【例题与讲解】有理数的乘方

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《有理数的乘方》优质课课件

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到“数学教学是数学活动的教学”。
• 3.教学手段分析:
• 利用多媒体教学,目的之一是使课堂生动、形
象又直观,能激发学生的学习兴趣,目的之二 是增大教学容量,增强教学效果。
• 2.学法分析:
• 从实际问题出发,创设有助于学生自主学习的 问题情境,借助多媒体展示实际生活中的问题, 并分析问题中的数量关系,引导学生主动探索, 发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括, 形成能力。通过合理的问题设计,让学生亲历 探究,突出学生在教学中的主体地位;通过适 当的练习,及时的进行信息反馈,使学生体会
思考:用乘方式子怎么表示 3的3 相反数? 答案: - 33
1. 5看成幂的话,底数是 5,指数是 1 。
2. 在( 5)15中,底数是 -5 ,指数是1 , (5)15 读作-5的15次方(幂) 。 5
3.在(- 2)4 中,底数是( -2 ),指数是( 4 ),
读作(-2的4次方(幂)),意义(4个-2相乘 ) 结果是( 16 )
1、1×1×1×1×1×1×1= 1;7
2、3×3×3×3×3= 3;5
3、(-3)×(-3)×(-3)×(-3)= ;34
4、5 5 5= 5
6666
; 5 4 6
把下列乘方写成乘法的形式:
1、 0.=93 0.9 0;.9 0.9
9
4
2、 7=
9 7
9 7
;79
9 7
3、a
有理数的运算是数学中许多其他运算的基础,培养学 生正确迅速的运算能力,是数学教学的一项重要目标。有 理数的乘方是初一年级上学期第一章第五节的教学内容, 是有理数的一种基本运算,从教材编排的结构上看,共需 要4个课时,此课为第一课时,是在学生学习了有理数的 加、减、乘、除运算的基础上来学习的,它既是有理数乘 法的推广和延续,又是后继学习有理数的混合运算、科学 记数法和开方的基础,起到承前启后、铺路架桥的作用。 在这一课的教学过程中,可以培养学生观察问题、分析问 题和解决问题的能力,以及转化的数学思想,通过这一课 的学习,对培养学生的这些能力和转化的数学思想起到很 重要的作用。

有理数的乘方例题与讲解

有理数的乘方例题与讲解

有理数的乘方1.乘方的意义(1)乘方的定义求n个相同因数a 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.如图,a 叫做底数,n 叫做指数,a n 读作:a 的n 次幂(a 的n 次方). 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同),幂是乘方运算的结果;乘方的底数是相同因数,指数是相同因数的个数.(2)乘方的意义a n 表示n 个a 相乘.即a n =n aa a a a ⨯⨯⨯⋯⨯个.如:(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)表示3个(-2)相乘.释疑点 (-a )n 与-a n 的区别①(-a )n 表示n 个-a 相乘,底数是-a ,指数是n ,读作:-a 的n 次方;②-a n 表示n 个a 乘积的相反数,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方的相反数.如:(-3)3底数是-3,指数是3,读作负3的3次方,表示3个(-3)相乘.(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27.-33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.-33=-(3×3×3)=-27.(3)乘方的书写①一个数可以看成这个数本身的一次方.如5就是51,通常指数1省略不写.②负数或分数做底数时,应用括号把负数或分数括起来,再在其右上角写指数,指数应写小一点.如(-1)2不能写成-12,⎝⎛⎭⎫322不能写成322. 【例1】 填空:(1)式子(-1.2)10表示__________,其中底数是__________,指数是__________.(2)120137111777⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个写成乘方的形式是__________,读作__________. 解析:(1)乘方表示几个相同因数的积,相同的因数是底数,指数即相同因数的个数;(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式,相同因数写成底数,本题中⎝⎛⎭⎫-17是底数,相同因数的个数2 013写成指数.答案:(1)10个-1.2相乘 -1.2 10(2)⎝⎛⎭⎫-17 2 013 负17的2 013次幂⎝⎛⎭⎫或负17的2 013次方 2.乘方运算的符号法则乘方运算的符号法则乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算.如:33=3×3×3=27. ①正数的任何次幂都是正数;②负数的奇次幂是负数;③负数的偶次幂是正数;④0的奇次幂、偶次幂都是0.任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即a 2n ≥0(n 为正整数);若用n 表示正整数,则2n 表示偶数,而用(2n +1)表示奇数,则(-1)2n =1,(-1)2n +1=-1.【例2】 下列说法不正确的是( ).A .(-2)2 013是负数B .-4200是正数C .0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身D .-1的38次幂等于它的相反数解析:-4200表示4的200次方的相反数,是负数,故B 错误.答案:B3.有理数乘方的运算乘方运算的方法如下:与有理数的加、减、乘、除四种运算一样,有理数的乘方也是一种运算,其运算的方法是:①确定幂的符号;②进行乘法的运算.析规律 对于乘方的理解①乘方是一种运算,是特殊的乘法(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结果. ②因为a n 表示n 个a 相乘,所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算,即将乘方转化成乘法运算.4.绝对值与乘方非负性的综合运用(1)平方、立方及平方的非负性在a n 中,若n =2,则为a 2,读作a 的2次幂,也读作a 的平方;当n =3时,a 3可读作a 的3次方,也可读作a 的立方.平方、立方是乘方中最常见的.①根据乘方与乘法的关系可知:正数的平方是正数,负数的平方也是正数,0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数.②平方等于它本身的数:0,1;立方等于它本身的数:0,1,-1.(2)绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是非负数,即|a |≥0.(3)非负数的性质性质:若几个非负数的和等于0,则这几个非负数都等于0.比如:若|a |+b 2=0,则a =0,且b =0.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3】 计算:(1)(-2)4;(2)-34;(3)⎝⎛⎭⎫453;(4)⎝⎛⎭⎫-1232;(5)-472;(6)(-1)2 014. 分析:根据乘方的意义和符号法则求解.(1)(-2)4表示4个(-2)相乘;(2)-34表示34的相反数;(3)⎝⎛⎭⎫453表示3个45相乘;(4)⎝⎛⎭⎫-1232表示2个⎝⎛⎭⎫-53相乘;(5)-472表示4除以7的2次方的相反数;(6)(-1)2 014表示2 014个(-1)相乘.解:(1)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16;(2)-34=-(3×3×3×3)=-81;(3)⎝⎛⎭⎫453=45×45×45=64125; (4)⎝⎛⎭⎫-1232=⎝⎛⎭⎫-53×⎝⎛⎭⎫-53=259; (5)-472=-47×7=-449; (6)(-1)2 014=()()()()20141111--⨯-⨯⋯⨯-个=1.【例4-1】 下列说法正确的有( ).①负数的平方是负数;②正数的平方是正数;③平方是它本身的数是0和1;④1的立方等于它本身;⑤-1的平方等于它的倒数;⑥任何一个有理数的平方都是非负数.A .3个B .4个C .5个D .2个解析:① × 乘方是特殊的乘法运算,两数相乘,同号得正,异号得负,故①,②都为正数② √ ③ √ 0的平方等于0,1的平方等于1④ √ 1的立方是1⑤ × -1的平方是1,-1的倒数是-1,所以不相等⑥ √ 0的平方是0,正数和负数的平方都是正数答案:B【例4-2】 若x ,y 为有理数,且(5-x )4+|y +5|=0,则⎝⎛⎭⎫x y 2 013的值为( ).A .1B .-1C .2D .-2解析:因为(5-x )4和|y +5|都是非负数,且(5-x )4+|y +5|=0,所以由非负数的性质得(5-x )4=0,|y +5|=0,即5-x =0,y +5=0.解得x =5,y =-5.所以⎝⎛⎭⎫x y 2 013=⎝ ⎛⎭⎪⎫5-5 2 013=(-1)2 013=-1.故选B. 答案:B5.有理数乘方规律探究及应用(1)有理数乘方规律探究①观察给出的一组数字或式子,分析所包含的乘方运算,结合连续偶数、连续奇数等知识,探究其中的规律.②根据其规律,按要求进行计算或解答.(2)乘方的应用生活中乘方的应用主要是裂变和对折.①裂变:将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变.裂变规律:裂变一次即原来的数量乘21,裂变两次乘22,裂变三次乘23,…,裂变n 次乘2n .②对折:一张纸对折,对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间次数 1 2 3 … n层数 2 4 8 … 2n折痕数 1 3 7 … 2n -1单面占 的比例12 14 18 … 12n 【例5-1】 (只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为:(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=11.按此方式,将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________.(说明:20=1)解析:从例子中可以看出,把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算.二进制数的进率是2,右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1,右边第二数位代表21,右边第三位代表22,右边第四位代表23,依此类推,相加即可转化为十进制数.所以(1001)2=1×23+0×22+0×21+1×20=8+0+0+1=9.答案:9【例5-2】 面积是128平方分米的一张纸片,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,第三次再将剩下的一半剪去,…,如此下去,剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米?分析:解:128×⎝⎛⎭⎫126=128×164=2(平方分米). 答:剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米.。

有理数的乘方

有理数的乘方

第六讲 有理数的乘方教学目的1、 通过本讲学习,使学生理解乘方的概念及意义2、 会进行有理数乘方的运算3、 了解乘方的一些简单特点,会解乘方的一些实际问题主要知识点1、 有理数的乘方2、 有理数的混合运算3、 (1(3(1(4【当堂检测】1、52表示 个 相乘, 是底数, 是指数。

2、33()4-的底数为 指数为 写成乘法的形式为 。

3、把(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)写成乘方的形式为 。

4、 计算(1)(-31)3 (6)(-2)14×(-21)15(2)-32×23 (7)-(-2)4(3)(-3)2×(-2)3 (8)(-1)2001(4)-2×32 (9)-23+(-3)2(5)(-2×3)2 (10)(-2)2·(-3)25、1米长的小棒,第一次截去一半,第2次截去剩下的一半,如此截下去,第7次后剩下的小棒有多长?第二部分 有理数的乘方综合【典型例题4】若a 为有理数,则下列各式的值一定为正数的是 ( )(A )a +1 (B )|a| (C)a 2 (D )a 2 + 1【典型例题5】已知 0 < a < 1 ,那么 、a 、a 2 这三个数的大小关系是( )(A ) <a < a 2 (B ) a < < a 2(C )a 2 < a < (D )a <a 2 <【典型例题6】(-1)2n +(-1)2n +1=______(n 为正整数).【典型例题7】若25,3a b ==-,试确定19992000ab +的末尾数字是几?【当堂检测】1、互为相反数的两个非零有理数的任何同次幂,它们 ( )(A )一定相等 (B )偶次幂相等,奇次幂不相等(C )一定不相等 (D )奇次幂相等,偶次幂不相等2、如果6 个不等于零的有理数的积是负数,那么正因数最多只能有 ( )(A )6个 (B )5个 (C )4个 (D )3个3、如果一个数的平方等于这个数的绝对值,则这个数是( )45A C6789、若1001014,4,()a ba b a b a b a b ==+=-+-且,求的值10、观察2的正整数次幂:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128, 28 = 256,29 = 512,… 根据你的观察,请判断 22003 的个位数字是几?11、已知:代数式1a -与2(2)ab -互为相反数, 求111+++ 的值.12、(2。

《有理数的乘方》 讲义

《有理数的乘方》 讲义

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界里,有理数的运算多种多样,其中有理数的乘方是一个非常重要的概念。

它不仅在数学计算中经常出现,还在实际生活中有着广泛的应用。

那么,什么是有理数的乘方呢?让我们一起来探索吧!二、有理数乘方的定义乘方,简单来说,就是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。

比如,2×2×2 可以写成 2³,其中 2 叫做底数,3 叫做指数,2³整体叫做幂。

再比如,(-3)×(-3)×(-3)×(-3)可以写成(-3)⁴,其中-3 是底数,4 是指数。

一般地,aⁿ 表示 n 个 a 相乘,其中 a 叫做底数,n 叫做指数,aⁿ 叫做幂。

需要注意的是,指数为 1 时,通常省略不写,例如 5¹= 5。

三、有理数乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如,3²= 9,3³= 27 。

2、负数的乘方负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

比如,(-2)³=-8 ,(-2)²= 4 。

3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0。

即0ⁿ = 0(n 为正整数)在进行有理数乘方运算时,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值。

四、有理数乘方的规律1、底数为 1 或-11 的任何次幂都为 1,即1ⁿ = 1。

-1 的奇次幂为-1,-1 的偶次幂为 1 。

2、底数互为相反数如果两个底数互为相反数,指数相同,那么它们的幂互为相反数。

例如,2³和(-2)³,2³= 8 ,(-2)³=-8 。

3、指数变化规律当底数大于 1 时,指数越大,幂越大;当底数大于 0 小于 1 时,指数越大,幂越小。

五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积例如,正方形的边长为 a ,则面积为 a²;正方体的棱长为 b ,则体积为 b³。

