中考数学压轴必刷专题6截长补短模型(学生版)

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八上数学截长补短模型

八上数学截长补短模型
截长补短是八上和中考数学常用的构造辅助线，全等辅助线的很重要，希望对大家有帮助。

为了让初中同学更好地掌握做辅助线的技巧，我特此整理了图文版的讲义，希望能给莘莘学子有所帮助.
我们经常会遇到证明线段和差及倍半数量关系的几何问题，这种题型常用到的辅助线方法就是截长补短模型，截长就是是在长线段中截取一段短线段，再证剩下的线段与另一短线段相等。

补短则是将短线段延长，延长的长度等于另一条短线段，再证明延长后的线段和长线段相等。

典型例题：
小试身手：
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总之，辅助线作法灵活多样但其目标明确，熟练掌握各种模型就可以轻松解决一些复杂问题，学生们在平时做题的时候要善于总结和思考，多尝试几种方法证明问题，这样就会将方法内化于心，由量变引起质变，取得进步。

解析中考数学几何模型1：截长补短模型

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△BAE和△BFE中，，∴△BAE≌△BFE．∴EF=AE．∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．又∵BC=AB+CD，BF=AB，∴CD=CF，∴．∴△CED≌△CEF（SSS），∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明：延长CE，BA，相交于点F．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．又∵DE=AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴FA=CD=1，CE=FE．∵AB=2，BC=3，∴BC=3=BA+AF=BF ．∴CE ⊥BE ．分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．求证：AB+BD=AC ．证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，在△ABD 和△AED 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．分析在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD 和△COG 中，∴△CODF ≌△COG （SAS ），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE+CD=BG+CG=BC ．点评本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．变形1、已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论AB=BD+CD ，证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21∠BDC ，∴∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中AD ＝AD∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，∵AB=AC ，∴AE=AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ，所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，所以C 、D 、B ′在一条直线上，所以△ACB ′是等边三角形，所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．证明3：（1）AB=BD+CD ；（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，∵∠ABD=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB ，∠AEB=60°，∵AB=AC ，∴∠ACE=∠AEC，∵∠ACD=60°，∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，∴DE=CD，∴BE=BD+DE=BD+CD，∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD平分∠CDE．证明2：如图．连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．因为AB＝AE，所以AB与AE重合．因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．所以△ADC≌△ADF(SSS)．因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．解：（1）MN=BM+NC，理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，在△DMN和△DEN中，ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；（2）利用（1）中的结论得出：△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4；（3）按要求作出图形，如图2所示，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：在CA上截取CE=BM，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵CE=BM，BD=CD，在△BMD和△CED中，∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．又∵∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°．∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．（2）附加题：CN-BM=MN证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCM1=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDM1+∠BDN=60°．∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．∴∠M1DN=∠MDN．∵ND=ND，∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG=FC=21BD ．∵AE=AF+EG+FG ．∴AE=AB+DE+21BD ．（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC 是等腰直角三角形．∴FC=21BD ．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=42．∵AE=AF+FG+GE ，∴AE=AB+42+DE ．∵AB=2，DE=8，∴AE=AF+FG+EG=10+42．点评本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．分析（1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案．解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH-DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH-FG=GH，∴FH-DF=AC．点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．证明：（1）连接BD，∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：如图，作EB⊥AB，EB=2CD，∵AB+AC＞（1）的结论；两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．解：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠1= ∠2 ，∵直线l ⊥AO 于H ，∴∠4= ∠5=90 °，∴∠6= ∠7 ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ．∴∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。

2024年中考数学复习全等三角形的六种模型全梳理(原卷+答案解析)

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

中考数学几何模型能力提升截长补短模型(解析版)

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF＝CD+CF．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF＝AF．6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD＝AC．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE＝2，求EF的长；（2）求证：PF＝EP+EB．答案例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解答】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由．【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB 的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1：；（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DFA=2∠BAE（已知），∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．∴∠FAE=∠BAE；∴2∠FAE=40°，∴∠FAE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．。

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)--中考数学压轴题专项训练

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练(全国通用)

专题 13 全等模型-倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型 1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】 1、基本型：如图 1，在三角形 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线.
证明思路：延长 AD 至点 E，使得 AD=DE. 若连结 BE，则 BDE CDA ；若连结 EC，则 ABD ECD ；
2、中点型:如图 2， C 为 AB 的中点. 证明思路：若延长 EC 至点 F ，使得 CF EC ，连结 AF ，则 BCE ACF ; 若延长 DC 至点 G ，使得 CG DC ，连结 BG ，则 ACD BCG . 3、中点+平行线型：如图 3, AB // CD ，点 E 为线段 AD 的中点. 证明思路：延长 CE 交 AB 于点 F (或交 BA 延长线于点 F )，则 EDC EAF .
（2）问题解决：如图②，在 VABC 中， D 是 BC 边上的中点， DE DF 于点 D ， DE 交 AB 于点 E ， DF
交 AC 于点 F ，连接 EF ，求证： BE CF EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形 ABCD 中， B D 180 ， CB CD ， BCD 100 ，以 C 为顶点作一个 50 的角，角的两边分别交 AB 、 AD 于 E 、 F 两点，连接 EF ，探索线段 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并说明理由．

(完整版)几何模型截长补短模型

第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段 AB CD EF 之间存在 EF=AB+CD 可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在 EF 上截取EG=AB 再证明 GF=C［即卩可。

