内点法无法处理等式约束
(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案
第一、填空题1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。
2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。
3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。
4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。
5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。
6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。
7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession矩阵为 。
（2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。
9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠度 最低 的那个单元的可靠度还低。
10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。
11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。
12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。
13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。
14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。
15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向，模型求解 两方面的内容。
17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。
18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。
19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据范围涵盖了均值左右 3σ 的区间。
内点法求解约束优化问题
min G ( x, rk )
由于问题本身很简单， 我们利用无约束优化问题的最优性条件得到以 上问题的解。即利用解析的方法，令
rk dG 1 = ( x1 + 1) 2 − =0 2 dx1 4 ( x1 − 1)
r dG = 1 − k2 = 0 dx2 x2
解得
x rk = ( x1 , x2 ) =
例 8.3：考虑下列问题，利用内点法求解。
min
1 3 ( x1 + 1) + x2 12 s.t. x1 − 1 ≥ 0 x2 ≥ 0
解：定义障碍函数
G ( x, rk ) =
1 1 1 3 + ( x1 + 1) + x2 + rk 12 x1 − 1 x2
可通过求解下列无约束优化问题，求得该问题的近似解：
G ( x, r ) = ( x + 1) + r
2
1 x
可通过求解下列无约束优化问题，求得该问题的近似解：
min G ( x, r )
由于问题本身很简单， 我们利用无约束优化问题的最优性条件得到以 上问题的解。即利用解析的方法，令
dG r = 2( x + 1) − 2 = 0 dx x
解得
2( x
显然， rk 越小， x rk 越接近问题的最优解，当 rk → 0 时，
x rk → x → (1, 0) 。
所以问题的最优解为 x 。
例 8.4：考虑下列问题，利用内点法求解。
min f ( x) = ( x + 1) 2 s.t. g ( x) = x ≥ 0
解：定义障碍函数
显然， r 越小， x r 越接近问题的最优解，当 r → 0 时，
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
内点法介绍(Interior Point Method)
内点法介绍（Interior Point Method）在面对无约束的优化命题时，我们可以采用牛顿法等方法来求解。
而面对有约束的命题时，我们往往需要更高级的算法。
单纯形法（Simplex Method）可以用来求解带约束的线性规划命题（LP），与之类似的有效集法（Active Set Method）可以用来求解带约束的二次规划（QP），而内点法（Interior Point Method）则是另一种用于求解带约束的优化命题的方法。
而且无论是面对LP还是QP，内点法都显示出了相当的极好的性能，例如多项式的算法复杂度。
