虚系数一元二次方程满足韦达定理
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
一元二次方程韦达定理的应用
【例6】 若一直角三角形两直角边的长为 若 直角 角形两直角边的长为a、b(a≠b)均为整
a b m 2 数，且满足 ，试求这个直角三角形三 ab 4m 边的长。
超级挑战 －－Only5 O l 5分钟
已知△ABC的 已知 的三边 边a、b、c满足 满足：b＋c＝8， 【挑战3】 bc＝a2－12a＋52，试确定△ABC的形状。
求：a3＋b3的值；a4＋3b的值。
2
已知x＋y＝5，z2＝xy＋y－9，则x＋2y＋3z 【挑战4】 ＝_____。
终极挑战 －－Only6分钟
小测统计 小测统计： QQ：775490962 要求：专题名称＋自 1 0,1 q q 2 0, 且pq≠1，求 【例3】 的值。
pq 1 q
1 5 已知 2m 2 5m 1 0， 2 2 0 【挑战1】 n n 1 1 且m≠n，求 的值。 m n
初级挑战 －－Only6 Onl 6分钟
逆用韦达定理构造一元二次方程 逆用韦达定理构造 元二次方程
韦达定理的综合应用
【例7】 某学生解一道没有实数解的二次方程ax2＋bx＋c＝0 时，因看错了某一项的符号，得到的实数根是 则
bc 的值是_____。 a 1 32185 4
【例8】 (2007 ( 007北京 北京三帆中学月考 帆中学月考)
2m 1 0 已知m是不等式组 的整数解，a、b是 4 3m 0 关于x的方程x2－mx－m＝0的两个实根。
一元二次方程 元二次方程 －－韦达定理的应用 韦达定理的初步应用
已知关于 关 x的方程 的 x2－13＋k＝0的两根是 的 根 a、b，且满 满 【 1】 【例 足a－3b＝1，求k。
一元二次方程根的判别式、韦达定理
一元二次方程根的判别式、韦达定理根的判别式：2222220(0)440(0)4.20(0)1.02.00ax bx c a bac b ac ax bx c a b ac ax bx c a 1、一元二次方程的根的情况可用来判定，把叫做一元二次方程的根的判别式， 通常用“”来表示，即、一元二次方程的根的情况与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根；3.当时，方程没有实数根。
++=?-++= =-++= ìïï=íV V V V f V V p ïïïïïïî韦达定理：2121212221212212120(0,).040.2-=- =-4 ax bx c a a b c x x b c x x x x aa ab ac x x x x x x x x g g 1、一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程、、是已知数的两个根为，， 则+，（1）； 注：根与系数的关系存在的前提（2）、 （）（+）++= =-=ì¹ïïíï- ïî()22222221212212121212 =-44 ==-+0.(-)(-)b c aab aca ax x x x x x x x x x x x x x x x gV g g （） 另：，等。
3、以，为两根的一元二次方程是+即=0---+=精典练习：22212121210220x x k x k k x x k x k k x x x 、已知关于的方程（4），求在下列情况下的取值： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。
2、已知关于的方程（）。
（1）求证：无论为何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰好是这个方程的两根，求三角形周长。
上海初二数学教学课件(九)一元二次方程韦达定理
课后作业
1.已知a a≠b， ab＋ 1.已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b 已知 的值． 的值． 答案：ab＋ 答案：ab＋a＋b＝－2 ＝－2
2.若实数x xy－ 求证： 2.若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y 若实数 满足x
谢谢
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韦达定理
• 所谓韦达定理： 所谓韦达定理： 的两个实数根。 x1, 2为方程： 2 +bx+c = 0 的两个实数根。 x 为方程： ax b x1 +x2 =a 那么
c x1x2 = a
此即一元二次方程的韦达定理
例题1 例题
用尽可能多的方法，证明韦达定理。 用尽可能多的方法，证明韦达定理。
注意
• 韦达定理常用于研究根与系数的关系。 韦达定理常用于研究根与系数的关系。 • 韦达定理在使用之前，一定要注意以下两点： 韦达定理在使用之前，一定要注意以下两点：
– 二次项系数a是否为0； 二次项系数a是否为0 – 方程的判别式△是否非负。 方程的判别式△是否非负。
例题2 例题2
x 2 - 3x + （1）x1 + x2 （2） 1x2
例题2 例题2
试求： x 2 - 3x + 1 = 0 有两个不同的实数根 ,试求： 3 2 2 x1 + x3 x1 + x2 （3 ） （4 ） 2
例题2 例题2
试求： x 2 - 3x + 1 = 0 有两个不同的实数根 ,试求： 1 1 |x （5 ） + （6 ） 1 - x2 |
x1 x2
一元二次方程（八） 一元二次方程（
一元二次方程之韦达定理
一对一个性化辅导教师授课学案分析：在同时满足方程(1),( 2)条件的」的取值范围中筛选符合条件的」的整数值。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定」的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出「- ：，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程爲■一■-:两根的符号。
分析：对于■■■■■■■; 111来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定；1或；二的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定】〔或＜ -的正负情况。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中1 : ＜0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若1〔＞0,仍需考虑；1一C的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程.的一个根为2，求另一个根及匸的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把二］代入原方程，先求出匸的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及■■■■的值。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3:已知方程■ ' - 1 -M有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求匸的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于匸的方程，即可求得匸的值。
