人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
2024_2025学年新教材高中数学第七章复数章末检测练习含解析新人教A版必修第二册
第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2024年南充模拟)12－i ＝( )A ．－25＋15iB ．－25－15iC ．25＋15iD ．25－15【答案】C 【解析】12－i ＝2＋i (2－i )(2＋i )＝25＋15i.故选C ．2．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12【答案】C 【解析】i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.故选C ．3．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i.若(a ＋b i)2＝2i ，则a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A ．4．(2024年海口月考)若复数z ＝i1－i ，其中是i 虚数单位，则z ＝( )A ．12＋12iB ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i【答案】D 【解析】由z ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，得z ＝－12－12i.故选D ．5．(2024年景德镇月考)已知i 为虚数单位，若21＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2 019＋b 2 020＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由21＋i ＝1－i ＝a ＋b i ，得a ＝1，b ＝－1，∴a 2 019＋b 2 020＝12 019＋(－1)2 020＝2.故选C ．6．(2024年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ．7．(2024年汉中月考)z ＝5i1－2i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i【答案】C 【解析】∵z ＝5i1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i (1＋2i )5＝－2＋i ，∴z ＝－2－i.故选C ．8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0151＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，i 5＋i 6＋i 7＋i 8＝0，…，i 2009＋i 2010＋i 2011＋i 2012＝0，i 2013＋i 2014＋i 2015＝i －1－i ＝－1，所以z ＝－11＋i ＝－12＋12i ，所以对应点⎝⎛⎭⎫－12，12在其次象限．故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1【答案】BD 【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴A ：|z |＝2，B ：z 2＝2i ，C ：z 的共轭复数为－1＋i ，D ：z 的虚部为－1.故选BD ．10．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的为( ) A ．|z |＝ 2 B ．z ＝1－i C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD 【解析】复数z ＝1＋i ，则|z |＝2，故A 正确；z ＝1－i ，故B 正确；z 的虚部为1，故C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选ABD ．11．已知z 1与z 2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )A ．z 21＜|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R【答案】BC 【解析】z 1与z 2互为共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21＝a2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B 正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不肯定是实数，因此D 不肯定正确．故选BC ．12．设z 1，z 2是复数，则下列命题中是真命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【答案】ABC 【解析】对A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z 1＝z 2为真；对B ，若z 1＝z 2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z 1＝z 2为真；对C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z 1＝a 21＋b 21，z 2·z 2＝a 22＋b 22，所以z 1·z 1＝z 2·z 2为真；对D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21＝z 22为假．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝3＋2i 2－3i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z ＝________.【答案】－i 【解析】(方法一)z ＝3＋2i 2－3i ＝i (2－3i )2－3i ＝i ，所以z 的共轭复数为－i.(方法二)z ＝3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i13＝i ，所以z 的共轭复数为－i.14．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.【答案】12 【解析】m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i 2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.15．已知复数z 1，z 2满意|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的取值范围是________．【答案】[4,6] 【解析】(方法一)设z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，则易得z 1，z 2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1和5为半径的圆，易得|z 1－z 2|的最小值为4，最大值为6，故|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．(方法二)因为||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，所以|1－5|≤|z 1－z 2|≤|1＋5|，即4≤|z 1－z 2|≤6，则|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．16．复数z ＝21＋i(i 是虚数单位)，其共轭复数z ＝________.【答案】1＋i 【解析】∵z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z ＝1＋i. 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.依据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z＝－1＋3i.18．已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值．解：∵复数z 的模为1，∴z 在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1,2)的距离，如图．∴|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1，|z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 19．(2024年重庆月考)实数m 取什么数值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋1＋(m 2－1)i 分别是下列数？(1)实数； (2)纯虚数．解：(1)由m 2－1＝0且m ＋1≠0，得m ＝1，∴当m ＝1时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋1＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．20．(2024年重庆月考)已知复数z 满意(z －2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)． (1)求复数z ；(2)求|(3＋i)·z |.解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ，得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2.21．(2024年聊城高二期末)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1＋3i ，2i,2＋i ，z ，(1)求复数z ；(2)z 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．解：(1)复平面内A ，B ，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D 的坐标(x ，y )，由于AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2，－1)．∴x －1＝2，y －3＝－1，解得x ＝3，y ＝2，故D (3，2)，则点D 对应的复数z ＝3＋2i.(2)∵3＋2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，∴3－2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的另一个根，则3＋2i ＋3－2i ＝p 2，(3＋2i)(3－2i)＝q2，即p ＝12，q ＝26.22．已知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＝0(p ∈R )的两个根是x 1，x 2. (1)若x 1为虚数且|x 1|＝5，求实数p 的值； (2)若|x 1－x 2|＝2，求实数p 的值．解：(1)由题意知Δ<0，∴16－4p <0，解得p >4. 又x 1x 2＝p ，x 1x 2＝x 1x 1＝|x 1|2＝25，∴p ＝25.(2)x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝p .若方程的判别式Δ≥0，即p ≤4时，方程有两个实数根x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4p ＝4，解得p ＝3；若方程的判别式Δ<0，即p >4时，方程有一对共轭虚根x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝|4p －16|＝4p －16＝2，解得p ＝5.故实数p 的值为3或5.。
2022秋高中数学第七章复数-复数的几何意义课后提能训练新人教A版必修第二册
第七章 7.1 7.1.2A级——基础过关练1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C 【解析】z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．2．已知0<a<2，复数z＝a－i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )A．(1，) B．(1，)C．(1，3) D．(1，5)【答案】B 【解析】|z|2＝a2＋1，∵0<a<2，0<a2<4⇒1<a2＋1<5，∴1<|z|<.故选B．3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|【答案】D 【解析】z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|.4．复平面内，向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量O′A ′，则向量O′A′与点A′对应的复数分别为( )A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋iC．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i【答案】C 【解析】向量OA向右平移一个单位后起点O′(1，0)，∵OA′＝OO′＋O′A′＝OO′＋OA＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i.又O′A′＝OA，∴O′A′对应复数为1＋i.故选C．5．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则AB的模|AB|等于( )A．B．2C．4D．【答案】D 【解析】由于OABC是平行四边形，故AB＝OC，因此|AB|＝|OC|＝|3－2i|＝.6．(2021年成都模拟)(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )A．|z|＝B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上【答案】AC 【解析】|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B错误；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D错误．故选AC．7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2的共轭复数为________．【答案】－2－3i 【解析】∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．∴z2＝－2＋3i.z2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z＝1－2m i(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．