本文主要介绍两种内点法，障碍函数法（Barrier Method）和原始对偶法（Primal-Dual Method）。
其中障碍函数法的内容主要来源于Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe的Convex Optimization一书，原始对偶法的内容主要来源于Jorge Nocedal和Stephen J. Wright的Numerical Optimization一书（第二版）。
为了便于与原书对照理解，后面的命题与公式分别采用了对应书中的记法，并且两者方法针对的是不同的命题。
两种方法中的同一变量可能在不同的方法中有不同的意义，如μ。
在介绍玩两种方法后会有一些比较。
障碍函数法Barrier MethodCentral Path举例原始对偶内点法Primal Dual Interior Point Method Central Path举例几个问题障碍函数法（Barrier Method）对于障碍函数法，我们考虑一个一般性的优化命题：minsubject tof0(x)fi(x)≤0,i=1,...,mAx=b(1) 这里f0,...,fm:Rn→R 是二阶可导的凸函数。
同时我也要求命题是有解的，即最优解x 存在，且其对应的目标函数为p。
此外，我们还假设原命题是可行的（feasible）。
内点法求解约束优化问题
内点法求解约束优化问题
内点法是求解约束优化问题的常用方法。
它是基于一系列有着内点性质的状态，以及坐标搜索的方式协调各个变量的取值，使得最后的决策策略最优化的一种方法。
内点法的主要思想是由近及远，先从尽量满足约束条件的中心点出发，向给定目标所指示的方向搜索，每次搜索考虑当前状态以及离目标最近的方向，每次搜索都朝着目标达到最优的方向移动，不断地搜索直到达到“内点”的状态，从而实现最优化的目的。
与其它优化方法相比，内点法有多种优势，首先它会在搜索的过程中避免计算量大的函数的导数，其次它可以有效的避免进入未知的未知地带，可以保证每次搜索都是按照“内点”的方向进行，这样可以较快收敛至最优解，收敛速度也很快。
内点法在求解约束优化问题时具有重要意义，它能够有效地解决最优化问题，即使在约束条件和函数的较复杂的情况下也可以有效的获得最优值。
然而，由于内点法所求解的优化问题较多复杂，因此求解时间也会较长，因此在实际应用时需要有较强的可调整性，以便在不同的情况下能够有效调整搜索方向、步长大小等参数，以达到最优效果。
总之，内点法是一种用于求解约束优化问题常用的优化方法，它以坐标搜索的方式考虑变量的取值，使得最后的决策策略最优化，可以有效收敛到最优解，但是同时也受到参数的调整性的影响，因此在实际应用中必须根据情况来调整搜索参数，以达到最优效果。
非凸优化问题的约束优化算法研究
非凸优化问题的约束优化算法研究非凸优化问题是现实生活中广泛存在的一类重要问题，其约束优化算法的研究对于解决实际问题具有重要意义。
本文将对非凸优化问题的约束优化算法进行深入研究，探讨其应用场景、算法原理以及存在的挑战和解决方案。
一、引言非凸优化问题是指目标函数和约束函数中至少有一个是非凸函数的优化问题。
相比于凸优化问题，非凸优化问题更具挑战性，因为其解空间中存在多个局部最优解。
而约束优化算法旨在在满足一定约束条件下寻找全局最优解。
二、应用场景非凸优化在实际生活中有广泛应用。
例如，在工程设计中，我们常常需要考虑多个设计变量和多个目标函数之间的平衡关系；在金融领域，我们需要考虑投资组合的风险和收益之间的平衡；在机器学习领域，我们需要通过调整模型参数来最小化损失函数等等。
这些都是典型的非凸优化问题。
三、常见算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常见且经典的优化算法，其思想是通过迭代的方式不断调整参数，使目标函数逐渐收敛到最优解。
然而，由于非凸优化问题存在多个局部最优解，梯度下降法容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
2. 全局优化算法全局优化算法是专门用于解决非凸问题的一类算法。
其中，遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等被广泛应用于非凸问题的求解。
这些算法通过引入随机性和多个搜索点来提高全局搜索能力。
3. 内点方法内点方法是一种求解约束最优化问题的有效方法。
其基本思想是通过将约束条件转化为罚函数或者广义拉格朗日函数，并引入惩罚项来实现约束条件的满足。
内点方法能够有效地处理非线性约束和不等式约束等复杂情况。
四、挑战与解决方案1. 局部最优陷阱非凸问题存在多个局部最优解，使得传统的梯度下降等方法容易陷入其中无法跳出。
为了克服这一挑战，可以采用全局搜索策略来提高找到全局最优解的概率。
2. 多约束条件非凸优化问题往往伴随着多个约束条件，这增加了问题的复杂性。
内点方法是解决多约束条件问题的有效方法，通过将约束条件转化为罚函数或广义拉格朗日函数，将多个约束条件转化为单一目标函数进行求解。
吉大18春学期《机械优化设计》在线作业一-0004
