高一数学复习考点知识讲解课件32---等差数列前n项和的性质及应用

高一数学复习考点知识讲解课件

第2课时等差数列前n项和的性质及应用

考点知识

1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.

2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.

3.理解并应用等差数列前n项和的性质．

一、等差数列前n项和的实际应用

问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．

例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，

a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，

a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，

a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，

所以a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%

＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．

所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．

所以a 10＝60－9×12＝55.5，

a 20＝60－19×12＝50.5.

所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20

＝10×(60＋50.5)＝1 105.

所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．

反思感悟(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．

跟踪训练1《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．

答案1629

解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公

差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．

二、等差数列中前n 项和的最值问题

问题2根据上节课所学，等差数列前n 项和公式有什么样的函数特点？

提示由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，可知S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .

知识梳理

等差数列前n 项和的最值

(1)在等差数列{a n }中，

当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1

≤0确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧

a n ≤0，a n ＋1≥0

确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．

注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．

例2在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．

解方法一因为S 8＝S 18，a 1＝25，

所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2

d ， 解得d ＝－2.

所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.

所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.

方法二同方法一，求出公差d ＝－2.

所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.

因为a 1＝25>0，

由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312，

n ≥1212.

又因为n ∈N *，

所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.

方法三因为S 8＝S 18，

所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.

由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.

因为a 1>0，所以d <0.

所以a 13>0，a 14<0.

所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得

a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，

解得d ＝－2，

所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，

所以S n 的最大值为169.

方法四设S n ＝An 2＋Bn .

因为S 8＝S 18，a 1＝25，

所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，

所以当n ＝13时，S n 取得最大值．

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

A ＝－1，

B ＝26，

所以S n ＝－n 2＋26n ，

所以S 13＝169，

即S n 的最大值为169.

反思感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形