高考文科数学二轮复习(26)圆锥曲线抛物线作业专练(1)及答案

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高考数学(文)二轮复习(26)圆锥曲线抛物线作业专练(1)及答案

衡水万卷作业卷二十六文数圆锥曲线抛物线作业专练题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.抛物线241x y =的准线方程是（） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x 2.若曲线22(0)y px p =>上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A ．B ．C ．D ．4.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（）A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 5.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （）A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能6.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:5FM MN =a 的值等于（）4.1.21.41.D C B A7.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为π9，则=pA. 2B. 4C.6D. 88.抛物线2:2.(0)C y p r p =>的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．89.（2015四川高考真题）设直线l 与抛物线y 2＝4x 相较于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) (A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（）A. 1B. 2C. 4D. 811.设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交C 于,A B 两点，则AB =（A 30（B ）6 （C ）12 （D ）312.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A 、2 B 、3 C 、28D 10二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 14.P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （4，5），则PQ 与PM 长度之和的最小值为．15.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。

圆锥曲线高考真题专练(含答案)

（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ，由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

高考文科数学二轮复习(27)圆锥曲线抛物线作业专练(2)及答案

衡水万卷作业卷二十七文数圆锥曲线抛物线作业专练姓名： __________班级： __________ 考号： __________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的）1.抛物线y28x 的焦点到直线 x 3 y0 的距离是（）（A）23（B）2（ C）3（D）12.已知椭圆的中心在原点,离心率e1,且它的一个焦点与抛物线y2 4 x 的焦点重合,则此椭圆方程为2().A. x2y21B. x2y214386C. x2y21D. x2y21243.O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2=42x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|=4 2，则△ POF 的面积为 ()（A） 2（B）2 2（C）2 3（D）44.点 M 是抛物线y＝x2上的动点，点M 到直线 2x－y－ a＝ 0（ a 为常数）的最短距离为 5 ，则实数a的值为（）A.－3B.－ 4C.5D.65.已知直线 x y 10 与抛物线y ax2相切,则a等于()A. 1B.1C.1D.4 2346.已知点P在抛物线y24x 上，那么 P 到点 Q2, 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点 P 的坐标为（）A.1, 1 B.1,1 C. 1,2 D.1,2447.已知点 P 是长方体 ABCD－ A 1B 1C1D1底面 ABCD 内一动点，此中 AA 1＝AB ＝ 1，AD ＝ 2 ，若A1P与 A 1C 所成的角为 30°，那么点 P 在底面的轨迹为（）A. 圆弧B.椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D.抛物线的一部分8.抛物线 C1 : y1x2 ( p 0) 的焦点与双曲线 C2 :x2y2 1 的右焦点的连线交C1于第一2 p3象限的点 M. 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 , 则 p＝3(B)32343(A)8(C)(D)31639.已知点 A （ 2， 0），抛物线C： x2=4y 的焦点为F，射线 FA 与抛物线 C 订交于点M ，与其准线订交于点 N ，则 |FM| ： |MN|=A. 2:5B.1:2C.1:5D. 1:310.设抛物线y2=2x的焦点为F M（）的直线与抛物线订交于A，B两点，与抛物线的准，过点 3 ，线订交于 C，BF =2，则BCF 与SBCF=（）ACF 的面积之比SACF12C.44A. B.7D.23511.已知点 P 是抛物线y2 4 x 上的一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线 x 2 y10 0的距离为 d 2，则 d1 d2的最小值 ()A.5B.4C.11511D.5512.已知抛物线 C： y1x2 ( p0)的焦点与双曲线C： x2y21的右焦点的连线交 C 于第一1 2 p231象限的点 M 。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分一、选择题
1．1 ．（汇编年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．(汇编年高考重庆文)设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是 “128x x +=”的( A )
（A ）充要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件（D ）既非充分也非必要。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线强化训练专题练习(一)附答案人教版高中数学考点大全

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1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（）
A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
2．(汇编福建理)又曲线22
221x y a b
==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
3．(汇编湖南理)若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32
a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D.。

文科圆锥曲线专题练习及答案

文科圆锥曲线1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a =，∴e =34，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =，∵||AB =a =2，∴C 的实轴长为4，故选C.3.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y =(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线课后限时作业(一)附答案新高考高中数学