吉大18春学期《机械优化设计》在线作业一-0004
（）是用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。
A:外点法
B:内点法
C:混合法
D:抛物线法
答案：C
下列说法不正确的一项是（????? ）。
A:变量轮换法的方法是依次沿相应的坐标轴方向进行的一维优化，收敛速度较慢
B:二维正定二次函数的等值线是同心的椭圆族，且椭圆中心就是以该函数为目标函数的极小点
C:用梯度法寻求目标函数的最小值时，就是沿目标函数方向上的一维搜索寻优法
D:利用复合形法进行优化设计时，构造初始复合形的全部顶点都必须在可行城内选取。
答案：C
黄金分割的数值为（）。
A:0.618
B:0.318
C:0.218
D:0.118
答案：A
具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值亦即全域最优值的函数，称为（）。
A:凸函数
B:双峰函数
C:一次函数
D:线性函数
答案：A
动态问题分为约束问题和（）两种。
A:一维问题
B:n维性问题
C:无约束问题
D:约束问题
答案：C
一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作（）。
A:可行条件
B:固定条件
C:约束条件
D:边界条件
答案：C
（）是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。
A:外点法
B:内点法
C:混合法
D:抛物线法。
优化设计习题答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2。
函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3。
目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，,同时必须是设计变量的可计算函数 .4。
建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 .8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1， 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法.14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。
二、名词解释 1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
8-2内点法
可以定义惩罚函数
1 Φ(x,r) f(x) r i 1 g i (x)
m
或
Φ(x,r) f(x) r log ( g i (x))
i 1 m
这里的惩罚函数 Φ(x,r) 也称障碍函数， r 称 为障碍因子。 其中， r 是很小的正数。 当 x 趋于可行域的边界时，至少有一个
m
1 x rk x2
用解析法求最优解 dΦ r k 1 0 2 dx (x 2 ) 解得
x 2 rk
令 r k 0 ，则得最优解 x 2 下面是几何意义:
x2
f( x) x
目标函数
x2
可行域
目标函数 在可行域 边界上达 到最小
x
障碍函数 的 最优解
非线性规划
第八章 惩罚函数法
§8.2
内点法
内点法也叫障碍函数法。 基本思想：在每次迭代中迭代点都保持在 可行域内，即每次迭代点被阻挡在由可行域边界 构成的“障碍”之内。
适用范围：内点法只使用与不等式约束最 优化问题. 1 惩罚函数的构造 考虑不等式约束问题 min f(x) （Ⅰ） s .t g (x) 0 ,i 1,2 ,m i
解： 障碍函数用对数形式
Φ(x,r) f(x) r log ( g i (x))
m
( x1 x 2 ) 2 r k ln ( x 1 x 2 ) r k ln x 1
用解析法求最优解
i 1
2 x1 r k r k Φ 1 0 2 x1 x1 x 2 x1 Φ r k 1 0 2 x2 x1 x 2
g i (x) 0
，因此，
Φ(x,r)
内点法求解约束最优解问题
double r_k = 2;
CMatrix X1,g,A;
while(true)
{
for(int i =0;i<3;i++)
{
g = diff_fun(X0,r_k);
A = hesse(X0,r_k);
double m1 = (g.Transpose()*g).A[0][0];
内点法求解约束最优解问题对偶问题的最优解线性规划最优解最优解pareto最优解局部最优解最优解算法matlab求最优解欧赔最优解全-------------基于成都理工大学最优化教材
#include<iostream.h>
#include<math.h>
{
return (1/3)*(mt.A[0][0]*mt.A[0][0]*mt.A[0][0]) + mt.A[1][0] \
