathbf{F}(t) = \mathbf{F}(t_0)$，则称函数$\mathbf{F}(t)$在点$t_0$处连续。
向量值函数的连续性与实值函数的连续性类似，体现了局部性和无衔接性。
具体来说，如果向量值函数$\mathbf{F}(t)$在点$t_0$处连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$| t -t_0 | < \delta$时，有$|| \mathbf{F}(t) - \mathbf{F}(t_0) || < \varepsilon$成立。
高数IV下题题目(汇总)(1)
§7*多元函数微分法在几何上的应用1. 求下列向量值函数极限：（1）；（2）；2. 下列各题中，表示空间中的质点在时刻的位置，求质点在任意时刻的速度向量和加速度向量，以及时刻的速度向量和加速度向量.（1），；（2），；（3），.3. 求曲线，，在点处的切线及法平面方程.4. 求曲线，，在对应于点处的切线及法平面方程.5. 求曲面在点处的切平面及法线方程.6. 求曲面在点处的切平面及法线方程.7. 求下列向量值函数极限：（1）（2）8. 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：（1）（2）9. 求曲线，，在点处的切线及法平面方程.10. 求曲线在相应点处的切线及法平面方程.11. 求曲面在点处的切平面及法线方程.12. 求曲面在点处的切平面及法线方程.§9 多元函数的极值1. 求函数的极值.2. 求函数的极值.3. 试将已知正数分成个正数之和,使它们的积为最大.4. 某工厂要建造一座容积是立方米的长方体仓库,已知每单位面积房顶的造价是四周墙壁造价的三倍，问仓库的长宽高各为多少时，仓库的造价最小?5. 函数的驻点为 .6. 求函数的极值.7. 求函数的极值.8. 求函数的极值.9. 某工厂生产两种产品和，价格分别为和元，当两者的产量分别为，时，总成本为问如何安排两种产品的产量，使利润达到最大.10. 欲造一长方体盒子，所用材料的价格其底为顶与侧面的两倍. 若此盒容积为，各边长为多少时，其造价最低.§1二重积分的概念与性质1. 试用二重积分表示三个坐标平面及平面所围成的空间立体的体积.2. 试用二重积分表示曲面及平面所围成的空间立体的体积.3. 已知一平面薄片占据闭区域，其处的密度为，试用二重积分表示该平面薄片的质量.4. 试用二重积分表示三个坐标平面及平面所围成的空间立体的体积.5. 试用二重积分表示柱面及半球面所围成的空间立体的体积.6. 已知一平面薄片占据闭区域，由曲线及直线所围成，该平面薄片处的密度为，试用二重积分表示该平面薄片的质量.7. 计算二重积分，其中.8. 计算二重积分，其中.9. 计算二重积分，其中是由直线，，所围成的平面闭区域.10. 计算二重积分，其中，. 11. 比较二重积分的大小，其中，，.12. 比较二重积分的大小，其中，，. 13. 估计二重积分的取值范围，其中.14. 设，，其中，计算二重积分.15. 计算二重积分，其中，.16. 比较二重积分的大小，其中，，.17. 估计二重积分的取值范围，其中§1二重积分的计算（1）1. 化二重积分为直角坐标下的二次积分，其中积分区域是：（1）由直线及抛物线所围成的闭区域；（2）由轴及半圆（3）由直线，及双曲线所围成的闭区域.2.计算二重积分，其中区域是由，，，围成的矩形区域.3.计算二重积分，其中积分区域是由两坐标轴及直线所围成.4.计算二重积分, 其中积分区域由与轴围成.5.计算,其中积分区域是由直线与所围成.6. 计算二重积分，其中.7. 计算二重积分，其中是由直线所围成区域.8. 计算二重积分, 其中是由所围成的区域.9. 计算二重积分,其中是由所围成的区域.10. 计算二重积分，其中积分区域是由两条抛物线所围成.11. 计算，其中是由所围成的区域.12.交换下列二次积分的积分次序：（1）（2）（3）（4）13. 交换下列二次积分的积分次序.（1）（2）（3）（4）（5）（6）§3* 二重积分的计算（2）1. 把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域为：（1）（2）2. 利用极坐标系计算，其中积分区域是圆环域：.3. 计算, 其中积分区域由圆周与所围成的在第一象限内的闭区域.4. 将二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中是由和轴所围成的右半圆.5. 计算,其中积分区域是：.6. 计算，其中积分区域.§4 曲线积分1. 计算，由参数方程，，确定.2. 计算，由参数方程，，，确定.3. 计算，其中为连接及两点的直线段.4. 计算，其中是由点经过点到点的折线段.5. 计算，由参数方程，，确定.6. 计算给定金属线的质量，其线密度，为螺旋形曲线，参数方程如下：，，，.7. 计算，其中为连接及两点的直线段.8. 计算，其中是由、与围成的三角形区域的边界曲线.§1*数列的极限1. .2. .3. .4.5.6.7.8.§2 常数项级数1. 写出下列级数的一般项.（1）.（2）.2. 根据收敛定义判断级数的敛散性.3. 根据收敛定义判断级数的敛散性.4. 判断下列级数的收敛性.（1）.（2）.（3）.（4）.5.求下列级数的和.（1）.（2） .（3）.6. 判断下列级数的敛散性.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.§3 常数项级数的审敛法（1）1. 用比较审敛法判定下列各级数的敛散性. （1）.（2）.