【答案】 【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤.9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线y＝－x－5上．解：(1)由m2－2m－15>0，得当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝时，z的对应点在直线y＝－x－5＝0上．10．已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．解：因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝(－3，4)，OZ2＝(2a，1)．因为OZ1与OZ2共线，所以－3×1－4×2a＝0，解得a＝－，即a的值为－.B级——能力提升练11．(2021年太原月考)如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )A．－＋i B．－iC．－－i D．＋i【答案】D 【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.12．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( )A．5 B．2 C．7 D．3【答案】D 【解析】|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|【答案】ABC 【解析】A任意复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立，故A正确；B由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；C设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；D虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B 【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0.又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B．15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的值是________．【答案】5 【解析】由复数的几何意义可知，OC＝xOA＋yOB，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.由复数相等可得，解得∴x＋y＝5.16．(2021年武汉模拟)已知复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．【答案】3 (－5，－1－) 【解析】若复数z是实数，则解得m＝3.若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则即即解得－5＜m＜－1－.17．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.解：根据题意可画图形如图所示，设点Z的坐标为(a，b)，∵|OZ|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝±，即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)．∴z＝－1＋i或z＝－1－i.C级——探索创新练18．已知t为实数，复数z＝(t2＋t－2)＋(t2＋3t＋2)i.(1)当t为何值时，复数z为纯虚数？(2)当t＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最值时的m和n值．解：(1)复数z为纯虚数，∴解得t＝1.(2)当t＝0时，点Z(－2，2)，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n 上，∴2m＋n＝2，∵mn＞0，∴＋＝＋m＋＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2等号成立．又2m＋n＝2，∴m＝2－，n＝2－2.。
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
高中数学必修二第七章复数知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修二第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ）A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0 ，解得a =32. 故选：D.2、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是（ ）.A ．x 2−2x +2=0B ．x 2−2x +4=0C ．3x 2−2x +1D ．x 2+2x +4=0答案：B分析：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，根据韦达定理分别将b,c 用a 表示，即可得出答案.解：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，则x 1+x 2=−b a =2，所以b =−2a ，x 1x 2=c a =4，所以c =4a ，则方程为a (x 2−2x +4)=0(a ≠0)，故只有B 选项符合题意.故选：B.3、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.4、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+4答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．5、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（ ）A ．−√2iB ．−√2C ．−√22i D ．−√22 答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z =√22−√22i ，再根据虚部的定义，即得解 由(1+i )z =|1+i |=√2，得z =√21+i =√2(1−i )(1+i )(1−i )=√22−√22i ， ∴z 的虚部为−√22. 故选：D6、复数i 2+i 3+i 2022=（ ）A ．iB ．−2−iC ．−2+iD ．−1答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i 2+i 3+i 2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i ．故选：B ．7、(2+2i )(1−2i )=（ ）A ．−2+4iB ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i答案：D分析：利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ).(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.8、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．－2答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z 1=2+i,z 2=1+bi ，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z 1=2+i,z 2=1+bi ，所以z 1z 2=(2+i)(1+bi)=2+2bi +i +bi 2=2−b +(2b +1)i ，又z 1z 2是纯虚数，所以{2−b =02b +1≠0， 解得b =2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.多选题9、若复数z 1=2+3i ，z 2=−1+i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．z1z 2∈R B ．z 1⋅z 2=z 1⋅z 2C ．若z 1+m (m ∈R )是纯虚数，那么m =−2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA⃑⃑⃑⃑⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ （O 为坐标原点），则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5 答案：BC分析：利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.对于A ，z 1z 2=2+3i −1+i =(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )=1−5i 2=12−52i ，A 错误； 对于B ，∵z 1⋅z 2=(2+3i )(−1+i )=−5−i ，∴z 1⋅z 2=−5+i ；又z 1⋅z 2=(2−3i )(−1−i )=−5+i ，∴z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，B 正确；对于C ，∵z 1+m =2+m +3i 为纯虚数，∴m +2=0，解得：m =−2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−3)，OB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,2)， ∴|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=√9+4=√13，D 错误. 故选：BC10、已知复数z =(1+2i )(2−i )，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为3iB ．|z |=5C ．z −4为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限答案：BCD解析：先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可.因为z =(1+2i )(2−i )=4+3i ，则z 的虚部为3，|z̅|=|z |=√16+9=5，z −4=3i 为纯虚数，z 对应的点(4,−3)在第四象限，故选：BCD ．11、已知复数z =4−3i ，下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部是−3iB ．复数z 的模为5C．复数z的共轭复数是−4−3i D．在复平面内复数z对应的点在第四象限答案：BD分析：根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案.复数的虚部为-3，A错误；复数的模为√42+(−3)2=5，B正确；复数的共轭复数为4+3i，C错误；复数对应的点的坐标为(4,−3)，在第四象限，D正确.故选：BD.填空题12、设z=1−i1+i+3i，则|z|=___________________ ．答案：2分析：根据复数的除法运算法则化简复数z，再代入模长公式计算.z=1−i1+i +3i=1−2i+i21−i2+3i=−i+3i=2i，所以|z|=2所以答案是：213、若复数z满足z+|z|=2，则z=__________．答案：1分析：设z=a+b i(a,b∈R)，根据题意，结合求模公式、复数相等的条件等知识，列出方程组，即可得答案. 设z=a+b i(a,b∈R)，所以z+|z|=a+b i+√a2+b2=2，所以{a+√a2+b2=2b=0，解得{a=1b=0，所以z=1．所以答案是：114、在△ABC中，若面积S=b2+c2−a24，则∠A=______．答案：π4##45∘分析：结合三角形面积公式与余弦定理得sinA =cosA ，进而得答案.解：由三角形的面积公式得S =12bcsinA ，S =b 2+c 2−a 24 所以b 2+c 2−a 24=12bcsinA ， 因为b 2+c 2−a 2=2bccosA ，所以2bccosA 4=12bcsinA ，即sinA =cosA ，因为A ∈(0,π)，所以A =π4所以答案是：π4 解答题15、设复数z =3cosθ+2i sinθ，求函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值． 答案：当θ=arctan √62时，y 取得最大值arctan √612分析：根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可. 由z =3cosθ+2i sinθ，可得tan(argz)=2sinθ3cosθ=23tanθ，tany =tan(θ−argz)=tanθ−tan(argz)1+tanθ⋅tan(argz)=tanθ−23tanθ1+23tan 2θ=tanθ3+2tan 2θ=13tanθ+2tanθ,因为0<θ<π2，所以tanθ>0，于是3tanθ+2tanθ≥2√3tanθ⋅2tanθ=2√6， 当且仅当3tanθ=2tanθ时取等号，则当tanθ=√62时取等号，即当θ=arctan √62时取等号，因此有tany ≤2√6=√612，因此函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值为arctan √612，此时θ=arctan√62.。
2021新教材高中数学第7章复数 作业+检测卷 含解析新人教A版必修第二册
C．－1≤λ≤1 [解析] 由 z1＝z2，得Error!
9 D．－ ≤λ≤7
16
39
消去 m，得 λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－ )2－ .
8 16
9 由于－1≤sinθ≤1，故－ ≤λ≤7．
16
3
4
4．(2020·哈尔滨高二检测)若复数 z＝(sinθ－ )＋(cosθ－ )i(θ∈R)是纯虚数，则 tan(θ－
m－1
3
m m＋4
[解析] 由条件知
＝m＋2，
m－1
2 ∴ m2＋4m＝m2＋m－2，∴ m＝－ .
3
3．已知 A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数 a
的值为__－1__.
[解析] 以 A∩B＝{3}为解题突破口，按题意 a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，
第七章 7.1 7.1.1
1．(1＋ 3)i 的实部与虚部分别是( C )
A．1， 3
B．1＋ 3，0
C．0,1＋ 3
D．0，(1＋ 3)i
[解析] (1＋ 3)i 可看作 0＋(1＋ 3)i＝a＋bi，
所以实部 a＝0，虚部 b＝1＋ 3.
m m＋4
2
2．若复数 z＝
＋(m＋2)i 的实部与虚部相等，则实数 m 的值为__－ __.
π B．2kπ＋
4 π C．2kπ± 4 [解析] 由Error!得
4 kπ π D． ＋ (以上 k∈Z) 24
Error!(k∈Z).
π ∴ θ＝2kπ＋ (k∈Z).