+r_k*((1/(mt.A[0][0]-1)) - (1/mt.A[1][0]));
}
void main()
{
CMatrix X0(2,1); //初始解
X0.A[0][0] = 2;
double m2 = (g.Transpose()*A*g).A[0][0];
X1 = X0 - g.Matrix_Multiply((m1/m2));
X0 = X1;
}
if( r_k*((1/(X1.A[0][0]-1)) - (1/X1.A[1][0]))< eclipse)
{
break;
}
else
#include<iomanip.h>
#include "Matrix.h"
基于优先级排序和内点法的机组优化组合
基于优先级排序和内点法的机组优化组合王剑;刘天琪;刘学平【摘要】机组优化组合的目标是确定电力系统煤耗量和网损最小的发电调度方式.优化模型中考虑了机组爬坡率的限制、输电网络断面安全约束,针对寻优效率提出了一种优先级排序和内点法相结合的机组组合优化方法.按能耗指标形成机组优先级排序表,以获得尽可能好的开机方式初始值;用局部寻优法在初始值附近的可行域内寻求最优组合状态;对负荷分配的连续性子问题用内点法求解.通过对IEEE-39节点10机系统进行仿真计算,验证了所提方法收敛速度快、耗时少,对处理机组组合问题具有有效性和适用性.【期刊名称】《电力系统保护与控制》【年(卷),期】2010(038)013【总页数】6页(P55-60)【关键词】机组组合;优先级表;内点法;负荷分配【作者】王剑;刘天琪;刘学平【作者单位】四川大学电气信息学院,四川,成都,610065;四川大学电气信息学院,四川,成都,610065;四川大学电气信息学院,四川,成都,610065【正文语种】中文【中图分类】TM760 引言动态经济调度是考虑系统负荷各个时段之间的联系，计入机组出力的一些技术约束的一种优化调度方法，是一个动态机组组合问题，对提高系统经济性和安全性有着重要的意义。
近年来，国家实施节能调度政策[1]，对于火电机组，煤耗低的多发、满发，煤耗高的机组少发、不发，这可能会导致断面潮流越限[2]，网络安全制约是必须考虑的问题。
传统经济调度涉及机组启停决策和负荷优化分配，目前研究工作正在朝着考虑多种约束条件、大规模电网、快速收敛的算法和更好的优化结果方向发展。
文献[3-5]分别考虑了机组爬坡速率约束、旋转备用约束、网络断面潮流约束。
在算法方面，文献[6]提出具有状态约束的动态系统优化调度方法，但计及网络的动态优化调度问题尚需进一步研究。
文献[7]中提出了一种动态经济调度的快速解耦算法。
近年来，智能优化算法引入到电力系统中，如遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法、粒子群算法、蚁群算法、人工神经网络等[8]，这类算法不要求严格的数学模型，寻优过程本质是随机的，迭代次数较多，计算速度慢，并且优化结果受初值及寻优规则的影响，算法本质是启发式的，缺乏刚性[9-10]。
内点法
3案例应用 用内罚函数法求解下面的优化问题：min f(x ) 2x1 3x2
s.t.
1 2x12
x
2 2
0
0.01 r0 10
x0 (0.5,0.5)T c 0.5
1.构造内惩罚函数:
(X ,r ) 2x1
3x 2
r
1 /(1
-
2x12
-
x
2 2
)
(X ,r ) 2x1
3x 2
1
|| x * (rk ) x * (rk1) || 2
x* x *(rk )
f (x*) f (x *(rk ))
2函数构造 （5）算法步骤 ① 选择 可行的初始点; 惩罚因子的初始值; 缩减系数; 收敛精度; 取迭代次数k<-0. ② 构造惩罚函数,选择无约束优化方法求解方法, 求出无约束极值. ③ 判断所得极值点是否满足收敛条件 满足:取极值点为最优点,迭代终止 不满足:缩小惩罚因子,将极值点作为初始点, 增加迭代次数,转步骤2),直到满足收敛条件为止.
j 1
2 函数构造
①从形式看，内点法对应的问题仍然是一个约束优化问题；但从计算观 点看，是一个无约束优化问题。
②在可行域的边界附近，问题的目标函数 +∞，只要从可行域D的任 何一个内点开始迭代，并注意控制一维搜索的步长，就可以使跌点Xk不越 过可行域，因此不必要直接地与约束问题打交道。
③若原问题的解位于边界，rk越小，障碍项rkB（x）所起的作用越小， 越接近真解。
r
ln(1
-
2x12
-
x
2 2
)
3案例应用
2.用解析法求内惩罚函数的极小点
(X ,r )
[2
内点法的基本原理以及举例计算
内点法的基本原理以及举例计算⼀、内点法1. 基本原理内点法的特点是将构造的新的⽆约束⽬标函数——惩罚函数定义在可⾏域内，并在可⾏域内求惩罚函数的极值点，即求解⽆约束问题时的探索点总是在可⾏域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列⽆约束优化问题的过程中，所求得的系列⽆约束优化问题的解总是可⾏解，从⽽在可⾏域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。