补短法：如图③，延长 AB 至H 点，使BH=CD 再证明AH=EF 即卩可。

B © 模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

模型实例例1.如图，已知在^ ABC 中,/ C=2/ B, AD 平分/ BAC 交BC 于点D 。

求证：AB=AC+CD例2.如图，已知 OD 平分/ AOB DCL OA 于点C,/ A=/ GBD 求证：AO+BO=2CO.1 HB热搜精练1.如图，在△ ABC中，/ BAC=60 , AD是/ BAC的平分线，且AC=AB+BD 求/ ABC勺度数。

C2 .如图，在△ ABC中，/ ABC=60 , AD CE分别平分/ BAG / ACB 求证：AC=AE+C 。

CD3 .如图，/ ABCf BCD=180 , BE CE分别平分/ ABC / BCD 求证：AB+CD=B。

4 .如图，在△ ABC中，/ ABC=90 , AD平分/ BAC交BC于点D,/ C=30°, BE丄AD于点E。

求证：AC-AB=2BEC5 .如图，Rt△ ABC中, AC=BC AD平分/ BAC交BC于点D, CE!AD交AD于F 点，交AB于点E。

求证：AD=2DF+CE6 .如图，五边形ABCDEK AB=AC BC+DE=C,D/ B+/ E=18O°。

求证：AD平分/ CDEC E。

全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

2020年中考数学截长补短模型

截长补短【背景】"截长补短"法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【方法】在长的线段上截取短的线段或把短的线段延长，再连接，构造全等．【条件】常常会和角平分线一起出现．【方法展示】【示例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)解：AB＝AC＋CD.理由如下：法一(截长)、如图1，在AB上截取AE＝AC，连接DE.易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.法二(补短)、如图2，延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F.图1图2∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△ABD≌△AFD(AAS)．∴AB＝AF.∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.【总结】截长补短后要构造全等三角形，利用三角形全等进行边的转化；通常情况下要证明线段的和差关系，截长法和补短法都可以.练习1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD.中考真题[2019·包头]如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.(1)求⊙O半径的长；(2)求证：AB＋BC＝BM．[2019·仙桃]已知⊥ABC内接于⊥O，⊥BAC的平分线交⊥O于点D，连接DB，D C.(1)如图(1)，当⊥BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；(2)如图(2)，当⊥BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)如图(3)，若BC＝5，BD＝4，求ADAB＋AC的值．[2018·深圳]．如图，⊥ABC 内接于⊥O ，BC =2，AB =AC ，点D 为弧AC 上的动点，且cos⊥ABC =1010． (1)求AB 的长度；(2)在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E ，问AD ·AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ·AE 的值；若变化，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH =CD +DH ．EDHC B AO练习参考答案1．证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF . ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠FBO . ∴△EBO ≌△FBO . ∴∠EOB ＝∠FOB .∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.2．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC同理可证：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.3．解：线段AB，CD和线段BC的关系是：BC＝AB＋CD.理由：在⊥DCE中，⊥EDC＋⊥DEC＝90°，⊥⊥AEB＋⊥DEC＝90°，⊥⊥AEB＝⊥EDC，又⊥ED＝AE，⊥ABE＝⊥ECD＝90°，⊥⊥ABE⊥⊥ECD(AAS)，⊥AB＝EC，BE＝CD，⊥BC＝BE＋EC＝CD＋AB.4. 证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，⊥BE，CE分别是⊥ABC和⊥BCD的平分线，⊥⊥ABE ＝⊥FBE ，⊥ECF ＝⊥ECD . ⊥⊥ABE ⊥⊥FBE (SAS)， ⊥⊥A ＝⊥BFE ， ⊥AB ⊥CD ， ⊥⊥A ＋⊥D ＝180°， ⊥⊥BFE ＋⊥D ＝180°. ⊥⊥BFE ＋⊥EFC ＝180°， ⊥⊥EFC ＝⊥D .⊥⊥CDE ⊥⊥CFE (AAS)， ⊥CF ＝CD . ⊥BC ＝BF ＋CF ， ⊥BC ＝AB ＋CD .5．证明：如图，延长AC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE .则⊥E ＝⊥CDE ＝45°， ⊥⊥B ＝⊥E . ⊥AD 平分⊥BAC ， ⊥⊥1＝⊥2，在⊥ABD 和⊥AED 中，⊥B ＝⊥E ，⊥2＝⊥1，AD ＝AD ， ⊥⊥ABD ⊥⊥AED (AAS)． ⊥AE ＝AB .⊥AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD ， ⊥AB ＝AC ＋CD .6．(1)解：⊥⊥ABC ＝60°，AD ，CE 分别平分⊥BAC ，⊥ACB ，⊥⊥AOC ＝180°－(⊥OAC ＋⊥OCA )＝180°－12(⊥BAC ＋⊥ACB )＝180°－180°－60°2＝120°；(2)证明：⊥⊥AOC ＝120°， ⊥⊥AOE ＝60°，如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接OF ，⊥AD平分⊥BAC，⊥⊥BAD＝⊥CAD，⊥AO＝AO，⊥⊥AOE⊥⊥AOF(SAS)，⊥⊥AOE＝⊥AOF，⊥⊥AOE＝60°，⊥AOC＝120°，⊥⊥AOF＝⊥COD＝⊥COF＝60°.⊥⊥FOC＝⊥DOC，CO＝CO，⊥DCO＝⊥FCO，⊥⊥COF⊥⊥COD(ASA)，⊥CF＝CD，⊥AC＝AF＋CF＝AE＋CD.。