4
2．已知 z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中 a∈R，z1>z2，则 a 的值为( A )
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第7章复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课后训练巩固提升1.若复数z 满足z+i-3=3-i,则z 等于( )A.0B.2iC.6D.6-2iz+i-3=3-i,∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D.2.在复平面内,O 是原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( ) A.-5+5iB.-5-5iC.5+5iD.5-5iBA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是(2-3i)-(-3+2i)=5-5i.3.已知复数z=(2m 2+3i)+(m-m 2i)+(-1+2mi)(m ∈R),若z 为纯虚数,则m 等于( )A.-1B.3 C .12 D.-1或32+m-1)+(3+2m-m 2)i.由题意得{2m 2+m -1=0,3+2m -m 2≠0,解得m=12.4.(多选题)在复平面内,O 是原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则( )A .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为-5-iB .OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为-1+6iC .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为4-4iD.|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4项中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)-(-2,1)=(5,1),故A 不正确;B 项中,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1)+(1,5)=(-1,6),故B 正确;C 项中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)-(-1,6)=(4,-4),故C 正确;D 项中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1)+(3,2)=(1,3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,故D 不正确.5.若|z-1|=|z+1|,则在复平面内,复数z 对应的点在 () A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限D.第二象限|z-1|=|z+1|,∴点Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z 在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.6.已知x ∈R,y ∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,∴{x +4=y -1,x +y =3x -1,解得{x =6,y =11.117.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,在复平面内,若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 .BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是(3+i)-(-1+3i)=4-2i. 因为四边形ABCD 为平行四边形,所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ , 故CD⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是4-2i.8.设复数z 满足z+|z|=2+i,则z= .z=x+yi(x,y ∈R), 则|z|=√x 2+y 2.即x+yi+√x 2+y 2=2+i,得{x +√x 2+y 2=2,y =1, 解得{x =34,y =1.故z=34+i.9.在复平面内,A,B,C 三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (2)判断△ABC 的形状;(3)求△ABC 的面积.AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i-1=1+i, BC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i, AC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i-1=-2+2i. (2)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8=2√2, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, ∴△ABC 为直角三角形.(3)S △ABC =12×√2×2√2=2.10.已知z0=2+2i,|z-z0|=√2.(1)求复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形?(2)求|z|的最小值和最大值.由z0=2+2i,知Z0(2,2),由|z-z0|=√2,知复平面内点Z到点Z0的距离为√2,所以复数z对应的点Z的集合是以Z0(2,2)为圆心,√2为半径的圆,如图所示.(2)当z对应的点Z在OZ0的连线上时,|z|有最大值或最小值.因为|OZ0|=2√2,半径r=√2,所以|z|min=√2,|z|max=3√2.。
高中数学第7章复数 复数的加、减运算及其几何意义新人教A版必修第二册
课时作业18 复数的加、减运算及其几何意义知识点一 复数的加减运算1.已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，∴z 1－z 2＝－2＋2i ，故z 1－z 2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．2．设z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2a i(a ∈R )，其中i 是虚数单位，若复数z 1＋z 2是纯虚数，则有( ) A ．a ＝1 B ．a ＝12C ．a ＝0D ．a ＝－1答案 D解析 ∵复数z 1＋z 2＝1－i ＋a ＋2a i ＝1＋a ＋(2a －1)i 是纯虚数，∴a ＋1＝0,2a －1≠0，∴a ＝－1.知识点二 复数加减运算的几何意义3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案 B解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ， ∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴BD 的长为13.4．已知复数z 1对应的向量的终点在第二象限，复数z 2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z 1＋z 2对应的向量的终点在( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝5的点的集合是( )A．正方形B．直线C．线段D．圆答案 C解析|z－2i|＋|z＋1|＝5表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数5，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．答案2 2解析由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2 2.知识点三复数加减运算几何意义的应用7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z －z3|，则z对应的点是△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心答案 A解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案 A解析|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋3i＋z|的取值范围是( )A．[1,3] B．[1,4]C．[0,3] D．[0,4]答案 D解析 复数z 对应的点Z (a ，b )的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋3i ＋z |表示点Z (a ，b )到点M (－1，－3)的距离．因为(－1，－3)在|z |＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．10．设z ∈C ，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足|z －i|2－5|z －i|＋6<0的点Z 的集合是什么图形？解 ∵|z －i|2－5|z －i|＋6<0，∴(|z －i|－2)(|z －i|－3)<0，∴2<|z －i|<3.不等式|z －i|<3的解集是圆|z －i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z －i|>2的解集是圆|z －i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z －i|<3的点Z 的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．一、选择题1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i ＝( ) A ．－8i B ．13＋8i C ．8＋13i D ．13－12i答案 D解析 原式＝10－4i ＋3－3i －5i ＝13－12i.故选D.2．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1－z 2＝( )A ．－1＋2iB ．－2－2iC ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由题意，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1－z 2＝－2－2i.故选B. 3．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( ) A ．1－5i B ．－2＋9i C ．－2－i D ．5＋3i答案 D解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝(3＋4i)－(－2－i)－2i ＝(3＋2)＋(4＋1－2)i ＝5＋3i.4．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17 答案 B解析 依据复数加法、减法的几何意义可得BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)，所以BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，所以|BD |＝|BD →|＝22＋32＝13.5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.二、填空题6．设a 为非零实数，则(1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 是________；(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 是________． 答案 (1)纯虚数也可能是零 (2)实数解析 (1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在虚轴上，这样的复数z 可能是纯虚数也可能是零．(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a )与点(0，a )连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在实轴上，复数z 一定是实数．7．已知f (z ＋i)＝3z －2i(z ∈C )，则f (i)＝________. 答案 －2i解析 解法一：∵f (z ＋i)＝3z －2i ＝3z ＋3i －5i ＝3(z ＋i)－5i ，则f (x )＝3x －5i ， ∴f (i)＝3i －5i ＝－2i.解法二：令z ＝0可得f (i)＝－2i.8．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的集合是________．答案 直线解析 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，得 (x －3)2＋(y ＋4)2＝(x ＋3)2＋(y －4)2， 化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的集合是一条直线． 三、解答题9．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，由|z ＋2－2i|＝1，得|z －(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.10．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.(1)求B C →对应的复数； (2)求B D →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，所以cos ∠DAB ＝AB →·AD→|AB →||AD →|＝25×5＝2525. 因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。
2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册第七章复数课时练习题含答案解析
第七章复数练习题1、数系的扩充和复数的概念 (1)2、复数的几何意义 (6)3、复数的加、减运算及其几何意义 (14)4、复数的乘、除运算 (22)1、数系的扩充和复数的概念基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(1+)i的实部与虚部分别是( )A.1,B.1+,0C.0,1+D.0,(1+)i【解析】选C.(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+.2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=( )A.-2B.2C.±2D.4【解析】选B.由纯虚数的定义可知,解得a=2.3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=( )A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,y=-1,所以x+y=3-1=2.4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的充要条件得解得:a=-4.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为( )A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.【解析】由条件知a2-3+2a=0,所以a=1或a=-3.答案:1或-38.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m<0或m>1且m≠-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复数z=2-i的实部与虚部的差为( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.3.(多选题)下列命题中为真命题的是( )A.复数一定是虚数B.实数一定是复数C.复数的平方数一定是非负实数D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=________.【解析】方程可化为解得x=2.答案:26.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i27.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.【解析】根据复数相等的充要条件,得所以b+ai=-2+i.答案:-2+i8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.答案:(-1,1)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+i=y-3i,求x与y.【解析】设y=bi(b∈R且b≠0),代入(3x-10)+i=y-3i,整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得解得所以x=,y=4i.10.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足(1)z是实数;(2)z是纯虚数.【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y 的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.2、复数的几何意义基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则( )A.z=-1+iB.z=1+iC.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选 C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】选 D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为( )A. B. C.2 D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|==.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于( )A.2+IB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)= (-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是( )A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi =a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C 正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i 28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3 -4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,。
