理论力学

绪 论
理论力学是物理学专业学生必修的一门重要专业基础课，又是后续三大理论物理课程（即：电动力学、热力学与统计物理学、量子力学）的基础。

理论力学虽然讲授经典理论，但其概念、理论及方法不仅是许多后继专业课程的基础，甚至在解决现代科技问题中也能直接发挥作用。

近年来，许多工程专业的研究生常常要求补充理论力学知识以增强解决实际问题能力，因此学习理论力学课程的重要性是显然的。

既然我们将开始学习理论力学这门课程,我们至少应该了解什么是理论力学?
一.什么是理论力学?
1. 它是经典力学.
理论力学是基础力学的后继课程,它从更深更普遍的角度来研究力与机械运动的基本规律。

当然它仍然属于经典力学，这里“经典”的含义本身就意味着该学科是完善和已成定论的,它自成一统,与物理学及其它学科所要探索的主流毫不相干。

正因为如此,原本属于物理学的力学,经过三百多年的发展到达20世纪初就从物理学中分化出来,并与数、理、化、天、地、生一起构成自然科学中的七大基础学科。

由于理论力学它是经典力学，因此它不同与20世纪初发展起来的量子力学，也不同于相对论力学。

它研究的机械运动速度比光速要小得多，它研究的对象是比原子大得多的客观物体。

如果物体的速度很大，可以同光速比拟，或者物体尺度很小如微观粒子，在这种情况下，经典力学的结论就不再成立，失去效用，而必须考虑它的量子效应和相对论效应。

因此，理论力学它有一定的局限性和适用范围，它只适用于c v << h t p t E >>∆⋅⋅)( (h —普朗克常数)的情况，不再适用于高速微观的情况。

经典力学的这一局限性并不奇怪，它完全符合自然科学发展的客观规律……。

从自然科学发展史的角度来看，由于力学是发展得最早的学科之一，这就难免有它的局限性。

因此，在某种意义上来说它确是一门古老而成熟的理论。

尽管理论力学是一门古老而成熟的理论，这并不意味着它是陈旧而无用的理论。

它不管是在今天还是在将来都仍是许多前沿学科不可缺少的基础。

其实，前沿总是相对基础而言的，没有基础哪来的前沿。

在最近几十年来以航天、原子能、计算机为标志的新技术和物理化学的新成就，促使力学有很大的发展。

理论的发展往往是沿着分久必合、合久必分的规律向前发展的。

随着科学和现代工程技术的神速发展，力学作为一门基础学科，正在突破它原来的范畴。

与其他学科交叉结合形成了许多新的分支学科。

多学科的交叉是当今科学发展的大趋势。

那么，力学有多少分支学科呢？就目前看来，力学大体上有14个分支学科。

2.力学的分支学科
1).质点与刚体力学(理论力学) ---——一般力学 2).流体力学
3).固体力学 4).物理力学 5).等离子体动力学
6).地球构造力学 7).生物力学 8).流变学 9).土力学
10).岩体力学 11).爆炸力学 12).计算力学 13).实验力学
14).理性力学
将力学分为上述这些分支学科，只能说是大体的划分,由于现代科学研究的复杂性和综合性,各学科是很难严格划分开来的,不仅现代是个动态的概念,而且划分界限也是动态的,不是静态的。

