多元统计分析第六章 因子分析

第6章因子分析
6.1 因子分析数学模型
因子分析是很有用的统计分析工具，因子分析的实质就是找出少量不可观测的随机变量，用它们表示众多的可观测随机变量。

以下例子能说明因子分析的意义。

例6.1对一个班的学生，进行五门课程（力学、物理、代数、分析、统计）考试，其中力学和物理闭卷考试，代数、分析、统计开卷。

这5门功课的成绩是可观测的随机向量。

每个学生的成绩可以看成5维随机向量的一个观测,见表6-1。

表6-1 五门课程考试成绩
经过一定计算（因子分析）后发现存在不可观测的随机变量：1f 、2f ，它们和51,...x x 间有关系 5
215421432132
21212116377.1091469.9750.678264.162258.5364.721559.013358.6909.720269.564838.7523.721220.864570.8409.62v f f x v f f x v f f x v f f x v f f x +-+=+-+=+-+=+++=+++= （6.1） 其中1f 、2f 是不可观测的随机变量。

我们认为它们分别表示学生的学习能力和适应开闭卷能力，所以可分别称为学习因子和适应开闭卷因子。

（6.1）揭示了这两个因子如何影响5门功课的成绩，也揭示5门课成绩的实质：每门课的成绩由学习因子和适应开闭卷因子的线性组合，加上常数，再加上随机变量而得。

这是是很有意义的。

象例6.1那样，找出少量不可观测因子（例如1f 、2f ），并给出它们影响可观测随机变量（例如51,...x x ）方式的统计分析，就是因子分析。

因子分析与主成分分析不同：主成分分析是寻求若干个可观测随机变量的少量线性组合，说明其含义；因子分析主要的目的是找出不一定可观测的潜在变量作为公共因子，并解释公共因子的意义，及如何用不可观测随机变量，计算可观测随机变量。

因子分析方法在心理学，经济，医学，生物学，教育学等方面有重要用途。

例如为了测验应聘者的素质，出40道题，让应聘者回答，每道题有一得分， 40题得分被认为可以观测的随机变量。

我们希望找出有限个不可观测的潜在变量来解释这40个随机变量，这些不可观测的潜在变量不一定能表示为原来随机变量的线性组合，但却是有实际意义的，例如交际能力，应变能力，语言能力、推理能力、艺术修养、历史知识和生活常识等。

又如分析生物生长状况时，从生物的实测指标（长、宽和体重等）可以分析出生长因子和控制因子，找出它们在不同时刻的作用。

有关因子分析细节可参看方开泰（1989）、Richard(2003)和Gorsuch （1983）。

因子分析模型包括正交和斜交因子模型，本书只介绍正交因子分析模型，表述如下：
定义6.1 设X 为p 维可观测随机向量，其均值向量为μ，协差阵为∑=)var(X ,若X 能表为
u f X +Λ+=μ (6.2)
其中Λ是k p ⨯待定常数阵，f 是k 维随机变量（通常k 小于p ），u 是p 维随机向量，且
⎪⎩
⎪⎨⎧
==ψ====0),c o v (),...()v a r (,0)()v a r (,0)(221u f d i a g u u E I f f E p ψψ （6.3） 则满足条件(6.3)的（6.2）式称为X 有k 个因子的因子分析模型。

f 称为公共因子，u 称为特殊因子，Λ叫做因子负荷矩阵，其元素ij λ称为第i 个变量在第j 个因子上的负荷。

例6.1中)',,,,(54321X X X X X X =，
)'750.67,364.72,909.72,523.72,409.62(=μ，
)',(21f f f =，)',,,,(54321v v v v v u =，
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡---=Λ6377.1091469
.98264.11559.00269
.51220
.862258.513358
.664838.764570
.8
由（6.2）式可见，因子负荷矩阵特别重要：第i 个变量的值ij k
f X λ∑=1
j j i 由再加上常数项i μ和特殊
因子i u 而成。

ij λ的大小反映第j 个因子对第i 个变量的影响。

令
∑
==
k
j ij i
h
1
2
2
λ，
则它反映了所有公共因子对X 第i 个变量的影响大小。

定义6.2 2
i h 称为共同度(communality)或共性方差(commonvariance)。

例6.1中共性方差是
2
2
25222222422322222
1)
6377.10(91469
.9)
8264.1()1559.0(0269
.51220.862258.513358.664838.764570.8-+
=--+=+=+=+=h h h h h
51,...v v 表示这门课程成绩的分散性（它由测试题目的区分度决定）和测量误差，因子分析中不讨论它
们。

因子分析的重点在寻求因子负荷阵和解释公共因子，一般不对特殊因子研究。

通常，因子分析的计
算由X 的协方差阵
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
∑pp p p σσσσ...
(1)
111 的分解而完成： 由(6.2)和(6.3)可见
∑=ψ+ΛΛ=')var(X （6.4）
由已知∑解（6.4），可得ψΛ和。

其实只要解得Λ即可，因为∑对角线上元素
2
21
22i i k
j i ij
ii h ψψλ
σ+=+=
∑= i=1，…p
于是由ψΛ可得。

但是，（6.4）的解是否存在？如果无解，能否作因子分析？当k=p 时，取0,2
/1=ψ∑
=Λ
就是
（6.4）的解，因而（6.4）总有解。

然而k=p 不符合因子分析的目的：用少量不可观测的随机变量表示维数很高的随机向量 。

不幸的是，当k<p 时，（6.4）不一定有解,这从下面例6.2可见。

例6.2 设3维随机向量的协方差阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=∑14
.7
.4.19
.7.9.1
且只取一个公共因子，即k=1，则由
∑=ψ+ΛΛ'
非对角线元素的相等，可得3等式
9.02111=λλ，4.0,7.031213111==λλλλ。

