空间直线的标准方程
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念，它是两点确定的一条直线。
在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标来确定一条直线的方程，而在空间中，我们同样可以通过一点和方向向量来确定一条直线的方程。
本文将重点介绍空间直线的标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下空间直线的一般方程。
对于空间中的一条直线l，如果它通过点P0(x0, y0, z0)并且方向向量为a=(a1, a2, a3)，那么直线l上任意一点P(x, y, z)都满足以下关系式：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的一般方程，通过这个方程我们可以得到直线l上任意一点的坐标。
然而，这个方程并不是最简洁的形式，为了更方便地描述直线，我们可以将其化简为标准方程。
空间直线的标准方程形式为：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3 = t。
其中t为参数，通过参数t的取值可以得到直线l上的所有点。
这个方程就是空间直线的标准方程，它是一种更加简洁和方便的描述直线的方式。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助读者更好地理解空间直线的标准方程。
例1，求过点P(1, 2, 3)并且与向量a=(2, -1, 3)平行的直线的标准方程。
解：直线l上任意一点P(x, y, z)满足方程：(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t。
这就是所求直线的标准方程。
例2，已知直线l的标准方程为(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t，求直线l上的一点坐标。
解，直线l上任意一点的坐标可以通过参数t的取值来确定，比如当t=0时，我们可以得到点P(1, 2, 3)。
当t=1时，我们可以得到另外一点，依此类推，我们可以得到直线l上的所有点。
通过以上例子，我们可以看到空间直线的标准方程在求解直线问题时具有很大的便利性，它能够简洁地描述直线的位置和方向，帮助我们更好地理解和运用空间解析几何的知识。
第二节空间直线及其方程
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}
n={A,B,C}
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 yy0 zz0
1i017jk
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y z y ,
解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n {,,}
n {,,},
s nn
i jk
i j k
x1 y z2 4 1 3
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x,y,z)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
续上
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离.
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程空间直线是三维空间中的一条直线，它可以由点和方向向量唯一确定。
在三维空间中，我们通常使用参数方程或者标准方程来表示一条直线。
本文将重点介绍空间直线的标准方程。
一、空间直线的定义。
在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为l(a, b, c)，则直线上任意一点P(x, y, z)的坐标满足以下关系式：(x x0)/a = (y y0)/b = (z z0)/c。
这就是空间直线的标准方程。
二、标准方程的意义。
标准方程可以直观地表示出直线在三维空间中的位置和方向。
通过标准方程，我们可以很容易地求得直线上任意一点的坐标，从而更方便地进行计算和分析。
三、标准方程的推导。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为l(a, b, c)，直线上任意一点P(x, y, z)，则有：(x x0)/a = (y y0)/b = (z z0)/c = t。
其中t为参数。
将参数t代入坐标关系式，得到标准方程：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
z = z0 + ct。
这就是空间直线的标准方程。
四、标准方程的应用。
标准方程在三维空间的几何问题中有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以求得直线与坐标轴的交点、直线的方向向量、直线之间的夹角等重要信息，从而解决各种几何问题。
五、总结。
空间直线的标准方程是表示三维空间中直线的重要形式之一，它可以直观地表示出直线的位置和方向，方便我们进行计算和分析。
通过标准方程，我们可以更好地理解和运用空间直线的性质，解决各种几何问题。
在实际应用中，我们可以通过标准方程求得直线上任意一点的坐标，进而解决直线与平面、直线与直线之间的位置关系等问题。
因此，掌握空间直线的标准方程对于理解和运用三维空间的几何知识具有重要意义。
六、参考资料。
1. 《高等数学》。
2. 《线性代数》。