截长补短模型(几何解题模型)

初中几何典型解题模型
中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。

《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的十二类几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容：
模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明.
典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用
练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是模型实例黄金搭档.
本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。

中考数学几何模型之截长补短模型(解析版)

中考数学几何模型：截长补短模型名师点睛拨开云雾开门见山有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解答】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠F AC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1：；（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DF A=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DF A=∠F AB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DF A=2∠BAE（已知），∴∠F AB=2∠BAE（等量代换）．即∠F AE+∠BAE=2∠BAE．∴∠F AE=∠BAE；∴2∠F AE=40°，∴∠F AE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠F AE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠F AB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠F AB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠F AB+∠BAM=∠F AM，∴∠F AM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠F AB=∠2+∠F AB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．。

中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析

专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ．求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。

中考数学必学几何模型大全(含解析)

中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。

补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。

模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小，并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ，又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ，又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ，在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）；（2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ，在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ，在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。

中考必会几何模型截长补短辅助线模型

截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，假设证明线段AB 、CD、EF 之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF 上截取EG＝AB ，再证明GF＝CD 即可.补短法：如图③，延长AB 至H 点，使 BH ＝CD，再证明 AH ＝EF 即可.模型解析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长局部等于线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角均分线等要点词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例 1：如图，在△ABC 中，∠ C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB ＝AC ＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB 上取一点E，使 AE＝A C，连接 DE.∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE .∵AB ＝AE ＋BE，∴AB ＝AC ＋CD .1证法二，补短法：如图②，延长AC 到点 E，使 CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△BAD ，∴AE ＝AB.又∵AE＝AC ＋CE，∴∴AB ＝AC ＋CD .例 2：如图， OD均分∠ AOB ，DC⊥OA 于点 C，∠A ＝∠GBD . 求证：AO ＋BO＝2CO .证明：在线段AO 上取一点E，使 CE＝AC ，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD ≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD 均分∠ AOB ，∴∠AOD ＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO ＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2〔CE＋OE〕＝2CO .追踪练习0，AD 是∠BAC 的均分线，且 AC＝AB ＋BD . 求∠ABC 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60的度数 .【答案】2证法一：补短延长 AB 到点 E，使 BE＝BD . 在△BDE 中，∵BE ＝BD ，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E＝2∠E .又∵AC＝AB ＋BD ，∴AC ＝AB ＋BE，∴AC＝AE .∵AD 是∠BAC 的均分线，∠BAC ＝600，∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 .∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠E＝∠C .∵∠ABC ＝2∠E，∴∠ABC ＝2∠C .∵∠BAC ＝600，∴∠ABC ＋∠C＝1800－600＝1200，∴32∠ABC ＝1200，∴∠ ABC ＝800 .证法二：在AC 上取一点F，使 AF ＝AB ，连接DF.∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠BAD ＝∠FAD .∵AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD ，∴∠B＝∠AFD ，BD ＝FD .∵AC ＝AB ＋BD ，AC＝AF ＋FC∴FD＝FC ，∴∠ FDC＝∠C .∵∠AFD ＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .∵∠BAC ＋∠B＋∠C＝1800，∴ 32∠ABC ＝1200，∴∠ ABC ＝800 .0，AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE 2. 如图，在△ABC 中，∠ ABC ＝60＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F，使 AE＝AF ，连接OF .∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 .∵AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC＝∠OAB ＝D BAC ，∠OCA ＝∠OCB＝2D ACB ，23∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠ OCA ＝∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝1200 .? BAC ? ACB ＝60 0， 2∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠ FAO ，AO ＝AO ，∴△AOE ≌△AOF 〔SAS 〕，∴∠AOF ＝∠AOE ＝600，∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝600，∴∠COF ＝∠COD .∵CO ＝CO ，CE 均分∠ ACB ，∴△COD ≌△COF 〔ASA 〕，∴CD ＝CF .∵AC ＝AF ＋CF ，∴AC ＝AE ＋CD ， 0，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB . 求证：AB ＋CD ＝BC .3. 如图， ∠ABC ＋∠BCD ＝180【答案】证法一：截长如图①，在 BC 上取一点 F ，使 BF ＝AB ，连接 EF .∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠ 3＝∠ 4 .∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ，∴∠1＋∠2＝ 1 2 ∠ABC ＋ 1 2∠DCB ＝1 2×1800＝900 ， ∴∠BEC ＝900， ∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠ 5＝∠6 .∵CE ＝CE ， ∠2＝∠DCE ，∴△CEF ≌△CED ，∴ CF ＝CD .∵BC ＝BF ＋CF ，AB ＝BF ，∴ AB ＋CD ＝BC证法二：补短如图②，延长 BA 到点 F ，使 BF ＝BC ，连接 EF .∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC ，∴EF ＝EC ，∠BEC ＝∠BEF .∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ，4∴∠1＋∠2＝ 1 2 ∠ABC ＋ 1 2∠DCB ＝1 2 0＝900 ， ×180 ∴∠BEC ＝900， ∴∠BEF ＝∠BEC ＝900，∴∠BEF ＋∠BEC ＝1800，∴C 、E 、F 三点共线 .∵AB ∥CD ，∴∠ F ＝∠FCD .∵EF ＝EC ，∠FEA ＝∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC ，∴AF ＝CD .∵BF ＝AB ＋AF ，∴BC ＝AB ＋CD .4. 如图，在△ ABC 中，∠ABC ＝900，AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D ，∠C ＝300，BE ⊥AD 于点 E . 求证： AC －AB ＝2BE . 【答案】延长 BE 交 AC 于点 M .∵BE ⊥AD ，∴∠ AEB ＝∠AEM ＝900 .∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠ 2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM .∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE .∵∠ABC ＝900，∠C ＝300，∴∠BAC ＝600 .∵AB ＝AM ，∴∠ 3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C ，∴ CM ＝BM ，∴AC －AB ＝CM ＝BM ＝2BE .5. 如图， Rt △ACB 中，A ＝BC ，AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D ，CE ⊥AD 交 AD 于点 F ，交 AB 于点 E . 求证： AD ＝2DF ＋CE . 5【答案】在AD 上取一点G，使 AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD ，∴∠AFC ＝900，∠1＋∠ACF ＝900 .∵∠2＋∠ACF ＝900，∴∠ 1＝∠2 .∵AC ＝BC，AG ＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠ 3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450 .1∵∠2＝∠1＝∠BAC ＝0，2∴∠4＝450－∠2＝0，∴∠4＝∠2＝0 .又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD ＝AG ＋DG ，∴AD ＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800 . 求证：AD 均分∠CDE .【答案】如图，延长CB 到点 F，使 BF＝DE，连接 AF 、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠ 2＝∠E .∵AB ＝AE ，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF ≌△AED ，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即 FC＝CD .又∵AC＝AC ，∴△ACF ≌△ACD ，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD 均分∠ CDE .6。