由后2式得7.0/4.01121λλ=，代入9.02111=λλ，可得575.12
11=λ。

从而02
1
<ψ
这与（6.3）矛盾。

好在实际问题中，只能得到样本协差阵和样本相关阵，总体协差阵或总体相关阵用它们估计。

而样本协差阵和样本相关阵的分量是随机变量，一般与总体协差阵或总体相关阵不等，从而（6.4）近似成立即可，关于这一问题的讨论见本章例6.4。

另一方面值得注意的是，若（6.4）有解，则因子负荷阵不是唯一的：若已解出公共因子f
，因子
负荷阵k
p ⨯Λ
，使得
u f X +Λ+=μ
设Γ是任一k 阶正交阵，则(6.4)也可写为
u f X +ΓΛΓ+=))((T
μ （6.5）
若将ΛΓ作为因子负荷阵，f T
Γ作为公共因子，（6.5）也是X 有k 个因子的因子分析模型。

例如，对于例6.1，做4/π旋转，取
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=Γ7071.07071
.07071.07071
.0
则可得另一因子分析模型
5
2154214321322121211)6377.1091469.9(7071.0)6377.1091469.9(7071.0750.67)8264.162258.5(7071.0)8264.162258.5(7071.0364.72)1559.013358.6(7071.0)1559.013358.6(7071.0909.72)0269.564838.7(7071.0)0269.564838.7(7071.0523.72)1220.864570.8(7071.0)1220.864570.8(7071.0409.62v f f x v f f x v f f x v f f x v f f x +-+++=+-+++=+-+++=+++-+=+++-+=
要强调指出的是：因子负荷阵的不唯一性，使我们对f 有更多的选择余地，反而是有利的：当用某种方法找出的f 没有明确的意义时，我们可以选择Γ，使f T
Γ的意义变得更明确。

这称为因子旋转，将在6.3节细述。

6.2 因子分析模型参数的估计
由于（6.4）不一定有精确解，通常采用近似解法。

常用的有主成分法、极大似然法、主因子法和迭代主因子法，以下分别叙述其原理。

为了减少可观测变量的单位，对因子分析的影响，人们常常把随
机变量标准化后再做因子分析，这时（6.4）中的∑化为相关阵，从而2
21i i h -=ψ。

和主成分分析情况
一样，同样的数据，用协方差阵和用相关阵做因子分析，得到的结果不一样。

实际问题中，总是得到随机向量的n 个观测值)
(i X ，当可观测变量有n 次观测)
()
1(,...n X
X
时，因
子分析模型变为
n i u
f X
i i i ,...1)
()
()
(=+Λ+=μ
其中)
()
(,i i u
f
是公共因子和特殊因子的样品。

μ可用样本均值∑=
-
)
(1
i X
n
X 估计，（6.2）化为u f X X +Λ=-，因而总设X 是零均值化的；
∑用样本方差阵
)')((1
1)
()
(-
-
---X X X X
n i i 或样本相关阵估计，再由主成分法、极大似然法、主因子
法、迭代主因子法等方法估计因子负荷阵。

（1）主成分法的原理是：设*X 是X 的标准化，设∑=)(C o r r X 的特征值和相应单位特征向量分别是p p a a a ,...,;,...,2121λλλX 的全部主成分是
*'11X a y =,*'22X a y =,…*'X a y p p =；
设主成分分析认定只需选取k 个主成分。

因为0)(=i y E ，i i y Var λ=)(，i i i y f λ/=的方差是1，想到取公共因子为i i i y f λ/=，i=1，…k ； 令],...[1p a a A =
*'*'...'...11X A X a a y y Y p p =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （6.6）
因为A 的列向量是单位向量，彼此正交，A 是正交阵；所以AY X =*，将A 剖分，
[]21,A A A =，其中[]k a a A ,...11=，则由(6.5)得 u
f f B y y a a f f B y y a a f f dia
g A y y a a y y A AY X k p k p k k p k p k k k
p k p k k +⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==++++++......],...[......],...[...],...[...],...[...*111111*********λλ
于是可取],...,[2111k diag A B λλλ==Λ为因子负荷阵，k f f ,...1为公共因子，∑
+==p
k j j j a y u 1
为特
殊因子。

容易证明，这时有u f X +Λ=，满足
,)var(,0)(I f f E ==0),cov(0,E(u)==u f
虽不完全满足（6.4），但u 的方差不大，也可近似认为（6.4）成立。

例6.3 对例5.4北京冬季气温的数据作因子分析。

解 容易求出相关阵前两个特征值是1.50776062，0.84615115；特征向量是
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡ 0.512901 0.573479 0.638791 ，⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣⎡ 0.797476 .593736-
.107283- ；第一、二主成分分别是 prin1=0.638791Dec*+0.573479 Jan*+0.512901 Feb*,
prin2=-0.107283 Dec*-0.593736 Jan*+0.797476 Feb*,
其中Dec*、Jan*、Feb*是12月、1月、2月月平均气温的标准化。

当取两个公共因子时，第一、二个公共因子就是
1.50776062Feb*)/ 0.512901*Jan 0.573479*c 0.638791De (1++=f 0.84615115Feb*)/
0.797476*Jan -0.593736*Dec -0.107283(2+=f
因子负荷阵就是
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ84615115.0* 0.797476
.593736- .107283- ,50776062.1*0.512901
0.573479 0.638791 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=0.73357
0.629800.54616- 0.704180.09869- 0.78438
主成分法的优点是：①计算简单，只要计算特征值特征向量即可得到因子负荷阵1B 。

②公共因子k f f ,...1是X 前k 个主成分标准化（除以i λ）
，是可观测随机变量的线性组合，其含义容易由主成分分析看出（上例中1f 是冬季总温度偏高程度，2f 是12月1月温度距平与2月温度距平反差）。

③k 可适当选取，使共性方差较大。

缺点是u 的协方差阵不是对角阵，由于
V ar(u) ∑∑
+=+==
=p
k j j j j
p
k j j j a a a y Var 1
1
')(
λ。