高中数学必修二第七章复数基础知识手册(带答案)
高中数学必修二第七章复数基础知识手册单选题1、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A ．2B ．−2C ．3D ．−3 答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得. 由题可知a −2=1+2a ， 解得a =−3. 故选：D ． 2、复数z =|√3+i |的虚部是（ ）A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定.∵z =|√3+i|=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ，∴z 的虚部为−12， 故选：A. 3、复数2−i1+3i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i1+3i ，从而可求对应的点的位置. ∵2−i1+3i=(2−i )(1−3i )10=−1−7i 10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限.故选：C.4、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A．2√3B．−2√3i C．√3−3i D．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i)[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i2+3i22=−2√3i．故选：B．5、若z(1−2i)=2+i，则复数z̅=（）A．-1B．−i C．1D．i答案：B分析：由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果.由z(1−2i)=2+i，得z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−2+i+4i5=i，则z̅=−i.故选：B.6、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A．2sinθ2(cosθ+π2+i sinθ+π2)B．2sinθ2(cosπ−θ2+isinπ−θ2)C．2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)D．2cosθ2(cosπ−θ2+i sinπ−θ2)答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C.7、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D8、设(1+i)x=1+y i，其中i为虚数单位，x,y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．√2C．√3D．2答案：B分析：先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x=1+y i，所以{x=1y=x，解得{x=1y=1，所以|x+y i|=√x2+y2=√2.故选：B.多选题9、已知z1与z2是共轭复数（虚部均不为0），以下4个命题一定正确的是（）A．z12<|z2|2B．z1z2=|z1z2|C．z1+z2∈R D．z1z2∈R答案：BC分析：z1与z2是共轭复数，设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0)，z2=a−bi．利用复数的运算性质及其有关概念即可得出合适的选项.因为z1与z2是共轭复数，设z1=a+bi(a,b∈R，b≠0)，则z2=a−bi，对于A选项，当ab≠0时，z12=a2−b2+2abi，|z2|2=a2+b2，z12和|z2|2不能比大小，A选项错误；对于B 选项，z 1z 2=(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=|z 1z 2|，B 选项正确； 对于C 选项，z 1+z 2=(a +bi )+(a −bi )=2a ∈R ，C 选项正确； 对于D 选项，若ab ≠0，z 1z 2=a+bi a−bi=(a+bi )2a 2+b 2=a 2−b 2+2abi a 2+b 2∉R ，D 选项错误.故选：BC ．10、在复平面中，已知复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020对应的点在第二象限，则实数a 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：CD分析：化简复数，再由复数所在象限列不等式组，即可求解.因为复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020=(1−a)+(a +1)i 在第二象限，所以{a +1>01−a <0⇒a >1故选：CD.11、一个复数集X 称为某种运算的“和谐集”是指X 满足性质:①X ⊆C ；②∀a ，b ∈X 对某种规定的运算a ⊕b ，都有a ⊕b ∈X .则下列数集X 是相应运算的“和谐集”的是（ ）A ．X ={x ∈c|x =i n ,∀n ∈Z}，其中i 是虚数单位，规定运算:a ⊕b =ab ，(∀a ，b ∈X )B ．X ={x ∈C|x ⋅x̅=1}，规定运算:a ⊕b =ab ,(∀a,b ∈X)C ．X ={x ∈C||x |≤1}，规定运算:a ⊕b =ab ，(∀a ，b ∈X )D ．X ={x ∈c||x̅|+|y ̅|≤|x −y |,y =1+i}，规定运算:a ⊕b =a +b ，(∀a ，b ∈X ) 答案：ABCD分析：利用虚数单位的幂的运算性质可以判定A;利用共轭复数的性质可以判定B,利用复数的模的性质可以判定C;利用复数的模的三角不等式可以得到集合X 中的元素满足的充分必要条件是x ∈X⇔存在实数k ≤0，使得x =k(1+i)，进而根据复数的加法运算公式可判定D.对于A,设a =i n 1,b =i n 2(n 1,n 2∈Z)则a ⊕b =ab=i n 1+n 2,∵n 1,n 2∈Z ，∴n 1+n 2∈Z ,所以i n 1+n 2∈X ,即a ⊕b ∈X ,故A 正确；对于B,∀a,b ∈X ,则a ·a −=1,b ·b −=1,故aa̅bb̅=1,即(ab )·(ab )−=1,∴ab ∈X , 即a ⊕b ∈X ,故B 正确；对于C,∀a,b ∈X ,则|a |<1,|b |<1,∴|a ·b |=|a ||b |<1，即a ·b ∈X , 即a ⊕b ∈X ,故C 正确；对于D,由于在复数范围内，|x̅|=|x |,|y ̅|=|y |,所以由|x|+|y |≤|x −y |⇔|x|+|y|≤|x −y |，有复数的模的不等式得到存在实数k ≤0，使得x =ky(k ≤0)，又y =1+i ，于是x ∈X⇔存在实数k ≤0，使得x =k(1+i)，∀a,b ∈X ，a =k (1+i ),b =k′(1+i)(k ≤0,k '≤0),所以a ⊕b =a +b =(k +k ′)(1+i),因为k ≤0,k '≤0，∴k +k ′≤0，所以即a ⊕b ∈X ,故D 正确； 故选：ABCD.小提示：本题考查复数的运算和模的性质，关键是认真审题，注意复数的模的性质的应用，常用的模的性质：|z 1z 2|=|z 1||z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|,|z̅|=|z |,||z 1|−|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|（左侧取等号的条件是存在存在实数k ≤0，使得z 1=kz 2(z 2≠0)，右侧取等号的条件是存在存在实数k ≥0，使得z 1=kz 2(z 2≠0)，共轭复数的性质有z 1z 2̅̅̅̅̅̅=z 1̅z 2̅,λz 1+μz 2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=λz 1̅+μz 2̅(λ,μ∈R),这些公式不难证明，在考试中往往十分有用. 填空题 12、已知(−1+√3i )3(1+i )6=a +b i (a,b ∈R )，则a +b =____________．答案：1分析：利用复数四则运算法则，计算(−1+√3i )3(1+i )6=i ，然后利用复数相等，得a =0,b =1，得答案.(−1+√3i )3(1+i )6=[2(−12+√32i )]3[(1+i )2]3=88i 3=1−i =i ，所以a =0,b =1，从而a +b =1．所以答案是：1. 13、已知复数z =(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i，若μ=z +m i (m ∈R)，则当|μz |≤√2时，实数m 的取值范围是______________． 答案：[−√3+1,√3+1]分析：先对已知式子化简计算出复数z ，从而可得|z |，复数μ，代入|μz |≤√2中化简可得1+(m −1)2≤4，从而可求出实数m 的取值范围. z =(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i=(2+4i )−(1+3i )i=1+i i=1−i ，所以|z|=√2，μ=1+(m −1)i ．由|μz|≤√2得|μ|≤2，所以1+(m−1)2≤4，即(m−1)2≤3，解得−√3+1≤m≤√3+1．所以答案是：[−√3+1,√3+1]14、在△ABC中，若面积S=b2+c2−a24，则∠A=______．答案：π4##45∘分析：结合三角形面积公式与余弦定理得sinA=cosA，进而得答案.解：由三角形的面积公式得S=12bcsinA，S=b2+c2−a24所以b2+c2−a24=12bcsinA，因为b2+c2−a2=2bccosA，所以2bccosA4=12bcsinA，即sinA=cosA，因为A∈(0,π)，所以A=π4所以答案是：π4解答题15、已知复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i，当m取何实数值时，复数z是：（1）纯虚数；（2）z=2+5i.答案：（1）m=0；（2）m=2.解析：（1）利用m(m−1)=0,(m2+2m−3)≠0，即可求解.（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等m(m−1)=2,(m2+2m−3)=5即可求解.（1）若复数是纯虚数，则{m(m−1)=0m2+2m−3≠0，解得{m=0或m=1m≠−3且m≠1，所以m=0（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得{m(m−1)=2m2+2m−3=5，m=2或m=−1 m=2或m=−4，即m=2解得{。
高中数学必修二第七章复数总结(重点)超详细(带答案)
高中数学必修二第七章复数总结(重点)超详细单选题1、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ）A ．−2−iB ．2+iC ．1+2iD ．−1+2i答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果.由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)，故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i .故选：D.2、设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．(x +1)2+y 2=1B ．(x −1)2+y 2=1C ．x 2+(y −1)2=1D ．x 2+(y +1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．z =x +yi,z −i =x +(y −1)i, |z −i |=√x 2+(y −1)2=1,则x 2+(y −1)2=1．故选C ．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3、复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|z −3|=|z −i |，则动点Z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两条射线D ．圆答案：A分析：设出动点Z 坐标为(x,y )，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z 坐标为(x,y )，则z =x +y i ，所以|x +y i −3|=|x +y i −i |，即(x −3)2+y 2=x 2+(y −1)2，化简得：3x −y −4=0，故动点Z 的轨迹为直线.故选：A4、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.5、已知复数z满足1−zz=1−i，则z=（）A．−25+15i B．−25−15i C．25+15i D．25−15i答案：D分析：由已知条件求出复数z，利用共轭复数的定义可得出结果.因为1−zz =1−i，所以，z=12−i=2+i(2−i)(2+i)=25+15i，因此，z=25−15i.故选：D.6、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.7、已知复数z满足|z−2|=1，则|z|的最大值为（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：本题可根据|z−2|=1得出点Z的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果. 因为|z−2|=1，所以复数z在复平面内所对应的点Z到点(2,0)的距离为1，则点Z的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，故|z|的取值范围为[1,3]，|z|的最大值为3，故选：C.8、已知为i虚数单位，复数z=1+i1+2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z，求出z即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.z=1+i1+2i =(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i2−i1−4i2=3−i5=35−15i，z=35+15i，所以z在复平面内对应的点坐标为(35,15)，所以z在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.多选题9、已知复数z的共轭复数是z̅，(1−i)z=1+i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z2022=4B．z⋅z的虚部是0C．|z⋅z+2z|=√5D．z⋅z+2z在复平面内对应的点在第四象限答案：BC分析：由复数除法求得z，得共轭复数z̅，然后再由复数的运算，复数的定义、几何意义判断各选项．由题意z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，z=−i，z2022=i2022=−1，A错；z⋅z=1，虚部是0；B正确|z⋅z+2z|=|1+2i|=√12+22=√5；C正确z ⋅z +2z =1+2i ，对应点为(1,2)，在第一象限，D 错；故选：BC ．10、已知复数z 满足z(2−i )=i ( i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z̅，则（ ）A ．|z|=35B ．z̅=−1+2i 5C ．复数z 的实部为−1D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD分析：因为复数z 满足z(2−i )=i ，利用复数的除法运算化简为z =−15+25i ，再逐项验证判断.因为复数z 满足z(2−i )=i ，所以z =i 2−i =i(2+i)(2−i )(2+i)=−15+25i 所以|z |=√(−15)2+(25)2=√55，故A 错误；z =−15−25i ，故B 正确； 复数z 的实部为−15 ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点(−15,25)在第二象限，故D 正确.故选：BD小提示：本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.11、若复数z =√3−i ，则下列说法错误的是（ ）.A ．z 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|z|=4C ．z 的共轭复数z =√3+iD ．z 2=4−2√3i答案：ABD分析：A 选项，直接判断出z 位于第四象限B 选项，直接求出|z|；C 选项，直接求出z ；D选项，直接求出z2.A选项，z在复平面内对应的点为(√3，−1)，位于第四象限.故A错误；B选项，|z|=√(√3)2+(−1)2=2.故B错误；C选项，z=√3+i.故C正确D选项，z2=(√3−i)2=2−2√3i.故D错误；故选：ABD.填空题12、设复数z满足条件|z|＝1，那么|z+√3+i|取最大值时的复数z为__．答案：√32+12i分析：复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，|z+√3+i|是单位圆上点与(−√3，−1)的距离的最大值，可求解答案．解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z+√3+i|表示单位圆上的点到(−√3，−1)的距离，要使此距离取最大值的复数z，就是(−√3，−1)和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．∵点(−√3，−1)到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是(√32，12)．所以答案是：√32+12i小提示：关键点睛：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．13、△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中C为钝角，且c−b=2bcosA，那么cosA的范围是______.答案：(12,1)分析：先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到A=2B，再根据C为钝角，确定角A的范围，从而得出cosA 的范围.在△ABC中，根据正弦定理，可将条件c−b=2bcosA化为sinC−sinB=2sinBcosA.把sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB代入整理得，sin(A−B)=sinB. 所以A−B=B或A−B+B=π，解得A=2B或A=π(舍去).又C为钝角，所以由{0<A<π2,0<B<π2,0<A+B<π2 A=2B ，解得0<A<π3.所以cosA的范围(12,1).所以答案是：(12,1).14、已知|z−1−i|=1，则|z+i|的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z+i|表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z+i|表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z+i|的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−a−bi|表示复平面内点(x, y)与点(a, b)之间的距离，|z−a−bi|=r表示以(a, b)为圆心，以r为半径的圆上的点.解答题15、已知复数z=m2−1+(m2+5m−6)i(1)当实数m为何值时，z为实数；(2)当实数m为何值时，z为纯虚数.答案：(1)m=1或m=−6(2)m=−1分析：由实数和纯虚数的定义，分别列出等式和不等式，求解即可(1)若z为实数，则m2+5m−6=0，即(m−1)(m+6)=0故m=1或m=−6；(2)若z为纯虚数，则{m 2−1=0m2+5m−6≠0，由m2−1=0，可得m=±1又m2+5m−6≠0，故m≠1且m≠−6故m=−1.。