2、科学记数法在表示较大或较小的数时,经常用到科学记数法,例如 560000 可以写成 56×10⁵。

专题1.20 有理数的乘方(知识讲解)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练

专题1.20 有理数的乘方(知识讲解)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练

专题1.20 有理数的乘方(知识讲解)【学习目标】1.理解有理数乘方的定义;2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).即有:.在中,叫做底数, n 叫做指数.特别说明:(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果. (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写. 2. 性质:要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 .特别说明:(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.(2)任何数的偶次幂都是非负数. 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 特别说明:(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用. 【典型例题】类型一、有理数的幂的概念的理解1.填表: 乘方65(-5)43(12)- -27na a a a n ⋅⋅⋅=个na a【分析】根据有理数乘方的定义解答即可.解:填表如下:【点拨】本题考查了有理数乘方的定义,属于应知应会题型,熟知概念是关键.举一反三:【变式1】把下列各式用幂的形式表示,并说出底数和指数:(1)(﹣3)×(﹣3)×(﹣3);(2)2222 ()()()() 5555+⨯+⨯+⨯+.【答案】(1)(﹣3)3,底数为﹣3,指数为3;(2)(+25)4,底数为+25,指数为4.【分析】(1)(2)都是相同的几个数字相乘,根据乘方的定义即可解答.解:(1)(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)=(﹣3)3,底数为﹣3,指数为3;(2)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=25⎛⎫+⎪⎝⎭4, 底数为+25,指数为4.【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,记作a n,其中a叫做底数,n叫做指数.【变式2】小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题:若(2x﹣3)x+3=1,求x的值,他解出来的结果为x=2,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗?小明解答过程如下:解:因为1的任何次幂为1,所以2x﹣3=1,x=2.且2+3=5故(2x﹣3)x+3=(2×2﹣3)2+3=15=1,所以x=2你的解答是:【答案】x=2或3或1.【解析】试题分析:分别从底数等于1,底数等于- 1且指数为偶数,指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案.解:①①1的任何次幂为1,所以2x- 3=1,x=2.且2+3=5,①(2x - 3)x+3=(2×2 - 3)2+3=15=1,①x=2;①① - 1的任何偶次幂也都是1,①2x - 3= - 1,且x+3为偶数,①x=1,当x=1时,x+3=4是偶数,①x=1;①①任何不是0的数的0次幂也是1,①x+3=0,2x - 3≠0,解得:x= - 3,综上:x=2或3或1.【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方.此题难度适中,注意掌握分类讨论思想的应用.类型二、有理数乘方的运算2.计算:(﹣48)÷(﹣2)3﹣(﹣25)×(﹣4)+(﹣2)2.【答案】- 90.【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.. 原式=﹣48÷(﹣8)﹣100+4=6﹣100+4=﹣90.【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.举一反三:【变式1】计算:﹣32+[9﹣(﹣6)×2]÷(﹣3)【答案】- 16.【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.解:原式=﹣9+(9+12)÷(﹣3)=﹣9+21÷(﹣3) =﹣9+(﹣7) =﹣16.【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【变式2】 小明做了这样一道题,他的方法如下:1110101010111111133313333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请你用他的方法解下面题目.设201420151(2013)2013M ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭,1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯-- ⎪⎝⎭,求2019()M N +的值. 【答案】 - 1【分析】先根据小明的方法求出M ,N 的值,然后代入代数式去接即可;解:①20142014201511(2013)20132013201320132013M ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯--=⎪⎝⎭101(5)(6)(6)200830⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 620082014--=-.①20192019()(20132014)1M N +=-=-.【点拨】本题主要考查了有理数的乘方,准确计算是解题的关键. 类型三、有理数乘方的逆运算3、若6x =,24y =,且x <y ,求:x y -的值.【答案】 - 8或 - 4.【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x 、y ,再判断出x 、y 的对应情况,然后相减计算即可得解.解:①|x |=6,y 2=4,①x=±6,y=±2, ①x<y , ①x=−6,y=±2,当y=2时,x - y= - 6 - 2= - 8, 当y=−2时,x−y= - 6 - ( - 2)= - 4, 故x y -的值.为 - 8或者 - 4.【点拨】本题考查有理数的减法,绝对值方程,有理数的乘方.能求出x 和y 的值并根据不等关系分情况讨论是解决本题的关键. 举一反三:【变式1】若点M 、点N 在数轴表示的数分别是x 、y ,223x +=,225y =(0)y <,求点M 、点N 两点之间的距离. 【答案】123或233【分析】根据绝对值的意义和乘方运算得到x 和y 值,再根据两点之间的距离得到结果. 解:①223x +=,225y =(0)y <, ①x+2=23,y= - 5, ①x= - 223=223-或113-,①点M 、点N 两点之间的距离为:223- - ( - 5)=123或113- - ( - 5)=233. 【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离,绝对值的意义和乘方运算,解题的关键是注意分类讨论.【变式2】()()2016920171122⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】2.【分析】先计算有理数的乘方和乘方逆运算,再计算有理数的乘法即可得.解:原式201620161(1)(2)(2)2⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,()20161222⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,201621=⨯,21=⨯, 2=.【点拨】本题考查了有理数的乘方和乘方逆运算、有理数的乘法,熟练掌握运算法则是解题关键.类型四、有理数乘方运算的符号规律4、计算:(1)()110.51 3.75542⎛⎫---+⎛⎫ ⎪⎝⎭-+ ⎪⎝⎭ (2)()()()20220358624361⎛⎫- ⎪-⨯+----⎝⎭÷【答案】(1)1-;(2)6- 【分析】(1)先把减法转化为加法,再把同号的两个数相加,即可得到答案;(2)先计算绝对值,乘方运算,再利用乘法的分配律计算乘法运算,除法运算,最后计算加减运算即可得到答案.解:(1)原式0.5 1.25 3.75 5.5=-++-()()0.5 5.5 1.25 3.75=--++.65=-+1=-.(2)原式()353684146⎛⎫=⨯-+-÷-⎪⎝⎭ 273021=---6=-【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值,乘方符号的确定,含乘方的有理数的混合运算,掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. 举一反三:【变式1】如果|m ﹣5|+(n +6)2=0,求(m +n )2020+m 3的值. 【答案】126【分析】根据绝对值和平方非负的性质求出m ,n 的值,代入所求的代数式计算即可. 解:①m ,n 满足|m ﹣5|+(n +6)2=0,①m ﹣5=0,n +6=0, 即:m =5,n =﹣6,①(m +n )2020+m3=(5﹣6)2020+53=1+125=126.【点拨】本题考查的非负数的性质,掌握绝对值和平方非负的性质,理解当这几个非负式子相加为0时,这个式子都为0是解题的关键.【变式2】 记a 1=﹣2,a 2=(﹣2)×(﹣2),a 3=(﹣2)×(﹣2)×(﹣2),……a n =n 个 - 2相乘.(1)填空:a4= ,a23是一个 (填“正”或“负”); (2)计算:a5+a6;(3)请直接写出2020an+1010an+1的值. 【答案】(1)16,负;(2)32;(3)0. 【分析】(1)探究规律,利用规律即可解决问题; (2)利用规律计算即可;(3)对原式进行变形,得出与规律有关的式子,即可得出结果. 解:(1)根据规律可知:a 4=(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)=16,a 23是23个﹣2相乘,是负数; (2)由规律可总结出:()2nn a =-,()()565622326432a a ∴+=-+-=-+=;(3)120201010n n a a ++=()110102n n a a ++ =()()12221010nn +⨯-+-⎡⎤⎣⎦=()()()22211020n n⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦=10100⨯ =0【点拨】本题考查规律型:数字问题,解题的关键是学会探究规律,利用规律解决问题.类型五、有理数乘方的应用5、(1)若|2x +6|+(y ﹣2)2=0,求y 2﹣x 的值.(2)|a |=8,|b |=3,且|a ﹣b |=b ﹣a ,求a +b 的值.【答案】(1)7;(2)﹣11【分析】(1)利用非负数的性质求出x 与y 的值,代入原式计算即可求出值;(2)利用绝对值的代数意义求出a 与b 的值,代入原式计算即可求出值. 解:(1)∵|2x+6|+(y ﹣2)2=0,∴2x+6=0且y ﹣2=0, 解得:x =﹣3,y =2, 则原式=4+3=7;(2)∵|a|=8,|b|=3,且|a ﹣b|=b ﹣a , ∴a =±8,b =±3,a ﹣b <0,即a <b ,当a =﹣8,b =3时,a+b =﹣5;当a =﹣8,b =﹣3时,a+b =﹣11.【点拨】本题考查了非负数的性质,①非负数有最小值是零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有:绝对值,算术平方根和偶次方.也考查了绝对值的意义. 举一反三:【变式1】已知327x =,216y =,求2x y +. 【答案】11【解析】根据乘方的意义求出x ,y 的值,代入2x y +计算即可. 解:①327x =,216y =,①3x =,4y =①232411x y +=+⨯=.【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值,根据乘方的意义求出x ,y 的值是解答本题的关键.【变式2】已知51381x -=,求()345x -的值. 【答案】 - 1【解析】把原式变形为51433x -=,列出关于x 的方程求解即可.解:①5143813x -==,① 514x -=, 解得1x =,把1x =代入()345x -,得 原式=(4 - 5)31=-.【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值,根据乘方的意义求出x 是解答本题的关键. 类型六、有理数加减乘除混合运算6、计算:(1)-4+2×|-3|-(-5); (2)-3×(-4)+(-2)3÷(-2)2-(-1)2 018. 【答案】(1)7;(2)9 【分析】(1)注意运算顺序,先算乘除再算加减,减去一个数等于加上这个数的相反数,减法变为加法;(2)注意运算顺序,先算乘方再算乘除最后算加减.注意()201811-=,1-的偶次方为1,奇次方为1-.解:(1) 原式=-4+2×3+5=-4+6+5 =7;(2) 原式=12+(-8)÷4-1=12-2-1 =9.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,注意:要正确掌握运算顺序,即乘方运算叫做三级运算;乘法和除法叫做二级运算;加法和减法叫做一级运算.在混合运算中要特别注意运算顺序:先三级,后二级,再一级;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序. 举一反三: 【变式1】计算:(1)3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+- (2)(32)17(65)5----+(3)111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭(4)4211[2(3)]6--⨯--【答案】(1) - 5;(2)21;(3) - 7;(4)16【分析】(1)根据有理数的加法运算法则计算;(2)根据有理数的加减混合运算法则计算; (3)利用乘法分配率计算即可;(4)先算乘方,再算括号内的,再算乘法,最后算加法. 解:解:(1)3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+-=3.47 - 2.7 - 3.47 - 2.3 = - 5;(2)(32)17(65)5----+= - 32 - 17+65+5 =21; (3)111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭ =()()()111121212234⨯-+⨯--⨯- =643--+ = - 7; (4)4211[2(3)]6--⨯-- =()11296--⨯-=716-+=16【点拨】本题考查了有理数的混合运算,解题的关键是掌握运算法则和运算律. 【变式2】计算:(1)251(24)386⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭; (2)43116(2)|31|-+÷-⨯--; 【答案】(1)5;(2) - 9.【分析】(1)根据乘法分配律简便计算;(2)先算乘方,再算乘除,最后算加法;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有绝对值,要先做绝对值内的运算.解:(1)(–23+58–16)×(–24)=–23×(–24)+58×(–24)–16×(–24)=16–15+4=5;(2)–14+16÷(–2)3×|–3–1|=–1+16÷(–8)×4=–1–8=–9.【点拨】考查了有理数的混合运算,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.类型七、有理数加减乘除混合运算的实际运用7、-22-(-3)3×(-1)4-(-1)5【答案】24【分析】在进行有理数的混合运算时,一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算,即先乘方,后乘除,再加减.同级运算按从左到右的顺序进行.有括号先算括号内的运算.解:原式= - 4 - ( - 27)×1+1= - 4+27+1=24【点拨】本题考查了有理数的混合运算,有理数混合运算的顺序(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左至右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.举一反三:【变式1】计算:(1)3557212212⎛⎫--+- ⎪⎝⎭(2)111(370)0.2524.55424⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)17111236329126⎡⎤⎛⎫--+⨯÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】(1)2-;(2)100;(3)12【分析】(1)根据有理数的加减混合运算进行求解即可; (2)根据有理数的混合运算直接进行求解即可;(3)先算括号里的,然后再由有理数的混合运算进行求解即可.解:(1)原式=3557+=112221212⎛⎫----=- ⎪⎝⎭; (2)原式=()11370+24.5+5.5=400=10044⨯⨯; (3)原式=171111112363636322833629126232⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯÷=-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点拨】本题主要考查有理数的混合运算,熟练掌握有理数运算法则是解题的关键. 【变式2】有个写运算符号的游戏:在“3□(2□3)□43□2” 中的每个□内,填入+, - ,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果. (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式:()2432323⨯÷-÷; (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是()43233÷⨯⨯□22,一不小心擦掉了□里的运算符号,但她知道结果是103-,请推算□内的符号. 【答案】(1)53;(2)□里应是“-”号. 【分析】(1)根据有理数的混合运算法则计算可以解答本题; (2)根据题目中式子的结果,可以得到□内的符号; 解:(1) ()2432323⨯÷-÷=2413334⨯-⨯ =123-=53; (2) ()43233÷⨯⨯=4363÷⨯=1423⨯ =23, 因为23□22=103-,即23□4=103-所以23-123=103- 所以“□”里应是“-”号.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法. 类型八、程序流程图与有理数运算8、根据下边的流程图回答下列问题:(1)输入54后,得到的输出结果是____________.(2)如果输出的结果34,请推测输入的数可能是那些?并写出结果. 【答案】(1)14(2)512或2512【分析】(1)根据流程图直接进行列式求解即可; (2)根据题意分两种情况:一是大于23输出的结果,二是小于或等于23输出的结果,然后分别求解即可.解:(1)由流程图可得:533=454⨯, 3243>, ∴311424-=; 故答案为14;(2)①当输出的结果是由大于23计算而得的,则有: 31325+=42512⎛⎫÷ ⎪⎝⎭; ①当输出的结果是由小于或等于23计算而得的,则有: 3135=42512⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭; 答:输入的数可能是512或2512. 【点拨】本题主要考查分数的混合运算,熟练掌握分数的混合运算是解题的关键. 举一反三:【变式1】李海在自学了简单的电脑编程后,设计了如图所示的程序,他若输入的数是2,那么执行了程序后,输出的数是多少?若开始输的是-4呢?【答案】若输入的数是2,则输出的数是-558;若输入的数是-4,则输出的数是-108.【分析】根据题意,把2输入,得(2 - 8)×9= - 54,其绝对值小于100,所以再把- 54从头输入,计算输出的数.根据题意,把- 4输入,得(- 4 - 8)×9= - 108,其绝对值大于100,所以- 108就是输出的数.解:把2输入,得(2 - 8)×9= - 54,①| - 54|<100,①再把- 54从头输入,得(- 54 - 8)×9= - 558,①| - 558|>100,①输出- 558.若输入的数是-4,得到(- 4 - 8)×9= - 12×9= - 108,因为| - 108|>100,①输出- 108.答:若输入的数是2,则输出的数是-558;若输入的数是-4,则输出的数是-108.【点拨】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式2】如图,按程序框图中的顺序计算,当运算结果小于或等于100时,则将此时的值返回第一步重新运箅,直至运算结果大于100才输出最后的结果.若输入的初始值为1,则最后输出的结果是多少?【答案】256【分析】把1代入依次计算,当结果大于100时输出.解:1×12÷(-14)= - 2<100;- 2×12÷(-14)=4<100;4×12÷(-14)= - 8<100;- 8×12÷(-14)=16<100;16×12÷(-14)= - 32<100;- 32×12÷(-14)=64<100;64×12÷(-14)= - 128<100;- 128×12÷(-14)=256>100;故输出为256.【点拨】本题考查循环结构,通过运算规则求解最后运算结果,是算法中一种常见的题型.类型九、“24”点运算9、暖羊羊有5张写着不同数字的卡片,请你按要求选择卡片,完成下列各问题:(1)从中选择两张卡片,使这两张卡片上数字的乘积最大.这两张卡片上的数字分别是,积为_.(2)从中选择两张卡片,使这两张卡片上数字相除的商最小.这两张卡片上的数字分别是,商为.(3)从中选择4张卡片,每张卡片上的数字只能用一次,选择加、减、乘、除中的适当方法(可加括号),使其运算结果为24,写出运算式子.(写出一种即可)【答案】(1)-5和-3,15 ;(2) -5和+3,53-;(3)3[5(3)]0-⨯--++(答案不唯一)【分析】(1)要想乘积最大,必须积为正数才有最大值,也就是必须选择同号的两个数相乘,然后取积最大的两个卡片即可.(2)要想商最小,必须商为负数才最小值,也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值,然后选择商最小的两个卡片即可.(3)把24分解因数,可得到2×12=24,3×8=24,4×6=24,然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.解:(1)要想乘积最大,必须积为正数才有最大值,选择同号的两个数相乘则有(+3)×(+4)=12,(- 5)×(- 3)=15积最大为15,所以选择卡片- 5和卡片- 3(2) 要想商最小,必须商为负数才最小值,选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.则有( - 5)÷3=53-,( - 5)÷4=54-,4÷(- 3)=43-商最小为53-,所选择卡片- 5和卡片+3(3) 把24分解因数,可得到2×12=24,3×8=24,4×6=24等形式.当2×12=24时,2=(- 3)-(- 5),12=3×4则[( - 3) - ( - 5)]×3×4=12故选择卡片数字为:- 3,- 5,+3,+4当3×8=24时,可得- 3×(- 8)=24,则- 8=(- 5)- 3则- 3×[( - 5) - 3]=24.同理可继续推导.故答案为(1)-5和-3,15 ;(2) -5和+353-;(3)3[5(3)]0-⨯--++(答案不唯一)【点拨】本题综合性的考察了有理数的计算,因为正数大于负数,所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择,两数商最小值,只有在负数里面选择.举一反三:【变式1】做游戏:24点游戏是利用扑克牌中的52张(去掉大王、小王),任意抽取4张,利用混合运算,可以是加、减、乘、除法,也可以是乘方(底数、指数均是这4个数之中的),只要结果得到24即可.(每个数都要用且只能用一次)【答案】[5÷(- 5)+9]×3=24.(答案不唯一)【分析】假设抽取的4张扑克:黑桃3,梅花5,红桃5,黑桃9;首先用5除以- 5,构造出- 1;然后用- 1加上9,构造出8,再用8乘3,即可使其结果等于24.解:解:抽取的4张扑克:黑桃3,梅花5,红桃5,黑桃9.[5÷(- 5)+9]×3=24.故答案为:[5÷(- 5)+9]×3=24.(答案不唯一)【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.【变式2】如图,现有5张写着不同数的卡片,请按要求完成下列问题:(1)从中任选2张卡片,使这2张卡片上的数的乘积最大,则该乘积的最大值是多少? (2)从中任选4张卡片,用卡片上的数和加、减、乘、除四则运算(可用括号,每个数都要用且只能用一次)列出两个不同的算式(每个算式可选用不同的卡片),使其计算结果为24.【答案】(1)18;(2)()()536324⨯----=(答案不唯一) 【分析】(1)观察这五个数,要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数,所以选−6和−3; (2)根据有理数的混合运算即可求解. 解:解:(1)依题意选−6和−3 (−6)×(−3)=18, ①此时乘积的最大值为18;(2)答案不唯一:如()()536324⨯----=;()()336524----⨯=.【点拨】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算,先给你数,让你列混合运算的式子,所以学生平时要培养自己的逆向思维能力. 类型十、含乘方的有理数运算10、计算:43116(2)31-+÷-⨯--. 【答案】 - 9.【分析】原式先计算乘方及绝对值运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.解:原式()11684189=-+÷-⨯=--=-.【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 举一反三: 【变式1】计算:(1)(-1)2×5+(-2)3÷4; (2)52()83-⨯24+14÷3(12)-+|-22|【答案】(1)3;(2)19 【解析】试题分析:(1)按照先算乘方,再算乘除,后算加减的顺序计算;(2)按照先算乘方,再算乘除,后算加减的顺序计算,522483⎛⎫-⨯⎪⎝⎭部分可按照乘法分配律计算. 解:(1)(-1)2×5+(-2)3÷4=1×5+( - 8) ×14=5 - 2 =3 ;(2)3521124228342⎛⎫⎛⎫-⨯+÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =52112424228348⎛⎫⨯-⨯+÷-+ ⎪⎝⎭=()115168224-+⨯-+ =15 - 16 - 2+22 =19.【变式2】计算:()()213142--+÷-⨯.【答案】 - 5【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案.解:()()213142--+÷-⨯()1932=+÷-⨯ 132=-⨯()16=+-5=-.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,掌握运算法则是解决本题的关键. 类型十一、计算器 - 有理数11、用计算器求下列各式的值:(1)24.12×2+3.452×4.2;(精确到0.1);(2)(2.42- 1.32)×3.1+4.13;(精确到0.01)【答案】(1)1161.62;(2)81.538.【解析】试题分析:先计算,再四舍五入.≈.(1) 24.12×2+3.452×4.2= 1211.61051211.6≈(2) (2.42 - 1.32)×3.1+4.13=81.53881.54举一反三:【变式1】利用计算器计算( - 8.9)×( - 11.2)【答案】99.68【解析】试题分析:利用计算器计算即可,注意按键顺序.试题解析:先输入—8.9,然后输入乘号,最后输入—11.2,即可得答案是99.68.【变式2】有一张厚度是0.1mm的纸,假设我们能将它连续对折30次,这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔(8844.43m)吗?请用计数器帮你得出答案.【答案】能,107374.1824m【分析】每对折一次即扩大1倍,对折30次相当于扩大230倍.解:0.1×230=107374182.4mm=107374.1824m>8845m.答:将一张厚度是0.1mm的纸,连续对折30次后,它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔高度(8845米)【点拨】此题考查计算器—有理数,解题关键在于熟练运用计算器.。

2.11有理数的乘方例题与讲解

2.11有理数的乘方例题与讲解

2.11 有理数的乘方1.有理数乘方的概念(1)乘方的意义:一般地,n 个相同的因数a 相乘:,记作a n ,即=a n ,这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在a n 中,a 叫做底数,n 叫做指数,a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂).(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义,需要注意的几个方面:①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算,其结果叫做幂.由此不难发现,乘方具有双重含义:一是乘方表示一种运算;二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果.如25中,25可以看成一种运算,表示有5个2相乘,即25=2×2×2×2×2,这时,25应读作2的五次方;另一方面,25又可看成5个2相乘的结果,即2×2×2×2×2=25,这时25却读作2的5次幂;②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范,不然会引起误会.当底数是负数或分数时,一定要记住添上括号,以体现底数是负数或分数的整体性.如(-3)×(-3)×(-3)×(-3)应记作(-3)4,不能记作-34.(-3)4与-34表示的意义和结果完全不同.前者表示4个-3相乘,结果为81;后者为4个3相乘的积的相反数,结果为-81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝⎛⎭⎫546,不能记作564; ③一个数可以看成这个数本身的一次方,如3就是31,a 就是a 1,只是指数1通常省略不写;④a n 与-a n 的区别:ⅰ.a n 表示n 个a 相乘,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方.ⅱ.-a n 表示n 个a 乘积的相反数,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方的相反数.如:(-3)3底数是-3,指数是3,读作-3的3次方,表示3个-3相乘,(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27.-33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.-33=-(3×3×3)=-27.所以(-3)3与-33的结果虽然都是-27,但表示的含义并不同. ⑤注意乘方运算的转化.计算乘方运算的结果时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成.如计算(-5)3时,应将它转化为计算(-5)×(-5)×(-5)的积;再如计算⎝⎛⎭⎫124时,应将它转化为计算12×12×12×12的积. 【例1】 把下列各式写成乘方的形式,并指出底数,指数各是什么?(1)(-8.3)×(-8.3)×(-8.3)×(-8.3)×(-8.3);(2)25×25×25×25; (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a ).分析:以上三题都是相同因数相乘,可用乘方的形式表示,相同因数为底数,相同因数的个数为指数,指数写在右上角.解:(1)(-8.3)×(-8.3)×(-8.3)×(-8.3)×(-8.3)=(-8.3)5;(2)25×25×25×25=⎝⎛⎭⎫254; (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )=a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时,写成乘方的形式时,底数一定要加上括号,如(1),(2)两题.2.乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则:①正数的任何次幂是正数;②负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;③0的任何次幂等于0;1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化,关于乘方有如下几个性质:①0的任何正整数次幂都是0;互为相反数的偶次幂相等;互为相反数的奇次幂互为相反数.如0n =0(n 是正整数);(-4)6=46;(-4)3=-43.②进行乘方运算时与其他运算一样,先要确定符号,再计算出绝对值,同时还应注意(-a )2n =a 2n ,(-a )2n +1=-a 2n +1(n 是正整数),由乘方的法则我们还知道:a 2n ≥0,即任何有理数的偶次幂是非负数.谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于:一底数的符号,二指数的奇偶.【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算:(1)(-3)2;(2)1.53;(3)⎝⎛⎭⎫-434;(4)(-1)11; (5)(-1)2;(6)(-1)2n ;(7)(-1)2n -1.分析:根据有理数乘方的符号法则:(2)正数的任何次幂都是正数,(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂,结果为正;(4)(7)是负数的奇次幂,结果为负.解:(1)(-3)2=3×3=9;(2)1.53=1.5×1.5×1.5=3.375;(3)⎝⎛⎭⎫-434=43×43×43×43=25681; (4)(-1)11=-1;(5)(-1)2=1;(6)(-1)2n =1;(7)(-1)2n -1=-1.3.有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路:确定幂的符号;确定幂的绝对值.有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算,幂是乘方运算的结果. 因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算,先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号,再根据乘方的意义把乘方转化为乘法,来运算幂的绝对值,最后得出幂的结果.例如计算(-5)3,先确定幂的符号为“-”号,再计算53=125,即(-5)3=-125;再如,计算(-2)×32时,先算32=9,再算(-2)×9=-18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提,千万不能把底数与指数直接相乘. 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数,以及符号问题,避免出错.【例3-1】 计算:(1)-33;(2)(-2)2;(3)(-3×2)3;(4)-(-2)3.分析:运算时,先确定符号,再计算乘方.(1)负号在幂的前面,结果是负数;(2)负数的偶次幂,结果是正数;(3)先计算底数-3×2=-6,再计算(-6)3;(4)先计算(-2)3,其结果是负数,再加上前面的负号,最后结果是正数.解:(1)-33=-(3×3×3)=-27;(2)(-2)2=4;(3)(-3×2)3=(-6)3=-216;(4)-(-2)3=-(-8)=8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时,一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误.如-33=-(3×3)=-9,这是由于没有理解乘方的意义导致的.【例3-2】计算(-0.25)10×412的值.分析:直接求(-0.25)10和412比较麻烦,但仔细观察可以发现(-0.25)10=0.2510,表示10个0.25相乘,而412表示12个4相乘,这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律,比较容易求出结果.解:(-0.25)10×412=(0.25)10×412=[(0.25)10×410]×42=(0.25×4)10×42=1×16=16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用,给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便.现代高科技技术离不开数学技术,数学也是一门神奇的艺术,它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇!比如,一层楼高约3米,一张纸的厚度只有0.1毫米,0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计,如果我们将纸对折、再对折,如此这样对折20次后,其厚度将比30层楼房还要高,这就是有理数乘方的神奇魔力,在现实生活中有着很广泛的应用.数学是一门规律性很强的学科,只要掌握了它的规律,很多问题都可以迎刃而解了,乘方的规律也不例外.同学们要认真思考,仔细观察找到有理数乘方应用的规律.【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店,今天开张,做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传,当众拉起了拉面.他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩,吃面的人更是络绎不绝.张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条,把两头捏起来拉长,然后再把两头捏起来拉长,不断地这样,张师傅共拉了10次,在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条.算一算:张师傅拉10次共拉出了多少根细面条?若拉n次呢?(请把探索的结果填入下表中)分析:第一次拉出2=2根,第二次拉出2=4根,第三次拉出2=8根,所以第n次拉出2n根.解:拉面的根数与拉面的次数n有关系,拉面的根数=2n.面条根数248163264...2 (2)5.与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点,渗透多个知识点,形式多样.解题时,一般遵循从特殊到一般的探究思路,先准确计算几个特例的结果,再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论,最后再应用这个结论解决问题.由于乘方是一种新运算,它是一种特殊的乘法,特殊在因数相同,是同学们新接触的运算,所以解决问题时要注意,当底数是分数或负数时,写成幂时底数要加括号.与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种:(1)个位数字是几,在中考中经常涉及到,例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1,…依次循环;(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等,都利用2n 或⎝⎛⎭⎫12n 求解.【例5-1】 有一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米.(1)对折2次后,厚度为多少毫米?(2)对折20次后,厚度为多少毫米? 分析:此题的关键是将纸的层数化为幂的形式,找出对应关系.根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1=22×0.1毫米,对折3次后厚度变为8×0.1=23×0.1毫米,对折4次是16×0.1=24×0.1毫米,对折5次是32×0.1=25×0.1毫米,……,从中探寻规律,解答问题.解:(1)0.1×22=0.4(毫米).(2)(220×0.1)毫米.【例5-2】 1米长的小棒,第1次截去一半,第2次截去剩下的一半,如此截下去,第7次后剩下的小棒有多少米长?分析:此题的关键是找出每次截完后,剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系.解:第7次后剩下的小棒有⎝⎛⎭⎫127×1=1128(米).。