因而'ΛΛ-∑对角线外元素绝对值可能较大。

在调用SAS 的FACTOR 过程做因子分析时，为使 SAS 执行主成分法，应当在PROC FACTOR 语句中，采用METHOD ＝p 选项。

（2）极大似然法的原理是：当公共因子和特殊因子的联合分布服从正态分布时。

似然函数（略去常数后）可化为 )]}()'()')(([2
1exp{|
|),(1
1
1
2
/μμμ-∑
-+--∑
-
∑=∑-=--∑
x x n x x x x tr L j j n
j n （6.7）
从而μ的极大似然估计是x ，选择ψΛ和，在约束条件ψ+ΛΛ=∑'下，使（6.7）极大，可得ψΛ和的极大似然估计；为了克服因子负荷阵的不确定性，可加上约束条件：ΛψΛ-1'是对角阵。

在调用SAS 的FACTOR 过程做因子分析时，在PROC FACTOR 语句中，采用选项METHOD ＝ML 就能指示SAS 执行极大似然法。

使用极大似然法时∑必须是正定阵，协差阵行列式不能是0。

（3）主因子法的原理是：因为'ΛΛ=ψ-∑是非负定阵，设秩为k ，故存在正交阵Γ，使
Φ==Γψ-∑Γ)0,...0,0,,...()('1k diag φφ
且0...21>≥≥≥k φφφ，令1Γ为Γ前k 列所成矩阵，),...(11k diag φφ=Φ 则有
)')((''2
/1112
/11
1111ΦΓΦΓ=ΓΦΓ=ΓΓΦ=ψ-∑ (6.8)
因此，当找到一个ψ的合适估计∧ψ时，就能用∧
ψ-∑的前k 个标准正交化的特征向量为列向量，从而构成1Γ；令2/11
Θ
是∧ψ-∑的前k 个特征值算术平方根所成的对角阵，则)')((2
/1112/11
1ΘΓΘΓ≈ψ-∑∧。

从而2
/11
1ΘΓ即是Λ的一个估计。

在调用SAS 的FACTOR 过程做因子分析时，为使SAS 执行主因子分析，应当在PROC FACTOR 语句中，采用METHOD ＝p 选项，并增加PRIORS 语句，且相应变量值不等于1。

（4）迭代主因子法的原理是：选取适当初值1∧
ψ，再令 ①i=1;
②)()
(1
,...i k
i φ
φ
是i ∧
∧
ψ-∑前k 个特征值，i Γ是i ∧
∧
ψ-∑的前k 个标准化特征向量所成矩阵
③)
,...(2
/1)(2
/1)(1
i k
i i i
diag φφΓ=Λ∧
④)'(1i i i diag ∧
∧
∧
+∧
ΛΛ-∑=ψ ,i=i+1。

转②
从1∧
ψ出发用②至 ④反复迭代直至稳定，可得Λψ,的估计值。

在调用SAS 的FACTOR 过程做因子分析时，在PROC FACTOR 语句中，用METHOD=PRlNIT 选项指示SAS 执行迭代主因子法，这时SAS
会自动选取适当初值1∧
ψ，并进行迭代。

用上述方法之一估计出参数后，还必须对得到的公共因子进行解释，对每个公共因子要给出一个名称，说明其作用。

上述计算十分复杂，一般用专用软件完成。

要用SAS 软件对资料进行因子分析，可调用SAS 软件的FACTOR 过程，即因子分析过程。

FACTOR 过程可以完成以上所述各种类型的公共因子分析，和各种旋转。

FACTOR 过程的处理的数据集可以是原始数据、统计数据的相关阵或协差阵。

FACTOR 过程主要包含两个语句：PROC FACTOR 语句和V AR 语句，当使用主因子法时，还要配上PRIORS 语句。

（1）PROC FACTOR 语句。

其一般形式是：PROC FACTOR 选项项1，选项2，…； PROC FACTOR 语句后的选项可以是DA TA ＝…用以指定被分析的数据集，若缺省，则分析最新建立的SAS 数据集；也可以是OUT ＝…用以建立输出数据集，把有关结果存入其中；也可以是method ＝…用以规定提取因子的方法；还可以是rotate ＝…用以给出旋转方法，n=…规定提取公共因子的个数，当使用选项COV 时，SAS 用协差阵计算因子负荷阵，否则用相关阵计算因子负荷阵。

（2）V AR 语句。

一般形式是：V AR 变量1，变量2……；用以规定要分析的变量。

（3）PRIORS 语句。

一般形式是PRIORS 数值1 数值2…；在调用SAS 的FACTOR 过程做因子分析时，若采用主因子法，要用PRIORS 语句，且相应变量值等于ψ的合适估计。

例6.4 对6.1用主成分法作因子分析。

令x1-x5分别表示力学、物理、代数、分析、统计的成绩。

采用SAS 程序： data grade;/*建立数据集grade*/
input No x1-x5;/*建立变量No x1,x2,x3,x4,x5*/ cards ;/*以下是数据体*/
1 9
2 97 82 82 96 2 78 9
3 95 85 96
3 90 88 86 81 96
4 70 87 78 8
5 83 ……
42 63 63 64 66 52 43 56 78 64 61 49 44 61 67 68 56 55
;
proc factor data=grade method =p n=2;/*采用主成分法，用相关阵计算，选取两个公共因子*/ var x1-x5;/*可观测因子是x1、x2、x3、x4、x5*/
run;
执行上述程序后输出许多信息，主要信息是相关阵特征值表（表头为， Eigenvalues of the
Correlation Matrix: Total = 5 Average = 1）、因子负荷阵（表头为Factor Pattern ）和另两个小表（表头分别为Variance Explained by Each Factor 和 Final Communality Estimates: Total = 3.684019）
Eigenvalues of the Correlation Matrix: Total = 5 Average = 1
1 2 3 4 5 Eigenvalue 2.6120 1.0721 0.5694 0.4359 0.3106 Difference 1.5399 0.5026 0.1335 0.1253
Proportion 0.5224 0.2144 0.1139 0.0872 0.0621 Cumulative 0.5224 0.7368 0.8507 0.9379 1.0000
2 factors will be retained by the NFACTOR criter ion.
以上给出相关阵的特征值。

Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2
X1 0.62491 0.58706 X2 0.67015 0.44046 X3 0.84837 -0.02156 X4 0.80568 -0.26171 X5 0.63520 -0.68152
以上给出因子负荷阵， Factor1、Factor2等下面的数即是可观测变量在第一、第二等等公共因子上的负荷，所以因子负荷阵就是
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡---=Λ68152.063520
.026171.002156.044046
.058706.080568.084837
.067015.062491.0。

若**,...51x x 是51,...x x 标准化而得。

所估计**,...51x x 的因子分析模型就是
5
215421432132
212121168152.063520.0*26171.080568.0*02156.084837.0*44046.067105.0*58706.062491.0*u f f x u f f x u f f x u f f x u f f x +-=+-=+-=++=++= （6.9）
由于**,...51x x 在第一个公共因子上的负荷基本相等，第一个公共因子表示学生的学习能力，称为学习能力因子。

由于**,21x x 在第二个公共因子上的负荷是正的，**,.*,543x x x 在第二个公共因子上的负荷是负的，第二个公共因子表示闭卷对考试成绩的影响，第二个公共因子可称为开卷影响成绩因子，第二个公共因子值越大闭卷成绩越差。

Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 2.611953 1.072066
上表说明两个公共因子解释的方差分别是 2.6119530和1.0720658。

（全部方差是相关阵对角线上元素之和5）
Final Communality Estimates: Total = 3.684019
X1 X2 X3 X4 X5 0.735157 0.643113 0.720190 0.717618 0.867940
上表给出各个可观测变量的共性方差。

由此容易算出，2
i ψ等于0.26484287，0.35688694，0.27980969，0.28238173，0.13205997。

因为这5门课成绩的样本均值分别是62.4090909、72.5227273、72.9090909、72.3636364、
67.7500000；样本方差是 191.4101480、130.2552854、52.2706131、48.7019027、243.6337209。

将
410148.191/)40909090.62(*11-=x x 2552854
.130/)5227273.72(*22-=x x
2706131.52/)9090909.72(*33-=x x
7019027
.48/
)3636364.72(*44-=x x
6337209.243/
)75.67(*55-=x x
代入（6.9）51,...x x 的因子分析模型就是
5
215421432132
21212116377.1091469.9750.678264.162258.5364.721559.013358.6909.720269.564838.7523.721220.864570.8409.62v f f x v f f x v f f x v f f x v f f x +-+=+-+=+-+=+++=+++= 参数估计的不同方法（例如主成分法与最大似然法）对参数估计是有影响的，请看下例。

例6.5 对5个公司Allied Chemical （阿莱德化学） 、du Pont （杜邦） 、Union Carbide （联合碳化物）、 Exxon （埃克森）、Texaco （德士古）股票100周的回报率（如表6-2）做因子分析。

表6-2 5个公司100周股票的回报率
试对股票回报率用主成分法、极大似然法主因子法和迭代主因子法分别做因子分析，取2个公共因子。

以变量AllChemi 、duPont 、UnionCar、 Exxon、Texaco表示这5个公司的回报率，先建立主成分法的SAS程序
data stock;
input AllChemi duPont UnionCar Exxon Texaco;
cards;
0.000000 0.000000 0.000000 0.039473 -0.000000
0.027027 -0.044855 -0.003030 -0.014466 0.043478
0.122807 0.060773 0.088146 0.086238 0.078124
...
0.045454 0.046375 0.074561 0.014563 0.018779
0.050167 0.036380 0.004082 -0.011961 0.009216
0.019108 -0.033303 0.008362 0.033898 0.004566
;
proc factor data=stock method=p n=2 ;/*采用主成分法，用相关阵计算，选取两个公共因子*/
var AllChemi duPont UnionCar Exxon Texaco; /*可观测因子是AllChemi 、duPont 、
UnionCar 、 Exxon 、Texaco */ run;
执行后得到的主要结果是
Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2
ALLCHEMI 0.78344 -0.21665 DUPONT 0.77251 -0.45794 UNIONCAR 0.79432 -0.23439 EXXON 0.71268 0.47248 TEXACO 0.71209 0.52373
可见因子负荷阵是 ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡0.52373 0.712090.47248 0.712680.23439- 0.794320.45794
- 0.772510.21665- 0.78344
Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 2.856487 0.809118
上表是每个因子负荷的平方和，反映因子的重要性：平方和越大，该因子越重要。

本例中
2.8564869>0.8091185,因子1比因子2重要。

Final Communality Estimates: Total = 3.665605
ALLCHEMI DUPONT UNIONCAR EXXON TEXACO 0.660709 0.806483 0.685885 0.731155 0.781374
上表是共性方差。

从因子负荷阵可见：可观测因子在第一公共因子上的负荷都是相差不多的正数，可见第一公共因子表示一般经济条件，可称为市场因子；前三个公司是化学加工公司，它们的股票回报率在第二个公共因子上的负荷都是负的，后两个公司是石油公司，它们的股票回报率在第二个公共因子上的负荷都是正的，可见第二个公共因子反映产业的不同，可称为产业因子。

由于数据集stock 已建立，可直接调用。

采用极大似然法的程序是
proc factor data =stock method =ml n=2; /*采用极大似然法，对数据集stock 用相关阵计算因子分析，选取两个公共因子*/
var AllChemi duPont UnionCar Exxon Texaco; /*可观测因子是AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco */ run ;
主要输出的表
Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2
ALLCHEMI 0.68323 -0.19151 DUPONT 0.69240 -0.51867 UNIONCAR 0.68027 -0.25058 EXXON 0.62085 0.07033 TEXACO 0.79388 0.43971
可见极大似然法所得因子负荷阵是 ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡0.43971 0.793880.07033 0.620850.25058- 0.680270.51867
- 0.692400.19151- 0.68323
Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 Weighted 8.026412 2.379734 Unweighted 2.424712 0.566772
上表第3列是每个因子负荷的平方和，反映因子的重要性：平方和越大，该因子越重要。