内点法是求解不等式约束最优化问题的⼀种⼗分有效⽅法，但不能处理等式约束。
因为构造的内点惩罚函数是定义在可⾏域内的函数，⽽等式约束优化问题不存在可⾏域空间，因此，内点法不能⽤来求解等式约束优化问题。
对于⽬标函数为min ()f Xs.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ）的最优化问题，利⽤内点法进⾏求解时，构造惩罚函数的⼀般表达式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ?==-∑ 或者 ()()()[]11(,)()ln ()()ln ()mmk k k uuu u X rf X rgX f X rgX ?===+=--∑∑⽽对于()f X 受约束于()0(1,2,,)u g X u m ≥= 的最优化问题，其惩罚函数的⼀般形式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ?==+∑ 或()()[]1(,)()ln ()mk k uu X r f X rgX ?==-∑式中，()k r-----惩罚因⼦，是递减的正数序列，即()()()()()1210kk r r r r r +>>>>>>>()lim 0k k r →∞=通常取()1.0,0.1,0.01,0.001,k r= 。
上述惩罚函数表达式的右边第⼆项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：当迭代点在可⾏域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），⽽()0k r>，则惩罚项恒为正值，当设计点由可⾏域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增⼤并趋向⽆穷⼤，于是惩罚函数的值也急剧增⼤直⾄⽆穷⼤，起到惩罚的作⽤，使其在迭代过程中始终不会触及约束边界。
机械优化设计简答
简答题1.设计变量与设计常量的区别？答：常量：预先取为定值；变量：需要在优化设计过程中不断进行修改调整，一直处于变化状态2.什么叫约束条件？按性质分哪几种约束及其各自的定义？答：约束条件：为了使设计获得能满足各项要求的最佳方案，在建立优化数学模型时，需要提出一些必要的条件，以便对设计变量的取值加以限制。
这些对设计变量取值加以限制的条件，称为约束条件。
约束条件分为边界约束（几何约束）和性能约束两种。
3.什么叫凸集、凸函数？答：凸集：设D 是n 维欧式空间中设计点的一个集合，若其中任意两个点x1，x2所连成的线段都包含在该集合中，则这个集合为凸集。
凸函数：设D 是n 维欧式空间中的一个凸集，f(x)为定义在D 上的函数，若对任何实数和D 上的两点X1,X2有 则称f(x)定义为凸集D 上的一个凸函数。
4.最速下降法的特点？优缺点？答：？？5.原始牛顿法与阻尼牛顿法的区别？为什么要引进阻尼牛顿法，原始牛顿法的基本原理？答：由于牛顿法迭代公式中没有步长因子 ，或者说步长因子 ，这对非二次型目标函数，有时候会出现函数值上升即 的情况。
这表明牛顿法不能保证函数值稳定下降，在严重的情况下甚至可能造成迭代点的发散而导致计算失败，为克服上述弊端，引进阻尼牛顿法，阻尼牛顿法迭代公式为： 原始牛顿法牛顿法的迭代公式： 6.变尺度法中，变尺度矩阵的变化规律？答：刚开始迭代是单位矩阵；极值点时向海塞矩阵靠近。
7.坐标轮换法基本原理？答：将一个多维无约束优化问题转换为一系列一维优化问题来求解，即依次沿着坐标轴的方向进行一维搜索，求得极小点。
8.共轭方向法对基本方向组有哪些要求和缺陷？鲍威尔法在基础上做了哪两点改进？答：共轭方向法的基本要求：各方向组的向量之间是线性无关；两点改进：（1）在每轮迭代完成并产生共轭方向后，先对共轭方向的好坏进行判断，检验它是否与其他方向线性相关，若共轭方向不好，则不用它，仍用原来的一组迭代方向。
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
内点法介绍(Interior Point Method)
内点法介绍（Interior Point Method）在面对无约束的优化命题时，我们可以采用牛顿法等方法来求解。
而面对有约束的命题时，我们往往需要更高级的算法。
单纯形法（Simplex Method）可以用来求解带约束的线性规划命题（LP），与之类似的有效集法（Active Set Method）可以用来求解带约束的二次规划（QP），而内点法（Interior Point Method）则是另一种用于求解带约束的优化命题的方法。
而且无论是面对LP还是QP，内点法都显示出了相当的极好的性能，例如多项式的算法复杂度。
本文主要介绍两种内点法，障碍函数法（Barrier Method）和原始对偶法（Primal-Dual Method）。