3. 《数学分析》。
空间中平面及直线的方程(3)
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面 的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1
空间中直线的标准方程
空间中直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础且重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而直线的标准方程是描述直线性质的一种重要方式，它可以帮助我们更好地理解直线的特性和性质。
在本文中，我们将详细介绍空间中直线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下空间中直线的一般方程。
对于空间中的直线来说，一般可以用两点确定，假设直线上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么直线AB的一般方程可以表示为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
这就是空间中直线的一般方程，它可以帮助我们确定直线在空间中的位置和方向。
但是，这种形式并不够简洁和直观，因此我们需要将其转化为标准方程的形式。
下面我们将介绍如何将直线的一般方程转化为标准方程。
首先，我们可以将直线的一般方程化简为参数方程的形式。
假设直线上的任意一点为P(x, y, z)，那么P点到A、B两点的距离分别为t和1-t（0≤t≤1），则P点的坐标可以表示为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
z = z1 + (z2 z1)t。
这就是直线的参数方程形式，通过参数t的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
接下来，我们将利用参数方程来推导直线的标准方程。
我们知道，直线上的任意一点P都满足直线的参数方程，即P(x, y, z) = (x1 + (x2 x1)t, y1 + (y2 y1)t, z1 + (z2 z1)t)。
我们可以将参数t表示为直线的标准方程的形式，即：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
通过对比参数方程和标准方程的形式，我们可以得到直线的标准方程为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础的几何元素，而直线的方程则是描述直线位置的重要工具。
在平面几何中，我们常常使用直线的一般方程或者斜截式方程来描述直线的位置关系，而在空间几何中，描述直线位置关系的方式也有所不同。
本文将重点讨论空间直线的标准方程，希望能对读者有所帮助。
对于空间中的直线，我们通常使用参数方程或者对称式方程来描述其位置关系。
而标准方程则是一种更加简洁和通用的描述方式，它能够清晰地表达直线在空间中的位置特征。
空间直线的标准方程通常采用向量的形式来表示，其一般形式为：r = a + λb。
其中，r为直线上的任意一点，a为直线上的一点，b为直线的方向向量，λ为参数。
在这个标准方程中，a为直线上的已知点，b为直线的方向向量，λ为参数。
通过参数λ的取值，我们可以得到直线上的所有点，从而清晰地描述出直线在空间中的位置。
这种描述方式不仅简洁明了，而且具有很强的通用性，适用于各种不同情况下的直线描述。
在实际问题中，我们常常需要根据已知条件来确定空间中直线的位置关系，这时就需要用到空间直线的标准方程。
以直线上的一点和方向向量为已知条件，可以很容易地得到直线的标准方程，从而方便地进行进一步的分析和计算。
除了描述直线的位置关系外，空间直线的标准方程还可以方便地进行直线之间的位置关系判断。
通过比较两条直线的标准方程，我们可以轻松地判断它们是否平行、共面或者相交，从而更好地理解直线在空间中的位置关系。
总之，空间直线的标准方程是描述空间直线位置关系的一种简洁而通用的方式，它不仅方便了直线位置的描述，而且便于进行直线之间的位置关系判断。
在学习和应用空间解析几何时，掌握空间直线的标准方程是非常重要的，希望本文对读者有所帮助。
求空间直线的标准方程
求空间直线的标准方程空间直线的标准方程是一个表示空间直线的方程，能够描述直线的位置和方向。
它通常具有形式ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c和d是常数。
本文将介绍如何求解空间直线的标准方程。
1. 通过两点求解在三维空间中，一条直线由两个点确定。
因此，我们可以通过已知的两个点来求解空间直线的标准方程。
假设有直线L，已知点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)在直线L上。
则L的方向向量可以表示为：$\vec{d} = \begin{pmatrix} x2-x1\\ y2-y1\\ z2-z1 \end{pmatrix}$并且任意一点P(x,y,z)在直线上的条件为：$\begin{pmatrix} x-x1\\ y-y1\\ z-z1 \end{pmatrix} = k\vec{d}$其中k为任意实数。
将上式代入直线L的标准方程中，则可以得到：$\frac{x-x1}{x2-x1}=\frac{y-y1}{y2-y1}=\frac{z-z1}{z2-z1}$这就是空间直线的标准方程。