高中数学第七章复数 复数的乘除运算课后提能训练新人教A版必修第二册
第七章 7.2 7.2.2A 级——基础过关练1.（1＋i ）3（1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】D【解析】（1＋i ）3（1－i ）2＝2i （1＋i ）－2i ＝－1－i.故选D ． 2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i,则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i【答案】C【解析】z －1＝1＋ii ＝1－i,所以z ＝2－i.故选C ．3．若复数z 满足z－1－i ＝i,其中i 为虚数单位,则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i【答案】A【解析】由题意z －＝i(1－i)＝1＋i,所以z ＝1－i.故选A ． 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|,则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45 【答案】D【解析】∵(3－4i)z ＝|4＋3i|,∴z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i.故z 的虚部为45.故选D ． 5．在复平面内,复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎪⎫23＋12i,对应点⎝⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．6．设复数z 的共轭复数是z －,若复数z 1＝3＋4i,z 2＝t ＋i,且z 1·z －2是实数,则实数t 等于( )A ．34 B ．43 C ．－43D ．－34【答案】A【解析】∵z 2＝t ＋i,∴z －2＝t －i.z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i.又∵z 1·z －2∈R,∴4t －3＝0,∴t ＝34.7．已知i 为虚数单位,若复数z ＝1＋2i2－i ,z 的共轭复数为z ,则z ·z ＝________．【答案】1【解析】依题意,得z ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i,所以z －＝－i.所以z ·z －＝i ·(－i)＝1.8．已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋2i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为________,模|z |＝________．【答案】－32102【解析】由(i －1)z ＝1＋2i,得z ＝1＋2i i －1＝（1＋2i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝12－32i,∴复数z 的虚部为－32,|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102. 9．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)；(2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）＝4i （4＋5i ）5－4－9i ＝－20＋16i 1－9i ＝－4（5－4i ）（1＋9i ）82＝－4（41＋41i ）82＝－2－2i.B 级——能力提升练10．(多选)下面是关于复数z ＝2－1＋i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋I D ．z 的虚部为－1【答案】BD【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i,∴|z |＝2,A 错误；z 2＝2i,B正确；z 的共轭复数为－1＋i,C 错误；z 的虚部为－1,D 正确．故选BD ．11．若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i＋b i(a ,b ∈R)为“理想复数”,则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0【答案】D 【解析】因为z ＝a1－2i ＋b i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋b i ＝a 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 5＋b i.由题意知,a5＝－2a5－b ,则3a ＋5b ＝0. 12．(多选)设z 是复数,则下列命题中是真命题的是( ) A ．若z 2≥0,则z 是实数 B ．若z 2＜0,则z 是虚数 C ．若z 是虚数,则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数,则z 2＜0【答案】ABD【解析】设z ＝a ＋b i,a ,b ∈R,z 2＝a 2－b 2＋2ab i. 对于A,z 2≥0,则b ＝0,所以z 是实数,是真命题； 对于B,z 2＜0,则a ＝0且b ≠0⇒z 是虚数,是真命题； 对于C,z 是虚数,则b ≠0,所以z 2≥0是假命题；对于D,z 是纯虚数,则a ＝0,b ≠0,所以z 2＜0是真命题．故选ABD ． 13．设复数z ＝52＋i(其中i 为虚数单位),则复数z 的实部为________,模为________． 【答案】25【解析】由z ＝52＋i ＝5（2－i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－i,得复数z 的实部为2,|z |＝22＋12＝5.14．若z 1＝a ＋2i,z 2＝3－4i,且z 1z 2为纯虚数,则实数a 的值为________,z 1z 2＝________． 【答案】83 16－143i【解析】z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝（3a －8）＋（4a ＋6）i25,∵z 1z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋2i (3－4i)＝8－323i ＋6i ＋8＝16－143i.15．(2021年郑州模拟)已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ,q ∈R)的一个根,则p ＋q ＝________．【答案】14【解析】因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根,所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0,即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0,整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－12，q ＝26.所以p ＋q ＝－12＋26＝14. 16．已知复数z ＝52－i .(1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z －＋n ＝1－i(m ,n ∈R,z －是z 的共轭复数),求m 和n 的值．解：(1)z ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝2＋i,所以z 的实部为2,虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z －＋n ＝1－i,得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i,即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1，解得m ＝5,n ＝－12.17．已知z 为虚数,z ＋9z －2为实数． (1)若z －2为纯虚数,求虚数z ； (2)求|z －4|的取值范围．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ,y ∈R,y ≠0),则z －2＝x －2＋y i,由z －2为纯虚数,得x ＝2, 所以z ＝2＋y i,则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9y i ∈R,得y －9y ＝0,y ＝±3. 所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i. (2)因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋9（x －2）（x －2）2＋y 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －9y （x －2）2＋y 2i ∈R, 所以y －9y（x －2）2＋y 2＝0.因为y ≠0,所以(x －2)2＋y 2＝9. 由(x －2)2<9,得x ∈(－1,5),所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝（x －4）2＋y 2＝（x －4）2＋9－（x －2）2＝21－4x ∈(1,5)．C 级——探索创新练18．已知z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1是实数,且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．解：设z 1＝a ＋b i(a ,b ∈R,且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数,b ≠0,于是有a 2＋b 2＝1,即|z 1|＝1,所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1,得－1≤2a ≤1,解得－12≤a ≤12,即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i （1＋a ）2＋b 2＝－ba ＋1i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,b ≠0,所以ω为纯虚数．。
部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点归纳超级精简版
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点归纳超级精简版单选题1、z =(2+i )2−4在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、在复平面内，复数z =5i 3−4i （i 为虚数单位），则z 对应的点的坐标为（ ）A ．(3,4)B ．(−4,3)C ．(45,−35)D ．(−45,−35) 4、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1 5、若复数z 满足(z -1)i =1+i 其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z̅=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i6、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|27、若z (1+i )=1−i ，则z =（ ）A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i8、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、已知复数z 1=1−3i ，z 2=3+i ，则（ ）A ．|z 1+z 2|=6B ．z 1−z 2=−2+2iC ．z 1z 2=6−8iD ．z 1z 2在复平面内对应的点位于第二象限10、下列关于复数知识的论述，错误的有（ ）A ．在复数集内a 4−b 4因式分解的结果是(a +b )(a −b )(a 2+b 2)B ．2+3i >1+3iC ．在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数D ．复数2+3i 的虚部为3i11、已知λ，μ∈R ，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,1)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,μ)，那么（ ）A ．CB⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ−1,1−μ) B ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=2，μ=12C ．若A 是BD 中点，则B ，C 两点重合D ．若点B ，C ，D 共线，则μ=1填空题12、i 2 021＝________.13、若复数z =(m 2+m −2)+(4m 2−8m +3)i ，(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为___________.部编版高中数学必修二第七章复数带答案(四十九)参考答案1、答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z =(2+i )2−4=−1+4i ，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.2、答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解.z =2−i 20202+i 2021=12+i =2−i (2+i)(2−i)=2−i 5. 所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.3、答案：D分析：根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.因为z =5i 3−4i =5i (3+4i )(3−4i )(3+4i )=3i−45=−45+35i ，所以z =−45−35i ，所以复数z 所对应的点的坐标为(−45,−35).故选:D .4、答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )， 解得a =1，b =−23，故选：D.5、答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.故选：D.6、答案：D解析：举反例z1=2+i，z2=2−i可判断选项A、B，举反例z1=1，z2=i可判断选项C，设z1=a+bi，(a,b∈R)，分别计算|z12|、|z1|2即可判断选项D，进而可得正确选项.对于选项A：取z1=2+i，z2=2−i，z12=(2+i)2=3+2i，z22=(2−i)2=3−2i，满足z12+z22=6>0，但z12与z22是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：取z1=2+i，z2=2−i，|z1−z2|=|2i|=2，而√(z1+z2)2−4z1⋅z2=√42−4(2+i)(2−i)=√16−20无意义，故选项B不正确；对于选项C：取z1=1，z2=i，则z12+z22=0，但是z1≠0，z2≠0，故选项C不正确；对于选项D：设z1=a+bi，(a,b∈R)，则z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi|z12|=√(a2−b2)2+4a2b2=√(a2+b2)2=a2+b2，z1=a−bi，|z1|=√a2+b2，所以|z1|2=a2+b2，所以|z12|=|z1|2，故选项D正确.故选：D.7、答案：D分析：先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.因为z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.8、答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、答案：BC分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.