高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 文 北师大版

2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
标准方程
范围 对称性 性 顶点 质
轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系
ax22＋yb22＝1(a>b>0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)， B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a ； 短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝__2_c__
e＝ac∈_(_0_,1_)__
c2＝__a_2_－__b_2
解得－3<m<5 且 m≠1。 答案 C
3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C
的方程是( ) A.x32＋y42＝1 C.x42＋y22＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
解析 由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知，c＝1。 则ca＝12，得 a＝2。所以 b2＝a2－c2＝3， 故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1。 答案 D
第八章 平面解析几何
第五节 椭圆
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质；3.了解圆锥曲线的简单应用；4.理解数形结合的思想。
J 基础知识 自主学习
4．矩形 ABCD 中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以 A，B 为焦点，且过 C，D
两点的椭圆的短轴的长为( )
A．2 3
B．2 6
C．4 2
D．4 3
解析 依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为 2c＝|AB|＝4，长轴长 2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为 2b＝2 a2－c2＝2 16－4＝4 3。
【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2。 ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2。 ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2。 ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9。 ∴b＝3。
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越“圆”。( × ) 解析 错误。根据椭圆离心率的意义可知，椭圆的离心率e越大，椭圆 就越“扁”而非“圆”。 (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。( √ ) 解析 正确。根据椭圆的性质可知，椭圆既是轴对称图形，又是中心 对称图形。
[练一练]
1．设 P 是椭圆x42＋y92＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|
＋|PF2|等于( )
A．4
B．8
C．6
D．18
解析 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。 答案 C
2．方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的范围是(
)
A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5)
B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
解析 由方程表示椭圆知5m－＋m3>>00， ， 5－m≠m＋3，
上一点，M 是线段 F1P 的中点，|OM|＝3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4
B．3
C．2
D．5
【解析】 由题意知，在△PF1F2 中，
|OM|＝12|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6。∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4。 【答案】 A
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2。若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝___3_____。
基础自测
[判一判] (1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是 椭圆。( × ) 解析 错误。动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点 P的轨迹是线段AB而非椭圆。 (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为 椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)。( √ ) 解析 正确。根据椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所 以△PF1F2的周长为2a＋2c。
答案 D
5．椭圆xa22＋y52＝1(a 为定值，且 a> 5)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆
2 相交于点 A，B，△FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是____3____。
解析 如图所示，设椭圆右焦点为 F1，直线 AB 与 x 轴交于点 H，则|AF| ＝2a－|AF1|，△ABF 的周长为 2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，
知识梳理
1．椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1， F2间的距离叫作椭圆的 焦距 。 (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a， c为常数： ①若 a>c ，则集合P为椭圆； ②若a＝c ，则集合P为线段； ③若 a<c ，则集合P为空集。
∵△AF1H 为直角三角形， ∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即 F1 与 H 重合时，△AFB 的周长最 大，即最大周长为 2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3。而 b＝ 5，∴c＝2， 离心率 e＝ac＝23。
R 热点命题 深度剖析
考点一 椭圆的定义及应用
Leabharlann Baidu
【例 1】 (1)设 F1，F2 分别是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆
【规律方法】 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求 椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值 和离心率等。
(2)利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1| ＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积。