其中障碍函数法的内容主要来源于Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe的Convex Optimization一书，原始对偶法的内容主要来源于Jorge Nocedal和Stephen J. Wright的Numerical Optimization一书（第二版）。
为了便于与原书对照理解，后面的命题与公式分别采用了对应书中的记法，并且两者方法针对的是不同的命题。
两种方法中的同一变量可能在不同的方法中有不同的意义，如μ。
在介绍玩两种方法后会有一些比较。
障碍函数法Barrier MethodCentral Path举例原始对偶内点法Primal Dual Interior Point Method Central Path举例几个问题障碍函数法（Barrier Method）对于障碍函数法，我们考虑一个一般性的优化命题：minsubject tof0(x)fi(x)≤0,i=1,...,mAx=b(1) 这里f0,...,fm:Rn→R 是二阶可导的凸函数。
同时我也要求命题是有解的，即最优解x 存在，且其对应的目标函数为p。
此外，我们还假设原命题是可行的（feasible）。
内点法的基本原理以及举例计算
１． 基本原理内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部,这样,在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中,所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。
内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。
因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数,而等式约束优化问题不存在可行域空间,因此,内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为min ()f Xs ．ｔ. ()0u g X ≤ （u=1,2,３,…m)的最优化问题，利用内点法进行求解时,构造惩罚函数的一般表达式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==-∑ 或者()()()[]11(,)()ln ()()ln ()mmk k k uuu u X r f X rg X f X rg X ϕ===+=--∑∑而对于()f X 受约束于()0(1,2,,)u g X u m ≥=的最优化问题,其惩罚函数的一般形式为()()11(,)()()mk k u uX r f X rg X ϕ==+∑ 或()()[]1(,)()ln ()mk k uu X r f X rgX ϕ==-∑式中,()k r---－-惩罚因子,是递减的正数序列，即()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>>>()lim 0k k r →∞=通常取()1.0,0.1,0.01,0.001,k r=。
上述惩罚函数表达式的右边第二项,称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：当迭代点在可行域内部时,有()0u g X ≤(u ＝１,2，3，4,…m),而()0k r>,则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触2. 内点法的迭代步骤（1)取初始惩罚因子(0)0r>，允许误差0ε>;（2)在可行域D 内取初始点()0X ，令1k =;(3)构造惩罚函数()(,)k X rϕ，从(1)k X -点出发用无约束优化方法求解惩罚函数()(,)k X r ϕ的极值点()()k X r *；（４）检查迭代终止准则：如果满足()()1571()()1010k k X r X r ε-**---≤=-或()()()13421(,)(,)1010(,)k k k X r X r X r ϕϕεϕ-**---*-≤=- 则停止迭代计算,并以()()k X r*为原目标函数()f X 的约束最优解,否则转入下一步；根据情况，终止准则还可有如下的形式：()()1()()k k f X f X ε--≤或()11()mk u urg X ε=≤∑ 或()1ln ()mk uu rg X ε=≤∑5)取()()()()10,(),1k kkrCr X X r k k +*===+，转向步骤３）。
内点罚函数的算法优缺点
内点罚函数的算法优缺点
内点罚函数法是一种处理约束优化问题的方法，其主要思想是通过在迭代过程中保持在约束条件内部进行，从而逐步接近可行解。
该方法的优缺点如下：
优点：
每次迭代的点都是可行点：由于内点罚函数法始终在约束条件的内部寻找最优解，因此每次迭代产生的点都是满足约束条件的可行点。
这一点对于许多实际问题来说是非常重要的，因为在实际应用中，往往只接受满足约束条件的解。
回避了计算变量的增加：与其他一些处理约束优化问题的方法相比，内点罚函数法不需要引入额外的变量或约束条件，从而避免了计算复杂性的增加。