由题可知，|z 1+z 2|=√42+(−2)2=2√5，A 不正确；z 1−z 2=−2+2i ，B 正确；z 1z 2=(1−3i )(3+i)=3+i −9i −3i 2=6−8i ，C 正确；对应的点在第四象限，D 不正确.故选：BC.10、答案：ABCD分析：由(a 2+b 2)=(a +bi)(a −bi)可判断A ；虚数不可比较大小可判断B ；原点表示实数0可判断C ；复数2+3i 的虚部为3可判断D选项A ：在复数集内，由于i 2=−1，a 4−b 4因式分解的结果是(a +b )(a −b )(a +b i )(a −b i )，故A 错误； 选项B ：虚数不可比较大小，故B 错误；选项C ：在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数（除了原点），故C 错误；选项D ：复数2+3i 的虚部为3，故D 错误.故选：ABCD11、答案：AC分析：根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.A 选项，CB ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑=(λ,1)−(1,μ)=(λ−1,1−μ)，A 选项正确.B 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ⋅μ=1，故可取λ=3,μ=13，B 选项错误.C 选项，若A 是BD 的中点，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ =−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(λ,1)=(−1,−μ)⇒λ=μ=−1， 所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，所以B,C 两点重合，C 选项正确.D 选项，由于B,C,D 三点共线，所以BC ⃑⃑⃑⃑⃑ //BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)−(λ,1)=(−1−λ,0)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ,μ−1)， 则(−1−λ)×(μ−1)=0×(1−λ)⇒λ=−1或μ=1，所以D 选项错误.故选：AC12、答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i13、答案：(1,32)分析：根据条件先分析z 的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于m 的不等式组，由此求解出结果. 因为z 对应的点在第一象限，所以z 的对应点在第四象限，所以{m 2+m −2>04m 2−8m +3<0 ，解得1<m <32，即m ∈(1,32)， 所以答案是：(1,32).。
高中数学必修二第七章复数重点知识归纳(带答案)
高中数学必修二第七章复数重点知识归纳单选题1、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（ ） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i=2i 3+4i =2i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=8+6i 25， 所以|z|=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C2、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，根据题意，可得|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.3、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A．1B．–1C．2D．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a−1)+(a−2)i为实数，所以a−2=0，∴a=2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4、2−i1+2i=（）A．1B．−1C．iD．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、在复平面内，复数z=1+i2−i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案：A分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+3i+i24−i2=1+3i5=15+35i，∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35)，在第四象限，故选：A．6、若a,b∈R，i是虚数单位，a+2021i=2−bi，则a2+bi等于（）A．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a=2，−b=2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．7、已知复数z满足z⋅z+4i z=5+a i，则实数a的取值范围为（）A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]答案：D分析：设z=x+y i,x,y∈R，由复数相等，得出x,y,a的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.设z=x+y i,x,y∈R，则x2+y2+4i(x−y i)=5+a i，整理得：x2+y2+4y+4x i=5+a i,所以{x 2+y2+4y=54x=a，消去x得y2+4y−5+a216=0,因为方程有解，所以Δ=16−4(a 216−5)≥0，解得：−12≤a ≤12.故选：D. 8、设a ∈R ，若复数(1+i )(a +i )在复平面内对应的点位于实轴上，则a =（ ）A ．0B ．−1C ．1D ．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a +1=0，即可得答案.∵复数(1+i )(a +i )=(a −1)+(a +1)i 在复平面内对应的点位于实轴上，∴a +1=0，即a =−1．故选：B多选题9、已知复数z =−1+√3i (i 为虚数单位)，z̅为z 的共轭复数，若复数w =z̅z ，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|w|=1C ．w 的实部为−12D ．w 的虚部为√32i 答案：ABC分析：对选项A,求出w =−12+√32i ，再判断得解；对选项B ，求出|w|=1再判断得解；对选项C,复数w 的实部为−12，判断得解；对选项D ,w 的虚部为√32,判断得解.对选项A,由题得z̅=−1−√3i,∴w =√3i−1+√3i =√3i)2(−1+√3i)(−1−√3i)=−2+2√3i 4=−12+√32i . 所以复数w 对应的点为(−12,√32)，在第二象限，所以选项A 正确； 对选项B ，因为|w|=√14+34=1，所以选项B 正确；对选项C,复数w 的实部为−12，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为√32,所以选项D 错误.故选：ABC小提示：本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10、下面是关于复数z=2−1+i的四个命题，其中的真命题为（）A．|z|=2B．z2=2iC．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为−1答案：BD分析：化简复数z=−1−i，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.由题意，复数z=2−1+i =2(−1−i)2=−1−i，则|z|=√2,z2=2i,z=−1+i，其中复数z的虚部为−1.故选：BD.11、若复数z满足z(1−2i)=8−i，则（）A．z的实部为2B．z的模为√13C．z的虚部为2D．z在复平面内表示的点位于第四象限答案：AB分析：化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C，求出复数的模，可判断选项B，根据复数的几何意义可判断选项D.因为z=8−i1−2i =(8−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=10+15i5=2+3i，所以z的实部为2，z的虚部为3，所以|z|=√22+33=√13，z在复平面内表示的点位于第一象限故A、B正确，C，D错误．故选：AB填空题12、已知复数z满足条件|z|=1，那么|z+2√2+i|的最大值为______．答案：4解析：由|z|=1，所以复数z对应的点在单位圆上，由|z+2√2+i|表示复数z对应的点与复数−2√2−i对应的点M(−2√2，−1)之间的距离，根据圆的性质可得答案.因为|z|=1，所以复数z对应的点在单位圆上，|z+2√2+i|表示复数z对应的点与复数−2√2−i对应的点M(−2√2，−1)之间的距离，而|OM|=√8+1=3．所以|z+2√2+i|的最大值为|OM|+r=|OM|+1=4.所以答案是：413、已知z1为复数，且|z1|=2，则|z1+2i|的最大值为____________.答案：4分析：由题意，设z1=a+b i(a,b∈R)，得到a2+b2=4，则|z1+2i|=√a2+(b+2)2，利用复数的模的几何意义，即可得解.由题意设z1=a+b i(a,b∈R)，则z1+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i∵|z1|=2，∴√a2+b2=2，即a2+b2=4，即|z1|的模的轨迹可理解为以(0,0)为圆心，半径为2的圆.则|z1+2i|=√a2+(b+2)2，可理解为求点(a,b)到点(0,−2)之间的距离，数形结合可知，|z1+2i|的最大值为4．所以答案是：414、若复数z1=sinπ3−icosπ6，z2=2+3i，则|z1|________|z2|（填“>”“<”或“=”）．答案：<分析：由复数模的计算公式，分别计算出|z1|和|z2|，即可比较大小.|z1|=√sin2π3+cos2π6=√34+34=√62，|z2|=√22+32=√13．因为√62=√32<√13，所以|z 1|<|z 2|. 所以答案是：<解答题15、复数z =(2m 2−5m +2)+(m 2−m −2)i ，当m 取何实数时：(1)z 为实数；(2)z 为纯虚数；(3)z 对应的点在复平面上实轴的上半部分．答案：(1)m =2或m =−1(2)m =12(3)m <−1或m >2分析：（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得．(1)因为z 为实数，所以m 2−m −2=0，解得m =2或m =−1(2)由z 为纯虚数，则{2m 2−5m +2=0,m 2−m −2≠0, 解得m =12 (3)由z 对应的点在复平面上实轴的上半部分，则m 2−m −2>0，解得m <−1或m >2。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章复数 课后练习题及章末测验 精选配套习题 含解析
第七章 复数1、数系的扩充和复数的概念 ........................................................................................ - 1 -2、复数的几何意义 ........................................................................................................ - 5 -3、复数的加、减运算及其几何意义 ............................................................................ - 9 -4、复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 14 -5、复数的三角表示 ...................................................................................................... - 19 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -1、数系的扩充和复数的概念一、选择题 1．下列命题：(1)若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； (2)x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；(3)若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎨⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，解得y ＝1.]2．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R )是正实数，则实数m 的值为 ( ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．±3B [由题知⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3，故选B ．]3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD ．2＋2iA [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A ．]4．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4C [由题意知⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.]5．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．]二、填空题6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.－2 [⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，∴m ＝－2.]7．(一题两空)已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.2 ±2 [由复数相等的充要条件有 ⎩⎨⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝±2.]8．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．③ [当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．]三、解答题9．若x ，y ∈R ，且(x －1)＋y i ＞2x ，求x ，y 的取值范围． [解] ∵(x －1)＋y i ＞2x ，∴y ＝0且x －1＞2x ， ∴x ＜－1，∴x ，y 的取值范围分别为x ＜－1，y ＝0.10．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.11．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．1＋i 2＝0B ．若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0D ．两个虚数不能比较大小AD [对于A ，因为i 2＝－1，所以1＋i 2＝0，故A 正确．对于B ，两个虚数不能比较大小，故B 错．对于C ，当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，故C 错．D 正确．]12．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋iB [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0. 所以⎩⎨⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝－1.所以z ＝3－i.]13．(一题两空)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，则实数x ＝________，y ＝________.－1 2 [由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得x ＝－1，y ＝2.]14．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． [解] (1)∵z 1为纯虚数， ∴⎩⎨⎧4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2，∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．2、复数的几何意义一、选择题1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ] 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.]3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13.] 4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．] 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－iD ．34＋iD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.] 二、填空题6．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 12 [由条件，知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，所以m ＝3，因此z ＝12i ，故|z |＝12.]7．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0.解得x ＞3.] 8．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.] 三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.11．