《有理数的乘方》典型例题

《有理数的乘方》典型例题

《有理数的乘方》典型例题例1 计算: (1)4)3(-;(2)3)8(-;(3)4)31(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值.解 (1).81)3()3()3()3()3(4=-⨯-⨯-⨯-=-(2).512)8()8()8()8(3-=-⨯-⨯-=-(3).811)31()31()31()31()31(4=-⨯-⨯-⨯-=- 说明:(1)4)3(-不能写成43-或(-3)×4,同理3)8(-和4)31(-也不能如此书写;(2)观察该题可以发现负数的乘方,当指数是偶数时其乘方的值为正,当指数为奇数时其乘方的值为负.由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号,再计算正数的乘方.例2 计算:(1)3)7(--;(2)45.0-|分析 (1)中只要求出3)7(-,就可求出3)7(--;(2)中需注意的是44)5.0(5.0-≠-.解 (1)3437)7()7(333==--=-- (2)0625.05.04=-例3 计算12104)25.0(⨯-的值.分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦,但细观察可以发现个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(⨯⨯⨯=⨯⨯==-.这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了.解 12104)25.0(⨯-1210425.0⨯=个个1210444 25.025.025.0⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=)44( )425.0()425.0()425.0(10⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个16 11110⨯⨯⨯⨯=个|.16=说明: 当发现一个题算起来比较麻烦时,我们就应该细观察、多动脑,尽可能找出简便的方法来.例4 选择题:(1)在绝对值小于100的整数中,可以写成整数平方的数共( )个.A .18B .19C .10D .9(2)在绝对值小于100的整数中,可以写成整数立方的数共有( )个.A .7B .8C .10D .12分析 (1)绝对值小于100的整数共199个;0,±1,±2,…,±99,由于任何整数的平方都是非负数,所以满足题意的数应在0,1,…,99中寻找.819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========,而100102=(不合题意),所以共计10个数.(2)负整数的立方仍然是负数,且可以看做与正数的立方是成对的,比如有6443=,就有64)4(3-=-,只有03是个特殊情况,因此,在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数.解 (1)选C (2)选A .说明:(1)从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道,负数不可能等于某个有理数的偶数次幂,但可能是某个负数的奇数次幂.(2)第(2)问还可以怎样给出呢如果把其中的“D ”改为13个,你又怎样解出呢要学会给自己提出问题,要学会经常与同学一起研究问题.。

有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)

有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1:有理数的乘方的概念和计算】1. 定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).即有:na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中,a叫做底数, n叫做指数.2. 有理数的乘方特点(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.3.符号法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,如a n≥0.【知识点1:有理数的乘方的概念和计算 练习】1. 比较(﹣4)3和﹣43,下列说法正确的是( ) A . 它们底数相同,指数也相同 B . 它们底数相同,但指数不相同C . 它们所表示的意义相同,但运算结果不相同D . 虽然它们底数不同,但运算结果相同 2. 下列说法中,正确的是( ).A .一个数的平方一定大于这个数B .一个数的平方一定是正数C .一个数的平方一定小于这个数D .一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数,那么这个数是( ) A .1B .0C .1或0D .1或1-4. 计算()23-的结果是( ) A .9-B .9C .6-D .65. 下列说法正确的是( ) A .-23的底数是2- B .23读作:2的3次方 C .27的指数是0 D .负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020=( ) A .1B .﹣1C .2020D .﹣20207. 对于式子(-2)3,下列说法不正确的是:( ) A .指数是3B .底数是2-C .幂为6-D .表示3个2-相乘8. 下列各组数中,互为相反数的有( )①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A .④B .①②C .①②④D .①③④9. 下列每对数中,相等的一对是( ) A .(-1)3和-13 B .-(-1)2和12 C .(-1)4和-14D .-|-13|和-(-1)310. 下列各组数中互为相反数的是( ) A .2与0.5B .(-1)2与1C .-1与(-1)2D .2与|-2|11. 下列各组数中,结果相等的是( ) A .52与25 B .﹣22与(﹣2)2 C .﹣24与(﹣2)4 D .(﹣1)2与(﹣1)2012. 下列运算中错误的是( ) A .(-2)4=16 B .233=827 C .(-3)3=-27 D .(-1)104=113. 式子−435的意义是( ).A . 4与5商的立方的相反数B .4的立方与5的商的相反数C .4的立方的相反数除5D .−45的立方 14. (﹣1)2016的值是( ) A .1 B .﹣1 C .2016 D .﹣2016 15. 下列说法中,正确的个数为( ).①对于任何有理数m ,都有m 2>0; ②对于任何有理数m ,都有m 2=(-m)2;③对于任何有理数m 、n(m≠n),都有(m -n)2>0; ④对于任何有理数m ,都有m 3=(-m)3. A .1 B .2C .3D .016. 在(-2)4中,指数是________,底数是________,在-23中,指数是________,底数是________,在235中底数是________,指数是________. 17. 计算:﹣(﹣3)2= .18. -(-3)= ;-25= ;−(−13)3= ;225= .19. -[-(-3)]3= .20. 已知a <2,且|a-2|=4,则a 3的倒数的相反数是 .【知识点:有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.2.在运算过程中注意运算律的运用.【知识点:有理数的混合运算 练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3=( )A .-2B .- 1C .0D .22. 计算(﹣2)2015+(﹣2)2014所得的结果是( ) A .﹣2 B.2 C .﹣22014D . 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0,则(a −b)2020的值是( ) A .-1B .1C .0D .20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100=( ) A .223300B .333300C .443300D .4333005. 计算(-2)2009+3×(-2)2008的值为( ) A .-22008B .22008C .(-2)2009D .5×220086. 计算−32×(−13)2−(−2)3÷(−12)2的结果是( ). A .-33 B .-31 C .31 D .337. 如果()()01122=-++b a ,那么()2a b -的值为( ) .A .0B .4C .-4D .28. 已知n 表示正整数,则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是 ( )A .0B .1C .0或1D .无法确定,随n 的不同而不同9. 若a ,b ,c 均为整数,且20212020||||1a b c a -+-=,则||||||a c c b b a -+-+-的值为( )A .2B .3C .2020D .202110. 设三个互不相等的实数,既可表示为1,,a b a +的形式,又可表示为0,,bb a的形式,则20192020a b +的值是( ) A .0 B .1- C .1D .211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0,且m +2n =0,则−(n m )2= . 12. 看过西游记的同学都知道:孙悟空会分身术,他摇身一变就变成2个悟空;这两个悟空摇身一变,共变成4个悟空;这4个悟空再变,又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次,那么会有 个孙悟空. 13. 若|a +1|+(b -2)2=0,则(a +b )2+a 2003= . 14. 如图是一个计算程序,若输入的值为﹣1,则输出的结果应为 .15. 阅读材料:①1的任何次幂都等于1;②﹣1的奇数次幂都等于﹣1;③﹣1的偶数次幂都等于1;④任何不等于零的数的零次幂都等于1,试根据以上材料探索使等式(2x+3)x+2016=1成立的x 的值为 . 16. 计算:(1)4×(﹣12−34+2.5)×3﹣|﹣6|;(2)(﹣1)3×(﹣12)÷[(﹣4)2+2×(﹣5)].17. 计算:(1)-14-(1-0.5)×13-[2-(-3)2](2)(-2)4÷(-4)×(12)2-1218. 计算:(1)-81÷214-(-94)÷(-16) (2)-15-213+415÷(-3)×(-521)(3)(-2)3×214+(-32)2÷(-12)3 (4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)(5)(-1)5-[-3×(-23)2-113÷(-2)2]19.用简便方法计算:(1)(35−12−712)×(60×37−60×17+60×57)(2)[113×(1-14)2-(-112)2×316]×(-513)20.某种细菌在培养过程中,每半个小时分裂一次(由1个分裂成2个).若经过4小时,100个这样的细菌可分裂成多少个?a⨯的形式(其中a是整数数位只有一位的数,1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|<10,n是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如:42000000=4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示,“-”照写,其它与正数一样,如:-3000=-3×103;3.把一个数写成a×10n形式时,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少1.【知识点:科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示,2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元,将这个数据用科学记数法表示为( )A.9×1013元B.9×1012元C.90×1012万元D.9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据,本市常住人口760.57万人,其中760.57万人用科学记数法表示为()A.7.6057×105人 B.7.6057×106人C.7.6057×107人 D.0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107,结果用科学记数法表示为()A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次,将16000000用科学记数法表示是____________.5.用科学记数法表示:(1)3870000000;(2)3000亿;(3)-287.6.(1)___________(2)________(3)___________1.探索规律的一般方法:(1)从具体的,实际的问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律;(2)由此及彼,合理联想;(3)善于类比,从不同事物中发现其相似或相同点;(4)总结规律,大胆猜想,做出结论,并验证结论正确与否;S(5)在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,收到事半功倍的效果。

第三讲六年级有理数的乘方

第三讲六年级有理数的乘方

第三讲 有理数的乘方【知识网络】1.234⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数乘方的意义.有理数乘方运算有理数的乘方.科学计数法.加减乘除与乘方的综合运算模块一:有理数乘方的意义【引例】1.从前,有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。

他想,天天要饭太辛苦,如果我第一天吃这块面包的一半,第二天再吃剩余面包的一半,……依次每天都吃前一天剩余面包的一半,照这样下去,我就永远不用那么辛苦去要饭啦,哈哈哈……请想想看,如果把整块面包看成整体“1”,那第三天将吃到面包的 ,那第五天呢?2.拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复多次,就能把这根很粗的面条,拉成许多很细的面条。

请想想看,捏合 次后,可以拉出8根面条;捏合 次后,就可以拉出32根面条。

【知识导航】1.乘方的概念:一般地,n 个相同的因数a 相乘,即:n a a a a ⨯⨯⨯个…14444244443,记作na ,读作a 的n 次方。

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方。

2.乘方的结果叫做幂(power );在na 中,a 叫做底数(base number ),n 叫做指数(exponent )。

【典型例题】例1.(1)底数是a,指数是4的幂写作 ,结果是.(2)m 3的意义是 ,3m(m 为正整数)的意义是 .a m (m 为正整数)的意义是 .(3)5个x 相加写成 , 5个x 相乘可写成 。

例2.边长为a 的正方形的面积列式是a a ⨯,即 (幂的形式);棱长为a 的正方体的体积列式是 ,即 (幂的形式)。

当a=4cm 时,该正方体的体积是 (幂的形式)。

例3.判断下列说法是否正确,并说明理由。

(1)a 个k 相乘写作a k 。

( )(2)4个-5相乘写作-54。

( )例4.把下列式子写成幂的形式。

(1)1×1×1×1×1×1×1= ;(2)2.3×2.3×2.3×2.3 ×2.3= ;(3)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)= ; (4) = (5)2013m m m ⨯⨯⨯个m…1444442444443 = .例5.在例4中,题(3)的计算结果是 (填正数或负数);题(5)中,若m>0,计算结果是 (填正数或负数);若m<0,计算结果是 (填正数或负数)。

有理数的乘方(4种题型)(解析版)

有理数的乘方(4种题型)(解析版)

有理数的乘方(4种题型)【知识梳理】一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂。

a 叫底数,n 叫指数,na 读作:a 的n 次幂(a 的n 次方)。

2、乘方的意义:n a 表示n 个a 相乘。

n a n a a a a a =⨯⨯⨯⨯ 个 3、写法的注意:当底数是负数或分数时,底数一定要打括号,不然意义就全变了.4、n a 与-na 的区别.(1)n a 表示n 个a 相乘,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方.如:3)2(−底数是2−,指数是3,读作(-2)的3次方,表示3个(-2)相乘. 3)2(−=(-2)×(-2)×(-2)=-8.32−底数是2,指数是3,读作2的3次方的相反数.32−=-(2×2×2)=-8. 注:3)2(−与32−的结果虽然都是-8,但表示的含义并不同。

5、乘方运算的符号规律. (1)正数的任何次幂都是正数.(2)负数的奇次幂是负数.(3)负数的偶次幂是正数.(4)0的奇数次幂,偶次幂都是0.所以,任何数的偶次幂都是正数或0。