可以处理大规模问题：由于内点罚函数法具有较低的计算复杂性和存储空间需求，因此它可以有效地处理大规模约束优化问题。
缺点：
初始点需要是可行域的内点：内点罚函数法要求初始点必须是可行域的内点，这一点对于某些问题来说可能比较难以满足。
同时，寻找一个合适的初始点也可能需要相当的工作量。
不能处理等式约束：内点罚函数法主要适用于处理不等式约束优化问题，对于等式约束问题，该方法可能无法找到最优解。
障碍因子减小可能导致数值不稳定：在内点罚函数法中，随着迭代的进行，障碍因子需要逐渐减小。
然而，过小的障碍因子可能导致数值不稳定，从而影响算法的收敛性和精度。
对非线性约束的处理能力有限：虽然内点罚函数法可以处理一些非线性约束问题，但对于高度非线性的约束条件，该方法可能无法找到全局最优解。
总的来说，内点罚函数法在处理约束优化问题时具有一定的优势和局限性。
在实际应用中，需要根据问题的具体特点和需求来选择合适的方法。
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内点法无法处理等式约束
1. 引言
在数学和优化领域中，等式约束是一类经常出现的问题。
在优化问题中，等式约束指的是优化目标函数所受到的一系列等式限制条件。
内点法（Interior Point Method）是一种常用的优化算法，通常用于解决约束优化问题。
然而，内点法无法处理等式约束问题，因为等式约束问题的解空间通常是非凸的。
本文将详细介绍内点法的原理和应用，并解释为什么内点法无法处理等式约束。
2. 内点法的原理
内点法是一种迭代算法，用于求解凸优化问题。
其基本思想是通过将问题转化为无约束问题，找到目标函数在可行域内的最优解。
内点法的核心思想是通过引入一系列罚函数，将约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而将原问题转化为一个无约束优化问题。
内点法的基本步骤如下：
1.初始化：选择初始点作为可行解。
2.内点迭代：迭代计算目标函数的梯度和Hessian矩阵，并更新可行点，直到
满足终止条件。
3.输出结果：输出最优解。
内点法的优点是收敛速度快，对于大规模问题具有较好的求解效果。
然而，当问题存在等式约束时，内点法的应用受到限制。
3. 等式约束问题
等式约束问题是指在优化问题中，目标函数受到一系列等式限制条件的约束。
等式约束问题的一般形式如下：
minimize f(x)
subject to c(x) = 0
其中，f(x)是目标函数，c(x)是一组等式约束条件。
等式约束问题的解空间通常是非凸的，即不满足凸集的定义。
因此，内点法无法直接应用于等式约束问题。
4. 内点法无法处理等式约束的原因
内点法无法处理等式约束问题的原因主要有以下几点：
4.1 非凸性
等式约束问题的解空间通常是非凸的。
非凸集是指不满足凸集的定义，即集合中的任意两点的连线不完全位于集合内部。
内点法是一种基于凸集的优化算法，只能处理凸优化问题。
因此，当问题存在非凸性时，内点法无法应用。
4.2 无法构造合适的罚函数
内点法通过引入罚函数将约束条件转化为目标函数的惩罚项。
然而，在等式约束问题中，无法构造合适的罚函数来处理等式约束条件。
因为等式约束条件的梯度为零，罚函数无法对等式约束进行惩罚，导致内点法无法处理等式约束。
4.3 无法满足等式约束条件
内点法的迭代过程是通过更新可行点来逐步逼近最优解。
然而，在等式约束问题中，无法通过迭代更新来满足等式约束条件。
因为等式约束条件是固定的，无法通过改变可行点来满足等式约束，导致内点法无法处理等式约束。
5. 处理等式约束的方法
虽然内点法无法直接处理等式约束问题，但可以通过一些方法来间接处理等式约束。
以下是几种常用的方法：
5.1 乘子法
乘子法是一种常用的处理等式约束问题的方法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束问题转化为无约束问题。
通过求解拉格朗日函数的梯度为零的条件，可以得到等式约束问题的最优解。
5.2 惩罚函数法
惩罚函数法是一种通过引入惩罚函数来处理等式约束问题的方法。
该方法通过将等式约束条件转化为目标函数的惩罚项，将等式约束问题转化为无约束问题。
通过迭代求解无约束问题，可以得到等式约束问题的最优解。
5.3 内点法的扩展
内点法可以通过一些扩展方法来间接处理等式约束问题。
例如，可以将等式约束问题转化为近似的凸优化问题，然后应用内点法进行求解。
这种方法可以通过逼近等式约束问题的解空间来求解等式约束问题。
6. 结论
内点法是一种常用的优化算法，用于求解凸优化问题。
然而，内点法无法直接处理等式约束问题，因为等式约束问题的解空间通常是非凸的。
本文详细介绍了内点法的原理和应用，并解释了为什么内点法无法处理等式约束。
同时，介绍了一些处理等式约束问题的方法，如乘子法、惩罚函数法和内点法的扩展方法。
这些方法可以
在一定程度上间接处理等式约束问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法来处理等式约束。