本例中
2.42471244 >0.56677229,因子1比因子2重要。

Final Communality Estimates and Variable Weights
Total Communality: Weighted = 10.406145 Unweighted = 2.991485
ALLCHEMI DUPONT UNIONCAR EXXON TEXACO Communality 0.503484 0.748441 0.525560 0.390406 0.823593 Weight 2.014042 3.975230 2.107740 1.640434 5.668700
上表第2列是共性方差。

两个公共因子的含义和主成分法一样。

采用主因子法（初始特殊因子的方差是0.3，0.2，0.3，0.3，0.2）的程序是
proc factor data =stock method =p n=2; /*采用主因子法，对数据集stock 用相关阵计算因子分析，选取两个公共因子*/
var AllChemi duPont UnionCar Exxon Texaco; /*可观测因子是AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco */
priors 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2;/*规定特殊因子的方差为0.3 0.2 0.3 0.3 0.2*/
run ;
执行后所得主要输出有
Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2
ALLCHEMI 0.68468 -0.07101 DUPONT 0.64931 -0.10567 UNIONCAR 0.69450 -0.06773 EXXON 0.62329 0.15067 TEXACO 0.59798 0.11765
可见主因子法所得因子负荷阵是
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡0.11765 0.597980.15067 0.623290.06773- 0.694500.10567- 0.649310.07101- 0.68468
Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 2.118782 0.057339
上表第是每个因子负荷的平方和，反映因子的重要性：平方和越大，该因子越重要。

本例中2.1187820 >0.0.0573392,因子1比因子2重要。

Final Communality Estimates: Total = 2.176121
ALLCHEMI DUPONT UNIONCAR EXXON TEXACO 0.473823 0.432771 0.486911 0.411192 0.371424
上表是共性方差。

采用迭代主因子法的程序是
proc factor data =stock method =prinit n=2; /*采用迭代主因子法，对数据集stock 用相关阵
计算因子分析，选取两个公共因子*/
var AllChemi duPont UnionCar Exxon Texaco; /*可观测因子是AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco */ run ;
执行后所得主要输出有
Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2
ALLCHEMI 0.69710 -0.07560 DUPONT 0.77286 -0.42899 UNIONCAR 0.71576 -0.11929
EXXON 0.61011 0.19072 TEXACO 0.69767 0.50637
可见迭代主因子法所得因子负荷阵是 ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡0.50637 0.697670.19072 0.610110.11929- 0.715760.42899
- 0.772860.07560- 0.69710
Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 2.454553 0.496758
上表最后一行是每个因子负荷的平方和，反映因子的重要性：平方和越大，该因子越重要。

本例中
2.1187820 >0.0.0573392,因子1比因子2重要。

Final Communality Estimates: Total = 2.951310
ALLCHEMI DUPONT UNIONCAR EXXON TEXACO 0.491662 0.781354 0.526545 0.408606 0.743143
上表是共性方差。

如何比较不同估计方法的效果？一般说来，我们可以用共性方差的大小和方程（6.4）满足的程度来估价其效果。

共性方差越大，特殊因子的方差越小，效果越好；（6.4）满足的程度越高，即ψ-ΛΛ-'R 分量绝对值越小，效果越好。

四种方法共性方差列表如下
可见主成分法共性方差大。

另一方面，由于样本相关阵是
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00000.152353
.042563
.032195
.046218
.052353.000000.143610.038952.038672.042563.032195.043610.038952.000000.159838.059838.050866
.000000.157692.046218.038672.050866.057692.000000.1R 对于主成分法
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡--------------=ψ-ΛΛ-0000.0232
.0017
.0012
.0017
.0232.00000.0019.0055.0069.0017.0019.00000.0122.0164
.0012
.0055.0017.0069.0122.0164.00000
.00127.127.00000.0'R
对于极大似然法 ⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡------------=ψ-ΛΛ-0000.0000.0004
.0000
.0004
.0000.00000.0031.0004.0023.0004.0031..00000.0003.0004
.0000
.0004.0004.0023
.0003.0004.00000
.0004.0004.00000
.0'R 对于主因子法
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=ψ-ΛΛ-0.0000000 0.1330887 0.0183013 0.053892- 0.06110940.1330887 0.0000000 0.01343 0.0007329 0.029335-0.0183013 0.01343 0.0000000 0.1402772 0.0283402
0.053892
- 0.0007329 0.1402772 0.0000000 0.12484680.0611094 0.029335- 0.0283402 0.1248468 0.0000000
'R
对于迭代主因子法 ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=ψ-ΛΛ-0.000000 0.0012997 0.013329- 0.000024- 0.01411580.0012997 0.0000000 0.0221587 0.000193- 0.024169-0.013329- 0.0221587 0.0000000 0.005976- 0.0006854
0.000024
- 0.000193- 0.005976- 0.0000000 0.00572760.0141158 0.024169- 0.0006854 0.0057276 0.0000000
'R
可见，对于例6.4，极大似然法的拟合效果较好。

但是极大似然法和迭代主因子法所得共性方差较小，从而特殊因子方差较大。

迭代主因子法比主因子法效果好。

估计因子负荷阵还有其他方法，诸如α 因子分析，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由METHOD=A 指示SAS 执行；HARRIS 分量分析，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由METHOD ＝H 指示SAS 执行，此法要求样本相关阵非奇异；映像分量分析 ，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由METHOD=i 指示SAS 执行;不加权的最小二乘因子分析,由METHOD=V 指示SAS 执行。

通常所得的观测值都被简化为样本协差阵或样本相关阵，这时可以把样本协差阵或样本相关阵直接输入，从而计算因子负荷阵。

例6.6 为了弄清员工的病情，对某学校员工进行调查，得到16种病的样本相关阵，其中x1：高血压；x2：临界高血压；x3：慢性肝病；x4：有肝炎病史；x5：颈胸腰椎病；x6：肺结核病；x7：有肺结核病史；x8：胃及12指肠溃疡；x9：有大手术史；x10：精神病；x11：肿瘤病；x12：糖料病；x13：心电图异常；x14：眼底网动脉硬化；x15：血脂高；x16：先天性或风湿性心脏病。

