专题36 圆锥曲线中的双曲线问题-备战2017年高考高三数

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】

第36讲圆锥曲线中必考的双曲线问题

考纲要求:

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．

基础知识回顾:

一、双曲线的标准方程和几何性质

a x -≤或R y a x ∈≥, a y -≤或R x a y ∈≥, 坐标轴 坐标轴 原点 原点 )0,(a ±

),0(a ± x a b y ±

= x b

a

y ±= a c ),1(+∞ 22b a + 21A A a 2 21B B b 2

a b a

b 2

2 二、双曲线的定义:

平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.

集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0}． (1)当ac 时，

P 点不存在．

应用举例:

类型一、利用定义解决焦点三角形问题

例1．过双曲线x 2

－y 2

＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )

A ．28

B ．14－8 2

C ．14＋8 2

D ．8 2

例2、已知12F F 、是双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1

MF 与x 轴垂直，211

sin 4

MF F ∠=

，则双曲线E 的离心率为（ ） A

．

3

B ．53 C.2 D ．3

解析：由题意可知，2

1b MF a =，所以22121222

2

1

sin 242b MF b a

MF F b MF a b a a

∠==

==++

，即2

2

32b a =，2223()2c a a -=，2235c a =

，所以22

25,3c e e a === A.

例3、已知F 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，

过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（

）

A

．

点评： 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲

线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a 2

a

＝

c 2

a

2－1＝

e 2－1. 类型二、求渐近线方程 1、利用离心率求渐近线方程

例4．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，C 1与C 2的离

心率之积为

3

2

，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0

解析：由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2

a

.

因为e 1·e 2＝3

2，所以

a 2－

b 2

a 2＋

b 2

a

2

＝32，即a 2－b 2a 2＋b 2

a

4

＝3

4

，整理可得a ＝2b .

又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.

2、利用几何性质求渐近线方程

例5．已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点，且两

曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐进线方程为（ ）

A ．0x =

B ．20x y ±=

C 0y ±=

D ．20x y ±=

解析：由题意得22

2

2

222324

2,253,241,P P P

a b PF x x y a b

+==+=⇒==⇒-=解得

221363a ==或（舍），b ，因此双曲线的渐进线方程为

2222

2

20013

x y x y y a b -=⇒-=⇒=，选C. 3、利用双曲线方程求渐近线方程

例6．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 2

4－x 2

＝1具有相同渐近线，则双曲线C 的渐近线方

程为________．

解析：根据题意，可设双曲线C ：y 2

4－x 2

＝λ，将(2,2)代入双曲线C 的方程得λ＝－3，

∴C 的方程为x 23－y 2

12

＝1.渐近线方程为y ＝±2x .

点评：求曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±

y

b

＝0.

类型三、求离心率的值或范围． 1、利用离心率定义求离心率

例7. 已知双曲线()22

22:10x y C b a a b

-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F

交双曲线C 的右支于A ，B 两点，

使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．