第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考

平面向量与复数
第一节平面向量的概念
一、课程标准
1.向量概念
(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两
个向量相等的含义；
(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．
2.向量运算
(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意
义；
(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向
量共线的含义；
(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；
(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量
积；
(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．
新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．
二、知识梳理
知识点一向量的有关概念
名称定义备注
向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的
(或称)
平面向量是自由向量
零向量长度为的向量记作，其方向是任意的
单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a
|a|
平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线
相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0
1.对于平行向量易忽视两点：
(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易
忽视重合这一情况．
2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
法则
法则
(1)交换律：
a ＋
b ＝ (2)结合律：
(a ＋b )＋c ＝
减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差
法则
a －
b ＝a ＋(－b )
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
|λa |＝ ；
当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝
λ(μa )＝(λμ)a ；
(λ＋μ)a ＝ ；
λ(a ＋b )＝
知识点三 共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a 和b ，作OA →
＝a ，OB →
＝b ，则 就是a 与b 的夹角
设θ是a 与b 的夹角，
则θ的取值范围是
θ＝0或θ＝π
⇔ ，
⇔a ⊥b
• 温馨提醒 •
对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .
2．平面向量的数量积 (1)投影向量
①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →
＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，
叫做向量a 在
向量b 上的投影向量．
如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →
＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则
＝(|a |cos θ)e .
两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律
①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．
• 温馨提醒 •
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．
2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．
三、基础自测
1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )
A ．共线
B ．不共线
C ．共线且同向
D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．3
3．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
5．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →
＝________(用a ，b 表示).
四、核心题型
题型一 平面向量的有关概念及线性运算
例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )
A .|a |＝|b |＝1
B ．a ·b ＝1
C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0
D ．当a ，b
同向时，a ＝b
（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b
|b |
＝0成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．a ∥b
C ．a ＝－1
3
b D ．a ⊥b
(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →
＝( )
A ．56 A
B → －43 A
C → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →
D ．43
AB → ＋
56
AC →
题型二 平面向量共线定理的应用
例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )
A ．5
B ．3
C ．5
2 D ．2
(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →
＝－a ＋
2b ，则( )
A ．A ，
B ，D 三点共线 B ．B ，
C ，
D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线
(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →
，若B ，O ，D 三点
共线，则t 的值为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
题型三 平面向量的数量积及应用
例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →
＝( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →
＝2NA → ，则BC → ·OM →
的值为( )
A ．－15
B ．－9
C ．－6
D ．0
(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，
求向量a 在向量e 上的投影向量．
(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )
A ．3π4
B ．π4
C ．π3
D ．2π
3
(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．
五、变式训练
1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →
，
则2r ＋3s ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2..设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
4.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π
6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向
量的长度为( )
A ．2
B ．23
C ．3
D ．4
六、作业
一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。