（3）.（4）.2. 用比值审敛法判定下列各级数的敛散性. （1）.（2）.（3）.3. 判断下列级数的敛散性.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.§4常数项级数的审敛法（2）1. 判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）.（2）.（3）.2. 判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.3. 下列级数中绝对收敛的是（）（A）（B）（C）（D）§5 幂级数（1）1. 已知级数在处收敛，则其在处（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法判断其敛散性2. 求幂级数的收敛区间.3. 求下列幂级数的收敛.（1）.（2）.（3）.（4）.4. 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.§7 函数展开成幂级数（2）1. 将函数展开成为麦克劳林级数.2. 将函数展开成为麦克劳林级数.3. 将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛区间.（1）.（2）.（3）.4. 将函数展开成的幂级数.5. 将下列函数展开成为麦克劳林级数.（1）.（2）.（3）.6. 将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛区间.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.7. 将函数展开成的幂级数.8. 将函数展开成的幂级数.9. 将函数展开成的幂级数.§1 可分离变量微分方程1. 判断下列方程是否为微分方程. 若是，则判断微分方程的阶数，并求微分方程通解的互相独立的任意常数的个数.（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）;（8）.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1），；（2），；（3），；（4），.3. 求微分方程的通解.4. 求微分方程的通解.5. 求微分方程的通解.6. 求微分方程满足初始条件的特解.7. 已知一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．8. 已知细菌总数的增长率与总数成正比，且比例系数为. 若开始时细菌总数为，那么小时后细菌总数是多少?9.下列方程中（）是二阶微分方程（A）（B）（C）（D）10. 下列函数中，（）是微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）11. 一曲线在其任一点的切线的斜率为，则此曲线是（）（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）圆12. 求微分方程的通解.13. 设是微分方程满足初始条件的特解，求.14. 求微分方程的通解.15. 已知一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．16. 设一物体的温度为，将其放置在空气温度为的环境中冷却，其中温度对时间的变化率与物体温度与室温之间的温度差成正比，比例系数为，试求物体温度随时间的变化规律.17. 放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 镭的衰变速度与它的现存质量成正比，比例系数为. 已知时刻铀的含量为，求衰变过程中铀含量随时间的变化规律.§2 一阶线性微分方程1. 求一阶线性微分方程的通解.2. 求一阶线性微分方程的通解.3. 求微分方程的通解.4. 求微分方程满足初始条件的特解.5. 求微分方程的通解.6. 求过原点且在点处的切线斜率等于的曲线方程．7. 求微分方程的通解.8. 求微分方程的通解.9. 求微分方程满足初始条件的特解.10. 求微分方程的通解.11. 求微分方程的通解.12. 求微分方程满足初始条件的特解.§3 二阶常系数线性微分方程1. 判断下列函数组在其定义区间内是线性相关还是线性无关. （1）（2）（3）（4）2. 验证和都是方程的解，并写出该方程的通解.3. ，是任意常数，验证是方程的通解；4. 求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）5. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），，；（2），，.6. 当取不同函数时，方程有何形式的特解（1）（2）（3）（4）7.求微分方程的通解.8.求微分方程满足初始条件，的特解.9. 判断下列函数组在其定义区间内是线性相关还是线性无关. （1）（2）（3）（4）（5）（6）10. 验证和都是方程的解，并写出方程的通解.11. 求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）12. 求微分方程满足初始条件，的特解.13.微分方程的特解应具有形式（）（A）（B）（C）（D）14. 求微分方程的通解：15. 求微分方程满足初始条件，的特解.。
高等数学-泰勒公式7
1
( xr
xr 0 )T
2
f
(xr 0 )(xr
xr 0 )
o(
( xr
xr 0)
2
)
2!