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得分一、选择题
1．(汇编山东理)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（） (A)2 (B)
22 (C) 2
1 (D)4
2 2．(汇编湖南理) 过双曲线1:22
2
=-b y x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是 A ． 10 B ．5 C ．
310 D ．25。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线午练专题练习(一)附答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分一、选择题
1．（汇编年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =
（） A ．12 B ．22 C ．2 D ．2 2．（汇编天津理数）(5)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是y=3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（）
（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ）22
1279
x y -=。

高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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第I 卷（选择题）
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得分一、选择题
1．(汇编年高考重庆文)设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是 “128x x +=”的( A )
（A ）充要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件（D ）既非充分也非必要
2．(汇编全国2文)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（）
（A ）２（B ）３（C ）４（D ）５ 3．（汇编湖南理）如果双曲线112
132
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（）。

高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析

圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94，当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14；（2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0，由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9，同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ）由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ）设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．，解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4，所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2，所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0，而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1，由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1，即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1，所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2，设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

圆锥曲线练习题(抛物线)

圆锥曲线题型总结一、选择题（1）5．已知F 为抛物线x y 82=的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )A ．4 2B ．8C ． 8 2D ．166．在22x y =上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．169.设),(00y x M 为抛物线C ：y x 82=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．811.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92x D ．y 2＝3x 选择题（2）6．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A B ．3 C D ．927．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，， 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列，则有（）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 8．过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条9．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ，则AFK ∆的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 10．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（） A 23 B 2 C 25 D 3 11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+等于（） A ．2a B ． a 21 C ．4a D ． a4 二、填空题1．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．3．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________5．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．6．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB = ． 7.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为． 8 对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是。

圆锥曲线之----抛物线专题(附答案)