(多选题)设复数z 满足z ＝－1－2i ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是( )A ．|z |＝ 5B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为－1＋2iD ．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－2x 上AC [|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．]12．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．3D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．] 13．(一题两空)已知复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i(i 为虚数单位)，若复数z 是实数，则实数m ＝______；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值范围为________．3 (－5，－1－15) [若复数z 是实数， 则⎩⎨⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3. 若复数z 对应的点位于复平面的第二象限， 则⎩⎨⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，解得－5＜m ＜－1－15.]14．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求yx 的最大值． [解] ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx 的最大值为 3. 15．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．3、复数的加、减运算及其几何意义一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75B ．－115 C ．－185D ．5B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.] 2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ．]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D ．]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为________．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示. AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210. 11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8iC ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→CD [满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ．]12．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．22D ．12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]13．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________. 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]14．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位．(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．[解] (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.15．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ， 又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.4、复数的乘、除运算一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i ，选D ．]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋ii ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C ．] 3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．] 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4D ．45D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i. 故z 的虚部为45，选D ．]5．设复数z 的共轭复数是 z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34A [∵z 2＝t ＋i ，∴z －2＝t －i.z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z －2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]二、填空题6．i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.1 [∵z ＝1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i ，∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1.]7．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 1 [∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]8．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.5 [∵z 1(1－i)＝3－i ， ∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.] 三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值．[解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i. ∴zz ＝2＋i2－i ＝2＋i 22－i 2＋i＝3＋4i 5＝35＋45i.11．(多选题)下面是关于复数z ＝2－1＋i(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1BD [∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，A 错误；z 2＝2i ，B 正确； z 的共轭复数为－1＋i ，C 错误； z 的虚部为－1，D 正确．故选BD ．]12．(多选题)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22ABC [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]13．(一题两空)若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________，z 1z 2＝________.83 16－143i [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋2i (3－4i)＝8－323i ＋6i ＋8 ＝16－143i.]14．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． [解] 因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根， 所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0， 即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，所以⎩⎨⎧ 10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝－12，q ＝26.]15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y 2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y1＋x≠0， 所以u 为纯虚数.5、复数的三角表示一、选择题1．复数12－32i 的三角形式是( ) A ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3B ．cos π3＋isin π3 C ．cos π3－isin π3 D ．cos π3＋isin 5π6A [12－32i ＝cos 53π＋isin 53π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.] 2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°D ．320°D [sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4B ．3π2－4C ．2π－4D ．5π2－4D [sin 4＋icos 4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4.] 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )D [因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝π4＋k π，(k ∈Z )．]5．如果θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )A ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θB ．2[]cos ()2π－θ＋isin ()2π－θC ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θD ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θA [因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ.]二、填空题6．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π3，则arg z 2＝________. 43π [因为arg z ＝2π3，所以arg z 2＝2arg z ＝2×2π3＝4π3.]7．把复数1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转π2，所得到的向量对应的复数是________．1－i [(1＋i)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1－i.]8．设复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，则z 1z 2的辐角的主值是________．π6 [由题知，z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3， z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，所以z 1z 2的辐角的主值为π3－π6＝π6.]三、解答题9．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式．[解] 因为z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z 1z 22＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6. 由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋2π3(k ∈Z )， 又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－1＋3i.10．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z z 2＝0，arg z 2＝7π12，若z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，且|AB |＝2，求z 1和z 2.[解] 由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2，又arg z 2＝7π12， 所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝1－32＋3＋12i ，z 1＝z z 2＝(1＋i)z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4·2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3＋i. 11．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－ 2D ．－3B [因为z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，arg z ＝3π2， 所以⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＜0，所以a ＝－1，故选B ．]12．设π＜θ＜5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( )A ．2π－3θB ．3θ－2πC ．3θD ．3θ－πB [cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos (－θ)＋isin (－θ)＝cos 3θ＋isin 3θ.因为π＜θ＜5π4，所以3π＜3θ＜15π4， 所以π＜3θ－2π＜7π4，故选B ．]13．已知复数z 满足z 2＋2z ＋4＝0，且arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则z 的三角形式为________．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 [由z 2＋2z ＋4＝0，得z ＝12(－2±23i)＝－1±3i. 因为arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以z ＝－1－3i 应舍去，所以z ＝－1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3.]14．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ，求tan(α＋β)．[解] 由题意可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β. 因为△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ， 所以z 1＋z 23＝13＋115i ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝1，sin α＋sin β＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＋β2cos α－β2＝1，2sin α＋β2cos α－β2＝15，所以tan α＋β2＝15，故tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝512.章末综合测验(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( ) A ．z －1 B ．z ＋1 C ．－10＋18iD ．10－18iC [1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.] 2.3＋i 1＋i ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．] 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋iA [由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1， 则z ＝1－i ，故选A ．]4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C ．] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i. ∴⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B ．] 6．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ． 2B ．23 C ．－23 D ．2C [因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．] 8．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( ) A ．(3,1) B ．(－2,0) C ．(0,4)D ．(－1，－5) ACD [易知选项A 、B 、C 、D 中的点对应的复数分别为3＋i 、－2、4i 、－1－5i ，因此A 、C 、D 中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且a ＋b ＝1，下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则z 是实数C ．若z ＝|z |，则z 是实数D ．