说明：当求出-'—-后，还需注意隐含条件：!.，应舍去不合题意的；.'。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知I、二是关于T的一元二次方程’'一 -'r'的两个非零实数根，问I和二能否同号？若能同号，请求出相应的匸的取值范围；若不能同号，请说明理由，说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
第三讲一元二次方程根的判别式 韦达定理
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x aa-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)axbx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,22x a=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定知识点睛例题精讲一元二次方程根的判别式【例2】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例3】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x m x m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例4】 已知：方程()22250m x m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例5】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．二、一元二次方程中字母参数的确定【例6】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例7】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例8】已知方程22(21)10+++=有实数根，求m的范围．m x m x【例9】关于x的方程()2--+=有实数根，则整数a的最大值是．a x x6860【例10】关于x的一元二次方程2k x---=有两个不相等的实数根，(12)10求k的取值范围．、【例11】已知关于x的方程22x m x m++++=有两个不相等的实数根，化简：2(1)50m-|1|【例12】已知关于x的方程22(21)10+-+=有两个不相等的实数根12k x k x，．x x⑴求k的取值范围；⑵是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例13】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350-+=的根，则该x x三角形的周长为．【例14】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例15】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有 个．【例16】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例17】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求A B C ∆的周长．根与系数关系式习题精选1、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x（4）||21x x -5）)31)(31(1221x x x x ++2、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m的值；3、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
一元二次方程的根与系数韦达定理
二次方程的根与系数（韦达定理）考点一：一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算ac b 42-的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 例：1.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。
2、若方程（x －2）2=a －4有实数根，则a 的取值范围是________3、若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为_______4、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；5、当m 为何值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m有实根。
6、已知关于x 的方程x k x k 2211410-+++=()，k 取什么值时，方程有两个实数根？考点二：一元二次方程的根与系数的关系c b a .,ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么12x +x =___ ______，12x x =_____ ___.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==例：1如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。
虚系数一元二次方程满足韦达定理
虚系数一元二次方程满足韦达定理韦达定理是数学中一个重要的定理，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。
在本文中，我们将探讨虚系数一元二次方程满足韦达定理的相关内容。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
韦达定理告诉我们，对于这样的一元二次方程，它的两个根x1和x2满足以下关系：x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
然而，在某些情况下，我们会遇到虚系数的一元二次方程，即方程中的系数为复数。
虚系数一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为复数，且a ≠ 0。
对于这样的方程，韦达定理同样成立。
虚系数一元二次方程与实系数一元二次方程的解法基本相同。
我们可以使用求根公式来求解方程的解。
求根公式是这样的：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
在虚系数一元二次方程中，如果判别式D = b^2 - 4ac小于0，那么方程的解就是两个虚数。
举个例子来说明。
假设我们有一个虚系数一元二次方程2x^2 + (3+2i)x + (4-5i) = 0。
根据韦达定理，我们知道x1 + x2 = -b/a，即x1 + x2 = -(3+2i)/2。
同时，根据求根公式，我们可以计算出判别式D = (3+2i)^2 - 4*2*(4-5i)。
如果D小于0，我们就可以得出方程的解为两个虚数。
虚系数一元二次方程的求解与实系数一元二次方程的求解没有本质区别。
无论是实数还是复数，方程的解都可以通过韦达定理和求根公式得到。
因此，我们可以说韦达定理适用于任何类型的一元二次方程，包括虚系数一元二次方程。
虚系数一元二次方程在实际应用中也有一定的意义。
例如，在电路分析中，我们经常会遇到复数阻抗和复数电流等概念。
虚系数一元二次方程可以帮助我们解决这些问题，从而更好地理解和分析电路的行为。
总结起来，虚系数一元二次方程满足韦达定理，其解法与实系数一元二次方程的解法基本相同。
2.4一元二次方程韦达定理
2.4一元二次方程韦达定理当Δ≥0时，由求根公式可知aac b b x 24221-±-=、。