2. 通过点和方向向量求解如果我们已知直线L的一个点P(x1,y1,z1)和方向向量$\vec{d}$，则可以通过如下步骤求解直线L的标准方程：1. 将点P代入标准方程中，得到：ax1 + by1 + cz1 + d = 02. 由于直线L的方向向量为$\vec{d}$，因此直线上任意一点的坐标可以表示为：$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x1\\ y1\\ z1 \end{pmatrix} + k\vec{d}$其中k为实数。
3. 将上式代入标准方程中，得到：a(x1 + kd) + b(y1 + kd) + c(z1 + kd) + d = 04. 对于任意一组实数k，上式都应成立。
我们可以将d看做自由变量，从而得到方程组：ax1 + by1 + cz1 + d = 0ax2 + by2 + cz2 + d = 0其中：$\vec{d} = \begin{pmatrix} x2-x1\\ y2-y1\\ z2-z1 \end{pmatrix}$通过解方程组，即可求解出空间直线的标准方程。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一种基本的几何对象，它在空间中具有重要的几何性质和应用价值。
本文将介绍空间直线的标准方程，帮助读者更好地理解和运用空间直线的相关知识。
首先，我们来回顾一下平面直线的标准方程。
在平面直角坐标系中，平面直线的标准方程通常表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这个方程描述了平面上所有满足这个关系的点的集合，即直线。
接下来，我们来看看空间直线的标准方程是如何表示的。
在三维直角坐标系中，空间直线的标准方程通常表示为：\[\frac{x x_0}{l} = \frac{y y_0}{m} = \frac{z z_0}{n}\]其中(x0, y0, z0)为直线上一点的坐标，l、m、n为直线的方向向量的分量。
这个标准方程的含义是非常直观的。
它表示了空间中所有满足这个关系的点的集合，即直线。
其中(x0, y0, z0)确定了直线上的一个特定点，而l、m、n确定了直线的方向。
这样，我们就可以通过这个标准方程来描述空间中的直线。
在实际应用中，我们有时候也会遇到其他形式的直线方程，比如参数方程、对称方程等。
这些方程都可以描述空间中的直线，但标准方程通常是最直观、最方便的形式，因为它直接给出了直线的一个特定点和方向。
在使用空间直线的标准方程时，我们需要注意一些细节问题。
首先，我们需要确定直线上的一个特定点和直线的方向向量，这样才能写出标准方程。
其次，我们需要注意方向向量不能为零向量，否则标准方程将无法表示直线。
最后，我们需要注意标准方程中的分式不能同时为零，否则标准方程将无法表示直线。
总之，空间直线的标准方程是描述空间中直线的重要工具，它直观、方便，能够准确地描述直线的位置和方向。
在学习和应用空间解析几何的过程中，掌握空间直线的标准方程是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
8-7空间直线及其方程
3
12
解 先求过点 M ，且与已知平面平行的平面方程，
过点 M ，且与已知平面平行的 平面方程为 3x 4 y z 1 0，
M M1
再求已知直线与辅助平面的交点，
x 3t 1
已知直线的参数方程为
y
t
3
，故交点 M1 为
z 2t
(41, 37 , 32).
取 s n1 n 2 1 1 1 {4, 1, 3}，
2 1 3
因为直线的方向向量为 s {4, 1, 3}，
且过点 ( 5 , 2 , 0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
s 1 3 2 74,2,1，
2 1 10
平面 的法向量为 n 4,2,1，所以 s 与 n 平行，
从而直线 L 垂直于平面 ． 应选 C．
例8 求过点 (1,0,4)，且与平面 3x 4 y z 10 0平行，
又与直线 x 1 y 3 z 相交的直线方程．
z
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 o L
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且与设非直零线向L量过点s M0m( x, n0 ,,
y0 , z0 )，
空间直线及其方程(2)-精品文档
y1 z3 x 5 7
北京工商大学
此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
2011.2.6 8-6-12
空间直线及其方程
3x2yz 10 将 2x yz20 化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点:以 z0 代入 ,
3 8 3 x2 y0 z 10 x ,y 7 7 xy0 z20 2
求直线与平面的交点时常用此。
2011.2.6
北京工商大学
8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 ( x , y , z ), M ( x , y , z ) 设一直线过两点 M ， 1 1 1 1 2 2 2 2
x y y z z 1 1 1 则此直线的方程为: x (4)
2011.2.6
北京工商大学
8-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相 ,
求其方程 .
z
解 交点为 B ( 0 , 3 ,0 ),
取s BA
( 2 ,0 ,4 ),
所求直线方程
.A
s
.B
x
O
y
x2 y3 z 4 . 2 0 4
方向向量.
( x ,y , z ) 设一直线过 M ， 0 0 0 0 ( m , n , p ), 其方向向量为的 s
z
s L sM
M0
y
O
求此直线方程。
x
一条直线可以有许多方向向量.