二、有理数的混合运算1、有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的,再算括号外面的。

2、括号前带负号,去掉括号后括号内各项要变号,即a+−b−)(a−=+bab(,ba−−)=−三.科学记数法—表示较大的数(1)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】(2)规律方法总结:①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.【考点剖析】一.有理数的乘方(共11小题)1.(2022秋•南浔区期末)下列各组数中,运算结果相等的是()A.(﹣5)3与﹣53B.23与32C.﹣22与(﹣2)2D.与【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可.【解答】解:A、(﹣5)3=﹣125,﹣53=﹣125,故相等,符合题意;B、23=8,32=9,故不相等,不符合题意;C、﹣22=﹣4,(﹣2)2=4,故不相等,不符合题意;D、,,故不相等,不符合题意;故选:A.【点评】本题考查了有理数的乘方,关键是掌握有理数的乘方的意义.2.(2022秋•苍南县期中)把写成幂的形式是.【分析】根据有理数的乘方得出结论即可.【解答】解:=()5,故答案为:()5.【点评】本题主要考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键.3.(2022秋•柯桥区月考)如果a,b,c是整数,且a c=b,那么我们规定一种记号(a,b)=c,例如32=9,那么记作(3,9)=2,根据以上规定,求(﹣3,﹣27)=.【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式,利用有理数乘方的意义解答即可.【解答】解:设(﹣3,﹣27)=x,∵ac=b,那么我们规定一种记号(a,b)=c,∴(﹣3)x=﹣27.∵(﹣3)3=﹣27,∴x=3.故答案为:3.【点评】本题主要考查了有理数的乘方,本题是新定义型题目,理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键.4.(2023•西湖区校级二模)﹣33=()A.﹣9B.9C.﹣27D.27【分析】运用乘方知识进行计算、求解.【解答】解:﹣33=﹣27,故选:C.【点评】此题考查了实数的立方运算能力,关键是能准确理解并运用该知识进行计算.5.(2022秋•青田县期末)一张纸的厚度为0.09mm,假设连续对折始终都是可能的,那么至少对折n次后,所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本.则n的值为()A.5B.6C.7D.8【分析】一张纸的厚度为0.09mm,对折1次后纸的厚度为0.09×2mm;对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm;对折3次后纸的厚度为0.09×23mm;对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm,据此列出不等式,求出n的取值范围即可.【解答】解:∵折一次厚度变成这张纸的2倍,折两次厚度变成这张纸的22倍,折三次厚度变成这张纸的23倍,折n次厚度变成这张纸的2n倍,设对折n次后纸的厚度超过9mm,则0.09×2n>9,解得2n>100.而26<100<27.∴n为7.故选:C.【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力,乘方是乘法的特征,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行,乘方的意义就是多少个某个数字的乘积.6.(2022秋•文成县期中)下面的计算错在哪里?指出错误步骤的序号,并给出正确的解答过程.﹣3=……①=9÷1……②=9……③错误步骤的序号:;正确解答:;【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断,并计算便可.【解答】解:∵﹣32=﹣9,∴步骤①错误;正确的解答如下:﹣3=﹣9÷(﹣8)×=﹣9×=﹣.故答案为:①;﹣.【点评】本题考查了有理数的乘除法,关键是熟记运算法则与运算顺序.7.(2019秋•萧山区期中)计算:23=.【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解:23=8.故答案为:8.【点评】本题主要考查有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方的定义.8.(2020秋•义乌市校级月考)定义:如果10b=n,那么称b为n的劳格数,记为b=d(n).(1)根据劳格数的定义,可知:d(10)=1,d(102)=2,那么:d(103)=.(2)劳格数有如下运算性质:若m,n为正数,则d(mn)=d(m)+d(n);d()=d(m)﹣d(n).若d(3)=0.48,d(4)=0.6,根据运算性质,填空:d(12)=,d()=,d()=.【分析】(1)根据劳格数的定义,可知:d(103)求得是10b=103中的b值;(2)由劳格数的运算性质可知,两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和;两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差,据此可解.【解答】解:(1)根据劳格数的定义,可知:d(103)=3;故答案为:3.(2)由劳格数的运算性质:若d(3)=0.48,d(4)=0.6,则d(12)=d(3)+d(4)=0.48+0.6=1.08,则d()=d(3)﹣d(4)=0.48﹣0.6=﹣0.12,∵d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=0.6,∴d(2)=0.3,d()=d(9)﹣d(2)=d(3×3)﹣d(2)=d(3)+d(3)﹣d(2)=0.48+0.48−0.3=0.66,故答案为:1.08,﹣0.12,0.66.【点评】本题考查了有理数的乘方,定义新运算,读懂题中的定义及运算法则是解题的关键.9.(2021秋•吴兴区期中)已知三个互不相等有理数a,b,c,既可以表示为1,a,a+b的形式,又可以表示为0,,b的形式,则a2020b2021值是.【分析】由有意义,则a≠0,则应有a+b=0,=﹣1,故只能b=1,a=﹣1了,再代入代数式求解.【解答】解:因为三个互不相等的有理数1,a,a+b分别与0,,b对应相等,为有理数,∴a≠0,a+b=0,∴=﹣1,b=1,∴a=﹣1,∴a2020b2021=(﹣1)2020×12021=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查了实数的运算,属于探索性题目,关键是根据已知条件求出未知数的值再计算.10.(2020秋•吴兴区校级期中)请你研究以下分析过程,并尝试完成下列问题.13=1213+23=9=32=(1+2)213+23+33=36=62=(1+2+3)213+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2(1)13+23+33+ (103)(2)13+23+33+ (203)(3)13+23+33+…+n3=(4)计算:113+123+133+…3的值.【分析】根据已知一系列等式,得出一般性规律,计算即可得到结果.【解答】解:(1)13+23+33+…+103=3025;(2)13+23+33+…+203=44100;(3)13+23+33+…+n3=;(4)113+123+133+…+203=44100﹣3025=41075.故答案为:(1)3025;(2)44100;(3);(4)41075.【点评】此题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解本题的关键.11.(2020秋•萧山区期中)阅读下列各式:(a•b)2=a2b2,(a•b)3=a3b3,(a•b)4=a4b4….回答下列三个问题:①验证:(2×)100=,2100×()100=;②通过上述验证,归纳得出:(a•b)n=;(a•b•c)n=;③请应用上述性质计算:(﹣0.125)2019×22018×42017.【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题.②通过猜想归纳解决此题.③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题.【解答】解:①=1100=1,==1.故答案为:1,1.②(a•b)n=anbn,(a•b•c)n=anbncn.故答案为:anbn,anbncn.③(﹣0.125)2019×22018×42017=×22018×42017====.【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方,熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键.二.非负数的性质:偶次方(共5小题)12.(2022秋•丽水期中)已知a,b满足|a+3|+(b﹣2)2=0,则a+b的值为()A.1B.5C.﹣1D.﹣5【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a,b的值,进而得出答案.【解答】解:∵|a+3|+(b﹣2)2=0,∴a+3=0,b﹣2=0,解得:a=﹣3,b=2,故a+b=﹣3+2=﹣1.故选:C.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出a,b的值是解题关键.13.(2022秋•青田县期中)若|m+1|+(n﹣3)2=0,则m n的值为()A.1B.﹣1C.3D.﹣3【分析】利用非负数的性质求出m与n的值,代入所求式子计算即可得到结果.【解答】解:∵|m+1|+(n﹣3)2=0,|m+1|≥0,(n﹣3)2≥0,∴m+1=0,n﹣3=0,即m=﹣1,n=3,则mn=(﹣1)3=﹣1.故选:B.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出m,n的值是解题关键.14.(2021秋•兰山区校级月考)若|x﹣2|+(y+3)2=0,则y x=.【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值,再将它们代入yx中求解即可.【解答】解:∵x、y满足|x﹣2|+(y+3)2=0,∴x﹣2=0,x=2;y+3=0,y=﹣3;则yx=(﹣3)2=9.故答案为:9.【点评】本题考查了非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.15.(2022秋•兰溪市期中)已知(a﹣2)2与|b+1|互为相反数,求(a﹣b)a+b的值.【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题.【解答】解:由题意得:(a﹣2)2+|b+1|=0.∵(a﹣2)2≥0,|b+1|≥0,∴a﹣2=0,b+1=0.∴a=2,b=﹣1.∴(a﹣b)a+b=[2﹣(﹣1)]2+(﹣1)=31=3.【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方,熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键.16.(2022秋•衢州期中)已知,则(ab)2022=.【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可.【解答】解:∵,∴,b+2=0,∴,b=﹣2,∴,故答案为:1.【点评】本题考查了非负数的性质:根据几个非负数的和等于零,则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键.三.科学记数法—表示较大的数(共9小题)17.(2022秋•临海市期末)我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人,用科学记数法表示该数为.【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.【解答】解:4400000000=4.4×109,故答案为:4.4×109.【点评】本题考查了科学记数法的表示方法,用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,解题的关键是要正确确定a和n的值.18.(2023•杭州)杭州奥体中心体育场又称“大莲花”,里面有80800个座位.数据80800用科学记数法表示为()A.8.8×104B.8.08×104C.8.8×105D.8.08×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:80800=8.08×104,故选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.19.(2023•路桥区校级二模)2022年12月28日,台州市域铁路S1线开通运营,标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里,总投资约228.19亿元,是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道.其中数据228.19亿用科学记数法表示为()A.0.22819×1010B.0.22819×1011C.2.2819×1010D.2.2819×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:228.19亿=22819000000=2.2819×1010.故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.20.(2023•郧阳区模拟)2022年5月10日凌晨,长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空,在距地面390000米的高度,与空间站完成自主交会对接任务.390000用科学记数法表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:390000=3.9×105.故答案为:3.9×105.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a n的值.21.(2022秋•拱墅区月考)北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术.可根据不同项目分区域、分标准制冰.将数据12000用科学记数法表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:12000=1.2×104.故答案为:1.2×104.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键.22.(2023•余姚市二模)中国空间站2022年建成,轨道高度为400~450千米.“450千米”用科学记数法表示是()A.4.5×105米B.0.45×107米C.45×105米D.4.5×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数,当原数绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:“450千米”等于“450000米”,用科学记数法表示是4.5×105米.故选:A.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.23.(2021秋•越城区校级月考)一次自然灾害导致大约20万人受困,急需准备一批帐篷和粮食进行援助.估计每顶帐篷可以住10人,平均每人每天需要粮食0.4千克,共维持15天,那么有关部门需要筹集多少顶帐篷?多少吨粮食?(结果用科学记数法表示)【分析】根据题意列式计算,并用科学记数法表示结果即可.【解答】解:根据题意得:20万=200000,所以有关部门需要筹集200000÷10=20000(顶)帐篷,即2×104顶帐篷;需要筹集200000×0.4×15=1200000(千克)粮食,1200000千克=1200吨即1200=1.2×103吨粮食.a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.24.(2022秋•慈溪市期中)在宇宙之中,光速是目前知道的最快的速度,可以达到3×108m/s,如果我们用光速行驶3.6×103s,请问我们行驶的路程为多少m?【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:3×108×3.6×103=3×3.6×108×103=10.8×1011=1.08×1012(m).答:行驶的路程为1.08×1012m.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.25.(2022秋•永嘉县校级月考)已知一个U盘的名义内存为10GB,平均每个视频的内存为512MB,平均每首音乐的内存为10.24MB,平均每篇文章的内存为10.24KB.现该U盘已存16个视频,50首音乐.若该U盘的内存的实际利用率为90%,求还可以存文章的最多篇数(用科学记数法表示).(注:已知1GB =1024MB,1MB=1024KB)【分析】根据题意列式求解,最后化成科学记数法.【解答】解:(10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024)÷10.24=5.12×104,答:还可以存文章的最多篇数是5.12×104.【点评】本题考查了科学记数法,掌握科学记数法的形式是解题的关键.四.科学记数法—原数(共1小题)26.(2021秋•平阳县期中)用科学记数法表示的数为4.315×103,这个数原来是()A.4315B.431.5C.43.15D.4.315【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数.【解答】解:用科学记数法表示的数为4.315×103,这个数原来是4315,故选:A.【点评】本题主要考查科学记数法—原数,科学记数法a×10n表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.若科学记数法表示较小的数a×10﹣n,还原为原来的数,需要把a的小数点向左移动n位得到原数.【过关检测】一、单选题1.(2023·浙江·七年级假期作业)()23−的相反数为()A.3−B.3C.9−D.9【答案】C【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案.【详解】解:()239−=,根据相反数的定义可知:9的相反数是9−.故选:C.【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号;正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.2.(2022秋·浙江·七年级期末)32的意义是( ) A .2×3 B .2+3 C .2+2+2 D .2×2×2【答案】D【分析】根据幂的意义即可得出答案.【详解】解:,32222=⨯⨯故选:D .【点睛】本题考查了有理数的乘方,掌握na 表示n 个a 相乘是解题的关键. 3.(2023·浙江·七年级假期作业)代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为( )A .2n +B .2nC .2nD .n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解:代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为2n; 故选:C.【点睛】本题考查了有理数的乘方,理解乘方的意义是关键.【答案】C【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出a 、b 的值,代入计算即可. 【详解】解:∵5a +与6b −互为相反数,560a b ∴++−=,50a ∴+=,60b −=,解得5a =−,6b =,202120212021()(56)11a b ∴+=−+==.故选C .【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质,解题的关键是求出a 、b 的值.5.(2022春·浙江金华·七年级统考期末)下列对于式子()23−的说法,错误的是( ) A .指数是2 B .底数是3− C .幂为3− D .表示2个3−相乘【答案】C【分析】根据乘方的定义解答即可. 【详解】A .指数是2,正确; B .底数是3−,正确; C .幂为9,故错误;D .表示2个3−相乘,正确;. 故选C .【点睛】此题考查了乘方的意义,熟练掌握乘方的意义是解本题的关键.乘方的定义为:求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方,乘方运算的结果叫做幂.在na 中,它表示n 个a 相乘,其中a 叫做底数,n 叫做指数.6.(2023·浙江·七年级假期作业)观察下列等式:071=,177=,2749=,37343=,472401=,5716807=,…,根据其中的规律可得30122027777++++的结果的个位数字是( )A .0B .1C .7D .8【答案】A【分析】由已知可得尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环,则30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同,即可求解.【详解】解:∵071=,177=,2749=,37343=,472401=,5716807=,…,∴尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环, ∵179320+++=,∴01237777+++的个位数字是0,又∵20244506÷=,∴30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同, ∴30122027777++++的结果的个位数字是0.故选:A .【点睛】本题考查数的尾数特征,能够通过所给数的特点,确定尾数的循环规律是解题的关键. 7.(2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中)某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个.经过3分钟,这种细胞由2个分裂成( )个. A .102 B .112 C .122 D .132【答案】C【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒,进而根据有理数乘方的意义即可求解. 【详解】解:∵3分钟3601215=⨯=⨯秒, ∴经过3分钟,这种细胞由2个分裂成122个, 故选:C .【点睛】本题考查了有理数乘方的应用,理解题意是解题的关键. 8.(2023·浙江·七年级假期作业)已知n 为正整数,计算()()22111nn +−−−的结果是( )A .1B .-1C .0D .2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可.【详解】解:()()22111112nn +−−−=+=,故选:D .【点睛】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键. 9.(2023·浙江·七年级假期作业)已知28.6274.3044=,若20.743044x =,则x 的值( ) A .86.2 B .0.862 C .0.862± D .86.2±【答案】C【分析】根据两式结果相差2位小数点,利用乘方的意义即可求出x 的值.【详解】解:∵28.6273.96=,20.7396x =,∴220.862x =,则0.862x =±. 故选C .【点睛】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解题的关键.二、填空题10.(2022秋·浙江·七年级专题练习)计算:()3232−⨯−=_____. 【答案】72【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案. 【详解】解:()()32329872−⨯−=−⨯−=.故答案为:72.【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算,正确化简各数是解题关键.11.(2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中)把22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式是____________. 【答案】52【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可. 【详解】解:22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式为:52. 故答案为:52.【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.【分析】先根据()2320a b −++=求出a 和b 的值,再把a 和b 的值代入()2022a b +即可求解.【详解】解:∵()2320a b −++=,∴,a b −=+=3020,解得:3,2a b ==−,∴()()a b =−=+20222022132,故答案为:1.【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性,幂的运算,熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键.【答案】 34 3 ﹣2764【分析】根据有理数的乘方的定义和意义,在na 中,a 叫做底数,n 叫做指数;na 表示n 个a 相乘,即可.【详解】∵在na 中,a 叫做底数,n 叫做指数∴334⎛⎫− ⎪⎝⎭的底数是34,指数是3∵na 表示n 个a 相乘∴3332744464⎛⎫−⨯⨯=−⎪⎝⎭故答案为:34;3;﹣2764.【点睛】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义. 14.(2023·浙江·七年级假期作业)已知24m =,则m =______________. 【答案】2【分析】把4写成22即可求出m 的值.【详解】解:∵24m =且24=2,∴222m =,∴2m =, 故答案为:2.【点睛】本题主要考查了乘方的意义,正确把4写成22是解答本题的关键.【答案】243【分析】根据题意可求出第一次截去全长的13,剩下213⨯米,第二次截去余下的13,剩下2123⨯,从而即可得出第五次截去余下的13,剩下532133224⨯=米.【详解】解:第一次截去全长的13,剩下1111332⎛⎫⨯−=⨯⎪⎝⎭米,第二次截去余下的13,剩下2911111133432⎛⎫⎛⎫⨯−⨯−=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭米,…第五次截去余下的13,剩下532133224⨯=米.故答案为:32 243.【点睛】本题考查有理数乘方的应用,数字类规律探索.理解乘方的定义是解题关键.三、解答题【答案】(1)正(2)负(3)负(4)负【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可.【详解】(1)解:∵12(6)−的指数是12,为偶数,负数的偶次幂是正数,∴12(6)−的结果为正;(2)解:∵9(0.0033)−的指数是9,为奇数,负数的奇次幂是负数,∴9(0.0033)−的结果为负;(3)解:∵85−表示的是85的相反数,正数的任何次幂都是正数, 85的结果为正,所以85−的结果为负;(4)解:∵1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的指数是11,为奇数,负数的奇次幂是负数, ∴1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的结果为负.【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律,掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键.【答案】(1)625(2)85−(3)0.027【分析】(1)4(5)−表示4个5−相乘,即可得出答案; (2)先计算2的立方,即可得出答案;(3)根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数,乘方是几个相同因数的简便运算,可得答案.【详解】(1)4(5)(5)(5)(5)(5)625−=−⨯−⨯−⨯−=;(2)322228555⨯⨯−=−=−; (3)[]3(0.3)(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027−−=−−⨯−⨯−=−−=.【点睛】本题考查了乘方的定义,理解乘方的意义是解题的关键. 18.(2023·浙江·七年级假期作业)(1)计算下面两组算式: ①2(35)⨯与2235⨯;②2[(2)3]−⨯与222)3⨯(-;(2)根据以上计算结果想开去:3()ab 等于什么?(直接写出结果)(3)猜想与验证:当n 为正整数时, ()n ab 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由. (4)利用上述结论,求20202021(4)0.25−⨯的值. 【答案】(1)①225,225,2(35)⨯=2235⨯;②36,36,2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-,(2)33a b(3)见详解 (4)0.25.【分析】(1)①先算括号内的数,再算平方;先算平方,再计算乘法即可,比较计算结果, ②先算括号内的数,再算平方;先算平方,再计算乘法即可,比较计算结果, (2)直接按(1)写结果即可,(3)利用乘方()nab 的意义写成n 个数相乘,利用交换律转化为n a aa 个与n b bb个乘积即可.(4)利用积的乘方的逆运算把202120200.250.250.25=⨯,然后20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.25−⨯⨯,再简便运算即可.【详解】(1)①2(35)⨯=152=225,2235⨯=9×25=225,2(35)⨯=2235⨯,②2[(2)3]−⨯=(-6)2=36, 222)3⨯(-=4×9=36, 2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-,(2)333()ab a b =(3)()()()()=n n n n n n ab ab ab ab a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个个个.(4)20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.2510.250.25−⨯⨯=⨯=.【点睛】本题考查有理数乘法法则问题,先通过不同形式的计算,验证结果相同,达到初步认证,再次认证结果,通过证明先算计积再算乘法,与先算每个数的乘方再算积,验证结论成立,会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键.【答案】(1)1,1;(2)ab ,anbn ,abc ,anbncn ;(3)﹣0.125【分析】(1)先算括号内的,再算乘方;先乘方,再算乘法.(2)根据有理数乘方的定义求出即可;(3)根据根据阅读材料可得(﹣0.125×2×4)2014×(﹣0.125),再计算,即可得出答案.【详解】(1)解:(4×0.25)100=1100=1;4100×0.25100=1,故答案为:1,1. (2)解:(ab )n =anbn ,(abc )n =anbncn ,故答案为:ab ,anbn ,abc ,(3)解:原式=(﹣0.125)2014×22014×42014×(﹣0.125)=(﹣0.125×2×4)2014×(﹣0.125)=(﹣1)2014×(﹣0.125)=1×(﹣0.125)=﹣0.125【点睛】本题考查了有理数乘方的应用,主要考查学生的计算能力,理解阅读材料是解题的关键. 20.(2022秋·浙江·七年级专题练习)先阅读下列材料,再解答后面的问题材料:一般地,n 个相同的因数a 相乘n a a a ⋅个,记为an . 如322228⨯⨯==,此时,3叫做以2为底8的对数,记为2log 8(即2log 83=).一般地,若n a b =(0a >且10a b ≠>,),则n 叫做以a 为底b 的对数,记为log a b (即log a b n =). 如4381=,则4叫做以3为底81的对数,记为3log 81(即3log 814=).问题:(1)计算以下各对数的值:2log 4=_________,2log 16=_________,2log 64=_________.(2)通过观察(1),思考:2log 4、2log 16、2log 64之间满足怎样的关系式?(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?log log a a M N +=______(0a >且100a M N ≠>>,,).(4)利用(3)的结论计算44log 2log 32+=______.【答案】(1)2,4,6(2)222log 4log 16log 64+=(3)()log a MN(4)3【分析】(1)根据对数的定义求解;(2)认真观察,即可找到规律:41664⨯=,222log 4log 16log 64+=; (3)由特殊到一般,得出结论:()log log log a a a M N MN +=(4)根据(3【详解】(1)解:(1)∵24624216264===,, ∴222log 42log 164log 646===,,,故答案为:2,4,6;(2)∵41664⨯=,2log 42=,2log 164=,2log 646=, ∴222log 4log 16log 64+=, 故答案为:222log 4log 16log 64+=;(3)观察(2)的结果,我们发现,底数不变,后面两个数相乘.则()log log log a a a M N MN +=, 故答案为:()log a MN .(4)44log 2log 32+()4log 232=⨯4log 64=3=. 故答案为:3.【点睛】本题考查了有理数的乘方运算,对数,类比、归纳,推测出对数应有的性质是解题的关键.【答案】(1)710,8a(2)m n a +(3)2023x ,31n y +(4)18【分析】(1)根据题目中给出的信息进行运算即可;(2)总结题目信息得出同底数幂的运算法则;(3)根据同底数幂的运算法则进行运算即可;(4)逆用同底数的乘法公式进行运算即可.【详解】(1)257101010⨯=,358a a a ⨯=,故答案为710,8a ;(2)m n mn a a a ⨯=(m 、n 都是正整数),故答案为m n a +;(3)220201*********x x xx x ++=⋅=⋅,212131n n n n n y y y y ++++⋅==, 故答案为2023x ,31n y +;(4)∵3,6a b x x ==,∴3618a b a b x x x +=⋅=⨯=,故答案为18.【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义,得到同底数幂的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,是解题的关键. ,一般地,把n a a a aa a ÷÷÷个(a ≠02⎝⎭深入思考【答案】(1)12,8− (2)213,415,82 (3)21n a −(4)1−【分析】(1)(2)根据新定义内容列出算式,然后将除法转化为乘法,再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算;(3)根据(1)(2)得出规律21n a a −=ⓝ;(4)根据(3)的规律求解即可.【详解】(1)解:122222=÷÷=③, 1111118222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−÷−÷−÷−÷−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤, 故答案为:12,8−;(2)解:(3)−=④21(3)(3)(3)(3)3−÷−÷−÷−=, 4155555555÷÷÷=÷÷=⑥, 1111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=÷⎭÷÷÷÷÷÷÷÷⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎭⑩82=; 故答案为:213,415,82;(3)解:21n a a a a a a −=÷÷⋯⋯÷=ⓝ, 故答案为:21n a −;(4)解:3242(16)2÷+−⨯④21248(16)2=÷+−⨯ 13(16)4=+−⨯34=−1=−.【点睛】本题属于新定义题型,考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解,理解新定义内容,掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键.。