圆锥曲线之---抛物线专题1. 设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS△ACF=( )A. 45B. 23C. 47D. 12【答案】A【解析】解：如图过B 作准线l ：x =−12的垂线，垂足分别为A 1，B 1， ∵S △BCF S △ACF=|BC||AC|，又∵△B 1BC∽△A 1AC 、 ∴|BC||AC|=|BB 1|AA 1，由拋物线定义|BB 1||AA 1|=|BF||AF|=2|AF|．由|BF|=|BB 1|=2知x B =32，y B =−√3， ∴AB ：y −0=√3√3−32(x −√3).把x =y 22代入上式，求得y A =2，x A =2，∴|AF|=|AA 1|=52．故S △BCFS △ACF=|BF||AF|=252=45．故选：A ．根据S △BCFS△ACF=|BC||AC|，进而根据两三角形相似，推断出|BC||AC|=|BB 1|AA 1，根据抛物线的定义求得|BB 1|AA 1=|BF||AF|，根据|BF|的值求得B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x =y 22代入，即可求得A 的坐标，进而求得|BF||AF|的值，则三角形的面积之比可得．本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．2. 已知过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为12√3，则准线l 的方程为( ) A. x =−√2 B. x =−2√2 C. x =−2 D. x =−1 【答案】A【解析】解：设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°， ∵四边形AA 1CF 的面积为12√3，∴(32m+3m)×3msin60°2=12√3，∴m =43√2，∴p 2=√2，∴准线l 的方程为x =−√2，故选：A ．设|BF|=m ，|AF|=3m ，则|AB|=4m ，p =32m ，∠BAA 1=60°，利用四边形AA 1CF 的面积为12√3，建立方程，求出m ，即可求出准线l 的方程．本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．3. 已知点P 在抛物线y =x 2上，点Q 在圆(x −4)2+(y +12)2=1上，则|PQ|的最小值为( )A. 3√52−1B. 3√32−1 C. 2√3−1 D. √10−1【答案】A【解析】【分析】设P(t,t 2)，求出|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题．【解答】解：∵点P 在抛物线y =x 2上，∴设P(t,t 2)，∵圆(x −4)2+(y +12)2=1的圆心C(4,−12)，半径r =1， ∴|PC|2=(4−t)2+(−12−t 2)2=t 4+2t 2−8t +16+14，令y =|PC|2=t 4+2t 2−8t +16+14，y′=4t 3+4t −8=0，可得t 3+t −2=0，解得t =1，当t <1时，y′<0，当t >1，y′>0，可知函数在t =1时取得最小值，|PC|min 2=454|PQ|的最小值=|PC |min −r =3√52−1．故选：A ．4. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且点Q 在第一象限，若3PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线PQ 的斜率是( )A. √33B. 1C. √2D. √3【答案】D【解析】解：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，3PF⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ|=3k ，又过点P 作PR ⊥Q 1Q 于点R ，则在直角△PRQ 中，|RQ|=2k ，|PQ|=4k ，所以∠PQR =π3，所以直线QP 的倾斜角为π3，所以直线PQ 的斜率是√3，故选：D ．过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|，设|PF|=k(k >0)，则|FQ|=3k ，在直角△PRQ 中求解直线PQ 的倾斜角然后求解斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与此抛物线交于A 、B 两点，若NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则p 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．假设k 存在，设AB 方程为：y =k(x −p2)，代入椭圆方程，可得根与系数的关系，由∠NBA =90°，可得|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ，再利用焦点弦长公式即可求得p 的值．【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)，设两交点为A(x 2,y 2)，B(x 1,y 1)，当直线AB 的斜率不存在时，NF ⊥AB ，不符合题意; 当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为：y =k(x −p2)， {y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2+2)px +k 2p 24=0， ∵NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠NBA =90°，∴NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴(x 1−p2)(x 1+p 2)+y 12=0，∴x 12+y 12=p 24，∴x 12+2px 1−p 24=0(x 1>0)， ∴x 1=√5−22p ，x 2=2+√52p ，∴|AF|−|BF|=(x 2+p2)−(x 1+p2)=2p ，即2p =4，则p =2，故选A ．6.抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为()A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π3【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为x1+x2+4=2√33|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|2 2|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB的最大值为2π3，故选D．7.过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=()A. ±13B. ±3 C. ±2√23D. ±2√2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABH中，tan∠BAH=丨BH丨丨AH丨，从而得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点在抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B 作AA′的垂线BH ，在三角形ABH 中，∠BAH 等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值，设|BF|=n ，B 为AD 中点，根据抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，2|BB′|=|AA′|，可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|， ∴|AF|=2n ，|AA′|=2n ，|BF|=n ， ∴|AH|=n ，在直角三角形ABH 中，tan∠BAH =丨BH 丨丨AH 丨=√9n 2−n 2n=2√2，则直线l 的斜率k =2√2；同理求得：直线l 的斜率k =−2√2；故选D ．8. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 作一倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，则|AF||BF|=( )A. √3B. √2C. 3D. 2【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则抛物线y 2=4x 中p =2．|AB|=x 1+x 2+p =2p sim 2θ=8p3∴x 1+x 2=103，又x 1x 2=p 24=1，可得x 1=3，x 2=13，则|AF||BF|=3+113+1=3，故选：C ．设出A 、B 坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A 、B 的坐标，然后求比值|AF||BF|即可．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．9.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x−3)2+(y−1)2=1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质，以及圆锥曲线中的最值．【解答】解：根据题意得，N(1,0)为抛物线的焦点，如图所示：过点P做PA垂直准线于点A，根据抛物线的定义，可知PA=PN，所以PN+PQ=PA+PQ，当P运动到点P1处时，即圆心C，P1，B在同一条直线上，且垂直准线时，有最小值，最小值为(PN+PQ)min=CB−r=3+1−1=3;故选A．10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A,B两点，以,3)，且ΔAOB的面积为3，则p=线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于M(−p2A. √3B. 2√3C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的标准方程以及点差法的使用，属于基础题．【解答】解：令A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由已知以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于M(−p2,3)，可得y 1+y 2=6，将A 、B 两点坐标带入，作差k 可得k AB =p3，令AB 的方程为y =p3(x −p2)，与抛物线联立可得： y 2−6y −p 2=0，∴y 1y 2=−p 2， ∵△AOB 的面积6．故12×p2×√36+4p 2=12，解得p =√3．故选A ．11. 如图，已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x −1)2+y 2=14于点A ，B 、C 、D 四点，则|AB|+|CD|的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】解：∵y 2=4x ，焦点F(1,0)，准线l 0：x =−1 由定义得：|AF|=x A +1，又∵|AF|=|AB|+12，∴|AB|=x A +12；同理：|CD|=x D +12，直线l ：y =x −1，代入抛物线方程，得：x 2−6x +1=0， ∴x A x D =1，x A +x D =6， ∴|AB|+|CD|=6+1=7．综上所述4|AB|+|CD|的最小值为7．故选：B ．求出||AB|=x A +12，|CD|=x D +12，l ：y =x −1，代入抛物线方程，利用韦达定理，化简|AB|+|CD|即可得到结果．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A(1,0)，直线FA 与抛物线C 交于点(P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 到y 轴距离为( ) A. 2√2−1B. 2√2−2C. 3√2−1D. 3√2−2【答案】B【解析】解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,P2)，其准线方程为y =−p2， ∵A(1,0)，∴直线AF 的方程为y =−p2(x −1)，由{y =−p2(x −1)y =−p 2，解得x =2，y =−p2，则Q(2,−p 2)， ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2−x P ,−p2−y p )=√2(x P ,y p −1)，∴2−x P =√2x P ， ∴x P =2√2−2．故点P 到y 轴距离为2√2−2．故选：B ．先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案．本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题13. 过抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则|AF||OF|=( )A. 54B. 34C. 4D. 5【答案】A【解析】解：过A 作AE ⊥准线，过B 作BG ⊥准线，过A 作AD ⊥BG 交BG 于点D ，交y 轴于点C设|AF|=x ，则|BF|=4x ，F(0,p2)，准线：y =−p2，根据抛物线性质得：|AE|=|AF|=x ，|BG|=|BF|=4x ，|AB|=x +4x =5x ，|BD|=4x −x =3x ，|FC|=p −x ，由图可知：AFAB=FCBD ，即x5x =p−x 3x，解得x =58p ，则|AF||OF|=58p 12p =54．故选：A ．根据条件画出示意图，设|AF|=x ，则|BF|=4x ，利用AFAB =FCBD ，求出x =58p ，进而求出比值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14. 已知直线l ：4x −3y +6=0和抛物线C ：y 2=4x ，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C 的焦点距离相等，那么这样的点P 有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点坐标(1,0)，(1,0)到直线4x −3y +6=0的距离为：√42+32=2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF 与抛物线一定有两个交点．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x −3y +6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题15. 已知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，点B 关于x轴的对称点为B 1，直线AB 1与x 轴相交于C 点，若直线AC 的斜率为√32，则△ABC 的面积为( )A. 8√33B. 4√33C. 4√3D. 5√33【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，熟知抛物线的准线方程与交点坐标是解题的关键，设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据题意则B 2(x 2,−y 2)，再结合直线AC 的斜率为√32，求出y 1−y 2=8√33，代入面积公式计算即可．【解答】解：设抛物线的准线与x 轴的交点为C ，过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，∵AM //FC 1 //BN ， ∴MC 1NC 1=AF BF =AM BN．又∵∠AMC 1=∠BNC 1=90∘， ∴△AMC 1∽△BNC 1， ∴∠AC 1F =∠BC 1F ．∵点B 关于x 轴的对称点为B 1， ∴点C 1与C 重合．设直线AB 的方程为x =ky +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则B 2(x 2,−y 2)．联立方程{y 2=4xx =ky +1．得y 2−4ky −4=0．∴y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4．又∵直线AC 的斜率为√32，∴y 1+y 2x 1−x 2=y 1+y 2k (y 1−y 2)=√32，即y 1−y 2=8√33， ∴△ABC 的面积为12×|CF |×|y 1−y 2|=12×2×8√33=8√33．故选A ．16. 已知抛物线y 2=x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. 17√28D. √10【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质以及基本不等式.可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)，∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14×y 1=12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1，=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，故选B ．17. 抛物线C ：y 2=2px 的准线交x 轴于点M ，过点M 的直线交抛物线于N ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，若∠NFQ =90°，则直线NQ 的斜率k(k >0)为( )A. 2B. √2C. 12D. √22【答案】D【解析】解：如图，M(−p2,0)，NQ ：y =k(x +p2)，联立{y 2=2pxy =k(x +p 2)，得k 2x 2−p(2−k 2)x +14p 2k 2=0．△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4．设N(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=p(2−k 2)k 2，x 1x 2=p 24．又F(p2,0)，∴FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p2,y 2) =x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+k 2(x 1+p 2)(x 2+p2)=(k 2+1)x 1x 2−p2(1−k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)p 24=2k 2−1k 2p 2．∵∠NFQ =90°，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2k 2−1k 2p 2=0，∵p ≠0，k >0，解得k =√22，当k =√22时，△=p 2(2−k 2)2−p 2k 4=2p 2>0，满足题意．∴直线NQ 的斜率k(k >0)为√22．故选：D ．求出NQ ：y =k(x +p2)，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及∠NFQ =90°列式求得k 值．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18. 己知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF交抛物线C 于点D ，若AB 的中点纵坐标为|AB|−1，则当∠AFB 最大时，|AD|=( ) A. 4 B. 8 C. 16D. 163【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，由抛物线定义得：y 1+y 2+2=|AF|+|BF|， ∵y 1+y 22=|AB|−1，∴|AF|+|BF|=2|AB|，∴cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=3(|AF|2+|BF|2)−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|≥6|AF|⋅|BF|−2|AF|⋅|BF|8|AF|⋅|BF|=12，当且仅当|AF|=|BF|时取等号．∴当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立{y =√3x +1x 2=4y，消去y 得，x 2−4√3x −4=0． ∴y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14． ∴|AD|=16．故选：C ．设出A ，B ，D 的坐标，利用抛物线定义可得|AF|+|BF|=2|AB|，再由余弦定理写出cos∠AFB ，利用基本不等式求最值，可得当∠AFB 最大时，△AEB 为等边三角形，得到AF 所在直线方程，再与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及抛物线定义求得|AD|．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19. 过抛物线C ：y 2=x 的焦点F 分別作两条互相垂直的直线l 1，l 2，使l 1交C 于A ，B两点，l 2交C 于M ，N 两点，则|AB|⋅|MN|的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，考查过焦点的弦、诱导公式、二倍角公式以及三角函数的最值，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|MN|，整理求得答案．【解答】解：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为π2+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|=2p sin 2θ=1sin 2θ， |MN|=2psin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=1cos 2θ， ∴|AB|×|MN|=1sin 2θ×1cos 2θ=1sin 2θcos 2θ=4sin 22θ，∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB||MN|的最小值为4．故选A ．20. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( ) A. 35B. 52C. 20D. 3【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y). ∵FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)⋅(−4,t)=(x −2,y)，解得{x =18y =−4t由抛物线的定义知|QF|=x +p2=18+2=20故选：C抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，设P(−2,t)，Q(x,y).利用FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4)(−4,t)=4(x −2,y)，解得(x,y)，代入y 2=8x 可得t 2=128，再利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21. 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，用PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 3或4B. 85或83C. 4或83D. 83【答案】D【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质及几何意义，难度较易，属于中档题．由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P ，Q 的坐标，得到向量PF ，FQ 的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．【解答】抛物线x 2=4y 的焦点为F(0,1)，准线为l:y =−1，设P(a,−1)，Q(m,m 24)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,m24+1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m 24−1)， ∵PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a =−3m,3m 2=20，解得m 2=203，由抛物线的定义可得|FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m 24+1=83，故选D ．22. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，不过F 的直线与C 的交点为A ，B ，与C 的准线的交点为D.若|BF|=2，△BDF 与△ADF 的面积之比为45，则|AF|=A. √52B. 52C. √32D. √3【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的关系，考查学生平面几何知识，属于中档题．利用抛物线定义得AN =AF,BM =BF =2，由三角形面积之比得到12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BDAB=45，利用相似三角形得到BF AF =45，计算答案．【解答】解：由题意可得准线方程为x =−p 2，F (p2,0)；过点A 作直线AN 垂直与准线与N ，过点B 作直线BM 垂直与准线与M ，所以由抛物线的定义得AN =AF,BM =BF =2，因为△BDF 与△ADF 的面积之比为45，所以12×BD×ℎ12×AB×ℎ=BD AB =45，所以BD =4AB ，因为△DBM ∽△DAN ，所以BMAN =DBAD =45，即BFAF =45，所以AF =52; 故选B ．。

