754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数

754期
【导数】三种函数拟合放缩比较
——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数为什么不等式恒成立问题是各大模拟题乃至高考题长盛不衰的命题方向？原因之一就是不等式恒成立问题在高等数学下有太多的命题背景，比如现在同学们已经非常熟悉的泰勒展开。

一个初等函数稍微展开几项就是一个极好的不等式，例如e x≥x+1等等。

但是现在模拟题中由泰勒展开为基础的不等式似乎已经用尽了，因为泰勒展开有其局限性——只能在收敛域内将要展开的函数展开成多项式函数，拟合放缩精度有限。

因此现在命题人也着眼
于精度更高的函数拟合逼近方法，并以此为命题背景，比如将函数展开成分式函数的帕德逼近、洛朗级数等等
这一篇就来关注一下泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数这三种函数拟合放缩的比较
一、泰勒展开（Taylor Expansion）
（一）切线拟合
e x≥x+1, lnx≤x−1, e x≥ex⋯ (1)
像上面这样的不等式背后有一个共同的特征，具体而言：将具凹凸性的超越函数用其某点处的
切线拟合．例如由函数f(x)=e x的凸性及点(0,f(0))，(1,f(1))处的切线，可得第一、第三个
不等式；由函数f(x)=lnx的凹性及点(1,f(1))处的切线，可以得到第二个不等式等．像这样的
拟合方法，我个人称为切线拟合．这几个不等式就是在切点处对函数的一阶拟合。

切线拟合的一大优势在于对切点附近的拟合程度相当好．这不仅是因为切点在原来的函数上，更是因为它拟合了函数在切点处的变化趋势，即拟合了函数在切点处的导数值．正是这一点，切线拟合及切线放缩在高中范围研究函数中有较广泛的应用.
当然，结合图象可以看出，这种拟合方式是很粗糙．为此，还需要找到一种更精确的拟合方法．而切线拟合的拟合方法给了启示我们：既然用一阶导数逼近就可以在切点附近达到一定的精度，那多导几次，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，精度可能会更高．
这正是泰勒展开的思想：构造一个各项系数待定的多项式，并使它在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等．
为什么泰勒选择的是多项式函数，而不是分式函数，原因之一就是多项式求导相对容易，便于操作，并没有考虑精度问题。

（二）麦克劳林级数（Maclaurin Series ）与泰勒级数（Taylor Series ）
对给定的函数f (x )及其定义域内一点x 0，为用一个n 次多项式去拟合该函数，考虑一个一个n 次多项式
p (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n (2)
满足:
p (x 0)=f (x 0)p′(x 0)=f′(x 0)p″(x 0)=f″(x 0)
p (3)(x 0)
=f (3)
(x 0)⋯
p (n )
(x 0)=f (n )(x 0)
(3) 则我们可以认为：满足该条件的多项式在x 0处对函数f (x )有较好的拟合效果． 下面我们来讨论如何去求这样的多项式．
首先，考虑到p (x 0)形式不太方便，我们将p (x )变形成
p (x )=b 0+b 1(x −x 0)+b 2(x −x 0)2+⋯+b n (x −x 0)n (4)
其中{b n }是常数列．这样则得（关注公众号：Hi 数学派）
p (x 0)=b 0p′(x 0)=b 1
p″(x 0)=2b 2⋯
p (n )(x 0)=n!b n .
(5)
因此比对系数有
()0()(0,1,2,
,)
(6)!
k k f x b k n k =
=
这样就给出了f (x )在点(x 0,f (x 0))处的n 次多项式逼近，即
()2000000()()()
()
()()()()(7)0!1!2!
!
n n
n f x f x f x f x p x x x x x x x n '''=+-+-+
+-
该式称为函数f(x)在点(x0,f(x0))处的泰勒级数．特别地，当x0=0时，该式又称为函数f(x)的麦克劳林级数．以下我们统称为泰勒级数．而求出一个函数在某点处泰勒级数的方法称为泰勒展开．
注：在高等数学中，泰勒展开还分为带皮亚诺余项或拉格朗日余项的展开，但在这里主要是面向高中开阔视野，不在过多展开叙述。