七年级数学上册有理数的乘方

七年级数学上册有理数的乘方

七年级数学上册有理数的乘方有理数的乘方是数学中一个重要的概念,它在数学运算和实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍有理数的乘方的定义、规则以及解答习题的方法。

一、有理数的乘方定义及性质1. 定义:对于任意的有理数a和正整数n,a的n次方记为a^n,它表示将a连乘n次的结果。

当n为0时,任何非零有理数a的0次方都等于1,即a^0 = 1。

2. 性质:a. 乘方的运算性质:对于任意的有理数a、b和正整数m、n,有以下规则:(a) a^m × a^n = a^(m + n)(b) (a^m)^n = a^(m × n)(c) a^m ÷ a^n = a^(m - n)b. 乘方的特殊性质:(a) 任何数的1次方都等于该数本身,即a^1 = a。

(b) 非零数的负次方等于该数的倒数的正次方,即a^(-m) = 1 / (a^m)。

二、有理数的乘方计算方法1. 同底数的乘方计算:当底数相同时,可以直接将指数进行运算。

例如:计算2^3 × 2^4。

解:由乘方的运算性质(a)得知,2^3 × 2^4 = 2^(3 + 4) = 2^7。

2. 乘方与乘法的关系:乘方运算可以转化为多次乘法运算。

例如:计算3^4。

解:3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81。

3. 有理数的乘方与整数指数的乘法:有理数的乘方可以转化为整数指数的乘法。

例如:计算(-5)^3。

解:(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125。

4. 有理数的乘方与分数指数的开方:有理数的分数指数可以转化为开方。

例如:计算4^(2/3)。

解:4^(2/3)等于将4开3次方再平方。

4开3次方得到2,再平方得到4。

三、解答习题例题:计算下列各式的值。

1. 5^2 + 3 × 4^2 - (-2)^3解:由乘方的计算方法可得,5^2 + 3 × 4^2 - (-2)^3 = 25 + 3 × 16 - (-8) = 25 + 48 + 8 = 81。

初中数学 有理数的乘方运算的实例分析是什么

初中数学 有理数的乘方运算的实例分析是什么

初中数学有理数的乘方运算的实例分析是什么有理数的乘方运算实例分析是指通过具体的例子来说明有理数乘方的运算过程和结果。

下面我将给出一些实例分析,以帮助理解有理数乘方运算。

1. 正整数指数:例子1:计算2^3。

解析:根据乘方的定义,2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。

这个例子中底数是2,指数是3,乘方运算的结果是8。

例子2:计算(-3)^4。

解析:根据乘方的定义,(-3)^4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81。

这个例子中底数是-3,指数是4,乘方运算的结果是81。

2. 零指数:例子3:计算5^0。

解析:根据乘方的定义,5^0 = 1。

这个例子中底数是5,指数是0,乘方运算的结果是1。

例子4:计算(-2)^0。

解析:根据乘方的定义,(-2)^0 = 1。

这个例子中底数是-2,指数是0,乘方运算的结果是1。

3. 负整数指数:例子5:计算3^(-2)。

解析:根据乘方的定义,3^(-2) = 1/(3 × 3) = 1/9。

这个例子中底数是3,指数是-2,乘方运算的结果是1/9。

例子6:计算(-4)^(-3)。

解析:根据乘方的定义,(-4)^(-3) = 1/((-4) × (-4) × (-4)) = -1/64。

这个例子中底数是-4,指数是-3,乘方运算的结果是-1/64。

4. 分数指数:例子7:计算2^(1/2)。

解析:将指数1/2转化为根式形式,2^(1/2) = √2 ≈ 1.414。

这个例子中底数是2,指数是1/2,乘方运算的结果是√2。

例子8:计算(-3)^(2/3)。

解析:将指数2/3转化为根式形式,(-3)^(2/3) = (∛(-3))^2 ≈ 3.301。

这个例子中底数是-3,指数是2/3,乘方运算的结果是∛(-3)的平方。

通过以上实例分析,可以看到有理数乘方运算的结果可以是整数、分数或小数,具体取决于底数和指数的值。

151 有理数的乘方(解析版)

151 有理数的乘方(解析版)

1.5.1有理数的乘方有理数乘方的概念题型一:有理数乘方的概念【例题1】(2021·河北唐山市·九年级二模)对于16n 叙述正确的是( ) A .n 个15n 相加 B .16个n 相加 C .n 个16相乘 D .n 个16相加【答案】A 【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n 的代数式表示出来,即可选择. 【详解】选项A 可表示为1516n n n =; 选项B 可表示为1616n n =; 选项C 可表示为16n ; 选项D 可表示为1616n n =;知识点管理 归类探究 乘方概念:一般地,n 个相同的因数a 相乘,即a ×a ×a ⋯×a ⏟ n 个,记作na ,读作a 的n 次方。

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。

在na 中,a 叫做底数,n 叫做指数。

na读作a 的n 次方,也可以读作a 的n 次幂。

要点诠释:当底数为分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写的小些。

故选A.【点睛】本题考查有理数的乘方,理解有理数幂的概念是解答本题的关键.变式训练【变式1-1】(2021·河北邯郸·九年级二模)313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是()A.111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.()()()1113-⨯-⨯-D.()1333-⨯⨯【答案】A【分析】直接根据乘方的意义解答即可.【详解】解:313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选A.【点睛】本题考查了乘方的意义,一般地,n个相同的因数a相乘,即a·a·a·…·a计作a n,这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在a n中,a叫做底数,n叫做指数.【变式1-2】(2020·浙江七年级单元测试)下列说法正确的是()A.32-的底数是2-B.32读作:2的3次方C.27的指数是0D.负数的任何次幂都是负数【答案】B【分析】根据有理数乘方的定义解答.【详解】解:A、-23的底数是2,故本选项错误;B、23读作:2的3次方,故本选项正确;C、27的指数是1,故本选项错误;D 、负数的偶数次幂是正数,故本选项错误. 故选:B . 【点睛】本题考查了有理数的乘方,要知道,负数的偶数次幂是正数,负数的奇数次幂是负数. 【变式1-3】(2019·浙江温州市·七年级期中)()43-底数是____,运算结果是____. 【答案】-3 81 【分析】根据有理数的乘方的定义和法则解答即可. 【详解】解:()43-的底数是3-, 运算结果是()43-=81, 故答案为:-3,81. 【点睛】本题考查了有理数的乘方,熟记概念是解题的关键.有理数乘方的符合问题题型二:有理数乘方的符合问题【例题2】(2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟)()20211-=( )A .-1B .1C .-2021D .2021【答案】A 【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果. 【详解】 解:()202111-=-,故选A . 【点睛】负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

有理数的乘方(3种题型)-2023年新七年级数学(苏科版)(解析版)

有理数的乘方(3种题型)-2023年新七年级数学(苏科版)(解析版)