2011.2.6
北京工商大学
8-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x ,y , z ) L
7(6)空间直线及其方程
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
2
2
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
3 8 z 3 x 2 y 0 1 0 x ,y 7 7 z 2x y 0 2 0
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在三维空间中，直线是一种基本的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍空间直线的标准方程，以帮助读者更好地理解和运用直线的相关知识。
首先，我们来看一下空间直线的定义。
空间中的直线可以用两个不重合的点来确定，也可以用一个点和一个方向向量来确定。
如果我们已知直线上的一点P(x0, y0, z0)和一个与直线平行的向量a(a1, a2, a3)，那么直线上的任意一点Q(x, y, z)都可以表示为P 到Q的位移向量r与方向向量a的线性组合：r = PQ = (x x0, y y0, z z0)。
a = (a1, a2, a3)。
根据向量的性质，我们知道向量r与向量a平行，即它们的叉乘为零向量：r × a = 0。
展开叉乘运算，我们可以得到直线的标准方程：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的标准方程。
通过这个方程，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以判断一个给定的点是否在直线上。
除了标准方程，我们还可以用参数方程和对称方程来表示空间直线。
参数方程是将直线上的任意一点表示为一个参数t的函数，而对称方程则是用直线上的一个固定点和一个方向向量来表示直线上的任意一点。
这些方程形式各有特点，可以根据具体的问题选择合适的表示方式。
在实际应用中，空间直线的标准方程可以帮助我们解决许多几何和物理问题。
比如，在计算机图形学中，我们常常需要判断一条射线是否与一个三维物体相交，这时就可以利用直线的标准方程来进行计算。
在工程设计中，直线的标准方程也可以用来描述物体的运动轨迹和空间布局。
总之，空间直线的标准方程是解决空间几何问题的重要工具，它具有简洁清晰的形式，可以方便地应用于各种实际问题中。
通过学习和掌握这一知识点，我们可以更好地理解和运用空间几何的相关知识，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解空间直线的标准方程，也希望读者能够在实际问题中灵活运用这一知识点，为自己的学习和工作带来更多的收获和成就。
空间直线三种方程的转换
空间直线三种方程的转换
空间直线的三种方程分别为：一般式方程，标准式方程以及参数式方程。
它们之间的转换规则如下：
一般式方程转换为标准式方程：
如果空间直线的一般式方程为 Ax+By+Cz+D=0，那么就可以将它转换为标准式方程：
frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}
其中，a=frac{A}{D}, b=frac{B}{D}, c=frac{C}{D},
x_0=-frac{A}{D}, y_0=-frac{B}{D}, z_0=-frac{C}{D} 标准式方程转换为参数式方程：
如果空间直线的标准式方程为：
frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}，那么可以将它转换为参数式方程：
x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct
其中，t是方程的参数，它可正可负。
一般式方程转换为参数式方程：
如果空间直线的一般式方程为 Ax+By+Cz+D=0，那么就可以将它转换为参数式方程：
x=x_0+frac{A}{D}t, y=y_0+frac{B}{D}t, z=z_0+frac{C}{D}t 其中，x_0=-frac{A}{D}, y_0=-frac{B}{D}, z_0=-frac{C}{D}，t是方程的参数，它可正可负。
- 1 -。
8-2空间平面和直线方程
y
x
M
0
由点法式方程得平面方程 2( y 1) 1( z 2) 0, 即
2 y z 0.
例2 设平面过点 M0 (3,1,2) 及 x轴, 求其方程. 解2 用待定常数法. 设平面方程是 Ax By Cz D 0 点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, 得 D A 0, 从而平面方程是
两直线的夹角公式
2 2 2 2 2 2
cos( L^ ,L )
1 2
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件) L1 : s1 ( m1 , n1 , p1 ), L2 : s2 ( m2 , n2 , p2 )
(1) L1 L2 ( 2) L1 // L2
m1m2 n1n2 p1 p2 0
x 1 y 1 z 1 如对称式方程为 0 1 1
x 1 0 可写成一般方程 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1 又如 0 0 1
x 1 可写成一般方程 y1
z
1 x
O
1 y
例6 求过两点M1(1,2,3), M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M1 M 2 与直线平行 取 s M1 M 2 (1,4,2) 所求直线方程为
a 1, b 6, c 1
所求平面方程为 6 x y 6z 6.
4. 两平面的夹角 定义 两平面法向量的夹角称为两平面的夹角. (通常取锐角)
n2 n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
2
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
( 3) A B 0, 平面平行于 xOy坐标面；
2-3 空间直线的方程
练习
化直线l的参数方程: x 2 3t , y 3 z 1 t 为标准方程. t为参数
2. 标准式化一般式：
x x0 y y0 z z0 X Y Z
揪 揪 揪 ? ? 求向取点
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
x x0 y y0 z z0 直线的标准方程 X Y Z
以上的直线方程都由直线上一点与方向向量 所确定，都称为点向式方程。
例2. 求通过两点P1 (x1, y1, z1 )和P2 (x2, y2, z2 )的直线 l 的方程。
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
直线l对两个坐标面xOy, yOz的射影平面都是y－2=0.