2023年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)

专题06全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC ≌△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，∠BCM=∠DCF ，可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF ，FG ∥CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF ≌△BCN （SAS ），可得CF=FG=BN ，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN ∥FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，∠B =2∠A ，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB 连接,DNCD ∵平分,ACB ,BCD NCD ,CD CD ∵ ,CBD CND SAS ≌,,,BD ND B CND CB CN 9,16,BC AC ∵9,7,CN AN AC CN ,CND NDA A ∵,B NDA A 2,B A ∵,A NDA ,ND NA 7.BD AN 故选：.B 【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若∠DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵线段AC 与AD 关于直线AP 对称，∴∠CAE ＝∠DAE ＝15°，AD ＝AC ，∴∠BAE ＝∠BAC +∠CAE ＝75°，∴∠BAD ＝90°，∵AB ＝AC ＝AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形；（2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，∵线段AC 与AD 关于直线AP 对称，∴∠ACE ＝∠ADE ，AD ＝AC ，∵AD ＝AC ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF，∴△ABF ≌△ACE （SAS ），∴AF ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠CAE ＝∠DAE ，∴ 111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ，∴在△AFE 中，AF ＝AE ，∠AEF ＝60°，∴△AFE 是等边三角形，∴AF ＝FE ，∴BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ABC=40o ，BD 是∠ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则∠ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF，∵∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线， ∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°， ∠ADB=60°，∠BDC=120°，∵BD=BD ， △ABD ≌△FBD ，∵DE=DA ， DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，∵DC=DC ， △DEC ≌△DFC ，1006040DCB DCE DFC FDC ；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN ；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN ，连接AG，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ，90ABG ADN BAD ，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN，()AGB AND SAS △≌△，AG AN ，GAB DAN ，45MAN ∵，90BAD ，∴45DAN BAM BAD MAN ，45GAM GAB BAM DAN BAM ，GAM NAM ，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG，()AMN AMG SAS △≌△，MN GM ，又∵BM GB GM ，BG DN ，BM DN MN ；（2）BM DN MN ，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN ，连接AG，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ，90ABG ADN BAD ，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN，()AGB AND SAS △≌△，AG AN ，GAB DAN ，∴GAB GAD DAN GAD ，∴90GAN BAD ，又45MAN ∵，45GAM GAN MAN MAN ，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG，()AMN AMG SAS △≌△，MN GM ，又∵BM BG GM ，BG DN ，∴BM DN MN ，故答案为：BM DN MN ；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM ，连接AG，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ，90ABM ADG BAD ，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG，()ABM ADG SAS △≌△，AM AG ，MAB GAD ，∴MAB BAG GAD BAG ，∴90MAG BAD ，又45MAN ∵，45GAN MAG MAN MAN ，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN，()AMN AGN SAS △≌△，10MN GN ，设DG BM x ，∵6CN ，8MC ，∴1064DC DG GN CN x x ，8BC MC BM x ，∵DC BC ，∴48x x ，解得：2x ，∴6AB BC CD CN ，∵//AB CD ，∴BAP CNP ，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN，()ABP NCP AAS △≌△，132CP BP BC ，∴CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB //DE ，AB =DE ，∠A=∠D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF =11，EC =5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）；（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF ，∴BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，∵BF ＝11，EC ＝5，∴BF －EC ＝6．∴BE ＋CF ＝6．∴BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE ≌△DCF （2）求证:AE//DF．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴B C ，∵BF =CE ，∴CF EF BE EF ，∴BE CF ，∵AB =CD ，∴ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，∴DFC AEB ，∵180,180DFC EFD AEF AEB ，∴EFD AEF ，∴//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD BE ．（1）求证：△ACD ≌△CBE ．（2）若87,32A D ，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD ≌△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD ，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD ．【详解】（1）∵C 是AB 的中点，∴AC ＝CB ，∵CD//BE ，∴ACD CBE ，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE，∴ACD CBE ；（2）∵8732A D ，，∴180180873261ACD A D ，又∵ACD CBE ，∴61B ACD ．模型三、对称全等模型例.如图，已知∠C ＝∠F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O，（1）求证：Rt △ABC ≌Rt △DEF ；（2）若∠A ＝51°，求∠BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°．∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF ＝DE ，连接AD ，∵AE ＝AF ，DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若∠CAE +∠ACE +∠ADE =130°，则∠ADE 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【详解】BAC DAE ∵BAC DAC DAE DAC BAD CAE,AB AC AD AE ∵ 在BAD 和CAE V 中AB AC BAD CAE AD AEBAD ≌CAE V （SAS ）ABD ACE130CAE ACE ADE ∵130ABD BAD ADE ADE ABD BAD ∵2130ADE 65ADE 故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF ⊥DC 于G ，由题意得，AD =AB ′,∠D =∠AB ′E ，∠B ′AB =60°,∠CAB =∠GCB ′=45°，∴∠DAB ′=30°，∠CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE，∴RT △ADE ≌RT △AB ′E （HL ），∴∠DAE =∠B′AE =12∠DAB ′=15°，DE=EB ′=1，∴∠B′AE=∠CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A，∴△AB′E ≌△AB′F （ASA ），∴EB′=BF=1∵∠DEB ′=360°-∠D -∠EB A -∠DAB′=150°，∴∠GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos ∠GEF=2×2DF =EF ×sin ∠GEF =2×12=1在△CGF 中，∠GCF =45°，∴CG=GF =1，∴DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ，求证：（1）ACE BCD ；（2）AE BD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明： 1AC BC Q ，DC EC ，90ACB DCE ，ACB ACD DCE ACD ， DCB ECA ，在DCB 和ECA 中，AC BC DCB ECA CD CE， DCB ECA SAS ； 2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∵DCB ECA ，A B ， ∵AND BNC ，90 B BNC ，90 A AND ，90 AON ，AE BD ．