表6-3 16种病的样本相关阵
解用变量x1-x6表示16种疾病的病人数，采用SAS程序
data helth(type=corr);
_type_='corr';
input _name_ $ x1-x16;
cards;
x1 1 .5204 .1478 -.0357 .3094 .2063 .3708 .2911 .3095 -.3548 .5248 -.1525 .6728 .7608 .5548 -.4007
x2 . 1 .3509 .3354 .7538 .7772 .7043 .5258 .3111 -.2179 .7216 .3531 .7929 .8024 .8244 -.1530
x3 . . 1 .7849 .7585 .0625 .6089 .8043 .6419 .4515 .3698 .7975 .5031 .5113 .5830 -.1520 x4 . . . 1 .8154 .3894 .7371 .8824 .7889 .3850 .0511 .6985 .4461 .3714 .5096 .0855
x5 . . . . 1 .6911 .9410 .9408 .5915 .2720 .5933 .6676 .7410 .7428 .8964 -.0047
x6 . . . . . 1 .7495 .5254 .1614 -.0551 .4861 .1990 .5403 .5255 .7017 .1614
x7 . . . . . . 1 .8891 .5068 .3663 .5440 .6209 .6456 .7856 .9220 .0123
x8 . . . . . . . 1 .6575 .3443 .4524 .6074 .6972 .6189 .7845 -.0218
x9 . . . . . . . . 1 .0388 -.0798 .3684 .4434 .4831 .3560 -.1334
x10 . . . . . . . . . 1 .0425 .6213 -.3272 .0897 .2353 .0304
x11 . . . . . . . . . . 1 .2275 .6448 .7000 .8044 -.1647
x12 . . . . . . . . . . . 1 .2466 .3951 .5297 -.0013
x13 . . . . . . . . . . . . 1 .6855 .7317 -.2479
x14 . . . . . . . . . . . . . 1 .9053 -.2827
x15 . . . . . . . . . . . . . . 1 -.0745
x16 . . . . . . . . . . . . . . . 1
;
proc factor data=helth method=p n=4 ;
var x1-x16;
run;
得到的主要输出是
Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR4
X1 0.48467 -0.68282 -0.38453 -0.06038 X2 0.80453 -0.43608 0.17225 0.06529 X3 0.74531 0.45805 -0.31980 -0.15802 X4 0.73304 0.57630 -0.11543 0.32384 X5 0.97732 0.13498 0.10259 0.08012 X6 0.65530 -0.24839 0.55737 0.27754 X7 0.94244 0.10092 0.19327 0.01622 X8 0.90852 0.26794 -0.05251 0.11829 X9 0.59683 0.27559 -0.53867 0.44684 X10 0.21558 0.72815 0.16366 -0.55071 X11 0.65551 -0.45267 0.24445 -0.43027 X12 0.62976 0.59238 0.04675 -0.25876 X13 0.80018 -0.40612 -0.16834 0.18805 X14 0.85655 -0.31599 -0.10783 -0.18553 X15 0.94330 -0.16516 0.18887 -0.17474 X16 -0.12761 0.28301 0.65625 0.43476
上表是因子负荷阵。

x1-x16在第1公共因子上的负荷中，除x10,x16外，比较一致，而x10,x16数值很小，x10和x16反映的是先天性疾病，所以第一公共因子反映人的体质。

x1-x16在第2公共因子上的负荷中x1,x2,x11,x13是负的且绝对值偏大，它们反映心血管病；x3,x4,x10, x12偏大，它们反映内脏器官病症，所以第二公共因子反映这心血管病和内脏特征。

其余两个公共因子含义不明确。

6.3 因子旋转
有时由主成分法、极大似然法等方法得到公共因子f ，但f 难以和实际问题相对应，这时需要通过某个正交阵Γ作公共因子旋转，使Γf 和ΛΓ有鲜明的实际意义。

另一方面，主成分法、极大似然法等方法估计参数带有随意性，通过旋转公共因子，可以减少随意性。

所以作公共因子旋转是有必要的。

因子旋转，就是找寻正交阵Γ，使新的因子负荷阵ΛΓ=Λ*更有实际意义的计算。

由（6.5）可见， 对于使用因子旋转，新旧因子负荷阵，共性方差不变、特殊因子的方差不变。

有许多优化准则，用于选择正交阵Γ，从而形成不同的旋转方法。

常用的因子旋转方法是最大方差旋转法（varimax ），即使因子旋转后，因子的贡献尽可能分散到各可观测变量，从而突出公共因子的作用。

以下介绍其原理：设][ij λ=Λ是已求出的因子负荷阵，其含义不够明确，想找新的因子负荷阵*][*ij λ=ΛΓ=Λ。

令
p d
d h d p
i ij
j i ij ij /,/1
2∑===λ，
最大方差旋转法的准则是：选择正交阵Γ使
2
11
2)(j k j p
i ij
d d
M -=
∑∑==
最大。

即使旋转后的ij d 尽可能拉开距离。

例如某次因子分解，已得因子负荷阵
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ5.05.06.05.06
.05.04.05
.04.05.0 第一个可观测变量在第一、二公共因子上的负荷（0.5）相等，第二个可观测变量在第一、二公共因子上的负荷0.4、0.6相差不大，第三个可观测变量在第一、二公共因子上的负荷（0.5）相等。

想做因子
旋转拉开差距，因为只有2个因子，因子旋转阵必为
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=Γa a
a a cos sin sin cos 于是旋转后的因子负荷必有
lamda11=(0.5*cos(a)+0.5*sin(a));lamda*12=(0.5*cos(a)-0.5*sin(a)); lamda21=(0.4*cos(a)+0.6*sin(a));lamda*22=(0.6*cos(a)-0.4*sin(a)); lamda31=(0.5*cos(a)+0.5*sin(a));lamda*32=(0.5*cos(a)-0.5*sin(a)); lamda41=(-0.4*cos(a)+0.6*sin(a));lamda*42=(0.6*cos(a)+0.4*sin(a)); lamda51=(-0.5*cos(a)+0.5*sin(a));lamda*52=(0.5*cos(a)+0.5*sin(a)); 而
令
M =(d11**2-dbar1)**2+(d21**2-dbar1)**2+(d31**2-dbar1)**2+
(d41**2-dbar1)**2+(d51**2-dbar1)**2+(d12**2-dbar2)**2+
(d22**2-dbar2)**2+(d32**2-dbar2)**2+(d42**2-dbar2)**2+
(d52**2-dbar2)**2;
由最大方差旋转法让M 极大，经过优化计算，得到76627.0=a 。