可令a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ∴a b x x -=+21，a c x x =∙21。
我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
ac x x a b x x =-=+2121,例题1、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，不解方程，那么：○1 x 1+x 2=； ○2 x 1·x 2=； ○311x +21x = ； ○4 x 21+x 22=； ○5｜x 1－x 2｜=。
针对练习.1、方程0132=--x x 的两个根是x 1,x 2，求代数式111221+++x x x x 的值。
2、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x 1+1）（x 2+1） （2）2112x x x x +例题2、已知21,x x 是一元二次方程01322=-+x x 的两根，求以2121,x x x x ⋅+为根的方程。
例题3.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.例题4.已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
例题5.如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
二次方程韦达定理
二次方程韦达定理嘿，朋友们！今天咱们来唠唠二次方程的韦达定理，这可真是数学里的一个神奇小魔法呢！你看啊，对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），韦达定理就像是这个方程的秘密解码器。
它说两根之和x₁ + x₂等于 -b/a呢。
这就好比两根是两个小调皮鬼，它们的和被 -b/a这个大管家给管得死死的。
你想啊，不管这两个根在方程这个小世界里怎么蹦跶，只要你知道了a和b的值，它们的和就逃不出你的手掌心，就像孙悟空怎么翻跟头也翻不出如来佛的手掌一样。
再说说两根之积x₁x₂ = c/a。
这就像是两个小根之间有个小约定，这个约定的值就是c/a。
这两个根就像是两个小商贩，它们交易的结果（乘积）是固定的，只要你知道了a和c，就知道它们之间的小秘密了。
要是把方程看成一个小社会，那这个韦达定理就是这个小社会的潜规则呢。
要是方程里的a变得很大很大，就像一个超级大的巨人站在那里，那 -b/a这个两根之和就会变得很小很小，就好像两个小蚂蚁在巨人面前，它们的力量总和都可以忽略不计了。
而c/a呢，也会被a这个大巨人影响得变了模样。
如果b = 0呢，那就更有趣了。
两根之和就变成了0，这时候的两个根就像是一对相反数小冤家，你往左走多远，我就往右走多远，但是我们的乘积还是按照c/a这个规矩来。
有时候，我觉得一元二次方程就像一个神秘的小盒子，韦达定理就是打开这个盒子看里面两根关系的钥匙。
不管这个盒子里的根是正的、负的、大的、小的，只要你拿着韦达定理这把钥匙，就能把它们之间的关系摸得一清二楚。
你再想象一下，a、b、c是三个魔法数字，韦达定理就是用这三个魔法数字编织出来的魔法咒语，专门用来控制方程的两根。
这两根就像是被施了魔法的小精灵，只能按照韦达定理这个魔法咒语的规则来行动。
当a是1的时候，就像是给方程这个小舞台简化了背景，韦达定理的 -b和c就更加直观地展示出两根的和与积的关系，就像在一个简洁的舞台上，演员（两根）的动作关系一目了然。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理一知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0a 、b 、c 属于R,a≠0根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程组,解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用;韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用;1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ 1当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 2当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 3当Δ< 0时⇔方程没有实数根,无解； 4当Δ≥0时⇔方程有两个实数根5根的判别式△＝b 2－4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围;2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理：1若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根,那么：a b x x -=+21,ac x x =⋅21 2以两个数21,x x 为根的一元二次方程二次项系数为1是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： 1已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值; 2不解方程,求某些代数式的值;3已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程; 4已知两数和与积,求这两个数; 5二次三项式的因式分解;注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时,关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根;例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根;例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理编号： 撰写人： 审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程： x 2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。
②如果例1例2例32 例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x 1=2b a -+，x 2=2b a-- 注意点：① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
② 解题步骤要规范。
例:解方程：x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例例5那就可以6x 1(1) 当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。
(2) 当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。
(3) 当∆<0的时候，方程没有实数根。
没有实数根与没有根是两个不同的概念。
判别式的运用：（1）求方程系数的取值范围。
例：已知方程ax 2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a 的取值范围。
（2）求最大值最小值的问题。
例1：求2236x y x x +=++的最大值和最小值。