圆锥曲线抛物线解答题(含详细答案)

3
3k 1
k
3
2
2
2
6 3k 6k 2 ， 1 k2
直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t 2
1
3k 1 2 1 k 2
2
2 3k 2k 2 1 k2
∴s t
6 3k 6k 2 2 3k 2k 2
6( 3k k 2 ) 2( 3k k 2 )
3 ，故 s 为定值 t
3．
《抛物线》解答题（1）
1、已知平面内一动点 P 到点 F(1，0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1．
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l2 与轨迹 C 相
交于点 D，E，求A→D·E→B的最小值．
x1 2
t
y1， t
2
x2 2
t
y2 ，
即
A( x1 ,
y1 ),
B(x2 ,
y2 )
都在直线 t
2
tx 2
y
上，两点确定一条直线，故
AB
直线方程为 y tx t 2 ，即 ( x 1)t 2 y 0 对任意的 t 2 都成立，
2
2
直线 AB 过定点 Q (2, 2)
(Ⅲ) t R且t 2 ，O 不会与 A, B 重合.
3
6、已知抛物线 C 的方程为 x2 2 py ,设点 M x0,1 x0 0 在抛物线 C 上，且它到抛物线 C 的准线距离
为 5 ；（1）求抛物线 C 的方程； 4
（2）过点 M 作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线 C 于 A x1, y1 ， B x2, y2 两点（ M 、 A 、 B 三点