它也会随着科技的发展而发生变迁的。

比如近几年来力学界就是将质点与刚体力学,也就是我们这学期要学习的理论力学,把它归入到一般力学中。

无论有多少个力学分支学科。

理论力学都是它们必不可少的基础理论。

而就理论力学本身也有其重大的前沿研究课题。

非线性动力学中的混沌现象就是它当前正在探索的一个重大的前沿领域。

尽管混沌理论是在最近的三十年发展起来，它现在正处在发展阶段，它的理论还远未达到成熟的地步，但它的成就却被科学界誉称为二十世纪的三个重大科学成就之一。

被科学界公认的二十世纪的三个重大科学成就的就是我们熟悉了的相对论、量子论再加上这个混沌理论。

[混沌现象……]。

……了解本门课的前沿是必要的……，现在就去讲科学前沿的东西显然是不现实的，我们总得先从基础开始学起……。

我们在前面已经提到过理论力学研究的是客观物体的机械运动规律。

3.研究物体的机械运动
机械运动就是相对位置的改变（即空间位置随时间而改变）。

它是最基本、最低级的运动。

机械运动是最低级的运动。

既然有最低级的运动，相应的总有最高级的运动。

那么，什么是最高级的运动呢？---是我们大脑的思维运动，各种学科的任务就是研究各种运动形式。

在高级的运动形式中，必定包含着较低级的运动形式，这正好说明经典力学是重要的基础学科。

虽然在高级的运动形式中，包含着较低级的运动形式，但是，高级运动形式决不能简单地归结为低级的运动形式。

例如：我们的呼吸过程好不好归结为仅仅是气体的机械运动？这显然是不能的。

如果行的话，对于一个得了肺癌、气管病的人，用不着就医，将气管和肺割掉，再装上一个抽气机或打气机代替呼吸，不就好了。

这显然是很荒唐的，哪有这么简单的。

这样简单的话，医学上就不存在绝诊和难诊了。

所以，我们必须要了解，尽管高级运动形式中包含着较低级运动形式，但高级运动形式决不能归结为简单的低级运动。

也就是说不能以低级运动来替代高级运动。

4.具体内容
前面已经讲了,理论力学的主要任务是研究物体的宏观机械运动.那么,它又包括哪些具体内容呢? 理论力学
(1)按研究对象来分: 可分为质点力学、质点组力学、刚体力学，还有流体力学、弹性力学、以及高分子材料等等。

流体力学和弹性力学其实是连续介质力学问题，现在都已有它们的专著……,我们不去学它。

什么叫高分子材料？我们每个人的身上都有，我们穿的衣服、坐的椅子、以及塑料，化学纤维等等都是高分子材料。

至于它的力学性质，我们也不去管它，它也有它的专门理论。

不过目前兴起了对高分子材料的力学性质的研究，很有研究前途。

我们本课程只讨论质点力学、质点组力学和刚体力学，这三部分基础内容不涉及连续介质力学与高分子材料。

刚体其实也可以将它看作连续的质点组，只要注意到它的特殊性的一面，对质点组的一些基本力学规律都可以搬用到刚体上去。

(2).按力与运动的关系来分： 可分为运动学、动理学，而动理学又可分为动力学和静力学。

运动学只是从几何的观点研究物体的运动，而不去考虑产生运动的原因是什么。

这个原因就是由动理学来负责研究的，动理学它从本质上去研究力与运动状态的关系。

它又可分为动力学和静力学。

静力学研究的是受力物体的平衡规律，工科的篇幅很大……。

我们理科只是把它作为动力学的一种特殊情形来处理的。

(3).此外尚有：分析力学、非惯性力学和可变质量力学。

分析力学是采用严格的数学分析方法处理力学问题，那儿几乎没有一个几何图形。

分析力学所选用的坐标是广义坐标，而不是牛顿力学所采用的那套正交坐标……。

非惯性力学的参考系是非惯性系（非惯性系的概念大家是熟悉的）。

可变质量力学研究的是物体的质量随时间而变化的运动规律。

这里物体的质量是个变量。

要注意这里的这个变量m 不是由于物体的运动速度很高而引起的变量，它只是物体本身质量的增加或减少所引起的变化。

例如：喷气式飞机，它在喷气过程中，它的质量就会不断地变化，如果要研究它的运动，显然它就是个可变质量的力学问题。

理论力学虽然包括了这么多的具体内容，但它的
(4).理论基础：仍然是牛顿三大运动定律，a m F =……（有的同学可能会想……）既然理
论力学的基础仍旧是牛顿三定律, a m F = ,我们从中学到现在接触的够多了,老是跟它打
交道,我们干嘛还要学理论力学?
二.为什么要学习理论力学？
是的，a m F =我们在普通物理的力学中已讲过不少？理论力学就是在普通物理的力学
基础上加以延续和加深的，它有着更严密的逻辑推理和数学表达式，对物质的宏观机械运动规律有更系统的阐述，这就是说我们学习理论力学是为了对经典力学有个系统的认识，即：
1. 有系统的认识
2. 为了直接在工程、生活中的应用
3. 为了今后的工作与学习
学了理论力学之后，回过头来解决普通物理的力学问题就会觉得很简单。