二元函数 z f (x, y) 带皮亚诺余项的泰勒公式 :
f
(x, y)
f (x0 , y0 ) ( fx (x0, y0 ),
f y (x0, y0 ))
x y
x0 y0
dx1
fi x2
dx2
L
fi xn
dxn
dx1
( fi , fi ,L x1 x2
,
fi xn
)
dx2 L dxn
fi
( xr )T
dxr
dx1
其中fi ( xr )
( fi x1
,
fi x2
,L
,
fi
其中
R1
1 (xr xr 0 )T 2 f (xr 0 2!
(xr xr 0 ))(xr xr 0 )
为拉格朗日余项 (Lagrange 余项). 若 y f (xr ) 有连续的二阶偏导数,则带皮亚诺余项的
泰勒公式 : f (xr ) f (xr 0 ) f (xr 0 )T (xr xr 0 )
x2y 3x y
.
向量值函数的极限, 连续, 偏导数, 微分等都是按分量进行.
dfrfr((xrxr))((fd1f(1xr()xr,)f,
2 ( xr df 2
),L ( xr ),
, L
一元向量值函数及其导数
一元向量值函数及其导数一、引言向量值函数是一种将实数映射到向量的函数，也被称为矢量函数。
在数学和物理学中，向量值函数有着广泛的应用。
本文将介绍一元向量值函数及其导数的概念和性质，并通过具体的例子来说明其在实际问题中的应用。
二、一元向量值函数的定义一元向量值函数是指将实数映射到向量的函数，其定义可以表示为：f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))其中，t为实数，f1(t), f2(t), ..., fn(t)为向量的分量函数。
向量值函数可以看作是多个分量函数的组合。
三、一元向量值函数的导数对于一元向量值函数f(t)，我们可以定义其导数f'(t)。
一元向量值函数的导数是指每个分量函数的导数构成的向量，即：f'(t) = (f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t))四、一元向量值函数的性质1. 一元向量值函数的导数存在性：一元向量值函数的导数存在的充分条件是每个分量函数的导数都存在。
2. 一元向量值函数的导数的计算：一元向量值函数的导数的计算方法与标量函数的导数计算方法类似，只需对每个分量函数分别求导。
3. 一元向量值函数的导数与极限：一元向量值函数的导数与其极限之间存在关系，即导数等于极限值。
五、一元向量值函数的应用1. 运动学问题：一元向量值函数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，给定一个物体的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到物体的加速度向量函数a(t)。
2. 弹道问题：一元向量值函数可以用于描述抛物线运动的轨迹。
例如，给定一个抛射物的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到抛射物的加速度向量函数a(t)，进而计算出抛射物的高度、飞行时间等信息。
3. 经济问题：一元向量值函数可以用于描述经济指标的变化趋势。
例如，给定一个表示某种商品价格随时间变化的向量函数p(t)，可以通过对其求导得到商品价格的变化率，进而对市场供需情况进行分析。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
向量值函数bochner积分序列极限定理
向量值函数bochner积分序列极限定理Bochner积分序列极限定理是一个重要的数学定理，它描述了在复平面上定义的值函数f（z）如何转换为向量空间上定义的积分序列，这种转换对于理解函数的性质是至关重要的。
Bochner积分序列极限定理说明，如果值函数f（z）被定义在复平面上，且具有f（z）的两个连续一阶可微分性，那么这个函数f（z）可以被表示成一个积分序列tn，由tn（z）=∫f（z，w）dw来定义；并且，如果f（z）具有足够好的性质，那么tin（z）就会收敛于某个空间上的一个向量函数F（z）。
Bochner积分序列极限定理的作用在于它可以揭示一个函数f（z）在复平面上的表示，以及在空间上的表示。
像Fourier级数、集合函数（集合的可积性）分析和拉普拉斯积分变换这样的变换以及拉普拉斯方程等都是Bochner积分序列极限定理的应用。
Bochner积分序列极限定理也可以适用于在复平面上定义的连续函数，从而使得可以将连续函数表示为一个积分序列的极限。
Bochner积分序列极限定理的原理可以用作一种基本的分析工具，它可以帮助求解许多分析性问题、应用数学和各种分析工具，以及分析和理解函数特性。