有理数的乘方(3种题型)1.掌握有理数乘方的意义,正确判断幂的底数,掌握乘方运算的符号法则;2.理解科学记数法的表示,会正确算出科学记数法表示的数的结果;一.有理数的乘方(1)有理数乘方的定义:求n个相同因数积的运算,叫做乘方.乘方的结果叫做幂,在a n中,a叫做底数,n叫做指数.a n读作a的n次方.(将a n看作是a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.)(2)乘方的法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.(3)方法指引:①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值;②由于乘方运算比乘除运算又高一级,所以有加减乘除和乘方运算,应先算乘方,再做乘除,最后做加减.二.非负数的性质:偶次方偶次方具有非负性.任意一个数的偶次方都是非负数,当几个数或式的偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.三.科学记数法—表示较大的数(1)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】(2)规律方法总结:①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.一.有理数的乘方(共11小题)1.(2022秋•鼓楼区校级期末)下列各组数中,相等的是()A.+32与+23B.﹣23与(﹣2)3C.﹣32与(﹣3)2D.|﹣3|3与(﹣3)3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果,从而可以解答本题.【解答】解:∵32=9,23=8,故选项A不符合题意,∵﹣23=﹣8,(﹣2)3=﹣8,故选项B符合题意,∵﹣32=﹣9,(﹣3)2=9,故选项C不符合题意,∵|﹣3|3=27,(﹣3)3=﹣27,故选项D不符合题意.故选:B.【点评】此题考查有理数的乘法,有理数的乘方,解题关键在于掌握运算法则.2.(2022秋•盐都区期中)计算:=.【分析】根据有理数乘方法则进行计算便可.【解答】解:原式=+,故答案为:.【点评】本题考查了有理数的乘方,熟记有理数乘方法则是解题的关键.3.(2023•南京二模)与(﹣3)2的值相等的是()A.﹣32B.32C.(﹣2)3D.23【分析】将原式计算得到结果,即可作出判断.【解答】解:∵(﹣3)2=9,A.﹣32=﹣9;B.32=9;C.(﹣2)3=﹣8.D.23=8.∴与(﹣3)2的值相等的是B.故选:B.【点评】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解题的关键.4.(2022秋•仪征市期末)若一个数的立方为﹣27,则这个数是()A.﹣3B.3C.±3D.﹣9【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案.【解答】解:∵(﹣3)3=﹣27,∴这个数是﹣3,故选:A.【点评】本题考查有理数的乘方运算,解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算,本题属于基础题型.5.(2023春•泰兴市校级月考)计算:()3=.【分析】求n个相同因数积的运算,叫做乘方,由此即可计算【解答】解:()3=××=.故答案为:.【点评】本题考查有理数的乘方,关键是掌握有理数的乘方运算法则.6.(2022春•灌南县期中)已知83=a9=2b,试求b a的值.【分析】根据83=(23)3=29,即可确定a和b的值,进一步求解即可.【解答】解:∵83=a9=2b,又∵83=(23)3=29,∴a=2,b=9,∴ba=92=81.【点评】本题考查了有理数的乘方,幂的乘方等,熟练掌握这些知识是解题的关键.7.(2023•海陵区一模)﹣32的值等于()A.﹣9B.9C.6D.﹣6【分析】利用有理数的乘方判断.【解答】解:﹣32=﹣9,故选:A.【点评】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方.8.(2022秋•鼓楼区校级期末)如图,A,B,C,D,E是数轴上5个点,A点表示的数为9,E点表示的数为9100,AB=BC=CD=DE,则数999所对应的点在线段上.【分析】先根据AB=BC=CD=DE,计算出每一个线段的长度,再把AB的长度与999﹣9进行比较即可.【解答】解:∵A点表示数为9,E点表示的数为9100,∴AE=9100﹣9,∵AB=BC=CD=DE,∴,∴B点表示的数为,∵=,∴>0,∴数999所对应的点在B点左侧,∴数999所对应的点在AB点之间,故答案为:AB.【点评】本题考查了数轴,掌握两点之间的距离是正确解答的前提,估算出的大小是得出正确答案的关键.9.(2023春•宿豫区期中)已知3=m5=()n,求m+n的值.【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂解决此题.【解答】解:∵310=m5=()n,∴310=95=m5=3﹣n.∴m=9,n=﹣10.∴m+n=9+(﹣10)=﹣1.【点评】本题主要考查幂的乘方、负整数指数幂,熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键.10.(2022秋•鼓楼区校级月考)已知|x|=5,y2=16,且x+y>0,那么x﹣y=.【分析】利用绝对值的定义,乘方运算确定x、y的可能取值,再代入数据求x﹣y的值.【解答】解:∵|x|=5,y2=16,∴x=±5,y=±4,∵x+y>0,∴x=5,y=±4,x﹣y=5﹣4=1,x﹣y=5﹣(﹣4)=9,∴x﹣y的值为1或9.故答案为:1或9.【点评】本题考查了有理数的乘方,有理数的加减,绝对值,解题的关键是掌握有理数的乘方运算,有理数的加减运算,绝对值的定义.11.(2023春•吴江区期中)规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b);如果a c=b,那么(a,b)=c.例如:因为23=8,所以(2,8)=3.(1)根据上述规定,填空:(3,9)=,(,16)=2,(﹣2,﹣8)=;(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象:(3n,4n)=(3,4),他给出了如下的证明:设(3n,4n)=x,∴(3n)x=4n即(3,4)=x,∴(3n,4n)=(3,4).②若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,请你尝试运用上述这种方法证明a+b=c;②猜想[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=(,)(结果化成最简形式).【分析】(1)根据规定,利用乘方的运算解答即可;(2)①根据规定,利用同底数幂乘方的运算法则证明即可;②根据规定,利用同底数幂乘方的运算法则,以及多项式乘以多项式的运算法则解答即可.【解答】解:(1)∵32=9,∴(3,9)=2;∵42=16,∴(4,16)=2;∵(﹣2)3=﹣8,∴(﹣2,﹣8)=3.故答案为:2,4,3;(2)①∵(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,∴4a=5,4b=6,4c=30,∴4a×4b=5×6=30=4c,∴4a+b=4c,即a+b=c;②设[(x﹣1)n,(y+1)n]=p,[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=q,由上述结论,知(x﹣1)p=y+1,(x﹣1)q=y﹣2,且[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=p+q,∵(x﹣1)p×(x﹣1)q=(y+1)(y﹣2),即(x﹣1)p+q=y2﹣y﹣2,∴[(x﹣1),(y2﹣y﹣2]=p+q,∴[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=[(x﹣1),(y2﹣y﹣2].故答案为:(x﹣1),(y2﹣y﹣2).【点评】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算,理解题意,掌握相关运算法则是解题的关键.二.非负数的性质:偶次方(共7小题)12.(2022秋•姑苏区校级期末)如果|a+3|+(b﹣2)2=0,则(a+b)2022的值是.【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a,b,代入求值即可.【解答】解:因为|a+3|+(b﹣2)2=0,所以a+3=0,b﹣2=0,所以a=﹣3,b=2,所以(a+b)2022=(﹣3+2)2022=(﹣1)2022=1.故答案为:1.【点评】本题主要考查非负数的性质,涉及到有理数的乘方,解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性.13.(2022秋•鼓楼区校级期末)已知|ab﹣2|+(b+1)2=0,则(a﹣b)2023=.【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a,b,代入求值即可.【解答】解:因为|ab﹣2|+(b+1)2=0,所以ab﹣2=0,b+1=0,所以ab=2,b=﹣1,解得a=﹣2,b=﹣1,所以(a﹣b)2023=(﹣2+1)2023=(﹣1)2023=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题主要考查代数式求值、有理数的乘方,解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性.14.(2022秋•射阳县月考)已知(x﹣3)2+|2x﹣3y+6|=0,求x﹣y的值.【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可求解.【解答】解:∵(x﹣3)2+|2x﹣3y+6|=0,(x﹣3)2≥0,|2x﹣3y+6|≥0,∴x﹣3=0,2x﹣3y+6=0,解得x=3,y=4,∴x﹣y=3﹣4=﹣1.【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键.15.(2023春•东台市期中)若(x﹣1)2+|2y+1|=0,则x+y的值为()A.B.C.D.【分析】直接利用非负数的性质得出x,y的值,进而得出答案.【解答】解:∵(x﹣1)2+|2y+1|=0,∴x﹣1=0,2y+1=0,解得:x=1,y=﹣,则x+y的值为:1﹣=.故选:D.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确掌握相关定义是解题关键.16.(2022秋•仪征市期末)若|a﹣2|+(b+3)2=0,则b a=.【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可得到答案.【解答】解:∵|a﹣2|+(b+3)2=0,|a﹣2|≥0,(b+3)2≥0,∴a﹣2=0,b+3=0,∴a=2,b=﹣3,∴ba=(﹣3)2=9,故答案为:9.【点评】本题主要考查了非负数的性质,代数式求值,熟知非负数的性质是解题的关键.17.(2023春•东台市期中)已知|x+2y+3|与(2x+y)2的值互为相反数,则x﹣y=.【分析】根据非负数的性质:几个非负数的和等于0,则每个数等于0,即可列出关于x和y的方程,求得x和y的值,进而求得代数式的值.【解答】解:根据题意得:,解得.则原式=1+2=3.故答案是3.【点评】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和等于0,则每个数等于0,理解性质是关键.18.(2022秋•江阴市期中)如果|a+2|+(b﹣1)2=0,那么代数式(a+b)2021的值是()A.1B.﹣1C.±1D.2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值,然后再代值求解.【解答】解:由题意,得:a+2=0,b﹣1=0,即a=﹣2,b=1;所以(a+b)2021=(﹣1)2021=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.三.科学记数法—表示较大的数(共4小题)19.(2023•苏州)在比例尺为1:8000000的地图上,量得A,B两地在地图上的距离为3.5厘米,即实际距离为28000000厘米.数据28000000用科学记数法可表示为.【分析】将一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可得出答案.【解答】解:28000000=2.8×107,故答案为:2.8×107.【点评】本题考查科学记数法表示较大的数,科学记数法是基础且重要知识点,必须熟练掌握.20.(2023•镇江一模)2023年2月15日春运结束,春运40天,全国发送旅客约15.95亿人次,比去年同期增长50.5%,其中,数据15.95亿用科学记数法可表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:15.95亿=15.95×108=1.595×109.故答案为:1.595×109.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.21.(2023春•吴江区校级期中)光在真空中的传播速度约是3×108m/s,光在真空中传播一年的距离称为光年.(1)1光年约是多少千米?(一年以3×107s计算)(2)银河系的直径达10万光年,约是多少千米?(3)如果一架飞机的飞行速度为1000km/h,那么光的速度是这架飞机速度的多少倍?(1m/s=3.6km/h)【分析】(1)根据题意列出算式,求出即可;(2)根据题意列出算式,求出即可;(3)先化单位,再根据题意列出算式,求出即可.【解答】解:(1)3×108×3×107=9×1015(米),9×1015米=9×1012千米.答:1光年约是9×1012千米;(2)10万=100000,100000×9×1012=9×1017(千米),.答:银河系的直径达10万光年,约是9×1017千米;(3)3×108m/s=1.08×109km/h,1.08×109÷1000=1.08×106,答:光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍.【点评】本题考查了科学记数法的表示方法.解此题的关键是能根据题意列出算式.22.(2022春•仪征市校级月考)某银行去年新增加居民存款10亿元人民币.(结果用科学记数法表示)(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米,如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来,大约有多高?(2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币,点钞机大约要点多少天?【分析】(1)先算出10亿元人民币的张数,然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可;(2)用10亿元人民币的张数除以速度,再根据同底数幂相除,底数不变指数相减进行计算.【解答】解:(1)10亿=1 000 000 000=109,∴10亿元的总张数为109÷100=107张,107÷100×0.9=9×104(厘米);(2)107÷(5×8×104),=(1÷40)×(107÷104),=0.025×103=25=2.5×10(天).【点评】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法,根据题意列出算式是解题的关键,需要注意先求出10亿元人民币的总张数.一、单选题【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10≥时,n 是正数;当原数的绝对值1<时,n 是负数.【详解】解:54700000用科学记数法表示为75.4710⨯;故选:C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.【答案】A【分析】根据小于0的数是负数,对各选项计算后再计算负数的个数. 【详解】因为22−=,()2=2−−,()202311−=−所以负数有112−,()20231−,共计2个故选A【点睛】本题考查负数的概念,解题关键是利用了小于0的数是负数的概念.【答案】D【分析】根据几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0列出算式,求出x 、y 的值,代入计算即可. 【详解】解:∵()2510x x y −+−−=,∴50x −=,10x y −−=, ∴5x =,4y =,∴()()20232023514x y −=−=,故选:D .0,则其中的每一项都为0. 4.(2022秋·江苏盐城·七年级统考期中)下列计算结果相等为( ) A .43和34B .43−和4|3|−C .25−和2(5)−D .2022(1)−和 2024(1)−【答案】D【分析】根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可.【详解】解:A .∵4381=,3464=,且8164≠,∴选项A 不符合题意;B .∵4381−=−,4|3|81−=,且8181−≠,∴选项B 不符合题意;C .∵2525−=−,2(5)25−=,且2525−≠,∴选项C 不符合题意;D .∵()202211−=,2024(1)1−=,且11=,∴选项D 符合题意.故选:D .【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算,绝对值的意义,解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义,准确进行计算.5.(2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中)()633...33⨯⨯⨯÷−个的结果为( )A .73B .73−C .53 D .53−【答案】D【分析】根据有理数的乘方与除法运算法则计算即可得到答案.【详解】解:原式633=−÷ 53=−.故选:D .【点睛】此题考查的是有理数的乘方与除法,正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算求出x 、y 即可解答. 【详解】解:∵x 、y 、z 是三个连续的正整数, ∴y=x+1,∵x2=44944=2122, ∴x=212, ∴y=213,∴y2=2132=45 369, 故选:A .【点睛】本题考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键.二、填空题7.(2022秋·江苏苏州·七年级校考期中)倒数等于本身的数是______,相反数等于本身的数是______, 平方等于它本身的数是______,立方等于它本身的数是______. 【答案】 1± 0 1和0 1±和0【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、平方、立方的意义,即可得到答案. 【详解】解:倒数等于它本身的数是1±, 相反数等于它本身的数是0, 平方等于它本身的数是1和0, 立方等于它本身的数是1±和0, 故答案为:1±;0;1和0;1±和0.【点睛】本题考查了倒数、相反数、平方、立方,解题的关键是掌握所学的知识进行解题. 8.(2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末)数字1920000000用科学记数法表示为____________. 【答案】91.9210⨯【分析】利用科学记数法的定义解决.科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解:91920000000 1.9210=⨯. 故答案为:91.9210⨯.【点睛】此题考查科学记数法的定义,关键是理解运用科学记数法.9.(2022春·江苏宿迁·七年级统考期中)如果ab =c ,那么我们规定[a ,c ]=b .例如:因为23=8,所以[2,8]=3.若[3,5]=n ,[9,m ]=n ;则[3,m +2]=_______. 【答案】3【分析】根据规定可得3n =5,9n =m ,从而得到m =25,然后设[3,m+2]=x ,则3x =m+2=27,再由33=27,即可求解.【详解】解:∵[3,5]=n ,[9,m]=n , ∴3n =5,9n =m , ∴9n =(3n )2=52=25, ∴m =25,即m+2=27,设[3,m+2]=x ,则3x =m+2=27,∴33=27, ∴[3,m+2]=3, 故答案为:3【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用,理解新规定是解题的关键.10.(2022秋·江苏南京·七年级统考期中)下列情景描述的结果与52相符的是________(填写所有正确选项的序号)①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数;②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时,由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,以此类推,一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数.【答案】②③/③②【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数,拉扣的次数和面条的根数,分裂的次数和细胞个数的规律,判断是否符合规律即可.【详解】①把一张报纸沿同一方向对折,对折一次有1条折痕,对折两次是3条折痕,以此类推,对折5次后有12481631++++=条折痕,不符合题意.②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,拉扣一次时有两根面条,两次有4根面条,以此类推,拉扣5次有52根面条,符合题意.③由题意可得,一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为52个,符合题意. 故答案为②③.【点睛】本题主要考查幂的应用,清楚理解幂的含义是解决本题的关键.11.(2023春·江苏宿迁·七年级统考期中)根据全国第七次人口普查数据显示,截至2020年11月1日零时,泗阳总人口约1063000人,数据1063000用科学记数法表示____. 【答案】61.06310⨯【分析】用移动小数点的方法确定a 值,根据整数位数减一原则确定n 值,最后写成10na ⨯的形式即可. 【详解】∵61.010*******=10⨯, 故答案为:61.06310⨯.【点睛】本题考查了科学记数法表示大数,熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ,运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键.【答案】3【分析】根据非负数的性质列式求出m 、n 的值,再相减即可求出答案. 【详解】根据题意得,10m −=,20n +=, 解得,1m =,2n =−, 所以1(2)3m n −=−−=, 故答案为3.【点睛】本题主要考查了非负数的性质,有限个非负数的和为零,那么每一个加数必为零,熟练掌握非负数的性质是解题的关键.【答案】1−【分析】利用非负数的性质得出x y ,的值,代入计算得出答案. 【详解】解:()2130x y ++−=,10x ∴+=,30y −=,解得:=1x −,3y =, 3(1)1y x ∴=−=−,故答案为:1−.【点睛】本题考查了非负数的性质,掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键.14.(2021秋·江苏无锡·七年级无锡市东林中学校考期中)若|2|a −与()21b +互为相反数,则a b −=___________.【答案】3【分析】由题意得知:|a-2|+(b+1)2=0,根据非负数的性质得出a 、b 的值,代入计算即可. 【详解】解:根据题意得:|a-2|+(b+1)2=0, ∵|a-2|≥0,(b+1)2≥0, ∴a-2=0,b+1=0, ∴a=2,b=-1,∴2(1)3a b −=−−=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查了非负数的性质.解题的关键是掌握相反数定义,利用只有符号不同的两个数互为相反数得出a 、b 的值是解题的关键.三、解答题15.(2023春·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习)记(1)2M =−,(2)(2)(2)M =−⨯−,(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−,……()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,(其中n 为正整数)(1)计算:(5)(6)M M +; (2)求(2022)(2023)2M M +的值; (3)说明()2n M 与(1)n M +互为相反数. 【答案】(1)32 (2)0 (3)见解析【分析】(1(2)根据已知条件及乘方的运算,再利用同底数幂的乘法法则即可得到正确结果; (3)根据已知条件及乘方的运算,再利用同底数幂的乘法法则即可得到结论. 【详解】(1)解:∵(1)2M =−,(2)(2)(2)M =−⨯−,(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−,∴()()552M =−,()662M =−,∴(5)(6)M M +()()5622=−−+()()5212⎡⎤=−−⎣⎦+()()521=−−32=;(2)解:∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,∴()()202220232M M +()()20222023222=−−+()()2022222=−−⎡⎤⎣⎦+0=;(3)解:∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,∴()12n n M M ++()()1222nn =−−++()()222n=−−⎡⎤⎣⎦+0=,∴()2n M 与(1)n M +互为相反数.【点睛】本题考查了乘方的意义及同底数幂的乘法法则,理解乘方的意义是解题的关键.【答案】数轴表示见解析,()()21301232−−<<−<<−−【分析】先把各数化简,然后再数轴上表示出来,即可求解. 【详解】解:33−−=−,()211−=,()33−−=,各数在数轴上表示出来,如下:按从小到大的顺序用“<”号连接起来为()()21301232−−<<−<<−−.【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、有理数的大小比较.能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键,注意:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大.,一般地,把c aa a a a÷÷÷÷个(a ≠0Ⅰ.试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣【答案】(1)3,﹣27;(2)C ;(3)Ⅰ.9;(5 )4;28;Ⅱ.a ⓝ=(a )n ﹣2;Ⅲ.131−.【分析】(1)根据新定义运算的法则进行运算即可;(2)根据新定义运算对每个选项逐一分析判断,即可得到答案;(3)Ⅰ.根据新定义的运算法则进行计算即可;Ⅱ.结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案;Ⅲ.根据新定义运算,逐一先计算除方,再转化为有理数的乘除乘方运算,再计算即可. 【详解】解:概念学习:(1)由新定义运算可得:3③=3÷3÷3=13,(13−)⑤=(13−)÷(13−)÷(13−)÷(13−)÷(13−)=﹣27. 故答案为:13,﹣27;(2)A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1;所以选项A 正确; B 、因为多少个1相除都是1,所以对于任何正整数n ,1ⓝ都等于1;所以选项B 正确;C 、3④=3÷3÷3÷3=19,4③=4÷4÷4=14,则 3④≠4③;所以选项C 错误;D 、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D 正确; 本题选择说法错误的,故选C ; 深入思考:(3)Ⅰ.(﹣3)④=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3) ()1113333æöæöæöç÷ç÷ç÷=-´-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø=21319−=⎛⎫⎪⎝⎭; 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷511111=555555´´´´´ =(15)4; 同理得:(12−)⑩=28;故答案为:19;(15)4;28;Ⅱ:由新定义运算及(1)(2)归纳总结可得: a ⓝ=21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭;故答案为:a ⓝ=21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅲ.2112()3÷−④(2)÷−⑤1()3−−⑥33÷ =()()324311443332æöç÷¸-¸---¸ç÷èø()1144881279=´´--¸1283131=--=-故答案为:131−【点睛】本题考查的是新定义运算,有理数的除法运算,有理数的乘方运算,理解新定义运算的运算法则,并利用新定义进行计算是解题的关键.【答案】(1)351−,,(2)①122x x −−,;②2BD PC =,理由见解析【分析】(1)根据非负数的性质求出a b 、的值,再根据数轴沿点C 折叠,点A 和点B 重合即点C 为AB 的中点进行求解即可;(2)①根据数轴上两点距离公式即可求出PC ,再求出点D 表示的数即可求出BD ;②分别表示出PC 和BD 即可得到结论. 【详解】(1)解:∵()2350a b ++−=,()23050a b +≥−≥,,∴()2350a b +=−=,∴3050a b +=−=,, ∴35a b =−=,,∵数轴沿点C 折叠,点A 和点B 重合, ∴点C 为AB 的中点, ∴12a bc +==,故答案为:351−,,;(2)解:①由题意得1PC x =−,∵将数轴沿点P 折叠,数轴上与点A 重合的点记为D , ∴点P 是AD 的中点,∴点D 表示的数为()323x x x +−−=+⎡⎤⎣⎦, ∴2352222BD x x x=+−=−=−, 故答案为:122x x −−,; ②2BD PC =,理由如下:同①得1PC x =−,2221BD x x =−=−,∴2BD PC =;【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离,数轴上两点中点公式,非负数的性质,熟知数轴上两点距离公式是解题的关键. 19.(2022秋·江苏南京·七年级统考期中)某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉,该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞.(1)在光照充沛的环境下,1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞,且分裂后的细胞继续分裂.现从1个绿藻细胞开始培养,经过15天后,共分裂成4k 个绿藻细胞,求k 的值.(2)已知210=1024,请判断(1)问中的4k 个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉,并说明理由.【答案】(1)18;(2)足够,理由见解析【分析】(1)由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞,可知经过15天,即360小时,分裂成184个绿藻细胞,故k 之值为18;(2)根据每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞, 60亿介于322与332之间,可得制作10克的绿藻粉需要600亿个绿藻细胞,且352<600亿362<,又()1818236422==,即得184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉. 【详解】(1)解∶15天1524=⨯小时360=小时,∴3602018÷=,根据题意得,1844k =,∴18k =;(2)解:(1)问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉.理由如下∶∵每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞,∴制作10克的绿藻粉需要6010600⨯=亿个绿藻细胞,∵352<600亿362<,而()1818236422==,∵600亿184<,∴184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉.【点睛】本题考查有理数的乘方,解题的关键是读懂题意,根据已知找到规律求出k 的值.一.选择题1.下列各组数中,相等的是( )A .(﹣3)2与﹣32B .|﹣3|2与﹣32C .(﹣3)3与﹣33D .|﹣3|3与﹣33【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解:A 、(﹣3)2=9,﹣32=﹣9,9≠﹣9,故本选项错误;B 、|﹣3|2=9,﹣32=﹣9,9≠﹣9,故本选项错误;C 、(﹣3)3=﹣27,﹣33=﹣27,故本选项正确;D 、|﹣3|3=27,﹣33=﹣27,27≠﹣27,故本选项错误.故选:C .【点评】本题考查了有理数的乘方,要注意(﹣3)2与﹣32的区别.2.党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元,将169200000000用科学记数法表示应为( )A .0.1692×1012B .1.692×1011C .1.692×1012D .16.92×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a ×10n ,其中1≤|a|<10,n 为整数,且n 比原来的整数位数少1,据此判断即可.【解答】解:169200000000=1.692×1011.故选:B .【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a ×10n ,其中1≤|a|<10,确定a 与n 的值是解题的关键.3.在数学中为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”,如记=1+2+3+…+(n﹣1)+n,(x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n);已知([x(x+k)]=9x2+mx,则m的值是()A.45B.63C.54D.不确定【分析】根据条件和新定义列出方程,化简即可得出答案.【解答】解:根据题意得:x(x+3)+x(x+4)+…+x(x+n)=x(9x+m),∴x(x+3+x+4+…+x+n)=x(9x+m),∴x[(n﹣3+1)x+]=x(9x+m),∴n﹣2=9,m=,∴n=11,m=54.故选:C.【点评】本题考查了新定义,根据条件和新定义列出方程是解题的关键.二.填空题4.2021年5月15日,天问一号探测器成功着陆火星,迈出了我国星际探测征程的重要一步.已知火星与地球的近距离约为550055 000 000用科学记数法表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:55000000=5.5×107.故答案为:5.5×107.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.5.计算:﹣(﹣)3=.【分析】根据有理数的乘方解决此题.【解答】解:﹣(﹣)3=.故答案为:.【点评】本题主要考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键.6.计算:(﹣5)2=.【分析】根据幂的意义求解即可.【解答】解:(﹣5)2=(﹣5)×(﹣5)=25,故答案为:25.【点评】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是知道(﹣5)2表示2个(﹣5)相乘.7.若有理数x,y满足x2=64,|y|=10,且|x﹣y|=x﹣y,则x+y的值为.【分析】根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则解决本题.【解答】解:∵x2=64,|y|=10,∴x=±8,y=±10.又∵|x﹣y|=x﹣y,∴x﹣y≥0.∴x≥y.∴当x=8时,y=﹣10,此时x+y=8+(﹣10)=﹣2;当x=﹣8时,y=﹣10,此时x+y=﹣8+(﹣10)=﹣18.综上:x+y=﹣2或﹣18.故答案为:﹣2或﹣18.【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法,熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则是解决本题的关键.8.1根1米长的木棒,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,…,如此截下去,则第8次剩下的木棒的长为米.【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可.【解答】解:第一次截去一半,剩下,第二次截去剩下的一半,剩下×=()2,如此下去,第8次后剩下的长度是()8=.故答案为:.【点评】本题考查的是有理数的乘方,是基础题,理解乘方的定义是解题的关键.三.解答题9.(2020秋•滕州市期末)如果x n=y,那么我们记为:(x,y)=n.例如32=9,则(3,9)=2.(1)根据上述规定,填空:(2,8)=,(2,)=;(2)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.【分析】(1)这个定义括号内第一个数为底数,第二个数为幂,结果为指数,根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可;(2)根据定义先求出a,b的值,再求(b,a)的值.【解答】解:(1)因为23=8,所以(2,8)=3;因为2﹣2=,所以(2,)=﹣2.故答案为:3,﹣2;(2)根据题意得a=42=16,b3=8,所以b=2,所以(b,a)=(2,16),因为24=16,所以(2,16)=4.答:(b,a)的值为4.【点评】本题主要考查了有理数的乘方,负整数指数幂,考核学生的运算能力,熟悉乘方运算是解题的关键.10.若|a+1|+(b﹣2)2=0.(1)求a2﹣b2的值;(2)求a b的值.【分析】(1)根据绝对值、偶次方的非负性求得a=﹣1,b=2,再代入a2﹣b2求值.(2)由(1)得a=﹣1,b=2,根据乘方的定义,代入求值.【解答】解:(1)∵|a+1|≥0,(b﹣2)2≥0,∴当|a+1|+(b﹣2)2=0时,a+1=0,b﹣2=0.∴a=﹣1,b=2.。

