1-1线性空间的性质与定义

1-1线性空间的性质与定义

一、线性空间的定义

线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，某一类事物从量的方面的一个抽象，某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．问题．定义１是一个非空集合，为实数域．定义１设V是一个非空集合，R 为实数域．如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元与之对应，的和，素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作

γ=α+β

若对于任一数λ∈R与任一元素α∈V总有唯，与之对应，的积，一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那上的向量空间（或线性空间）．么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．

设α,β,γ∈V;λ,μ∈R

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)在V中存在零元素0,对任何α∈V,都有

α+0=α;

(4)对任何α∈V,都有α的负元素β∈V,使

α+β=0;

(5)1α=α;

(6)λ(μα)=(λμ)α;

(7)(λ+μ)α=λα+μα;

(8)λ(α+β)=λα+λβ.

说明

1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，．凡满足以上八条规律

的加法及乘数运算，称为线性运算线性运算．称为线性运算．2．向量空

间中的向量不一定是有序数组．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：

一个集合，义的加法和数乘运算不封闭，义的加法和数乘运算不封闭，或

者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．性质的

任一条，则此集合就不能构成线性空间．

线性空间的判定方法（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运一个

集合，算是通常的实数间的加乘运算，算是通常的实数间的加乘运算，则

只需检验对运算的封闭性．算的封闭性．例１实数域上的全体m某n矩阵，对矩阵的加法矩阵，和数乘运算构成实数域上的线性空间，和数乘运算构

成实数域上的线性空间，记作Rm某n．

∵Am某n+Bm某n=Cm某n,

λAm某n=Dm某n,

∴Rm某n是一个线性空间.

例2次数不超过n的多项式的全体,记作P[某]n,即P[某]n={p=an某n++a1某+a0an,,a1,a0∈R},对于通常的多项式加法