它可以用来求解凸性、曲线拟合、算法优化、概率分析和统计推断等。
Bochner积分序列极限定理为统计物理学提供了一个强大的理论框架，它可以帮助研究人员更好地理解许多复杂的例证，包括统计力学和量子理论。
该定理也可以用来解决许多具体的应用，如氢气结构的研究、混合器的计算和凝聚态物理等。
此外，Bochner积分序列极限定理也被广泛用于科学计算和机器学习领域。
它可以帮助计算机科学家更好地理解程序的运行，以及更好地优化程序的性能。
它在图像处理和机器学习领域的应用也会更多，例如可以使用Bochner积分序列极限定理来开发更加精确和有效的图像分类算法，以及改进现有的机器学习系统的准确性。
Bochner积分序列极限定理是一个重要的数学定理，它给函数的理解和分析带来了很多帮助，同时也被广泛用于科学计算和机器学习领域，为各领域的发展提供了重要的技术支持。
7(8)向量值函数的导数
为定义于 D 上,在R m 中取值的n元向量值函数. 记为 y = f ( x ) 即,
r1 cos t 如, r = r (t ) = cos ti + sin t j + tk 即, r = r2 = sin t r t 2 3
yi = f i ( x1 , x2 , , xn ) , i = 1, 2, m
是一个n元向量值函数,
a = ( a1 , a2 , an ) ∈ D R ,
n
定义2
f ( x)在a点连续 lim f ( x) = f (a )
x→a
ε > 0, δ > 0, x ∈ D, 当0 < x a < δ 时,
有 f ( x) f (a) < ε
结论:
f : D R n → R m 在点a连续 lim f i ( x) = f i (a )
第八节 向量值函数的导数
向量值函数的概念 向量值函数的极限与连续性 向量值函数的导数 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
一,向量值函数的概念
定义1 (向量值函数)设D R n 是一个点集, 称映射 f : D → R m
( m ≥ 2)
x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R , y = ( y1 , y2 , , ym ) ∈ R ,
0 n
T
并称下列雅可比矩阵
( f1 , f 2 , f m ) J= ( x1 , x2 , xn )
是 f 在点 x 0 的导数(又称全导数),记作
′ ( x 0 ) 或D f ( x 0 ) f
( D f (x ) = x j i =1,,m j =1,,n 是一个 m × n 阶的矩阵.
向量函数极限
r t s t a b r t a s t b
r t a s t b
r t a 0
s t b 0
当 t t0 时由已知条件 有 即
r t s t a b 0
的微商 仍为 的一个向量函数,如果函数 r (t ) 也是 向量函数 r (t ) t r (t ) 连续的和可微的,则r (t ) 的微商r (t ) 称为r (t ) 的二阶微商。类似地可以定 义三阶、四阶等等的微商。在区间 [t1 , t 2 ] 上有直到k阶连续微商的函数 k 称为这区间上的k次可微函数或 C 类函数，连续函数也称为 C 0 类函数， 无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。 C C
r t s t a b
（4）作出向量差
r t s t a b r t a s t a s t b
由此得出
r t s t a b r t a s t a s t b
t 0 存在，则称 r (t ) 在点 t 0 是可微分的，这个极限
lim
r (t0 t ) r (t0 ) t
dr 称为 r (t )在 t 0 点的微商(或导矢)，用 dt 或 t 表示，即
0
r (t0 )
r (t0 t ) r (t0 ) dr . r (to ) lim t dt to t 0
设如果极限是可微分的这个极限称为如果在某个开区间的每一点都有微商存在则我们说在此区间内是可微的或简称向量函数都是可微的并且这些公式的证明和数学分析中实函数的对应公式的证明相似但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关不能把次序任意交换
向量值函数导数的几何意义
解得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
切线方程 即
法平面方程 即
三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
任意引一条光滑曲线
对应点 M,
且
不全为0 .