1.6有理数的乘方例题与讲解

1.6有理数的乘方例题与讲解

1.6 有理数的乘方 1.有理数的乘方的意义及有关名称 (1)一般地,n 个相同的因数a 相乘,记作a n ,即,这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.(2)幂:乘方的结果叫做幂.在乘方运算a n 中,a 叫做底数,n 叫做指数,a n 叫做幂,即(如图).(3)乘方是一种运算,是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结果.也就是说,a n 既表示n 个a 相乘,又表示n 个a 相乘的结果.(4)a n 看作乘方运算时,读作a 的n 次方;当a n 看作a 的n 次方的结果时,读作a 的n 次幂.如34中,底数是3,指数是4,读作3的4次方或3的4次幂.又如(-3)4中,底数是-3,指数是4,读作-3的4次方或-3的4次幂.(5)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如:5就是51,51就是5,指数1通常省略不写.(6)底数是分数或负数时,要用括号把底数括起来.如(-1)2,212⎛⎫ ⎪⎝⎭分别表示(-1)×(-1),12×12. 【例1】 把下列式子写成乘方的形式,并指出底数、指数各是什么?(1)(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14);(2)25×25×25×25×25×25; (3) 分析:5个-3.14相乘,写成(-3.14)5,6个25相乘可写成⎝⎛⎭⎫256,2n 个m 相乘,写成m 2n . 解:(1)(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)=(-3.14)5,其中底数是-3.14,指数是5.(2)25×25×25×25×25×25=⎝⎛⎭⎫256,其中底数是25,指数是6. (3)=m 2n ,其中底数是m ,指数是2n .2.有理数的乘方的运算法则(1)乘方运算的符号法则乘方是特殊的乘法,由乘法法则,我们能得出乘方运算的符号法则:正数的任何次乘方都取正号,负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号.(2)乘方的运算步骤非零有理数的乘方,先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号,再将其绝对值乘方;即:①根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号;②计算绝对值的乘方.乘方是特殊的乘法,由乘法法则,我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算.如,(-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81(不是-3和4相乘).(-232)=(-23)×(-23)=49. (3)几点注意①-a n 与(-a )n 的意义完全不同,-a n 表示a n 的相反数,(-a )n 表示n 个-a 相乘.如-14=-(1×1×1×1)=-1,底数是1;(-1)4=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=1,底数是-1.②当底数是带分数时,必须先化为假分数,再进行乘方计算.如,(-123)2=(-53)2=(-53)×(-53)=259. ③若一个有理数的平方(可推广到偶次方)等于它本身,那么这个有理数是0或1.④若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身,那么这个有理数是0或±1. ⑤0的正数次方是0.【例2】 计算:(1)(-3)4;(2)-34;(3)⎝⎛⎭⎫-343;(4)-334;(5)(-1)101; (6)( 1123). 分析:(1)(-3)4表示4个-3相乘;(2)-34表示34的相反数,即-34=-(3×3×3×3);(3)⎝⎛⎭⎫-343表示3个-34相乘;(4)-334表示33除以4的商的相反数;(5)(-1)101表示101个-1相乘,(-1)101=-1,在进行乘方运算时,首先根据符号法则确定符号,然后再计算绝对值,幂的绝对值等于底数绝对值的乘方;(6)底数是带分数,乘方时要先把带分数化成假分数.解:(1)(-3)4=+(3×3×3×3)=81;(2)-34=-(3×3×3×3)=-81;(3)⎝⎛⎭⎫-343=-(34×34×34)=-2764; (4)-334=-3×3×34=-274; (5)(-1)101==-1;(6)( 112)3=(323)=278. 3.有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算(1)有理数的运算,加减叫第一级运算,乘除叫第二级运算,乘方、开方(以后再学)叫第三级运算.(2)有理数混合运算的顺序①先乘方,再乘除,后加减.②同级运算,按照从左到右的顺序进行.③如果有括号,先做括号里的运算(括号的运算顺序是:先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的).(3)在进行有理数混合运算时,除遵循以上原则外,还要根据具体的题目的特点,灵活使用运算律,使运算准确而快捷.【例3】 计算:(1)3+50÷22×⎝⎛⎭⎫-15-1; (2)2334121115965⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 分析:(1)先算乘方,再把除法转化为乘法,计算乘除运算,最后算加减;(2)此题运算顺序是:第一步计算(1-49)和(1-16);第二步做乘法;第三步做乘方运算;第四步做除法. 解:(1)原式=3+50÷4×⎝⎛⎭⎫-15-1 =3+50×14×⎝⎛⎭⎫-15-1 =3-50×14×15-1=3-52-1 =-12. (2)原式=(85×592)÷35265⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=(89)2÷⎝⎛⎭⎫-133 =6481×(-27) =-643. 4.科学记数法(1)大数的表示方法在日常生活中我们会遇到一些特别大的数,这些数在读、写、算时都不方便,于是用如下的简洁方法来表示这些较大的数:①用更大的数量级来表示;②根据10n 的特点,来表示这些较大的数.(2)科学记数法的概念一般地,一个绝对值大于10的数都可记成±a ×10n 的形式,其中1≤a <10,n 等于原数的整数位数减1,这种记数方法叫做科学记数法.(3)大于10的数用科学记数法表示时,a ,n 的确定方法:①10的指数n 比原数的整数位数少1,用科学记数法表示大于10的数,只要先数一下原数的整数位数即可求出10的指数n .a 是整数位数只有一位的数.例如:341 257.31的整数位数是6,则n =6-1=5,所以用科学记数法表示为3.412 573 1×105.②将原数的小数点从右向左移动,一直移到最高位的后面(即保留一位整数),这时得到的数就是a ,小数点移动的位数就是n ,如1 300 000 000人=1.3×109人,38万千米=380 000千米=3.8×105千米.辨误区 用科学记数法时应注意的几点(1)不要误认为a 就是零前面的数,如误把426 000记作426×103.(2)n 等于原数的整数位数减1.不要误认为n 就是该数后面零的个数.(3)a 是整数位数只有一位的数.如果原数是负数,负数前面的“-”号不能丢.【例4】 用科学记数法表示下列各数:(1)687 000 000;(2)5 000 000 000;(3)-367 000.分析:(1)把687 000 000写成a ×10n 时,a =6.87,它是将原数的小数点向左移动8位得到的,即n =8,所以687 000 000=6.87×108;(2)把5 000 000 000写成a ×10n 时,a =5,它是将原来的小数点向左移动9位得到的,即n =9,所以5 000 000 000=5×109;(3)把-367 000写成a ×10n 时,a =-3.67,它是将原来的绝对值的小数点向左移动5位得到的,即n =5,所以-367 000=-3.67×105.解:(1)687 000 000=6.87×108;(2)5 000 000 000=5×109;(3)-367 000=-3.67×105.5.有理数乘方的运算有理数乘方运算的步骤:确定幂的符号;计算幂的绝对值.有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算,幂是乘方运算的结果. 在幂的形式中,底数是因数,指数是相同因数的个数.因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算,先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号,再根据乘方的意义把乘方转化为乘法,来计算幂的绝对值,最后得出幂的结果.例如计算(-5)3,先确定幂的符号为“-”,再计算53=125,即(-5)3=-125.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提,千万不能把底数与指数直接相乘. 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数,以及符号问题,避免出错. 【例5-1】 计算:(1)-33;(2)(-2)2;(3)(-3×2)3;(4)-(-2)3.分析:运算时,先确定符号,再计算乘方.(1)负号在幂的前面,结果是负数;(2)负数的偶次幂,结果是正数;(3)先计算底数-3×2=-6,再计算(-6)3;(4)先计算(-2)3,其结果是负数,再加上前面的负号,最后结果是正数.解:(1)-33=-(3×3×3)=-27;(2)(-2)2=4;(3)(-3×2)3=(-6)3=-216;(4)-(-2)3=-(-8)=8.辨误区 进行乘方运算时应注意的问题在进行乘方运算时,一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误.如-33=-(3×3)=-9,这是由于没有理解乘方的意义导致的.【例5-2】 计算(-0.25)10×412的值.分析:直接求(-0.25)10和412比较麻烦,但仔细观察可以发现(-0.25)10=0.2510,表示10个0.25相乘,而412表示12个4相乘,这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了.解:(-0.25)10×412=0.2510×412=(0.2510×410)×42=(0.25×4)10×42=1×16=16.6.写出用科学记数法表示的原数把用科学记数法表示的数±a ×10n “还原”成原数,原数的整数位数等于n +1;原数等于把a 的小数点向右移动n 位所得的数,若向右移动位数不够,应用0补上数位.谈重点 科学记数法的误区把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法表示的数还原是两个互逆的过程,这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法.【例6】 下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?(1)3×104;(2)2.25×105;(3)-6.32×103;(4)赤道长约4×104千米;(5)按365天计算一年有3.153 6×107秒.分析:将科学记数法a ×10n 表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数.也可以先把10n 化成通常表示的数,再与a 相乘即可,但转化时要注意1后面0的个数就是n .解:(1)3×104=3×10 000=30 000;(2)2.25×105=2.25×100 000=225 000;(3)-6.32×103=-6.32×1 000=-6 320;(4)4×104千米=40 000千米;(5)3.153 6×107秒=31 536 000秒.7.有理数运算中的技巧运算顺序规定:先算高级运算,再算低级运算,同级运算,按从左到右的顺序进行. 在进行有理数的运算时,若能根据算式的结构特征,选择适当的方法,灵活应用运算律和运算法则,可使问题化繁为简,化难为易,运算过程迅捷简便,起到事半功倍的奇效.对于较复杂的计算问题,计算时不要急于下手,应该先整体观察,分析算式的结构特征和各数之间的关系,寻找简捷的解题途径,进行合理、快速的运算.在有理数混合运算中,先算乘方,再算乘除.乘除运算在一起时,统一化成乘法往往可以约分而使运算简化;遇到带分数通分时,可以写成整数与真分数和的形式,如-198=-2-38,而将-38化成-616,因而避免把-198化为-3816,也可以简化运算. 解技巧 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算中,先确定运算顺序,注意恰当使用运算定律.分数、小数的乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化成假分数.含有多重括号时,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外向内.计算过程中应时时重视符号. 【例7】 计算:(1)-321625÷(-8×4)+2.52+(12+23-34-1112)×24; (2)112÷34÷(-2)+12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪-912-0.752. 分析:(1)此题是有理数的混合运算,有小括号可以先做小括号内的,把-321625化成假分数,可以写成(-32-1625)的形式,而(12+23-34-1112)×24,若用分配律又较为方便.(2)在运算的同时把前两个除法转化为乘法.去掉绝对值、把小数转化为分数,然后进一步计算即可.解:(1)-321625÷(-8×4)+2.52+1231123412⎛⎫+-- ⎪⎝⎭×24 =(-32-1625)×(-132)+6.25+12+16-18-22 =1+150+6.25-12=1.02+6.25-12=-4.73. (2)112÷34÷(-2)+12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪-912-0.752 =32×43×(-12)+12÷(14-94)×192-916=-1+12×(-12)×192-916=-1-198-916=-1-2-616-916=-31516.8.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用,给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便.比如,一层楼高约3米,一张纸的厚度只有0.1毫米,0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计,如果我们将纸对折、再对折,如此这样对折20次后,其厚度将比30层楼房还要高,这就是有理数乘方的神奇魔力,在现实生活中有着很广泛的应用.【例8】 据科学家测算,用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3~0.4亩森林木材的造纸量.某市今年大约有6.7×104名初中毕业生,每个毕业生离校时大约有12千克废纸,若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸,则至少可使森林免遭砍伐的亩数为__________(用科学记数法表示).解析:本题可分步计算出废纸回收的数量,再算出因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数:废纸回收的数量:6.7×104×12=8.04×105(千克)=804(吨);因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是804×0.3=241.2(亩),用科学记数法表示为2.412×102亩.答案:2.412×1029.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法,乘方运算中有很多规律性变化,目前主要有三种:①一个数的乘方运算中,个位数字总是呈现一定的循环规律.②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性,如:-2,4,-8,16,-32,….③等式运算中的规律性变化,如:12-02=1,22-12=3,32-22=5,42-32=7,….乘方运算中规律性变化灵活多样,有时还伴有符号的变化,并与和、差、等式相结合,更不容易发现其中的规律,因此识别较难.由特殊到一般,发现探索规律,是解决这类问题的关键,要注意观察:一是看参与计算的数与顺序间的变化规律,二是看结果的变化与顺序之间的规律.由特殊入手,猜想、验证,得出正确结论.与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种:(1)个位数字是几,在中考中经常涉及到,例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1,…依次循环;(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等,都利用2n 或12n 求解. 【例9-1】 观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,通过观察,用你所发现的规律确定227的个位数字是( ).A .2B .4C .6D .8解析:观察式子的变化发现,从2的1,2,3,4,5,…次方的结果看,个位数以2,4,8,6,2,4,…循环,所以每四次一循环,而27÷4=6余3,所以227的个位数字是8,故选D.答案:D【例9-2】 观察下列各式:1=1=12,1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42,….请猜想前15个奇数的和是__________.解析:1个奇数等于12,前2个奇数的和等于22,前3个奇数的和等于32,…,猜想前15个奇数的和是152.答案:1+3+5+7+9+…+29=152=225【例9-3】 观察下面一列数:2,5,10,x ,26,37,50,65,…,根据规律,其中x 表示的数是__________.解析:观察数列发现,每个数都是对应的顺序号的平方加1,即2=12+1,5=22+1,10=32+1,…,所以它们的排列规律是n 2+1,所以x =42+1,所以x =17.答案:17【例9-4】 一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米.(1)对折2次后,厚度为多少毫米?(2)对折20次后,厚度为多少毫米?分析:此题的关键是将纸的层数化为幂的形式,找出对应关系.根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1=22×0.1毫米,对折3次后厚度变为8×0.1=23×0.1毫米,对折4次是16×0.1=24×0.1毫米,对折5次是32×0.1=25×0.1毫米……,从中探寻规律,解答问题.解:(1)0.1×22=0.4(毫米).(2)对折20次后,厚度为(220×0.1)毫米.。

有理数的乘方(4种题型)(原卷版)

有理数的乘方(4种题型)(原卷版)

有理数的乘方(4种题型)【知识梳理】一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂。

a 叫底数,n 叫指数,na 读作:a 的n 次幂(a 的n 次方)。

2、乘方的意义:na 表示n 个a 相乘。

n an a a a a a =⨯⨯⨯⨯个3、写法的注意:当底数是负数或分数时,底数一定要打括号,不然意义就全变了.4、na 与-na 的区别.(1)n a 表示n 个a 相乘,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方.如:3)2(−底数是2−,指数是3,读作(-2)的3次方,表示3个(-2)相乘.3)2(−=(-2)×(-2)×(-2)=-8.32−底数是2,指数是3,读作2的3次方的相反数.32−=-(2×2×2)=-8.注:3)2(−与32−的结果虽然都是-8,但表示的含义并不同。

5、乘方运算的符号规律. (1)正数的任何次幂都是正数. (2)负数的奇次幂是负数. (3)负数的偶次幂是正数. (4)0的奇数次幂,偶次幂都是0. 所以,任何数的偶次幂都是正数或0。

二、有理数的混合运算1、有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的,再算括号外面的。

2、括号前带负号,去掉括号后括号内各项要变号,即a+−b−)(a−=+baba−−−)=(,b三.科学记数法—表示较大的数(1)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】(2)规律方法总结:①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.【考点剖析】一.有理数的乘方(共11小题)1.(2022秋•南浔区期末)下列各组数中,运算结果相等的是()A.(﹣5)3与﹣53B.23与32C.﹣22与(﹣2)2D.与2.(2022秋•苍南县期中)把写成幂的形式是.3.(2022秋•柯桥区月考)如果a,b,c是整数,且a c=b,那么我们规定一种记号(a,b)=c,例如32=9,那么记作(3,9)=2,根据以上规定,求(﹣3,﹣27)=.4.(2023•西湖区校级二模)﹣33=()A.﹣9B.9C.﹣27D.275.(2022秋•青田县期末)一张纸的厚度为0.09mm,假设连续对折始终都是可能的,那么至少对折n次后,所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本.则n的值为()A.5B.6C.7D.86.(2022秋•文成县期中)下面的计算错在哪里?指出错误步骤的序号,并给出正确的解答过程.﹣3=……①=9÷1……②=9……③错误步骤的序号:;正确解答:;7.(2019秋•萧山区期中)计算:23=.8.(2020秋•义乌市校级月考)定义:如果10b=n,那么称b为n的劳格数,记为b=d(n).(1)根据劳格数的定义,可知:d(10)=1,d(102)=2,那么:d(103)=.(2)劳格数有如下运算性质:若m,n为正数,则d(mn)=d(m)+d(n);d()=d(m)﹣d(n).若d(3)=0.48,d(4)=0.6,根据运算性质,填空:d(12)=,d()=,d()=.9.(2021秋•吴兴区期中)已知三个互不相等有理数a,b,c,既可以表示为1,a,a+b的形式,又可以表示为0,,b的形式,则a2020b2021值是.10.(2020秋•吴兴区校级期中)请你研究以下分析过程,并尝试完成下列问题.13=1213+23=9=32=(1+2)213+23+33=36=62=(1+2+3)213+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2(1)13+23+33+ (103)(2)13+23+33+ (203)(3)13+23+33+…+n3=(4)计算:113+123+133+…+203的值.11.(2020秋•萧山区期中)阅读下列各式:(a•b)2=a2b2,(a•b)3=a3b3,(a•b)4=a4b4….回答下列三个问题:①验证:(2×)100=,2100×()100=;②通过上述验证,归纳得出:(a•b)n=;(a•b•c)n=;③请应用上述性质计算:(﹣0.125)2019×22018×42017.二.非负数的性质:偶次方(共5小题)12.(2022秋•丽水期中)已知a,b满足|a+3|+(b﹣2)2=0,则a+b的值为()A.1B.5C.﹣1D.﹣513.(2022秋•青田县期中)若|m+1|+(n﹣3)2=0,则m n的值为()A.1B.﹣1C.3D.﹣314.(2021秋•兰山区校级月考)若|﹣2|+(y+3)2=0,则y x=.15.(2022秋•兰溪市期中)已知(a﹣2)2与|b+1|互为相反数,求(a﹣b)a+b的值.16.(2022秋•衢州期中)已知,则(ab)2022=.三.科学记数法—表示较大的数(共9小题)17.(2022秋•临海市期末)我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人,用科学记数法表示该数为.18.(2023•杭州)杭州奥体中心体育场又称“大莲花”,里面有80800个座位.数据80800用科学记数法表示为()A.8.8×104B.8.08×104C.8.8×105D.8.08×10519.(2023•路桥区校级二模)2022年12月28日,台州市域铁路S1线开通运营,标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里,总投资约228.19亿元,是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道.其中数据228.19亿用科学记数法表示为()A.0.22819×1010B.0.22819×1011C.2.2819×1010D.2.2819×101120.(2023•郧阳区模拟)2022年5月10日凌晨,长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空,在距地面390000米的高度,与空间站完成自主交会对接任务.390000用科学记数法表示为.21.(2022秋•拱墅区月考)北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术.可根据不同项目分区域、分标准制冰.将数据12000用科学记数法表示为.22.(2023•余姚市二模)中国空间站2022年建成,轨道高度为400~450千米.“450千米”用科学记数法表示是()A.4.5×105米B.0.45×107米C.45×105米D.4.5×107米23.(2021秋•越城区校级月考)一次自然灾害导致大约20万人受困,急需准备一批帐篷和粮食进行援助.估计每顶帐篷可以住10人,平均每人每天需要粮食0.4千克,共维持15天,那么有关部门需要筹集多少顶帐篷?多少吨粮食?(结果用科学记数法表示)24.(2022秋•慈溪市期中)在宇宙之中,光速是目前知道的最快的速度,可以达到3×108m /s ,如果我们用光速行驶3.6×103s ,请问我们行驶的路程为多少m ?25.(2022秋•永嘉县校级月考)已知一个U 盘的名义内存为10GB ,平均每个视频的内存为512MB ,平均每首音乐的内存为10.24MB ,平均每篇文章的内存为10.24KB .现该U 盘已存16个视频,50首音乐.若该U 盘的内存的实际利用率为90%,求还可以存文章的最多篇数(用科学记数法表示).(注:已知1GB =1024MB ,1MB =1024KB )四.科学记数法—原数(共1小题)26.(2021秋•平阳县期中)用科学记数法表示的数为4.315×103,这个数原来是( ) A .4315B .431.5C .43.15D .4.315【过关检测】一、单选题七年级假期作业)代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为(5.(2022春·浙江金华·七年级统考期末)下列对于式子()23−的说法,错误的是( ) A .指数是2B .底数是3−C .幂为3−D .表示2个3−相乘6.(2023·浙江·七年级假期作业)观察下列等式:071=,177=,2749=,37343=,472401=,5716807=,…,根据其中的规律可得30122027777++++的结果的个位数字是( )A .0B .1C .7D .87.(2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中)某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个.经过3分钟,这种细胞由2个分裂成( )个. A .102B .112C .122D .1328.(2023·浙江·七年级假期作业)已知n 为正整数,计算()()22111nn +−−−的结果是( )A .1B .-1C .0D .29.(2023·浙江·七年级假期作业)已知28.6274.3044=,若20.743044x =,则x 的值( ) A .86.2 B .0.862 C .0.862± D .86.2±二、填空题三、解答题材料:一般地,n 个相同的因数a 相乘n a aa⋅个,记为an . 如322228⨯⨯==,此时,3叫做以2为底8的对数,记为2log 8(即2log 83=).一般地,若n a b =(0a >且10a b ≠>,),则n 叫做以a 为底b 的对数,记为log a b (即log a b n =). 如4381=,则4叫做以3为底81的对数,记为3log 81(即3log 814=).问题:(1)计算以下各对数的值:2log 4=_________,2log 16=_________,2log 64=_________.(2)通过观察(1),思考:2log 4、2log 16、2log 64之间满足怎样的关系式?(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?log log a a M N +=______(0a >且100a M N ≠>>,,).(4)利用(3)的结论计算44log 2log 32+=______.21.(2023·浙江·七年级假期作业)阅读材料,解决问题:我们学习了乘方的定义和意义,根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到:32222=⨯⨯;422222=⨯⨯⨯;观察上述算式,3472222222222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=;可以得到:347222⨯=;类比上述式子,你能够得到:(1)251010⨯= ,35a a ⨯= ;(2)利用由特殊到一般的思想,可以得到:m n a a ⨯= (m 、n 都是正整数);我们把类似于am 和an 这样的式子叫同底数幂;因此可以得到“同底数幂的乘法”法则:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”; (3)知识运用:22020x x x ⋅⋅= ,21n n y y +⋅= ; (4)已知3,6a b x x ==,则a b x +的值是 .22.(2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习)概念学习规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如222÷÷,(3)(3)(3)(3)−÷−÷−÷−等.类比有理数的乘方,我们把222÷÷记作2③,读作“2的圈3次方”, (3)(3)(3)(3)−÷−÷−÷−记作(3)−,一般地,把n aa a aa a÷÷÷个(a ≠02⎝⎭。