【变式训练2】如图，AB AC ，AE AD ，CAB EAD ．（1）求证：AEC ADB △△；（2）若90 ，试判断BD 与CE 的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD ，求CFA的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD ⊥CE ；（3）902【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠CAE=∠BAD ，∵AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD∠=∠=∴△AEC ≌△ADB （SAS ）（2）CE=BD 且CE ⊥BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC ≌△ADB ，∴CE=BD ，∠ACE=∠ABD ，∵∠BOF=∠AOC ，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴CE ⊥BD．（3）过A 分别做AM ⊥CE ，AN ⊥BD 由（1）知△AEC ≌△ADB ，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF 平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=902 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC＋1，BC ＝2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD ？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；（3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，＝°．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135 ．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC ，AD AE ，90CAB EAD ，90CAE BAE BAD BAE ∵，CAE BAD ，在ACE 和ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD，()ACE ABD SAS ，CE BD ；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，∵AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE，∴1122AC AD CD BC ∴AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ，ACE ABD ，90ACE AEC ∵，且AEC FEB ，90ABD FEB ，90EFB ，CF BD ，BC CD ∵，CF 是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD 的面积有最大值，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积取得最大值，如图中：1AB AC ∵，1AD AE ，90CAB EAD ，DG BC 于G ，12AG BC ，45GAB ，24122DG AG AD，18045135DAB ，BCD 的面积的最大值为：11452)()2222BC DG ，旋转角135 ．模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，C ，E 三点在一条直线上，ABC 和DCE 均为等边三角形，BD 与AC 交于点M ，AE 与CD 交于点N．（1）求证：AE BD ；（2）若把DCE 绕点C 任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，ABC ∵与DCE都是等边三角形，AC BC ，CD CE ，60ACB DCE ，180ACB ACD DCE ∵，60ACD ，ACB ACD ACD DCE ，即BCD ACE ．在BCD 和ACE 中，BC AC BCD ACE CD CE，BCD ACE (SAS)．BD AE ．即AE=BD ，（2）成立AE BD ；理由如下：如图2中，ABC ∵、DCE 均为等边三角形，BC AC ，CD CE ，60BCA DCE ，BCA ACD DCE ACD ，即BCD ACE ，∵在ACE 和BCD 中，AC BC BCD ACE CD CE，()ACE BCD SAS ，AE BD ．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1)如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2)如图2，∠AOB ＝∠COD ＝60°时，∠AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.【详解】 190AOB COD ＝＝，.AOB AOD COD AOD ＝即：.BOD AOC ＝,,OA OB OC OD ∵＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC AC=BD∵,AMD ABM BAM .BAM BAO OAC ∴.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∵90.AOB ∴90.OBA BAO 90.AMD ∴AC ⊥BD （2）同理可得..AMD OBA BAO 60.AOB 120.OBA BAO 120.AMD 故答案为：120. 【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC=BD ，∠OAC=∠OBD ，∵∠AMH=∠BMO ，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC ⊥BD ．【变式训练3】已知：如图1，在ABC 和ADE 中，C E ，CAE DAB ，BC DE ．（1）证明ABC ADE ≌．（2）如图2，连接CE 和BD ，DE ，AD 与BC 分别交于点M 和N ，56DMB ，求ACE 的度数．（3）在（2）的条件下，若CN EM ，请直接写出CBA的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，C E CAB EAD BC DE∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =180 ，∠CBA +∠ANB +∠DAB =180 ，又∵∠MND=∠ANB ，∴∠DAB=∠DMB=56 ，∴∠CAE =∠DAB=56 ，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=1(18056)622，∴∠ACE =62 ，（3）∠CBA=6，如图所示，连接AM ，∵NCA MEA ,CN=EM,CA=EA, NCA MEA V V (SAS), AM=AN,EAM CAN , EAM CAM =CAN CAM 即EAC MAN ,由(2)可得：=56EAC MAN , ANM =1(18056)622,∵∠CAE =∠DAB=56 CBA ANM DAB =62 -56 =6 .课后训练1.如图，已知AB AD ，BC DE ，且10CAD ，25B D ，120EAB ，则EGF 的度数为（）A ．120B ．135C ．115D ．125【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE ∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE 112010552∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ．∵EB =ET ，∴∠B =∠ETB ，∵∠ETB =∠1+∠AET ，∠B =∠1+∠2，∴∠AET =∠2，∵AE =CD ，ET =CK ，∴△AET ≌△DCK (SAS )，∴DK =AT ，∠ATE =∠DKC ，∴∠ETB =∠DKB ，∴∠B =∠DKB ，∴DB =DK ，∴BD =AT ，∴AD =BT ，∵BT=2BF=83，∴AD=83，故答案为：83．3.如图，2A CÐ=Ð，BD平分ABC，10BC ，6AB ，则AD _____．【答案】4【详解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△BED中，BE BAABD EBDBD BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴DE＝AD，∠BED＝∠A，又∵∠A＝2∠C，∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴EC＝AD，∴BC＝BE+EC＝AB+AD，∵BC＝10，AB＝6，∴AD＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，∵AE ＝AB ∴AE ＝AD ＝DE∴△AED 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°，∴∠ADC ＝90°，∴α＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，∴∠DCE ＝∠DEC ＝180=9022－－，在△ADE 中，AD ＝ED ，∠ADE ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠DEA ＝18090=4522 －－＋∴∠AEC ＝∠DEC ＋∠DEA ＝90+45+22－＝135°．∴∠AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ，则四边形BGFH 是平行四边形，∵AF ⊥CE ，∴平行四边形BGFH 是矩形，∵∠AFP ＝∠ABC ＝90°，∠APF ＝∠BPC ，∴∠GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB，∴△ABG ≌△CBH (AAS )，∴BG ＝BH ，∴矩形BGFH 是正方形，∴∠HFB ＝45°，由（2）可知：∠AEF ＝45°，∴∠HFB ＝∠AEF ＝45°，∴AE ∥F B．5.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ＝AC ，点E 是BD 上一点，且AE ＝AD ，∠EAD ＝∠BAC ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；（2）若∠ACB ＝65º，求∠BDC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF ，见解析．【详解】解：（1）如图，∵四边形ABFD是平行四边形， AB=DF，∵AB=AC， AC=DF，∵DE=EC AE=EF；（2）AF ，证明：连接EF，设DF交BC于K，∵四边形ABFD是平行四边形， AB//DF∠DKE=∠ABC=45°， ∠EKF=180°-∠DKE=135°∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°， ∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C， DK=DC，∵DF=AB=AC， KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD， △EKF≌△EDA（SAS）EF=EA,∠KEF=∠AED， ∠FEA=∠BED=90°，△AEF是等腰直角三角形，AF ．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1；（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴或（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH＝，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。