则在
点 M 的切向量为
切线方程为
下面证明: 在同一平面上.
法平面方程
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 .
空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
切平面方程
法线方程
2) 显式情况. 空间光滑曲面
法向量 法线的方向余弦
切平面方程 法线方程
思考与练习
1. 如果平面 相切,
提示: 设切点为
与椭球面
则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上)
2. 设 f ( u ) 可微,证明 曲面
因此切线的方向向量为 由此得切线:
法平面: 即
在点(1,1,1) 的切线
求曲线 上对应于 解:
的点处的单位切向量.
=6 故所求单位切向量为
其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
旋式上升, 其位置向量为
求
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
向量值函数导数的几何意义
法平面: 即
在点(1,1,1) 的切线
(可见法线经过原点，即球心)
例7. 确定正数 使曲面
在点
相切.
解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
与球面
二曲面在点 M 相切, 故
, 因此有
又点 M 在球面上, 于是有
内容小结
1. 空间曲线的切线与法平面
1) 参数式情况.
空间光滑曲线
切向量
切线方程 法平面方程
2) 一般式情况. 空间光滑曲线
切向量 切线方程
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
给定光滑曲线
在 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为
时, 令
则在点 故当函数
在点
有连续偏导数时,
曲面
法向量 切平面方程
法线方程
用 向上,
法向量
表示法向量的方向角,
并假定法向量方向
将
分别记为
则
法向量的方向余弦：
复习
例6. 求球面
平面及法线方程. 解: 令 法向量
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
即
在点(1 , 2 , 3) 处的切
c 是任一常数,
向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设
的终端曲线为 ,
设
,则
表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方 向一致.
0909一元向量值函数及其导数
x1 ,
x2
,,
xn
)
f
m
(
x
)
f
m
(
x1
,
x2
,,
xn
)
x A
其中fi为n元数量值函数，x ( x1 , x2 ,, xn ).
3 数量值、向量值函数的统一定义
设A Rn ,映射 f : A Rm 若m 1, n 1, 则称 f为一元数量值函数 . 若m 1, n 1, 则称 f为n元数量值函数 . 若m 1, n 1, 则称f为一元向量值函数 . 若m 1, n 1, 则称 f为n元向量值函数 .
1 一元向量值函数的导数
定义3 设 f : U ( x0 ) R R m , x0 x U ( x0 ), 若
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在，则称
记为f ( x0 ),
fd在fd(xxx0)处x0 ,可或导Df，(并x0称). 此极 限值为
f
在x0处的 导数，
如果 f在I上每一点都可导，则称 f 在I上可导.
此时，x I ,都有f ( x), 称f ( x)为f ( x)的导函数.