（三）高中常见的以泰勒展开为背景的不等式
（1）指数函数f(x)=e x，其任意阶导数f(n)(x)=e x，在x0=0处泰勒展开
e x=1+x+x2
2!
+
x3
3!
+⋯=∑
x k
k!
∞
i=k
(8)
（2）三角函数sinx和cosx，在x0=0处泰勒展开
sinx=x−x3
6
+
x5
120
+⋯=∑
(−1)k
(2k+1)!
∞
k=0
x2k+1 (9)
cosx=1−x2
2
+
x4
24
+⋯=∑
(−1)k
(2k)!
∞
k=0
x2k (10)
注：这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式：e iπ+1=0。

首先，将e x的泰勒展开式中x替换成ix（i为虚数单位）得到
e ix=1+ix−x2
2!
−i
x3
6
+⋯ (11)
观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是sinx和cosx泰勒展开式的线性组合吗？即
e ix=cosx+i⋅sinx (12)
再令x=π，即可得到e iπ=−1，移项即为欧拉公式。

（3）分式函数f(x)=1
1−x 和f(x)=1
1−x
，在x0=0处泰勒展开
1
1−x
=1+x+x2+⋯=∑x k
∞
k=0
(13)
（4）分式函数f(x)=1
1+x
，在x0=0处泰勒展开
1
1+x
=1−x +x 2−x 3+⋯=∑(−1)k ∞
k=0
x k . (14) （5）对数函数f (x )=ln (x +1)在x 0=0处泰勒展开
ln (x +1)=x −x 22+x 3
3+⋯=∑(−1)k−1k
∞
k=1x k (15)
注：将（3）中x 替换成−x 即得到（4）；将（4）等号两边同时不定积分便可得到（5）.
（6）对正切函数tanx ，其泰勒展开式较为复杂
tanx =x +x 3
3+215x 5+17315
x 7
+⋯=∑(22k −1)22k B k (2k )!∞
k=1
x 2k−1 (16)
其中，B k 为第k 个伯努利数的偶数项的绝对值．
注： 泰勒展开这一逼近方法当然有许多应用，在高中数学中，我们主要用泰勒放缩证明不等式．泰勒放缩的方法很简单粗暴：直接将展开式中后面的高次项丢掉即可，比如对e x =1+x +
1
2x 2+⋯，我们在二次项处截断，即得e x ≥1+x +1
2
x 2
对任意x ≥0成立．值得注意的是，如果在一次项处截断，即是切线放缩．
二、帕德逼近（Padé Approximant ）
（一）什么是帕德逼近？
泰勒展开是一种很好的逼近方法，对许多函数都有着很好的效果．然而，有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果却不尽人意，本质原因是多项式级数的局限性．为此，我们转而考虑用分式来逼近函数，即所谓分式逼近．一种分式逼近的最常用方法称为帕德逼近．
帕德逼近的思想与泰勒展开是类似的．其想法如下：对某个函数f (x )，考虑一个分式R m/n (x )=
p m (x )
q n (x )
，这里p m (x )、q n (x )分别为m 、n 次多项式．我们想找到这样的分式，使得对一点x 0有： f (x 0)=R m/n (x 0)f′(x 0)=R′m/n (x 0)
f″(x 0)=R″m/n (x 0)⋯
f (m+n )(x 0)=R m/n
(m+n )
(x 0) (17)
如果这样的分式R m/n (x )=
p m (x )
q n (x )
存在，我们就称其为原函数的一个帕德逼近． （二）如何求解某函数的帕德逼近？
首先，对函数f (x )，我们先考虑它在x 0处的泰勒展开（当然如果该函数是多项式，其泰勒展开就是本身）．设
f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯=∑a k ∞
k=0
x k (18)
我们只需考虑如下的方程
f (x )−p m (x )
q n (x )
=0 (19)
由系数的齐次性，不妨设q n (0)=1， 令p m (x )=p 0+p 1x +p 2x 2+⋯+p m x m
q n (x )=q 0+q 1x +q 2x 2+⋯+q n x n
代入、乘开得方程组
101
121102211220111211122(20)00
m m m m
m m m m m n n m n
m n m n m n a p a a q p a a q a q p a a q a q a q p a a q a q a q a a q a q a q --+--+++-+-=⎧⎪+=⎪⎪++=⎪⎪⎨
++++=⎪⎪++++=⎪⎪
⎪++++=⎩
这里设当k <0时，a k =0；当k >n 时，q k =0．解得
1211
1
1
/12111
()(21)1
m n m n m m
m m n
m
m
m
j
j
j
j n
j n j j n j n j m n m n m n m m m m n n
n a a a a a a a
x
a
x
a x
R x a a a a a a x x -+-++++--+==-=-+-++++-=
∑∑∑
此即函数f(x)在x0处的m/n型帕德逼近．
注：以上也仅是简单介绍帕德展开，另外我们只需要记住低阶的形式，高阶的计算量大且复杂，可以利用计算机算法解决。