高考文科数学二轮复习(26)圆锥曲线抛物线作业专练(1)及答案

衡水万卷作业卷二十六文数圆锥曲线抛物线作业专练姓名： __________班级： __________ 考号： __________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的）1.抛物线y1x 2的准线方程是（）4(A) y1(B) y2(C)x1(D) x22.若曲线y2 2 px( p0) 上有且只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A ． 1B． 2C． 3D． 43.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A ．B．C． D ．4.已知点A(2,3) 在抛物线C： y2 2 px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（）4B．-13D．1A ．C．2345.已知点 A 为抛物线C： x2=4y 上的动点（不含原点），过点 A 的切线交x 轴于点 B，设抛物线 C 的焦点为 F，则△ABF （）A ．必定是直角B ．必定是锐角C．必定是钝角 D ．上述三种状况都可能6.已知点0,2 ，抛物线 C: y2ax (a0) （a0 ）的焦点为F，射线FA与抛物线 C 订交于点M ，与其准线订交于点N，若FM :MN1: 5 ，则 a 的值等于（）A.11C.1D.4B.247.在平面直角坐标系xoy中，抛物线C : y22px( p0)的焦点为，为抛物线 C 上一点，若△ OFMF M的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且外接圆的面积为9，则 pA. 2B. 4C.6D. 88.抛物线C : y2 2 p.r ( p 0) 的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36 ，则 p 的值为（）A ． 2B． 4C．6D． 89.（ 2015 四川高考真题）设直线l 与抛物线 y2＝ 4x 相较于 A， B 两点，与圆 (x－ 5)2＋ y2＝ r 2(r＞ 0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ()(A)(1 ， 3)( B)(1 ，4)(C)(2， 3)(D)(2，4)2x 的焦点为F,A x0,y0510.已知抛物线C：y是 C 上一点，AF4x0 ，则x0（）A. 1B.2C. 4D. 811.设 F 为抛物线C : y2=3x的焦点，过 F 且倾斜角为30°的直线交 C 于A, B两点，则AB =30（B） 6（C） 12（D）7 3（ A ）312.已知F为抛物线y2x 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于 x 轴的双侧， OA OB2（此中O为坐标原点），则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（）A 、2B 、3172D、10C、8二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆x2y21的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.9514.P 为抛物线y24x上随意一点， P 在y轴上的射影为 Q，点 M（4， 5），则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为．15.抛物线y x2在 x1处的切线与两坐标轴围成三角形地区为 D （包括三角形内部与界限）。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(一)附答案高中数学

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明评卷人
得分一、选择题
1．(汇编年高考四川文)直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
（A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）64 2．(汇编全国2理)已知双曲线22
163
x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为
（A ）365（B ）566（C ）65（D ）56
3．(汇编重庆理)若动点（y x ,）在曲线)0(1422
2>=+b b
y x 上变化，则y x 22+的最大值为（）。