备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国)专题06 全等三角形中的截长补短模型(解析版)

专题06全等三角形中的截长补短模型【模型展示】如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值【证明】延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AE∴△BDE≌△CDA(SAS)∴BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE∴12-8＜AE＜12+8∴2＜AD＜10【模型证明】解决方案如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.【证明】延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，同上例得△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF,DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.【证明】延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中BN=DF∠NBC =∠DBC =DC∴△NBC ≌△FDC （SAS ）∴CN =CF ,∠NCB =∠FCD∵∠BCD =140°，∠ECF =70°∴∠BCE +∠FCD =70°∴∠ECN =70°=∠ECF在△NCE 和△FCE 中CN =CF∠ECN =∠ECFCE =CE∴△NCE ≌△FCE (SAS )∴EN =EF∴BE +DF =EF .【题型演练】一、解答题1．阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出 __________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出 _________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明．【详解】方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD AED ∆≅∆，∴B AED ∠=∠，BD=DE ，∵2B C ∠=∠，∴2AED C∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴DE=CE ，∴AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∴F BDF∠=∠∴2ABD F BDF F∠=∠+∠=∠∴2ABD C∠=∠∴F C∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFD ACD ∆≅∆，∴AC=AF ，∴AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+∠=︒，可证ABD ACE ∠=∠，易证得ABD ≌ACE ，得出ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的平方为多少？【答案】（1）DA =DC +BD ，见解析；（2）()222AD DC BD =+；见解析；（3）2【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证△ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2AD 2=（DC +BD ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ=利用（2）中的结论知()222PQ QN MQ =+，据此可得答案．【详解】解：（1）DA =DC +BD ，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，又∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∵∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∴∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +BD ；（2）()222AD DC BD =+，如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD +∠ACD =360°-∠BAC -∠BDC =180°，∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，CE =BD ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =90°，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴()222AD DC BD =+；（3）如图3，连接PQ，∵MN =2，∠QMN =30°，∠MQN =90°，∴QN =12MN =1，∴MQ ===由（2）知()222PQ QN MQ =+．∴()(2221=222QN MQ PQ +==+【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图，在等边△ABC 中，点P 是BC 边上一点，∠BAP ＝α（30°＜α＜60°），作点B 关于直线AP 的对称点D ，连接DC 并延长交直线AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明．分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．【答案】（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可；（2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明△BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明△ABG ≌△CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∵BAP α∠=，∴60CAP α∠=︒-，∵B 、D 关于AP 对称，∴==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∴()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠，∴()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，∴==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠，∴60AEC ∠=︒∴∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．∵∠AEB ＝60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°，∴∠ABG ＝∠CBE ．在△ABG 和△CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG ＝CE ，∴AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．(1)如图，若点D 在边BC 上，试说明CE CF CD +=；（提示：在线段CD 上截取CG CE =，连接EG ．）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC （SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等边三角形，∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC，在△DEG 和△FEC 中，DE FE DEG FEC EG EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEG ≌△FEC （SAS ），∴DG ＝CF ，∴CD ＝CG +DG ＝CE +CF ，∴CE +CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∵GD AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∴△GCD 为等边三角形，∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∴∠EDG ＝∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC【答案】见解析【分析】截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN ，可证得△APN ≌△APC ，可得到PC =PN ，△BPN 中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC 至M ，使AM =AB ，连结PM ，证明△ABP ≌△AMP ，可得PB =PM ，在△PCM 中，利用三角形的三边关系，即可求证．【详解】解：截长法：在AB 上截取AN =AC ，连结PN，在△APN 和△APC 中∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∴△APN≌△APC，∴PC=PN，∵△BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，在△ABP和△AMP中，∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△AMP，∴PB=PM，又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则∠ACE +∠ACD =180°，易知△ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2)延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅ ,进而可得AD=AE,BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，∴AE=AD ，CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E 三点共线，∵AE=AD ，∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∵90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∴180ABD ACD ︒∠+∠=,∵180ACE ACD ︒∠+∠=,∴ABD ∠=ACE ∠,∵AB=AC,CE=BD,∴ABD ACE ≅ (SAS),∴AD=AE,BAD CAE ∠=∠,∴90DAE BAC ︒∠=∠=,∴222DA AE DE +=,∴()222DA DB DC =+,【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.7．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+== 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅= 五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．