设 f ( f1( x), f2( x),, fm ( x))T , 利用极限存在的充要条 件知
lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在 lim fi ( x0 x) fi ( x0 ) 存在
1 一元向量值函数的概念
设A R,称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的一元
向量值函数，记为
f1(x)
f
(
x
)
f
2(
x
)
x A
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8
空間曲線以及向量值函數
確定你能夠辨別向量值函數 r 與實數值函數 f、 g、h 之間的差異。 r(t)是向量，而 f(t) 、g(t) 、h(t)是實數(分別為 t 所帶入 時產生的特定值) 。
9
空間曲線以及向量值函數
向量值函數在曲線中扮演兩種角色。 其一是藉由參數 t 來表示時間，這樣可以藉由向量值 函數來呈現出曲線的移動(motion) 。 或者是在許多更一般情況，你可以使用向量值函數去 追蹤曲線的圖形。
目的
分析以及繪出向量值函數 將極限以及連續性推廣至向量值函數
3
空間曲線以及向量值函數
Space Curves and Vector-Valued Functions
4
空間曲線以及向量值函數
說例: 一平面曲線(plane curve)是由(f(t), g(t)) 的有序對的集 合來定義。其中包含參數方程式
13
例題一:解
如右圖是直角座標方程式所描繪出的圖 。
cont’dΒιβλιοθήκη 它是一個逆時針方向的橢圓。
如果 t 從0增加至2 時，這個位置向量 r(t)會逆時針方向移動，最後會形成橢 圓形。
14
極限以及連續性
Limits and Continuity
15
極限以及連續性
定義: 向量值函數的極限值 1. 令r是一個二維向量值函數 r(t ) f (t )i g (t ) j 。如果當 t 趨 近於a時，f 和 g 都有極限值，則 。 2. 令r是一個三維向量值函數 r(t ) f (t )i g (t ) j h(t )k。如果 當 t 趨近於a時，f 、g、h都有極限值，則 。
x = f( t ) 、 y = g ( t) ，
變數 t 在區間 I 內 f 和 g 是連續函數。
5
空間曲線以及向量值函數
這個定義可以被推廣到三度空間 假設一空間曲線(space curve) C 是由(f(t), g(t), h(t))的有 序三元組的集合來定義。其中包含參數方程式 x = f(t) 、y = g(t) 、z = h(t) ， 變數 t 在區間 I 內 f 、 g、h 是連續函數。 這種新型態的函數叫作向量值函數(vector-valued function )，將實數映射至向量。
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例題1-繪出平面曲線
繪出 r(t) = 2cos t i – 3sin t j, 0 ≤ t ≤ 2 的平面曲線。
解:
從位置向量r(t)，寫出它的參數式 x = 2cos t 、y = –3sin t。 始用三角等式cos2 t + sin2 t = 1 解出以下直角座標方程式: Rectangular equation
cont’d
藉由相似的理由，你可以得到向量值函數 r 在任何實數 t 都是 連續的。
20
t a
如果 r 在此區間 I 的任何一點都連續，則它在區間 I 連 續。
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例題五-向量值函數的連續性
討論向量值函數 r(t) = t i + aj + (a2 – t2)k 在 t=0 時的連續性。
解: 當 t 趨近於0，它的極限值是
19
例題五-解
因為 r(0) = (0)i + (a)j + (a2)k = aj + a2k 得到在 t =0 時 r 是連續的。
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極限以及連續性
如果當 t 趨近於a時，向量值函數r(t)逼近於向量L，則向量 r(t) – L 的長度逼近於 0。 換言之，當t → a時， ||r(t) – L|| → 0。 如下圖所表示:
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極限以及連續性
定義: 向量值函數的連續性 如果當 t 趨近於a時，向量值函數 r 的極限值存在且 lim r(t ) r(a)，則 r 在 t=a 時連續。
6
空間曲線以及向量值函數
定義: 向量值函數 一個函數具備有 r(t ) f (t )i g (t ) j 或 r(t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 的型式是向量值函數，而分量函數 f、g、h是依賴參數 t 的實 數函數。 向量值函數也可以表示成
r(t ) f (t ), g (t ) 或 r(t ) f (t ), g (t ), h(t ) 。
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空間曲線以及向量值函數
無論哪種情況，向量r(t) 是由點(x, y)或 (x, y, z)所構成， 如下圖:
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空間曲線以及向量值函數
曲線的箭頭表示曲線的指向: 當 t 增加時，曲線上點移動的方 向。 除非例子有另外說明，不然向量值函數r 的定義域(domain) 通常都是考慮成它的分量函數 f、 g、 h 定義域的交集。 如 ，它的定義域是區間(0, 1] 。
7
空間曲線以及向量值函數
技術上來說，平面上或空間上的曲線是由點集合與參數方程式 組成。 兩個不同的曲線可以擁有相同的圖形，譬如 r(t) = sin t i + cos t j 與 r(t) = sin t2 i + cos t2 j 它們擁有相同的單位圓圖形；因為這是兩個不同的行徑的圓， 這兩個函數並不表示相同的曲線。
12
向量值函數
Vector-Valued Functions
Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
12.1
向量值函數
Vector-Valued Functions
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