高三数学高考考点解析圆锥曲线与平面向量 全国通用

圆锥曲线与平面向量

考纲透析

考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.

高考热点：圆锥曲线与平面向量的综合.

新题型分类例析

热点题型1：直线与圆锥曲线的位置关系

（05重庆•文21）

已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(

（1）求双曲线C 的方程；

（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围.

解：（Ⅰ）设双曲线方程为122

22=-b

y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由

故双曲线C 的方程为.13

22

=-y x （Ⅱ）将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.

0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13

122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,31262

2>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x

.1373231262319)1(22222

-+=+-+--+=k k k k k k k

于是解此不等式得即,01

393,213732222>-+->-+k k k k .33

12<

12<

3()33,1(⋃-

- [变式新题型1]：

解：

（I ）由已知，

()()()m x y y x =+=+0222222，，， ()()()n x x =-=--，，，02222………………4分

()()() m n y x x ∥，∴--+-=222202

………………5分 即所求曲线的方程为x y 2

221+=………………7分

（II ）由x y y kx 2

2211+==+⎧⎨⎪⎩⎪消去y 得：()124022++=k x kx

解得：

x x k k 1220412==-+，（x x 12，分别为点M ，N 的横坐标）…………10分 由MN k x x k k k =+-=++=1141242321222

解得：k =±1………………12分

所以直线l 的方程为x y -+=10或x y +-=10………………14分

（05湖南理19）

已知椭圆C ：22a x ＋22

b

y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线 l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.

（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；

（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.

（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标

分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a

x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e

a a

b e a

c λλ=+-=得 即221e a a b e a c e a -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得

证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e

a -设M 的坐标是00(,),x y 00(,)(,),a a AM AB x y a e e

λλ=+=由得 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.

)1(00a y e a x λλ

因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b

y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222

=-+-=+-e

e b a a e a λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e

解得.1122e e -=-=λλ即

（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即

.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ， 由,1||1|0)(|||21221c e

ec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==

e e λ于是

即当,3

2时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，

设点P 的坐标是),(00y x ， 则0000010.22

y x c e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1

)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(222

2e e e =+- 从而.3

12=e 于是32112=

-=e λ 即当3

2=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. [变式新题型2]

设R y x ∈,，j i

、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a .

（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长.

[启思]

热点题型2：向量的坐标运算与韦达定理

（05全国Ⅰ•理21）

已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线.