（1）如图①，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，连结DA DB DC 、、，且120BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，根据180BAC BDC ∠+=︒，则180ABD ACD ∠+∠=︒，因为180ACD ACE ∠+∠=︒可证ABD ACE ∠=∠，易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD DE =，从而探寻线段DA DB DC 、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA DB DC 、、之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图②，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA DB DC 、、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图③，两块斜边长都为2cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直角边等于斜边一半，则PQ 的长为_____________cm ．（结果无需化简）【答案】（1）DA DB DC =+；（2DC DB =+证明见解析；（3．【分析】（1）由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°知∠ABD +∠ACD =180°，由∠ACE +∠ACD =180°知∠ABD =∠ACE ，证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证△ADE 是等边三角形得DA =DE =DC +CE =DC +DB ．（2）延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE ，先证△ABD ≌△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，据此可得∠DAE =∠BAC =90°，由勾股定理知DA 2+AE 2=DE 2，继而可得2DA 2=（DB +DC ）2；（3）由直角三角形的性质知QN =12MN =1，MQ =2）中的结论知=QN +QM【详解】解：（1）DA =DC +DB ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =180°，又∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∵∠ABC =60°，即∠BAD +∠DAC =60°，∴∠DAC +∠CAE =60°，即∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA =DE =DC +CE =DC +DB ，即DA =DC +DB ，故答案为：DA =DC +DB ；（2DA =DB +DC 如图2，延长DC 到点E ，使CE =BD ，连接AE，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°∴∠ABD +∠ACD =180°，∵∠ACE +∠ACD =180°，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，CE =BD ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =90°，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴2DA 2=（DB +DC ）2，=DB +DC ；（3）如图3，连接PQ，∵MN =2，∠QMN =30°，∴QN =12MN =1，∴MQ==，由（2=QN +QM∴PQ，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．(1)如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，根据∠BAC +∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE 易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是______；【拓展延伸】(2)如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的长为______cm ．【答案】(1)DA =DB +DCDA =DB +DC ；理由见解析(3)PQ cm =【分析】（1）延长DC 到点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，由等边三角形知AB =AC ，∠BAC =60°，结合∠BDC =120°，知∠ABD +∠ACD =180°，则∠ABD =∠ACE ，证得△ABD ≅△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，再证明△ADE 是等边三角形，等量代换可得结论；（2）同理可证△ABD ≅△ACE 得AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2QN QM =+，由此可求得PQ 长．（1）（1）延长DC到点E，使CE＝B D，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）=DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠AC D=180°又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC ，CE=BD ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∴∠DAE=∠BA C =90°，∴222DA AE DE +=，∴()222DA DB DC =+，DB DC =+，（3）如图所示：连接PQ ，∵4MN cm =，∠QMN =30°，∴122QN MN cm ==，根据勾股定理得QM ===，由（2QN QM =+，∴PQ cm ==，【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，AD 是角平分线，交BC 边于点D ．求证：AC AB BD =+．请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 是ABC ∆的角平分线．求证：AC AB BD =+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据截长法，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，通过题目条件可证()ADB ADE SAS ∆≅∆，进而证得DEC ∆是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，根据已知条件可证()FAD CAD SAS ∆≅∆，进而可证BD BF =，等量代换即可得证．【详解】（1）证明：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，∵AD 是角平分线，∴BAD EAD∠=∠在ADB ∆和ADE ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB ADE SAS ∆≅∆∴90AED B ∠=∠= ，DE DB=又∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45C ∠= ，∴DEC ∆是等腰直角三角形，∴DE EC =，∴AC AE EC AB BD =+=+．（2）如图2，延长AB 到F ，使AF AC =，连接DF ，∵AD 是ABC ∆的角平分线，∴FAD CAD∠=∠在FAD ∆和CAD ∆中AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FAD CAD SAS ∆≅∆，∴C F∠=∠∵2ABC C ∠=∠，ABC F BDF ∠=∠+∠，∴F BDF ∠=∠，∴BD BF =，∴AC AF AB BD ==+．【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅ 可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥ ，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠= ，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥ ，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒ ，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠ ，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.12．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE ＝60°．求证：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM 是等边三角形，∴MD=CD=CM ，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC ，∴∠ADM=∠EDC ，∵直线a ∥AB ，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD ，在△ADM 和△EDC 中，ADM EDC MD CD AMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADM ≌△EDC(ASA)，∴AM=EC ，∴CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB ︒-∠；证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=11802DAB︒-∠.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为DA=DC+DB；（2DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD＋∠ACD＝180°．∵∠ACE＋∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE．又∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠DAE＝∠BAC＝90°．∴DA2＋AE2＝DE2．∴2DA2＝(DB＋DC)2．＝DB＋DC．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，90∠=∠=︒，组成一个四边形ACBD，以D为顶CAD CBD、于M、N．点作MDN∠，交边AC BC(1)若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，证明：AM BN MN +=；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB 到点E ，使BE AM =，连接DE ，先证明DAM DBE ≌，再证明MDN EDN △≌△，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM MN BN 、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M 、N 改在CA BC 、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM MN BN 、、之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AM BN MN+=(3)BN AM MN -=，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，利用全等三角形的判定得出()SAS DAM DBE △≌△，()SAS MDN EDN △≌△再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．（1）证明：根据题意得：AD =BD ，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE。