（三）高中常见的以帕德逼近为背景的不等式
以下是f(x)=e x较低阶的帕德逼近公式
注：括号中表示在x=0附近前后逼近公式与f(x)=e x的大小关系，也不难观察到，这个表格中的公式关于对角线有较好的对称性。

以下是f(x)=ln(x+1)较低阶的帕德逼近公式
注：由于f(0)=0，所以分子为零次的情况无意义。

将y=ln(x+1)沿着坐标轴平移，不难得到f(x)=ln(x)较低阶的帕德逼近公式
注：函数g(x)=x 2−1
2x
虽然没有在帕德逼近的公式中出现，但是它对f(x)=lnx也有较好的拟合效
果．
三、洛朗级数（Laurent Series）
帕德逼近的逼近程度极高，然而帕德逼近也有其局限性．一方面，计算量过大，适合计算机作理论证明，不适合实际应用；另一方面，帕德逼近的结果有时不能使人满意，例如对于无极值点的函数，甚至有时不如泰勒展开．但是，洛朗级数在这方面有其优势．
（一）什么是洛朗级数？
洛朗级数是对复变函数的一种逼近方法，它同时用分式与多项式进行逼近．其逼近式类似于如下形式：（关注公众号：Hi数学派）
f(z)=∑a k
∞
k=−∞(z−c)k=P(
1
z−c
)+Q(z−c) (22)
其中，P(x)、Q(x)是多项式，P(1
z−c
)称为主部，Q(z−c)称为正则部．
注：由洛朗级数的性质，我们并非对原函数进行洛朗级数展开,而是通过构造一个满足条件的函数，然后用泰勒级数及代数变形解决问题．
（二）如何求解某函数的洛朗级数？
对一个给定的函数f(x)，考虑其在x0处的泰勒展开
f (x )=a 0+a 1(x −x 0)+a 2(x −x 0)2+⋯=∑a k ∞
k=0
(x −x 0)k (23)
构造一个函数
g (x )=
1
f (x )−a 0−a 1(x −x 0)−⋯−a n (x −x 0)n
(24)
则x →x 0时，有g (x )→∞
我们只需找出g (x )在洛朗级数下的主部即可． 洛朗级数的计算式是
11()()()d (25)2()
k
k k f z f z z c z i z c π∞+Ω=-∞=--∑⎰
注：上式涉及面积分，不利于计算，考虑一下替代方法。

用泰勒展开的前m 项（m >n ）替换f (x )，得到
g (x )∼
1
a n+1(x −x 0)n+1+a n+2(x −x 0)n+2+⋯+a m (x −x 0)m
=1a n+1(x −x 0)n+1⋅
1
1+a n+2a n+1(x −x 0)+a n+3a n+1(x −x 0)2+⋯+a m a n+1(x −x 0)m−n−1
(26) 对右侧函数运用
1
1−x
=1+x +x 2+⋯=∑x k ∞
k=0 (27) 前若干项来展开，即可得一个负次数+正次数的幂级数．
最后我们进行判阶，判阶的依据是我们所得到某一阶的洛朗级数的下一阶是否展开完毕，方法是用更高阶的泰勒级数替换，然后等比展开看系数．具体而言，若上述展开的级数中，其最高次项恰为常数项（零次项），则说明用于替换的泰勒级数足够展开到洛朗级数的最低次幂，该式就是较好的展开式主部．否则就需在上述步骤中用m +1替换m ，看看常数项有没有变化．若没有变化就说明判阶成功；若有变化，则还需继续向上增加 m ，直到找到一个合适的 m ．判阶成功后，就可以用g (x )的展开式反解出原来的函数f (x )的洛朗展开式了。

（关注公众号：Hi 数学派） （三）高中常见的以洛朗级数为背景的不等式
e x
<−x 2+4x +62(x −3
) (x <3) (28)
e x≥2−x
2+x
 (x≤0) (29)
sinx≥60x−7x3
60+3x2
 (x≥0) (30)
cosx≤1+3x4−60x2
4x2+120
(31)。