证据理论

证据理论（Evidence Theory）方法

我们将讨论一种被称之为登普斯特-谢弗（Dempster-Shafer）或谢弗-登普斯特（Shafer-Dempster）理论（简称D-S理论或证据理论）的不精确推理方法。这一理论最初是以登普斯特（Dempster，1967年）的工作为基础的，登普斯特试图用一个概率区间而不是单一概率数值去建模不确定性. 1976年，谢弗（Shafer，1976年）在《证据的数学理论》一书中扩展和改进了登普斯特工作. D-S理论具有好的理论基础。确定性因子能被证明是D-S理论的一种特殊情形。在§2我们将描述一种简化的证据理论模型MET1 . 在§3我们将给出支持有序命题类问题的具有凸函数性质的简化证据理论模型。围绕证据理论的一些新的研究工作，将在第六章介绍。

§1D-S理论（Dempster-Shafer Theory）

●辨别框架（Frames of Discernment）

D-S理论假定有一个用大写希腊字母Θ表示的环境（environment），该环境是一个具有互斥和可穷举元素的集合：Θ = { θ1 , θ2 , …, θn }

术语环境在集合论中又被称之为论域（the universe of discourse）。一些论域的例子可以是：

Θ = { airliner , bomber , fighter }

Θ = { red , green , blue , orange , yellow }

Θ = { barn , grass , person , cow , car }

注意，上述集合中的元素都是互斥的。为了简化我们的讨论，假定Θ是一个有限集合。其元素是诸如时间、距离、速度等连续变量的D-S 环境上的研究工作已经被做。

理解Θ的一种方式是先提出问题，然后进行回答。假定

Θ = { airliner , bomber , fighter }

提问1：“这军用飞机是什么？”；

答案1：是Θ的子集{ θ2 , θ3 } = { bomber , fighter }

提问2：“这民用飞机是什么？”；

答案2：是Θ的子集{ θ1} = { airliner }，{ θ1} 是单元素集合。

因为元素是互斥的，环境是可穷举的，对于一个提问只能有一个正确的答案子集。环境的所有子集是对应论域的所有可能的有效答案。 飞机环境的所有可能的子集由图5.1.1示出。注意，图5.1.1是一个格，子集节点可以有多个父亲节点，这个格（Lattice ）是一个分层结构。从 Θ到 ∅ 的任一路径都表达了连接父节点到儿子节点的子集分层关系，例如，{}{}{}C ,B ,A B ,A A ⊂⊂⊂∅ .

当一个环境的元素可以被解释成可能的答案，并且仅有一个答案是正确的，那么该环境被称之为一个鉴别框架。

鉴别这个术语意味着，对于一个提问，从与该提问相关的所有可能的答案中能区分出一个正确的答案。

能区分出一个正确的答案需要鉴别框架是可穷举的，其子集是不相交的。

一个大小为N 的集合包括自身恰有2N 个子集，这些子集定义了幂集，记为Θ2,对于飞机框架有

Θ2 = {}{}{}{}{}{}{}{}C ,B ,A ,C ,B ,F ,A ,B ,A ,F ,B ,A ,∅

Θ2 和对应于环境的所有可能提问的正确答案之间存在着一一对应关系。

● MASS 函数和无知

在贝叶斯理论中，后验概率随着证据而改变是所需要的。同样地，在D-S 理论中，关于证据的信任

也可以改变。在D-S 理论中，习惯上把证据的信任度类似于物理对象的质量去考虑，即证据的质量（Mass ）支持了一个信任。关于质量这一术语也被称为基本概率赋值（BPA , the Basic Probability Assignment ）或简称为基本赋值（Basic Assignment ）。为了避免与概率论相混淆，我们将不使用这些术语，而是简单的使用质量（Mass ） 一词。

D-S 理论和概率论的基本区别是关于无知的处理。

即使在无知的情况下，概率论也必须分布一个等量的概率值。假如你没有先验知识，那么你必须假定每一种可能性的概率值都是P

N

1P =

其中，N是可能性的总数。事实上，这赋值为P是在无可奈何的情况下作出的。但是，概率论也有一种冠冕堂皇的说法，即所谓的中立原理（the principle of indifference ）。当仅仅有两种可能性存在的时候，比方说“有石油”和“没有石油”，分别用H和¬H表示，那么出现应用中立原理的极端情况。在与此相类似的情况中，即使在没有一点知识的条件下，那么也必须是P = 50 % ，因为概率论要求P(H)+P(¬H) = 1，就是说，要么赞成H，要么反对H，对H无知是不被允许的。

在没有关于¬H的任何证据的情况下，即使不用中立原理，那么约束P(H)+P(¬H) = 1也要求必须对¬H进行概率赋值。

D-S理论不要求必须对无知假设H和反驳假设H赋以信任值，而是仅仅将Mass分配给你希望对其分配信任的环境的子集。任一未被分配给具体子集的‘信任’被看成‘未表达意见’，并将其分配给环境Θ. 反驳一个假设的‘信任’，实际上，是对该假设的‘不信任’，但不是对该假设‘未表达意见’。

例1.1

假定一个敌友飞机识别（IFF , Identification Friend or Foe）传感器（敌友飞机识别（IFF , Identification Friend or Foe）传感器也被简称为敌友飞机识别器），从一架飞机的应答器获得了一个响应。如果某飞机是友机，那么它的发射机应答器应通过回送它的识别代码立即进行应答。若接收应答的飞机未收到某架飞机A的应答，那么接收应答的飞机的缺省处理结果是：飞机A是一架敌机。一架飞机A* 可能因下列原因未能发送应答信息：

• A* 的敌友飞机识别器发生了故障

• A* 的发射机应答器发生了故障

• A*上没有敌友飞机识别器

• A* 的敌友飞机识别器受到了干扰

• A* 收到了保持其雷达沉默的命令

假定因敌友飞机识别器的故障，导致了关于目标飞机有0.7的可能性是敌机的证据，其中仅仅轰炸机和战斗机被认为是敌机。由此，这Mass的赋值为

m1({B , F}) = 0.7

其中，m1系指由第一个敌友飞机识别器提供的证据的Mass值。注意，