有些力学
问题我们用a m F 解起来会很繁，一旦掌握了分析力学的基本内容，运用达朗伯原理或
拉格朗日方程去解决就会发现它是非常简单的。

我这样讲的目的，并不是让大家学了分析力学，直接地去用它，在中学去讲什么分析力学，当然中学生是接受了什么拉格朗日方程的，主要是让我们学了理论力学之后，能多掌握一些处理力学问题的方法，能居高临下，深入浅出地分析中学教材……。

有些同学可能已经翻看了书上前面部分的内容，心里可能会讲，这还不是很简单的，普通力学中大多讲过了。

是这样的，普通力学课中，不但讲到过，而且还讲得不少，它把理论力学中的许多内容都给讲了，这也难为上普通物理力学课的老师了。

因此，目前不光我们的学校，就是别的大学同样存在着力学课难上的问题。

由于中学阶段对力学的一些基本内容也讲了，再加上为了高考，中学老师……。

进入大学，开始学的第一门物理课就是力学，普通物理课的老师没别的好办法，只好拼命把理论力学的前面部分的内容往下拉。

那叫我怎么办？不过我想也不难办，我可以轻松些，有着普通物理的力学老师代劳，我倒落得个省力，少讲些。

尽管这样，大家不要以为学好理论力学是很容易的事情，不见得力学的题目都容易解。

不然，我随便出个题目大家试试看 ：
三根倔强系数分别为K 1、K 2、K 3的轻弹簧，中间连接着两个质量分别为m 1、m 2的小球，研究它的运动规律，看上去它好象是个挺简单的力学问题，真的动手做，不见得大家就能很容易地做出来。

又例如我们在普通物理力学中都做过这样的题目吧？
当人以平均速度从船的这一头走到另一端时，船
相对地面所移过的距离是多少?(船与水的摩擦力略去不计)这个问题很简单,大家很快就可以做出来。

如果,人相对船不是匀速走过去的，而是蹦蹦跳跳地走过去的，或者时是走走停停地走到另一端，那么这时该怎么做？不见得大家都能很容易地做出来吧！
所以我们是轻视不得的。

学习理论力学不光光是为了我们今后的工作需要，它还为了我们学习量子力学和电动力学等后继课程提供了预备的知识。

例如：我们理论力学中讲到的α粒子的散射问题，泊松括号等等都是量子力学不可缺少的基本知识。

那么理论力学应该怎么学呢？
三.怎么学？只有四个字“先死后活”……
第一章质点运动学
质点运动学，顾名思意，它研究的是质点在空间的位置随时间而变化的规律，它不考虑力与运动之间的关系。

它的研究对象当然就是质点，下面我们先来复习一下质点运动学这一章中涉及到的一些基本概念。

§1.质点运动学的基本概念
一、质点：
质点就是具有一定质量而不具有大小和形状的几何点，它是根据所研究的问题的需要，从实际物体抽象出来的一个理想化的数字模型。

至于一个物体能否看作为质点，就要看它本身的线度与它的运动范围相比是否可以忽略。

可以忽略的就可以看作质点，反之就不能看作质点……。

即使一个物体不能看作为一个质点。

那么，我们总可以将它看作由许多质点组成的，只要我们搞清楚各个质点的运动规律，对它们加以总结就可以获知整体的运动规律。

所以，只要掌握了质点的运动规律，对后面的质点组和刚体的运动规律问题也就不难学习了，无非是……
二、参考系：
由于自然界中一切物质都处在不停的运动之中，绝对静止的物体是不存在的。