小结
§1直线的方程
1.直线的参数方程(向量式、坐标式) 点向式 2.直线的标准方程(对称式)(两点式) 3.直线的一般式方程 4.直线的射影式方程(特殊的一般式)
练习
P88 1（1）（2），5（2）
作业
P88 1（3）（4）
4.2 各式直线方程的互化
揪 揪 井 1. 参数式 ? 令公比t
x x0 Xt y y0 Yt z z Zt 0
消去t
标准式
x x0 y y0 z z0 X Y Z
例7 化下述直线的标准方程为参数方程：
x 1 y 2 z 1 . 2 1 0
例11 将下述直线的一般式方程化为参数方程.
5x y z 4 0 x y z 6 0
(1) (2)
解法一 先化为标准方程后令公比t 解法二 取x为t，解关于x的方程组
空间直线的一般方程化为标准方程
空间直线的一般方程化为标准方程空间直线是三维空间中的一种基本图形，通过空间直线我们可以更准确的定位和描述空间中的物体位置和运动，因此研究空间直线的一般方程化为标准方程，对我们来说是十分重要的。
下面，我们将分步骤阐述一下如何将空间直线的一般方程化为标准方程。
一、空间直线的一般方程在空间直线的一般方程中，我们可以将其表示为：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$其中，$x_0, y_0, z_0$是空间直线经过的一点，$a, b, c$是空间直线的方向比例系数。
利用一般方程，我们可以求出通过给定点和方向向量的空间直线方程。
二、空间直线的参数方程将空间直线的方向比例系数表示为参数$t_1, t_2$，则其参数方程可以表示为：$$x=x_0+at_1$$$$y=y_0+bt_1$$$$z=z_0+ct_2$$其中，$t_1, t_2$均为实数，可取任意值，因此通过参数方程，我们可以得到一条直线上的无数个点的位置。
三、空间直线的对称式方程对于具有平面对称性的空间直线，我们可以将其对称式方程表示为：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$其中，$d$是空间直线到平面的距离。
通过对称式方程，我们可以得到空间中与给定直线关于相应平面的对称直线。
四、空间直线的标准方程将空间直线的一般方程化为标准方程，我们需要将其分别表示为$x, y$和$z$的函数，即：$$x=x_0+at$$$$y=y_0+bt$$$$z=z_0+ct$$将以上三个式子带入到一般方程中，得到：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$$即空间直线的标准方程为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}$$通过标准方程，我们可以更直观地描述空间直线的位置和方向。
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空间直线的标准方程
空间直线是三维空间中的一条线段，其方程需要用到空间直角坐
标系中三个坐标轴的参数。
我们可以用“点向式”或“标准式”来表
示三维空间中的直线，其中标准式的形式相对简单，也最为常用。
空间直线的标准方程可以表示成下面这样：
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
其中 x、y、z 分别表示直线上各点的空间坐标，t 表示参数，a、b、c 分别为直线的方向向量的三个分量，x0、y0、z0 则是直线上某
点的坐标。
由此可见，标准方程的关键就在于搞清楚直线的方向向量和一点
坐标。
下面我们来逐一讲解这两个参数的含义。
1、方向向量
直线的方向向量是描述直线方向的参数，也就是直线上的所有点
都沿着这个方向向量运动。
三维空间中的向量可以用三个分量表示，
每个分量分别对应于坐标轴上的一个方向，例如向量 a = (a1, a2,
a3) 表示在 x、y、z 三个方向上分别为 a1、a2、a3，可以用于表示
从点 A 到点 B 的方向向量。
通过上面这个例子，我们可以想象出，如果直线上的某个点为 A，另外一个点为 B，那么直线的方向向量就可以表示成 b - a，也就是
直线的某个点到另外一个点的向量。
2、一点坐标
一点坐标指的是直线上的某一个固定点，可以用它的坐标表示。
在标准方程中，我们用 x0、y0、z0 来表示这个点。
当然，该直线上的任何一点都可以作为一点坐标来确定直线的方程，因此如果我们知道直线上两点的坐标，就可以求出该直线的方向
向量和一点坐标。
求出直线的参数后，我们就可以通过直线的标准方程来求出该直
线上的任意一点的坐标，只需要给定参数 t，将 t 带入标准方程即可
求出该点在 x、y、z 轴上的坐标。
例如，给定一条直线的空间坐标为 (1, 2, 3)、(2, 3, 4)，则可
根据两点求出该直线的方向向量为 (1, 1, 1)，取其中一点 (1, 2, 3) 作为一点坐标，则得到该直线的标准方程为：
x = 1+t
y = 2+t
z = 3+t
此时，我们可以根据任意的参数 t 来求出直线任意一点的坐标，
例如当 t = 2 时，可计算出直线上的点坐标为 (3, 4, 5)。