“有理数乘方”易错点分析及应用

“有理数乘方”易错点分析及应用

“有理数乘方”易错点分析及应用乘方运算是有理数的混合运算中一种比较重要的运算,在以后的学习中经常涉及到这种运算.为了帮助同学们学好这部分内容,现就解题中容易出现的一些错误分析如下.例题1 用乘方表示下列各式:(1)(-3)×(-3)×(-3)×(-3);(2)23×23×23×23×23错解:(1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=−34(2)23×23×23×23×23=253错解分析:我们知道,求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.(1) 错在混淆了-34与(-3)4所表示的意义. (-3)4的底数是-3,表示4个-3 相乘,即(-3)(-3)(-3)(-3),而-34表示-(3×3×3×3);(2)错解在最后的结果没有加上括号.实际上253与(23)5的意义不同, 253表示2×2×2×2×23,而(23)5表示2323×23×23×23正解: (1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=(−3)4(2) 23×23×23×23×23=(23)5当把几个相同的因数相乘写成乘方的形式,当底数是负数或分数时,应将底数用括号括起来,而加不加括号对负数的乘方而言是完全不同的,要避免这种错误发生,我觉得首先应该从教学生的读法开始,让他们在边读的同时就体会其意义,这样就会避免类似的问题发生。

例题2 有一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米.(1)对折2次后,厚度多少毫米?(2)对折20次后,厚度为多少毫米?解析:(1)纸的对折次数与纸的层数关系如下;答案:解:(1)0.1×22=0.4(毫米)(2)220×0.1毫米点拨:要求每次对折后纸的厚度,应先求出每次折叠后纸的层数,再用每张纸的厚度×纸的层数即可,关键是将纸的层数化为幂的形式,找出这些事与对折次数的对应关系,从而看到当底数大于1时,乘方增长得很快.例题 3 某股票经纪人,给他的股资者出了一道题,说明投资人的赢利净赚情况:(单位:元)股票名称每股净赚(元)股数天河+23500北斗+1.51000白马-31000海潮-(-2)500请你计算一下,投资者到底赔了还是赚了,赔或赚了多少元?解析:从题目的已知条件来看,+23表示每股净赚8元,-3表示每股净赚-3元,即佘了3元。

有理数的乘方

有理数的乘方

《乘方》典型例题一例 计算:(1)4)3(-;(2)3)8(-;(3)4)31(-分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值. 解 (1).81)3()3()3()3()3(4=-⨯-⨯-⨯-=- (2).512)8()8()8()8(3-=-⨯-⨯-=- (3).811)31()31()31()31()31(4=-⨯-⨯-⨯-=- 说明:(1)4)3(-不能写成43-或(-3)×4,同理3)8(-和4)31(-也不能如此书写;(2)观察该题可以发现负数的乘方,当指数是偶数时其乘方的值为正,当指数为奇数时其乘方的值为负.由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号,再计算正数的乘方.《乘方》典型例题二例 计算12104)25.0(⨯-的值. 分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦,但细观察可以发现48476Λ4484476Λ个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(⨯⨯⨯=⨯⨯==-.这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了.解 12104)25.0(⨯-1210425.0⨯=48476Λ444844476Λ个个1210444 25.025.025.0⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=)44( )425.0()425.0()425.0(10⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=444444844444476Λ个16 11110⨯⨯⨯⨯=48476Λ个.16=说明: 当发现一个题算起来比较麻烦时,我们就应该细观察、多动脑,尽可能找出简便的方法来.《乘方》典型例题三例 选择题:(1)在绝对值小于100的整数中,可以写成整数平方的数共( )个. A .18 B .19 C .10 D .9(2)在绝对值小于100的整数中,可以写成整数立方的数共有( )个. A .7 B .8 C .10 D .12分析 (1)绝对值小于100的整数共199个;0,±1,±2,…,±99,由于任何整数的平方都是非负数,所以满足题意的数应在0,1,…,99中寻找.819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========,而100102=(不合题意),所以共计10个数. (2)负整数的立方仍然是负数,且可以看做与正数的立方是成对的,比如有6443=,就有64)4(3-=-,只有03是个特殊情况,因此,在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数.解 (1)选C (2)选A .说明:(1)从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道,负数不可能等于某个有理数的偶数次幂,但可能是某个负数的奇数次幂.(2)第(2)问还可以怎样给出呢?如果把其中的“D ”改为13个,你又怎样解出呢?要学会给自己提出问题,要学会经常与同学一起研究问题.《乘方》典型例题四例 计算:(1)7)2(5)2(32--⨯--⨯;(2)132324332)4(23++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-解:(1)7)2(5)2(32--⨯--⨯1571043=-+⨯=(2)132324332)4(23++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-274132312732=++--= 说明:本题考查有理数的混合运算知识,关键在于正确确定运算顺序.《乘方》典型例题五例 求2)1(12)1()1(1nn n n -++-+-+的值.(n 为整数)解:当n 为奇数时,原式0211211=-++-=; 当n 为偶数时,原式1211211=++-=说明:本题应注意1)1(,1)1(212=--=-+n n (n 为整数)这一知识点.《乘方》典型例题六例 如图,某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个,经过5小时,这种细胞由1个能分裂成______个.经过n 小时,这种细胞由1个能分裂成______个.细胞分裂示意图分析:1个细胞30分钟后分裂成2个,1个小时后分裂成2×2个,1.5小时后分裂成2×2×2个,…如表所示.答案:2,2.《乘方》典型例题七例 (2003年南京市)一根1m 长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第六次后剩下的绳子的长度为( )A .321⎪⎭⎫ ⎝⎛mB .521⎪⎭⎫ ⎝⎛mC .621⎪⎭⎫ ⎝⎛mD .1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m分析:1m 长的绳子,第一次剪去一半,剩下21m ;第二次剪去一半,剩下⎪⎭⎫⎝⎛⨯2121m ,即221⎪⎭⎫ ⎝⎛m ;第三次剪去剩下的一半,剩下⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯212121m ,即321⎪⎭⎫ ⎝⎛m ;……;第六次剪去剩下的一半,剩下⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯21212121212121m .即621⎪⎭⎫ ⎝⎛m .答案:C说明:注意总结每次剪去剩下的一半后,绳子的长与次数的关系.这类题目都是有规律的.同学们要养成勤于思考、勇于探索的良好思维品质.《乘方》典型例题八例 (2003年南京市)将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到______条折痕,如果对折n 次,可以得到______条折痕.分析:答案:15,12-.《乘方》典型例题九例 (2003年无锡市)读一读:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以得“1+2+3+4+5+…+100”表示为∑=1001n n ,这里“∑”是求和符号.例如:“1+3+5+7+9+…+99”(即从1开始的100以内连续奇数的和)可以表示为∑=-501)12(n n ;又如“333333333310987654321+++++++++”可表示为∑=1013n n .同学们,通过对以上材料的阅读,请回答下列问题:(1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和的符号可表示为__________.(2)计算∑==-51____)12(n n .(填写最后的计算结果). 解:(1)∑=5012n n (2)25《近似数和有效数字》典型例题一例 下列各个数据中,哪些是近似数?哪些是精确数?(1)昨天的晚报共有23版. (2)华华的身高为1.542米.(3)根据2000年第五次人口普查,中国人口为12.953 3亿. (4)初—·六班有56名同学.分析:所有的测量值都是近似值,因为不论多么精密的仪器,测量值的最后一位肯定是估测的,只是精密的仪器精确度会高一些.因为生老病亡随时可能发生,所以全国的人口普查数不可能是精确数;报纸的版数、班级的人数等与实际完全符合是精确数. 解:(1)、(4)是精确数.(2)、(3)是近似数.《近似数和有效数字》典型例题二例 小亮的身高为1.457米,请按要求取这个数的近似数.(1)精确到百分位 (2)精确到十分位 (3)精确到个位分析:精确到百分位,就是四舍五入到百分位,只要看它后一位(即千分位)的数,若大于或等于5,刚入到百分位,若小于5,则舍去.其他类同.解:(1)精确到百分位,1.457米≈1.46米 (2)精确到十分位,1.457≈1.5米 (3)精确到个位,1.457米≈1米《近似数和有效数字》典型例题三例 中国人口有12亿,请说出它精确到哪一位,有几个有效数字.分析:12亿是经四舍五入得到的近似数,所以精确到亿位,有两个有效数字. 解:精确到亿位,有两个有效数字.说明:这种有单位的数,我们要注意它的单位,所以不能误认为精确到个位.《近似数和有效数字》典型例题四例 (1)用四舍五入法把0.618精确到10分位; (2)用四舍五入法把234000精确到万位; (3)用四舍五入法使0.1698保留三个有效数字.分析:精确到哪一位就从哪一位的后一位进行四会五入;保留几个有效数字就是从左数第一个非零数字开始数出几个数字,从下一个数字之后进行四舍五入.解:(1)0.618精确到10分位是0.6; (2)234000精确到万位是5103.2⨯; (3)0.1698保留三个有效数字是0.170.说明:(2)中234000精确到万位是230000,但从230000看不出有几个有效数字,也看不出精确到哪一位,所以要用科学记数法来表示即5103.2⨯,这就表示有两个有效数字.而(3)的结果0.170是表示有三个有效数字,不能写成0.17,因为0.17表示有两个有效数字.《近似数和有效数字》典型例题五例 某学生的身高是1.796米.(1)精确到厘米;(2)保留两个有效数字. 分析:(1)的单位是米,精确到厘米就是精确到这个数的百分位;(2)要求保留两个有效数字,就是从左第一个不为0的数开始数,由第三个数开始进行四舍五入.解:(1)1.796米精确到厘米是1.80米;(2)1.796米保留两个有效数字是1.8米. 说明:(1)1.80和1.8的意义是不同的;(2)实际问题的精确到要结合实际,具体问题具体分析,如度量人的身高一般要精确到厘米.《近似数和有效数字》典型例题六例 下面由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位?各有哪几个有效数字? (1)小山的身高为1.346米;(2)根据某家报纸公布,50年后亚洲人口将达到52.68亿;(3)据国家统计局统计,2002年一季度国内生产总值为12101020.2⨯元。

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有理数的乘方1.有理数乘方的概念 (1)乘方的意义:一般地,n 个相同的因数a 相乘:,记作a n ,即=a n ,这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在a n 中,a 叫做底数,n 叫做指数,a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂).(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义,需要注意的几个方面: ①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算,其结果叫做幂.由此不难发现,乘方具有双重含义:一是乘方表示一种运算;二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果.如25中,25可以看成一种运算,表示有5个2相乘,即25=2×2×2×2×2,这时,25应读作2的五次方;另一方面,25又可看成5个2相乘的结果,即2×2×2×2×2=25,这时25却读作2的5次幂;②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范,不然会引起误会.当底数是负数或分数时,一定要记住添上括号,以体现底数是负数或分数的整体性.如(-3)×(-3)×(-3)×(-3)应记作(-3)4,不能记作-34.(-3)4与-34表示的意义和结果完全不同.前者表示4个-3相乘,结果为81;后者为4个3相乘的积的相反数,结果为-81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝ ⎛⎭⎪⎫546,不能记作564;③一个数可以看成这个数本身的一次方,如3就是31,a 就是a 1,只是指数1通常省略不写;④a n 与-a n 的区别:ⅰ.a n 表示n 个a 相乘,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方.ⅱ.-a n 表示n 个a 乘积的相反数,底数是a ,指数是n ,读作:a 的n 次方的相反数.如:(-3)3底数是-3,指数是3,读作-3的3次方,表示3个-3相乘,(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27.-33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.-33=-(3×3×3)=-27.所以(-3)3与-33的结果虽然都是-27,但表示的含义并不同.⑤注意乘方运算的转化.计算乘方运算的结果时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成.如计算(-5)3时,应将它转化为计算(-5)×(-5)×(-5)的积;再如计算⎝ ⎛⎭⎪⎫124时,应将它转化为计算12×12×12×12的积.【例1】 把下列各式写成乘方的形式,并指出底数,指数各是什么 (1)(-× (-×(-×(-×(-; (2)25×25×25×25; (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a ).分析:以上三题都是相同因数相乘,可用乘方的形式表示,相同因数为底数,相同因数的个数为指数,指数写在右上角.解:(1)(-×(-×(-×(-×(-=(-5; (2)25×25×25×25=⎝ ⎛⎭⎪⎫254;(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )=a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时,写成乘方的形式时,底数一定要加上括号,如(1),(2)两题.2.乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则:①正数的任何次幂是正数;②负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;③0的任何次幂等于0;1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化,关于乘方有如下几个性质:①0的任何正整数次幂都是0;互为相反数的两个数的偶次幂相等,奇次幂互为相反数.如0n =0(n 是正整数);(-4)6=46;(-4)3=-43.②进行乘方运算时与其他运算一样,先要确定符号,再计算出绝对值,同时还应注意(-a )2n =a 2n ,(-a )2n +1=-a 2n +1(n 是正整数),由乘方的法则我们还知道:a 2n ≥0,即任何有理数的偶次幂是非负数.谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于:一底数的符号,二指数的奇偶.【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算: (1)(-3)2;(2);(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-434;(4)(-1)11;(5)(-1)2;(6)(-1)2n ;(7)(-1)2n -1.分析:根据有理数乘方的符号法则:(2)正数的任何次幂都是正数,(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂,结果为正;(4)(7)是负数的奇次幂,结果为负.解:(1)(-3)2=3×3=9; (2)=××=;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-434=43×43×43×43=25681; (4)(-1)11=-1; (5)(-1)2=1; (6)(-1)2n =1; (7)(-1)2n -1=-1.3.有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路:确定幂的符号;确定幂的绝对值.有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算,幂是乘方运算的结果.因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算,先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号,再根据乘方的意义把乘方转化为乘法,来运算幂的绝对值,最后得出幂的结果.例如计算(-5)3,先确定幂的符号为“-”号,再计算53=125,即(-5)3=-125;再如,计算(-2)×32时,先算32=9,再算(-2)×9=-18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提,千万不能把底数与指数直接相乘.在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数,以及符号问题,避免出错.【例3-1】计算:(1)-33;(2)(-2)2;(3)(-3×2)3;(4)-(-2)3.分析:运算时,先确定符号,再计算乘方.(1)负号在幂的前面,结果是负数;(2)负数的偶次幂,结果是正数;(3)先计算底数-3×2=-6,再计算(-6)3;(4)先计算(-2)3,其结果是负数,再加上前面的负号,最后结果是正数.解:(1)-33=-(3×3×3)=-27;(2)(-2)2=4;(3)(-3×2)3=(-6)3=-216;(4)-(-2)3=-(-8)=8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时,一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误.如-33=-(3×3)=-9,这是由于没有理解乘方的意义导致的.【例3-2】计算(-10×412的值.分析:直接求(-10和412比较麻烦,但仔细观察可以发现(-10=,表示10个相乘,而412表示12个4相乘,这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律,比较容易求出结果.解:(-10×412=10×412=[10×410]×42=×4)10×42=1×16=16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用,给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便.现代高科技技术离不开数学技术,数学也是一门神奇的艺术,它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇!比如,一层楼高约3米,一张纸的厚度只有0.1毫米,0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计,如果我们将纸对折、再对折,如此这样对折20次后,其厚度将比30层楼房还要高,这就是有理数乘方的神奇魔力,在现实生活中有着很广泛的应用.数学是一门规律性很强的学科,只要掌握了它的规律,很多问题都可以迎刃而解了,乘方的规律也不例外.同学们要认真思考,仔细观察找到有理数乘方应用的规律.【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店,今天开张,做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传,当众拉起了拉面.他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩,吃面的人更是络绎不绝.张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条,把两头捏起来拉长,然后再把两头捏起来拉长,不断地这样,张师傅共拉了10次,在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条.算一算:张师傅拉10次共拉出了多少根细面条若拉n次呢(请把探索的结果填入下表中)8根,所以第n次拉出2n根.解:拉面的根数与拉面的次数n有关系,拉面的根数=2n.5.与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点,渗透多个知识点,形式多样.解题时,一般遵循从特殊到一般的探究思路,先准确计算几个特例的结果,再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论,最后再应用这个结论解决问题.由于乘方是一种新运算,它是一种特殊的乘法,特殊在因数相同,是同学们新接触的运算,所以解决问题时要注意,当底数是分数或负数时,写成幂时底数要加括号.与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种:(1)个位数字是几,在中考中经常涉及到,例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1,…依次循环;(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等,都利用2n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12n求解. 【例5-1】 有一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米.(1)对折2次后,厚度为多少毫米 (2)对折20次后,厚度为多少毫米分析:此题的关键是将纸的层数化为幂的形式,找出对应关系.根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×=22×0.1毫米,对折3次后厚度变为8×=23×0.1毫米,对折4次是16×=24×0.1毫米,对折5次是32×=25×0.1毫米,……,从中探寻规律,解答问题.解:(1)×22=(毫米). (2)(220×毫米.【例5-2】 1米长的小棒,第1次截去一半,第2次截去剩下的一半,如此截下去,第7次后剩下的小棒有多少米长分析:此题的关键是找出每次截完后,剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系.解:第7次后剩下的小棒有⎝ ⎛⎭⎪⎫127×1=1128(米).。

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