因此，运动的描述总是相对的。

要描写一个物体的运动，必需先要选择另外一个物体〈或者另外一组相对静止的物体群〉作为参考物。

为了研究运动而被选出来的这种参考物就叫做参考系。

运动的描述总是与参照系相联系的，脱离参照系来谈运动是毫无意义的。

要想定量地描述物体的运动，也就是说要定量地研究物体在空间的相对位置的变化情况，光有参照系是不够的，还需要在选定的参照系上面固定一个适当的坐标系。

坐标系实质上是参照系的数学抽象，确定了坐标系之后，就能定量地、精确地描写质点的运动规律。

在参照系上怎样固定适当的坐标系，这是解决理论力学问题的关键一步。

题目难解或者解不出来的原因往往是坐标系选择固定的不太恰当。

所以坐标系的固定是解决理论力学问题的重点之一。

在理论力学中用到的坐标系有：直角坐标系、正交坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系以及自然坐标系。

四、 位置矢径---位矢
坐标系确定了,质点在空间的位置也就可以确定
了，要注意,是相对选定的坐标系的位置确定了，质点
在空间P 点的相对位置可以用从坐标原点O 点到质点P
的位置矢径r 来表示, 简称为位矢.如果质点的位置
矢径是常矢量(即恒矢量)的话,那么,质点是静止不动
的(相对……)。

在通常的情况下，质点的相对位置是
随时间而改变的，位置矢径是时间t 的函数，即)(t r r
=……(1) 这是确定质点瞬时位置的数学表达式。

它在直角坐标系中又可以写成为：k j i k t z j t y i t x t r r 、、,)()()()(++==
分别为直角坐标轴x 、y 、z 方向上的单位矢量。

因此，质点的位置也可以用三个分量来表示：x =x （t ）、y =y （t ）、z =z （t ）……（2）如果我们知道式[（1）或（2）]这些具体的函数关系，那么质点相对位置的变化规律也就知道了，所以它们是描写质点的运动规律的方程，就叫做运动学方程（运动方程）。

由于运动方程确定了质点在空间的位置，将质点在各个时刻的位置连成一条曲线，这条曲线就是质点的运动轨迹。

因此，运动方程确定了，质点的运动轨迹也就确定了。

所以，（2）式实际上就是以时间t 为参数的轨迹参数方程，若从这些参数方程中消去时间参数t ，就可以得到质点的运动轨迹方程：
F 1（x 、y 、z ）=0
F 2（x 、y 、z ）=0
这两个式子分别表示什么呢？
它们是空间曲线方程，每一式子表示一空间曲面，由空间解析几何的知识可知，两空间曲面的交线，就是一空间曲线，这一空间曲线就是运动质点的轨迹。

要注意运动轨迹的形状是相对的，相对参照系而言的……
由于运动质点在空间的位置要不断地随时间改变，描写质点的空间位置改变的物理量是位移△r 。

它是运动质点在初时刻t 的位置指向末时刻t+Δt 时刻位置p /的有向线段，从图上可以看出：)()(t r t t r r -∆+=∆ 显而易见，它的矢量合成是符合平行四边形法则的，所以r
∆是一矢量。

若不符合矢量合成的法则，当然就不能看作是矢量了。

此外我们要注意位移与路程的区别，位移只决定于质点的初末位置…… 六、 速度：
质点的位移r ∆与相应的时间△t 之比的极限就定义为质点的瞬时速度，简称速度，用符号v 表示：即r dt
r d t r v t ==∆∆=→∆0lim 因为位矢是矢量，所以，速度也是矢量，有了速度这个物理量是不够的，还不能完全反映出质点的运动情况，还要有描述速度变化快慢的加速
度 七、 加速度：r v t
v a t ==∆∆=→∆0lim 位移、速度和加速度都是定义。

定义的内涵就是这些定义式子反映的内容。