|z |可以等于12BC [当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，A 错误；若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则a ＋b i ＝a －b i ，因此b ＝0，B 正确；由|z |是实数，且z ＝|z |知，z 是实数，C正确；由|z|＝12得a2＋b2＝14，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于12，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2 2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋y i(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋y i|＝|x＋(y－1)i|，即(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，整理得，y ＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．] 12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是()A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m＋nB．当z1，z2∈C时，若z21＋z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z·zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|AC[由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z21＋z22＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 3 [a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2， 所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.]15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则|z |＝________，z－z ＝________(本题第一空2分，第二空3分)．22 ±i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎨⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8，⇒⎩⎨⎧ x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2.∴|z |＝2 2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z 为实数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. [解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ， 所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.20．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .[解] 由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，即a ＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，C (x ，y )， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限， ∴⎩⎨⎧4－(a ＋1)2＞0，4(a ＋1)＞0，解得－1＜a＜1，即实数a的取值范围为(－1,1)．。
高中数学第七章复数7.2.1复数的加减运算及其几何意义同步练习含解析新人教A版必修第二册
课时素养评价十七复数的加、减运算及其几何意义(15分钟30分)1.若z-3+5i=8-2i,则z等于(A.8-7iB.5-3iC.11-7iD.8+7i【解析】选C.z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi(a,b∈R),若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值为(A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4【解析】选 A.因为z1+z2=(a-3)+(4+b)i为实数,所以4+b=0,b=-4.因为z1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i为纯虚数,所以a=-3且b≠4.故a=-3,b=-4.3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( A.2+4i B.-2+4iC.-4+2iD.4-2i【解析】选D.在平行四边形ABCD中,==-=3+i-(-1+3i)=4-2i.4.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|= (A.1B.C.2D.3【解析】选B.由题干图可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=.5.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是(A.1B.2C.-2D.-1【解析】选A.z1-z2=y+xi-(yi-x)=x+y+(x-y)i=2,所以所以x=y=1.所以xy=1.2.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2等于( A.10 B.25 C.100 D.200【解析】选C.根据复数加、减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以OM1,OM2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,因为||==5.所以||=10.所以|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.3.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是(【解析】选A.由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1),故选A.4.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(A.2B.4C.4D.16【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=,y=时,2x+4y取得最小值4.【误区警示】根据|z-4i|=|z+2|求出x+2y=3后,注意把2x+4y转化为x+2y的关系再求解.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若z1=2a+i,z2=-2+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在坐标轴上,则a的值可能为(A.3B.2C.1D.-1【解析】选CD.z1+z2=2a+i-2+ai=(2a-2)+(1+a)i.因为在复平面内z1+z2所对应的点在坐标轴上,所以2a-2=0或1+a=0,所以a=1或a=-1.【光速解题】求出z1+z2后,把四个选项逐项代入,验证可立即得到答案.6.如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2,那么实数a的可能取值为(A.1B.2C.D.【解析】选AC.|z-2|<2即|1+ai|<2,所以<2,所以-<a<,所以A,C符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),则x2+y2的最大值是.【解析】因为x+yi=(3+5cos θ)+i(-4+5sin θ),所以x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50+30cos θ-40sin θ=50+50cos(θ+φ),其中sin φ=,cos φ=.所以(x2+y2)max=50+50=100.答案:100【补偿训练】若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点Z ( A.在实轴上 B.在虚轴上C.在第一象限D.在第二象限【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),由|z-1|=|z+1|得(x-1)2+y2=(x+1)2+y2,化简得x=0.8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1= ,z2= .【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,所以解得所以z1=5-9i,z2=-8-7i.答案:5-9i -8-7i四、解答题(每小题10分,共20分)9.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点间的距离.【解析】向量+对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.则=-,所以对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.所以A,B两点间的距离为|-8-2i|==2.10.已知在复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又因为=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为·=||||cos B,所以cos B====.因为0<B<π,所以S▱ABCD=||||sin B=××=7, 所以平行四边形ABCD的面积为7.。
部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识汇总大全
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识汇总大全单选题1、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2、复数z =|√3+i |的虚部是（ ） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i3、复数2−i 1+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i5、已知复数z 满足z −z =2i ，则z 的虚部是（ ）A ．−1B ．1C ．−iD ．i6、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ）A ．1B ．√2C ．√5D ．√107、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cosθ+π2+i sin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cos θ−π2+i sin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+i sin π−θ2) 8、z =(2+i )2−4在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（ ）A ．若复数z =1+i1−i ，则z 30=−1B ．若复数z 满足|z −1|=|z −i |，则复平面内z 对应的点Z 在一条直线上C ．若(x 2−1)+(x 2+3x +2)i是纯虚数，则实数x =±1D ．复数z =2−i的虚部为−i10、对任意复数z =a +b i (a,b ∈R),i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）A ．z −z̅=2aB ．|z|=|z|C ．z +z̅=2aD ．z +z̅=2b i11、在复平面中，已知复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020对应的点在第二象限，则实数a 的可能取值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3填空题12、如果复数z 满足|z +i |+|z −i |=2，那么|z +i +1|的最小值是________．13、已知复数z =(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i ，若μ=z +m i (m ∈R)，则当|μz |≤√2时，实数m 的取值范围是______________．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(十)参考答案1、答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=√2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z=a,则z̅=a所以z=z̅,反之当z=z̅时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z̅是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.2、答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z=12−12i，再根据虚部的定义作出判定.∵z=|√3+i|=√(√3)+12=1−i2=12−12i，∴z的虚部为−12，故选：A.3、答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i1+3i，从而可求对应的点的位置.∵2−i1+3i =(2−i)(1−3i)10=−1−7i10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限.故选：C.4、答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn +2=02n +2=0，解得{m =3,n =−1 ，∴z =3−i 故选：B5、答案：A分析：设z =a +bi (a,b ∈R )，根据z −z =2i ，求得b =−1，即可求得复数z 的虚部，得到答案.设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z −z =2i ，可得z −z =a −bi −(a +bi )=−2bi =2i ，则−2b =2，可得b =−1，所以复数z 的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.6、答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.解析因为z =−1+i i =(−1+i )⋅i i ⋅i =−i −1−1=1+i，所以z =1−i ，|z |=√2.故选：B7、答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin 2θ2−2i sin θ2cos θ2 =2sin θ2(sin θ2−i cos θ2) =2sin θ2(cos π−θ2−i sin π−θ2)=2sin θ2[cos π−θ2+i sin (−π−θ2)] =2sin θ2(cosθ−π2+i sin θ−π2)，故选：C.8、答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z =(2+i )2−4=−1+4i，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.9、答案：AB分析：根据复数的运算直接计算可知A ；由复数的模的公式化简可判断B ；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C ；由虚部概念可判断D.对于A ：因为z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i，所以z 30=i 30=i 4×7+2=i 2=−1，故A 正确；对于B ：设z =x +y i (x,y ∈R )，代入|z −1|=|z −i |，得√(x −1)2+y 2=√x 2+(y −1)2，整理得y =x ，即点Z 在直线y =x 上，故B 正确；对于C ：(x 2−1)+(x 2+3x +2)i是纯虚数，则{x 2−1=0,x 2+3x +2≠0 ，即x =1，故C 错误； 对于D ：复数z =2−i的虚部为−1，故D 错误.故选：AB.10、答案：BC分析：写出共轭复数，然后计算判断各选项．由已知z =a −b i，因此z −z =2b i，z +z =2a ，|z |=√a 2+b 2=|z |．故选：BC ．11、答案：CD分析：化简复数，再由复数所在象限列不等式组，即可求解.因为复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020=(1−a)+(a +1)i在第二象限，所以{a +1>01−a <0⇒a >1 故选：CD.12、答案：1分析：由|z+i|+|z−i|=2的几何意义得z对应复平面的点(a,b)的轨迹为线段AB，再由|z+i+1|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，数形结合即可求出最小值.设z=a+bi，则|z+i|+|z−i|=|z−(−i)|+|z−i|=2的几何意义为复平面内点(a,b)到点(0,−1)及点(0,1)的距离和为2，又1−(−1)=2，设点A(0,−1)和点B(0,1)，则点(a,b)的轨迹为线段AB，又|z+i+1|=|z−[(−1)+(−i)]|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，设P(−1,−1)，结合图像可知，当z=−i时，|z+i+1|的最小值为1.所以答案是：1.13、答案：[−√3+1,√3+1]分析：先对已知式子化简计算出复数z，从而可得|z|，复数μ，代入|μz|≤√2中化简可得1+(m−1)2≤4，从而可求出实数m的取值范围.z=(−1+3i)(1−i)−(1+3i)i =(2+4i)−(1+3i)i=1+ii=1−i，所以|z|=√2，μ=1+(m−1)i．由|μz|≤√2得|μ|≤2，所以1+(m−1)2≤4，即(m−1)2≤3，解得−√3+1≤m≤√3+1．所以答案是：[−√3+1,√3+1]。
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人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。