从而因子旋转阵和旋转后的新的因子负荷阵分别是
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡-=Λ⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=70698.0013526
.070968.0013526.015492
.0013526.012787.070698
.070427.070698.0*,73763.067521
.067521.073763
.0rotate
因子负荷有的约是0.7，另一些则在0.1附近，甚至更小，每个可观测变量在公共因子上的负荷差异都很大了。

SAS 可以方便的实施因子旋转：在调用SAS 的FACTOR 过程时，用选项ROTA TE=V 指示SAS 执行最大方差旋转。

其它还有最大均方旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时， 由ROTA TE ＝E 指示SAS 执行；最大四次方旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由ROTA TE ＝Q 指示SAS 执行；加权正交方差最大旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由ROTA TE ＝ORTHOMAX 指示SAS 执行，用GAMMA ＝规定权数的正交方差最大旋转；Harris-Kaiser 斜正交旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由ROTA TE ＝HK 指示SAS 执行；斜交Procrustes 旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由ROTA TE ＝PROCRUSTA TES 指示SAS 执行；PROMAX 旋转法，在调用SAS 的FACTOR 过程时，由ROTA TE ＝PROMAX 指示SAS 执行。

注意：当只选出1个公共因子时，因子是旋转不可能的。

例6.7统计二战后奥运会上，男子十项运动（也称为十项全能）160个运动员的成绩，他们成绩的样本相关阵如表6-4。

表6-4男子十项运动成绩样本相关阵
用主成分法做因子分析，取4个公共因子，所得因子负荷阵是
公共因子含义不够明显。

我们用最大方差旋转法，程序如下
data decathlo(type=corr); _type_='corr';
input _name_ $ run100m longjump shotput highjump run400m run110mh discus polevaul javelin run1500m; cards ;
run100m 1.0 .59 .35 .34 .63 .40 .28 .20 .11 -.07 longjump . 1.0 .42 .51 .49 .52 .31 .36 .21 .09 shotput . . 1.0 .38 .19 .36 .73 .24 .44 -.08 highjump . . . 1.0 .29 .46 .27 .39 .17 .18 run400m . . . . 1.0 .34 .17 .23 .13 .39 run110mh . . . . . 1.0 .32 .33 .18 .00 discus . . . . . . 1.0 .24 .34 -.02 polevaul . . . . . . . 1.0 .24 .17 javelin . . . . . . . . 1.0 -.00 run1500m . . . . . . . . . 1.0 ;
proc factor method =prin nfact =4 rotate =v;
var run100m longjump shotput highjump run400m run110mh discus polevaul javelin run1500m;
run ;
得到的主要输出是旋转矩阵表（表头为Orthogonal Transformation Matrix ）和旋转后的因子负荷阵表（表头为Rotated Factor Pattern ）的两张表，它们分别给出*ΛΓ和
Orthogonal Transformation Matrix
1 2 3 4
1 0.60533 0.52576 0.5924
2 0.07866 2 0.40505 -0.70124 0.13256 0.57151
3 -0.58222 0.2949
4 0.23763 0.71941 4 0.36128 0.38060 -0.75828 0.38682
上表是旋转矩阵表，说明旋转正交阵是⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡=
Γ0.38881-0.75856
0.38099
0.35812
0.717190.239480.294320.58452-0.57272
0.13211-0.701040.403840.080370.591420.526090.60580
Rotated Factor Pattern
FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR4
RUN100M 0.88323 0.13584 0.15798 -0.11623 LONGJUMP 0.63042 0.19382 0.51585 -0.00737 SHOTPUT 0.24431 0.82450 0.22314 -0.14870 HIGHJUMP 0.23826 0.15046 0.75003 0.07626 RUN400M 0.79837 0.07399 0.10273 0.46543 RUN110MH 0.40208 0.15299 0.63556 -0.17107 DISCUS 0.18590 0.81352 0.14723 -0.07955 POLEVAUL -0.03684 0.17602 0.76149 0.21764 JAVELIN -0.04689 0.73502 0.10950 0.14150 RUN1500M 0.04770 -0.04078 0.11096 0.93347
Rotation Method: Varimax
以上是因子负荷表，说明旋转后的因子负荷阵是 ⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡=Λ0.933530.11168
-0.04091
0.04465
0.14135
0.109880.734930.04775-0.216880.761790.175780.03625--0.078900.146980.813650.18583-0.170180.634660.153190.403810.468170.101590.074520.796870.076470.749660.150460.23934-0.147900.222720.824670.24462-0.00557
0.514650.194200.63130-0.113230.156180.136520.88384
其他还有
Variance explained by each factor
FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR4 2.133439 2.022061 1.943731 1.232457
上表是解释方差表，说明公共因子1f --4f 所解释的方差分别是 2.1350182、2.0228108、1.9404331 和1.2334260
Final Communality Estimates: Total = 7.331688
RUN100M LONGJUMP SHOTPUT HIGHJUMP RUN400M 0.837016 0.701153 0.811397 0.647763 0.870051
RUN110MH DISCUS POLEVAUL JAVELIN RUN1500M
0.618284 0.724384 0.659572 0.574461 0.887609
上表是共性方差表，说明共性方差是0.83701552、0.70115310、0.81139710、0.64776265、0.87005081、0.61828390、0.72438360、0.65957196、0.57446100和0.88760852。

