江苏省金陵中学2009届高三上学期期中考试(数学)

江苏金陵中学2008—2009学年度高三第一学期期中试卷数 学 试 题
1．计算=︒-)330sin( 。

2．已知=⋂∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2。

3．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。

4．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a。

5．右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是
=S 。

6．函数)12
lg()(x
a x f ++
=为奇函数，则实数=a 。

7．“0<c ”是“实系数一元二次方程02
=++c x x 有两异号
实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”或者“既不充分又不必要”） 8．函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 。

9．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。

10．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最
小值的n 是 。

11．已知向量a 和b 的夹角是60°，=-⊥==m b ma b b a 则实数且),(,2,1 。

12．函数)2
sin 2lg(cos
)(22
x
x x f -=的定义域是 。

13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。

14．设函数0)(),()(3
=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在
区间（0，1）上单调递增，则b 的取值范围是 。

15．（14分）已知.02
cos 22sin
=-x
x （I ）求x tan 的值； （II ）求
x
x x sin )4
cos(22cos +π
的值
16．（14分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。

（I ）求直线l 的方程；
（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。

17．（14分）已知：在函数x mx x f -=3
)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为.4
π
（I ）求n m ,的值；
（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存
在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。

18．（16分）如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移
到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。

（I ）求证：;1D A BC ⊥
（2）求证：平面⊥BC A 1平面.1BD A
19．（16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长
线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。

已知AB=3米，AD=2米。

（I ）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大小32平方米，求x 的取值范围； （II ）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并
求出最大面积。

20．（16分）
已知数列}{n a 中，22=a ，前n 项和为.2
)
1(,+=
n n n a n S S 且 （I ）证明数列}{1n n a a -+是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式； （II ）设)
12)(12(1
-+=
n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切
*N n ∈都成立的最大正整数k 的值。

江苏金陵中学2008—2009学年度高三第一学期期中试卷参考答案
1．
21 2．[0，1] 3．2
1
4．1 5．16 6．-1 7．充要 8．]2,1[- 9．8 10．10 11．4 12．},4
24
2|{Z k k x k x ∈+
<<-π
ππ
π 13．2 14．[3，4]
15． 解：（I ）由.02cos 22sin
=-x x 得,22tan =x
…………2分 故.3421222
tan
12tan
2tan 22-=-⨯=-=
x x x …………6分 （II ）原式x x x x x sin )sin 2
2
cos 22(
2sin cos 22--=
…………8分
x
x x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=
x x
x sin sin cos +=…………12分
.4
1
431tan 11=-=+
=x …………14分 16． 解：（I ）由于直线l 经过点)2,3(P 和F （2，0）， 则根据两点式得，所求直线l 的方程为
.2
32
20--=
--x y …3分 即).2(2-=x y 从而直线l 的方程是).2(2-=x y …………7分
（II ）设所求椭圆的标准方程为)0(1.22
22>>=+b a b
y a x …………8分
由于一个焦点为F （2，0），则4,22
2
=-=b a c 即①…………10分
又点)2,3(P 在椭圆)0(1.22
22>>=+b a b
y a x 上则12922=+b a ②……12分
由①②解得.8,122
2
==b a
所以所求椭圆的标准方程为
18
122
2=+y x …………14分 17． 解：（1）,13)(2-='mx x f 依题意，得.3
2
,113,4
tan )1(=
=-='m m f 即π
因为.3
1
,)1(-==n n f 所以…………6分
（II ）令.2
2
,012)(2
±
==-='x x x f 得…………8分 当;012)(,2212>-='-
<<-x x f x 时 当;012)(,2
2222<-='<<-x x f x 时 当
;012)(,32
2
2>-='<<x x f x 时 又.15)3(,3
2)22(,32)22(,31)1(=-==-=
-f f f f 因此， 当.15)(3
2
,]3,1[≤≤-
-∈x f x 时…………12分 要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立，则.2008199315=+≥k 所以，存在最小的正整数.2008=k 使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立。

18． 证明：（I ）由于A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， 则BCD BC BCD O A 平面又平面⊂⊥,1
则O A BC 1⊥…………4分 又,,1O CO O A CO BC =⋂⊥
则,,111CD A D A CD A BC 平面又平面⊂⊥ 故.1D A BC ⊥…………8分
（II ）因为ABCD 为矩形，所以.11B A D A ⊥
由（I ）知,,,1111BC A D A B BC B A D A BC 平面则⊥=⋂⊥
又.11BD A D A 平面⊂ 从而有平面.11BD A BC A 平面⊂…………16分 19． 解：由于
,AM DC AN DN =则AM ＝32
x
x -
故S AMPN ＝AN •AM ＝2
32x x - …………4分
（1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ，
因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0
从而8
283
x x <<
> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞，，+…………8分
（2）令y ＝2
32x x -，则y ′＝222
6(2)334)(2)(2)
x x x x x x x ---=--（ ………… 10分 因为当[3,4)x ∈时，y ′< 0，所以函数y ＝2
32x x -在[3,4)上为单调递减函数，
从而当x ＝3时y ＝2
32
x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米，
此时AN ＝3米，AM=9米 …………15分分 答：（略） 20． 解：（I ）由题意，当.1,2
1
,11111=+===a a S a n 则时 .1,2122=-=a a a 则 当],1)1([2
1
2)1)(1(2)1(,2111+--=+--+=-=≥---n n n n n n n a n na a n a n S S a n 时 ],1)1[(2
1
11+-+=
++n n n na a n a 则],)1(2)1[(2
1
111-++-+-+=-n n n n n a n na a n a a
则,0)1()1(2)1(11=-+----+n n n a n a n a n 即.,021111-+-+-=-=+-n n n n n n n a a a a a a a 即
则数列}{1n n a a -+是首项为1，公差为0的等差数列。

…………6分
从而11=--n n a a ，则数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列。

所以，)(*N n n a n ∈=…………8分 （II ）)1
21
121(21)12)(12(1)12)(12(1+--=+-=-+=
n n n n a a b n n n …………10分
所以，)]1
21121()5131()311[(2121+--++-+-=+++=n n b b b T n n .1
2)1211(21+=+-=
n n
n …………12分 由于.0)
12)(32(1
123211>++=+-++=
-+n n n n n n T T n n
因此n T 单调递增，故n T 的最小值为3
1
1=T …………14分 令19,57
31<>k k 得，所以k 的最大值为18。

…………16分。