例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a 、b 为何值时，ab 取得最大值。
三、韦达定理对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：x1x2那么就有：x1+x2=ba-,x1x2=ca.除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：（1）|x1-x2|=a （2）11x+21x=ab-(3)11x21x=ac注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。
一元二次方程判别式与韦达定理
判别式与韦达定理（一）1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况是由 的值来确定，所以把 叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式.用符号 表示。
2、一般地，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（1）当 时，原方程有 的实数根： （2）当 时，原方程有 的实数根：==21x x （3）当 时，原方程 实数根.反之亦成立：⑴当方程有 实数根时，△>0；⑵当方程有 实数根时，△=0； ⑶当方程 时，△< 0；3．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）25320x x --= （2）(1)3x x += （3）2210(0)a x ax a --=≠4．已知关于x 的方程230x x k -+=，问k 取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?5．已知关于x 的一元二次方程22(31)910mx m x m --+-=有两个实数根，求实数m 的取值范围。
6.关于x 的一元二次方程240x x a -+=有两个相等的实数根，求a 的值。
7.如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？8. 关于x 的方程．．22(4)6x mx x -=-没有实数根，求m 的最小的整数值？9.若方程22(21)10x m x m --++=有不等实数根，则m 的取值范围是 ; 10.已知：关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，求实数k 的取值范围。
11. 当m 取何值时，一元二次方程2(1)230m x mx m -++-=有实根?12.若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．13. 求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根．14．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．15、求证：方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=没有实数根。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
知识框图求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
一元二次方程韦达定理公式
一元二次方程韦达定理公式
韦达定理（Vieta's Theorem），又称有理函数定理，是一元多项式方程在体系上极为重要的定理。
它可以用来表达一元二次方程的根与系数之间的关系，也称为“二次函数的根的表示”。
1、定义
韦达定理指的是一元二次函数的根的表示，用公式表示为：
ax²+ bx + c = 0
其中，a、b、c为实数，且a不等于零，则此方程的根是：
x1 = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
x2 = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
2、定理证明
证明韦达定理的步骤：
（1）假定一元二次函数（1）ax²+ bx + c = 0 的两个根为 x1 与 x2 ，这两个根处函数值均为0，即：
a x1² + bx1 + c= 0
a x2² + bx2 + c= 0
（2）将上述两式相减，得到：
a(x1²- x2) = -b(x1 - x2)
由此可推出：
x1 + x2= -\(\frac{b}{a}\)
与 x1x2 = \(\frac{c}{a}\)
（3）将第（2）步推出的 x1 + x2 及 x1x2 带入第（1）步的函数表达式，即可求得函数的解。
3、应用
由于一元二次方程有两个解，根据韦达定理可以把它们表示为以系数
形式表示的函数式，从而起到简化计算方法的作用，从而节省计算时间。
因此，韦达定理在求解一元二次方程时，有重要的应用意义。
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虚系数一元二次方程满足韦达定理
然而，在一些问题中，我们需要求解一些特殊的方程，这些方程的系
数中存在虚数。
这样的方程被称为虚系数一元二次方程。
虚系数方程在数
学领域中有着广泛的应用和研究，特别是在复数及其应用、代数学和数论中。
虚系数方程满足韦达定理，即对于任意二次方程ax² + bx + c = 0，其根可由以下公式计算：
x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a
x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a
当方程的系数a、b和c都是实数时，方程的解可以求得。
而当方程
存在虚数时，方程的解为复数。
为了更好地理解虚系数一元二次方程满足韦达定理的原理和推导过程，我们需要从复数的性质开始，然后逐步引入虚系数方程的概念。
复数是由实数和虚数构成的数，表示为 a + bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i² = -1、复数的加法、减法、乘法
和除法等运算都可以通过实数部分和虚数部分的运算得到。
在解一元二次方程时，我们可以引入复数的概念，使得方程的根在实
数范围之外也有解。
这就是虚数的应用。
虚系数方程的根是复数，可以表
示为x₁ = p + qi和x₂ = p - qi，其中p和q都是实数部分。
通过韦达
定理求解虚系数方程的根，可以得到复数的实部和虚部。
假设有一个虚系数方程a(x-α)(x-β)=0，其中α和β为复数。
根
据展开公式，可以得到方程的展开式为：
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
根据韦达定理，方程的根应满足以下条件：
α+β=(-b/a)
αβ=(c/a)
将以上两个条件代入方程的展开式中，可以得到：
ax² - 2a(α + β)x + a²(αβ) = 0
由此可知，虚系数方程满足韦达定理，其系数与根之间存在一定的关系。
通过求解方程的根，可以得到复数的实部和虚部。
虚系数方程在实际问题中的应用很广泛。
在物理学、工程学和科学研
究中，一些问题无法用实数来表达，而需要使用复数。
例如，电路中的交
流电流和电压、振荡器中的频率和周期等，都可以通过虚系数方程来求解。
总结起来，虚系数一元二次方程满足韦达定理，表示了方程的根与系
数之间的关系。
通过求解虚系数方程，我们可以得到复数的实部和虚部，
从而解决实际问题中的复数运算。
虚系数方程在数学领域中有着广泛的应
用和研究，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。