分析因子负荷阵可得如下结论：100m 、跳远和400m 在1f 上的负荷较大，因为跳远与速度关系极大，1f 可称为跑步速度因子；铅球、铁饼和标枪在2f 上的负荷较大，2f 可称为爆发臂力因子；跳高、110M
栏、撑杆跳在3f 上的负荷较大，3f 可称为爆发腿力因子；1500M 在4f 上的负荷较大，400M 在4f 上的负荷中等大小，4f 可称跑步耐力因子。

即使已经有较合适的因子分析模型，也可以再做因子旋转，有时所得公共因子含义更强。

例如对于例6.5，我们可以对极大似然估计再做旋转。

例6.8 对例6.5用极大似然法估计参数，加以旋转（最大方差法）SAS 程序是
data stock;
input AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco; cards ;
0.000000 0.000000 0.000000 0.039473 -0.000000 0.027027 -0.044855 -0.003030 -0.014466 0.043478 0.122807 0.060773 0.088146 0.086238 0.078124 ...
0.045454 0.046375 0.074561 0.014563 0.018779 0.050167 0.036380 0.004082 -0.011961 0.009216 0.019108 -0.033303 0.008362 0.033898 0.004566 ;
proc factor method =p n =2 rotate =v;
var AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco; proc factor data =stock method =ml n =2 rotate =v; var AllChemi 、duPont 、UnionCar 、 Exxon 、Texaco; run ;
主成分法得到的因子负荷阵是
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡=Λ
0.85468 0.22560
0.81515 0.25823 0.31612 0.76548 0.12840
0.88882 0.32310
0.74587 p
，
AllChemi duPont UnionCar 在1f 上的负荷较大， 1f 可称为化工效益因子；Exxon Texaco 在2f 上的负荷较大，2f 可称为石油效益因子。

极大似然法因子负荷阵
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣⎡=Λ0.88324 0.20850 0.50677 0.36550 0.33492 0.64295 0.16360
0.84951 0.37684 0.60123 ml
可得类似结果。

6.4 因子得分
通常，在因子分析模型建立后，我们需要对每次观测，估计公共因子的值。

例6.1中每个学生考试能力，应付开闭卷的能力；例6.6 中每个运动员各种爆发臂力，跑步耐力，…。

这些估计出的值称为因子得分。

当得到因子分析模型（6.2）式，即u f X +Λ+=μ后，我们将其中估计出的μ,Λ作为确定的已知值，由可观测变量的值，通过（6.2）式就能解出公共因子的值。

常用的求解公共因子值的方法有加权最小二乘法和回归方法。

加权最小二乘法的实质是数据拟合，即已知X ，求f 使接近与f X Λ+μ，因为ψ的方差阵u 一般不是单位阵，所以应当加权，即选f 使)()'(1f X f X Λ--ψΛ---μμ极小。

对f 偏导，由矩阵微商公式可得：
)(')
'(1
1
1
μ-ψ
ΛΛψ
Λ=---X f
将μ和ψΛ,的估计值代入，可得f 估计值，它也称为Bartlett(巴特莱特)因子得分。

回归方法的实质是贝叶斯方法：求f 后验分布的数学期望：
)(')
'(1
1
1
μ-ψ
ΛΛψ
Λ+=---X I f
它的计算可化为回归问题的解，故称为回归方法，这样计算出的因子得分称为Thompson(汤姆森)因子得分。

定义6.3 由 )(')'(1
11μ-ψ
ΛΛψΛ=---∧
X f 和)(')
'(1
1
1
μ-ψ
ΛΛψ
Λ+=---X I f 算出的因子
得分估计值，分别称为Batlett 得分和Thompson 得分。

SAS 计算Bartlett 因子得分。

用SAS 计算因子得分时，如果是从可观测因子的观测值建立模型，而想知道每次观测所得因子得分，则只要在PROC FACTOR 语句中加选项out=文件名，再打印该文件即可。

例6.9 对于例6.1的因子分析模型，计算每个学生的因子得分。

可用下列SAS 程序
data w;
input no x1-x5; cards ;
1 9
2 97 82 82 96
2 78 9
3 95 85 96
3 90 88 86 81 96
……
42 63 63 64 66 52
43 56 78 64 61 49
44 61 67 68 56 55
;
proc factor method=p n=2out=wu ;
var x1-x5;
run;
proc print data=wu;
run;
得到的有关因子得分输出为
OBS NO X1 X2 X3 X4 X5 FACTOR1 FACTOR2
1 1 9
2 97 82 82 96 2.33647 0.53946
2 2 78 9
3 95 85 96 2.72107 -0.29976
3 3 90 88 86 81 96 2.23506 0.16016
4 4 70 87 78 8
5 83 1.48157 -0.25566
5 5 78 78 80 85 78 1.42954 -0.06493
6 6 68 76 8
7 79 8
8 1.41672 -0.74959
7 7 66 82 80 80 83 1.16884 -0.42463
8 8 74 85 83 77 71 1.18984 0.58533
9 9 77 75 73 77 85 0.78579 -0.19829
10 10 79 87 75 77 60 0.79048 1.32548
11 11 67 79 75 78 69 0.58754 0.16100
12 12 70 82 74 77 59 0.46194 0.83277
13 13 65 65 79 70 78 0.20455 -0.51998
14 14 80 78 73 71 52 0.12576 1.58233
15 15 46 70 75 72 88 0.05289 -1.55812
16 16 75 79 71 69 55 -0.06974 1.37377
17 17 59 84 68 68 68 -0.21046 0.43435
18 18 57 84 76 70 60 0.07812 0.58880
19 19 77 61 76 72 60 -0.00468 0.48247
20 20 46 64 77 78 77 0.10167 -1.54155
21 21 59 76 67 77 61 -0.14649 0.11941
22 22 64 56 76 64 79 -0.39947 -0.70605
23 23 27 73 76 78 82 0.00841 -2.17044
24 24 64 68 64 77 62 -0.35906 -0.00306
25 25 69 64 71 62 68 -0.61757 0.31171
26 26 69 68 61 74 59 -0.58671 0.43030
27 27 59 71 70 76 51 -0.32412 0.37332
28 28 33 59 65 72 96 -0.74382 -2.76665。