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【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
【例1】阅读题：如图1，OM平分AOB
∠，以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA，OB于C，D两点，在射线OM上任取一点E（点O除外），连接CE，DE，可证OCE ODE
△△
≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在ABC中，2
A B
∠=∠，CD平分ACB
∠交AB于点D，试判断BC与AC、AD之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形ABCD中，AC平分BAD
∠，10
BC CD
==，20
AB=，8
AD=，求ABC的面积．【例2】已知，90
POQ
∠=，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OA OB
=，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C．点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF．
（1）求证：OA OB AC BC
===；
（2）如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且45
ECF
∠=时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；
（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且135
ECF
∠=时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N．请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论．
【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的
延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是AB上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB 的数量关系是．（直接写出结果）
【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F与点G分别
在BC、AC边上，∠FDG
1
2
∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=1
2
∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2 所示，当∠EAF 的边AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
一、解答题
1．等边ABC
∆中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK CH
=，连接AH、BK交于点F．
（1）如图1，求AFB
∠的度数；
图1
（2）连接CF，若90
BFC
∠=︒，求
BF
AF
的值；
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且2
AF FG
=，则BFG
∠的大小是___________．
图2
2．如图，四边形ABCD中，180
B D
∠+∠=︒，150
BCD
∠=︒，CB CD
=，M、N分别为AB、AD上的动点，且75
MCN
∠=︒．求证：MN BM DN
=+．
3．在ABC中，AE，CD为ABC的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若60
B
∠=︒．
①直接写出AFC
∠的大小；
②求证：AC AD CE
=+．
（2）若图2，若90B ∠=︒，求证：ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．
4．如图，在ABC 中，45A ∠=︒．
（1）如图1，若AC =BC =，求ABC 的面积；
（2）如图2，D 为ABC 外的一点，连接CD ，BD 且CD CB =，ABD BCD ∠=∠．过点C 作CE AC ⊥交AB
的延长线于点E ．求证：2BD AB +．
（3）如图3，在（2）的条件下，作AP 平分CAE ∠交CE 于点P ，过E 点作EM AP ⊥交AP 的延长线于点M ．点
K 为直线AC 上的一个动点，
连接MK ，过M 点作'MK MK ⊥，且始终满足'MK MK =，连接'AK ．若4AC =，请直接写出''AK MK +取得最小值时()2''AK MK +的值．
5．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，点D 是弧AC 上一点，连接BD 交AC 于E ．
（1）如图1，求证∠ADB ＝∠CDB ；
（2）如图2，点F 为线段BD 上一点，连接CF ，若∠BCF ＝2∠ABD 时，求证：BF ＝DE +AD ；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF 的平分线交⊙O 于M ，在CM 上取点R ，连接AR 交CF 于点T ，若TR ＝1，MR ＝5，∠CAT ＝3∠ACD ，求AT 的长．。