图论GraphTheory-数学研究所
图论GraphTheory-数学研究所81页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
图论总结(超强大)解读
1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。
图论讲座
指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排 名员工去完成 项任务， 每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员 工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。 如何分配工作方案可以使总回报最大？
2013.11.10
中国邮递员问题(CPP－chinese postman problem)
图论的起源
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士 数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七 座桥”。 1857年，凯莱发现了“树”。 1895年，哈密尔顿提出周游世界游戏。
2013.11.10
图论的运用
近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发 展，大大促进了图论研究和运用，图论的理论 和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建 筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、 社会学等学科中。
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题的数学模型
2013.11.10
图与网络
图与网络是运筹学(Operations Research)中一 个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济 管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信 息技术通讯与网络技术等诸多领域。下面将要 讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流 问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。
2013.11.10
最短路问题(SSP—shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货 物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵 横交错，因此有多种行车路线，这名司机应该 选择哪条路线？假设货柜车行车速度是恒定的， 那么这一问题相当于需要找一条从甲地到乙地 的最短路。
图 论(Graph Theory) ----图与网络模型及方法
第五部分图论GraphTheory教学课件
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b
54
图同构示例 1
b
c
a G
d b’
b’
d’
a’
c’
G’
c’
a’
G’
d’
55
图同构举示例2
a1
b1
a d1
d a1
b
c1 c
b1
a
d1
b
c1
d
c
a a1 d1
d
b b1 c1
c
56
图同构示例3
G1
GG3 2
GG11≌≌GG32？
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自补图
如果G和它的补图 G同构，称G为自补图
a
a’
b
e
d’
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
i 1
n
((deg (vi ) deg (vi ))((deg (vi ) deg (vi ))
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论GraphTheory教学讲义
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章 图 论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
图论GraphicTheoryppt课件
b、去某边后不能造成图形的不连通。
2020/8/1
v2
v7
v1
v3 3 1 v5
v6
v8
2
v4 v9
(3)接着去掉(v3,v2)
依序去掉相连的边但必须注意下列两条件：
a、如果某边去掉后会导致某点无连通的边 ，则此顶点亦可去也。
b、去某边后不能造成图形的不连通。
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解：首先看图中是否有Euler回路，即看每个顶 点的度是否都是偶数。
d(V1)=2， d(V2)=4， d(V3)=2，
d(V4)=4， d(V5)=4， d(V6)=4，
d(V7)=2， d(V8)=2， d(V9)=4。
Hamilton图。
• 在图G中，若存在通过每个顶点各一次的道
路，则称这条道路为Hamilton道路。
2020/8/1
• 定理(充分条件) ：设简单图G的顶点数为 n(n>3)，若G中任意一对顶点vi、vj，恒有 d(vi)+d(vj)≥n-1，则图G中至少有一条 Hamilton道路。
• 推论(充分条件) ：若任意一对顶点vi、vj，恒 有d(vi)+d(vj)≥n，则图G中至少有一条 Hamilton回路。
vk
v2
v1
vp-1
vp
vL
与假设矛盾，所以存在包含所有顶点的 Hamilon道路。
2020/8/1
[离散数学]图论
![[离散数学]图论](https://img.taocdn.com/s3/m/82c85c1ca76e58fafab00337.png)
正则图:一个无向简单图 如果∆(G)=δ(G)=k 六. k-正则图 一个无向简单图 中,如果 正则图 一个无向简单图G中 如果 则称G为 正则图 正则图. 则称 为k-正则图
课堂练习: 课堂练习 1.下面哪些数的序列 可能是一个图的度数序列? 下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列 下面哪些数的序列 可能是一个图的度数序列 如果可能,请试画出它的图 哪些可能不是简单图? 请试画出它的图. 如果可能 请试画出它的图 哪些可能不是简单图 a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) 2.已知无向简单图 中,有10条边 个3度结点 其余结点的 已知无向简单图G中 有 条边 条边,4个 度结点 度结点,其余结点的 已知无向简单图 度均小于或等于2,问 中至少有多少个结点 为什么? 中至少有多少个结点?为什么 度均小于或等于 问G中至少有多少个结点 为什么
1. a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) 不是, 解:a)不是 因为有三个数字是奇数 不是 因为有三个数字是奇数. b) 是. c) 不是简单图 因为它有 个结点 已经有 个结点度分 不是简单图,因为它有 个结点,已经有 因为它有5个结点 已经有4个结点度分 别为1,2,2,3, 余下一个结点度为 必然有环 余下一个结点度为4, 必然有环. 别为
一. 图的概念 一个图 G=<V(G),E(G)>, 其中 V(G): 是G的结点的非空集合 (V(G)≠Φ),简记成 的结点的非空集合. 简记成V. 的结点的非空集合 简记成 E(G): 是G的边的集合 有时简记成 的边的集合. 的边的集合 有时简记成E. • 结点 结点(Vertices): 用 表示 旁边标上该结点的名称 表示, 旁边标上该结点的名称. • 边(Edges): 有向边: 带箭头的弧线. 从u到v的边表示成 <u,v> 有向边 带箭头的弧线 到 的边表示成 的边 无向边:不带箭头的弧线 和 间的边 不带箭头的弧线. 间的边表示成 无向边 不带箭头的弧线 u和v间的边表示成 (u,v) A r e e1 e e5 2 G1 : B e6 G2 : D w e
GRAPH THEORY 图论
一筆畫問題 (Euler Tour)
哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)
中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題
哈密頓（Hamilton）環遊世界問題
如何一次歷遍二十個城市 而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle
路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列， 其中的點兩兩不相同 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs
任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2
图论介绍（GraphTheory）
图论介绍（GraphTheory）1 图论概述1.1 发展历史第⼀阶段：1736：欧拉发表⾸篇关于图论的⽂章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之⽗1750：提出了拓扑学的第⼀个定理，多⾯体欧拉公式：V-E+F=2第⼆阶段（19~20世纪）：1852: Francis Guthrie提出四⾊问题1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图1878: Alfred Kempe给出给出四⾊定理证明1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四⾊定理证明1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第⼀篇论⽂1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第⼀本图论专著《有限图与⽆限图的理论》，图论成为了⼀门独⽴学科第三阶段（现代图论）：1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory1959: Erd˝os and Rényi 引⼊随机图理论（边的存在的概率为p）1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使⽤计算机最终证明了四⾊问题1.2 参考教材Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976《图论及其应⽤》经典教材，吴望名译，有电⼦版Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第⼆版，推荐教材Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017《图论》GTM173，有电⼦版Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017⼊门教材2 图的初步知识（注：⼀般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶⼤于等于2）2.1 不规则图Definition: 所有顶点的度都不同的图叫不规则图 (irregular graph)Definition: 只有⼀对顶点的度相同的图叫⼏乎不规则图 (almost irregular graph)Theorem:1）不规则图不存在2）恰好存在两个阶数相同的⼏乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）3）对于任意最⼤值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数（以上结论不适⽤于多重图和加权图）2.2 正则图Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是⼀条边的图，单连通的2-regular是⼀个圈，单连通的3-regular称为⽴⽅图Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1常⽤正则图：Kn: n阶完全图，r = n-1Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2Qr: n=2^r阶的超⽴⽅体(r-cube)Kr,r: n=2r阶的⼆分图2.3 ⼆分图（bipartite graph）Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫⼆分图Theorem：图G是⼆分图\Leftrightarrow G中⽆奇圈2.4 ⼦图图G，⼦图（subgraph）Hsubgraph ---> spanning subgraph---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraphspanning subgraph: ⽣成⼦图，H和G的顶点相同induced subgraph: 诱导⼦图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)vertex-delete subgraph: 去顶点⼦图，从图中去除1个顶点Theorem：任意图都可以表⽰为某个正则图的导出⼦图未解问题：给定某⼀图G的所有去顶点⼦图，是否能够重构出唯⼀的图G（同构意义上是唯⼀的）？2.5 距离Definition：连通图（connected），由多个连通分⽀（component）构成的图为不连通图（disconnected）G-v ⽐ G有更多的连通分⽀，则点v称为G的割点（cut-vertex）G-e ⽐ G有更多的连通分⽀，则边e称为G的桥（bridge）Theorem:连通图G，e是桥\Leftrightarrow e不属于G的任何⼀个圈\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e连通图G，w是割点\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过wDefinition：点u, v之间的距离（distance）：u,v之间最短路径的长度d(u,v)点u的离⼼率（eccentricity）：u 与其它点的最⼤距离\epsilon(u)=\max\limits_v d(u,v)最⼩离⼼率为图的半径（radius），达到最⼩离⼼率的点为中⼼点（central vertex）最⼤离⼼率为图的直径（diameter），达到最⼤离⼼率的点为边缘点（peripheral vertex）2.6 TreeDefinition：不包含圈的连通图为树（Tree）Theorem：图G是树\Leftrightarrow G中任意两个顶点都有且只有⼀条连通路径n阶树有n-1条边在G内添加任意⼀条边，就会形成⼀个回路。
4 图论
图论维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索一个由6个顶点和7条边组成的图图论（Graph theory）是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法。
图是区域在头脑和纸面上的反映，图论就是研究区域关系的学科。
区域是一个平面，平面当然是二维的，但是，图在特殊的构造中，可以形成多维（例如大于3维空间）空间，这样，图论已经超越了一般意义上的区域（例如一个有许多洞的曲面，它是多维的，曲面染色已经超出了平面概念）。
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。
图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。
图论的研究对象相当于一维的拓扑学。
目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 图论问题o 2.1 图的计数o 2.2 子图相关问题o 2.3 染色o 2.4 路径问题o 2.5 网络流与匹配o 2.6 覆盖问题∙ 3 重要的算法∙ 4 参见[编辑]历史柯尼斯堡七桥问题一般认为，于1736年出版的欧拉的关于柯尼斯堡七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章。
此问题被推广为著名的欧拉路问题，亦即一笔画问题。
而此论文与范德蒙德的一篇关于骑士周游问题的文章，则是继承了莱布尼茨提出的“位置分析”的方法。
欧拉提出的关于凸多边形顶点数、棱数及面数之间的关系的欧拉公式与图论有密切联系，此后又被柯西等人进一步研究推广，成了拓扑学的起源。
1857年，哈密顿发明了“环游世界游戏”(icosian game)，与此相关的则是另一个广为人知的图论问题“哈密顿路径问题”。
“图”这一名词是西尔维斯特在于1878年发表在《自然》上的一篇论文中提出的。
欧拉的论文发表后一个多世纪，凯莱研究了在微分学中出现的一种数学分析的特殊形式，而这最终将他引向对一种特殊的被称为“树”的图的研究。
由于有机化学中有许多树状结构的分子，这些研究对于理论化学有着重要意义，尤其是其中关于具有某一特定性质的图的计数问题。
图论-中国科学院数学研究所
W.T. Tutte (1917-2002)
◆ 英国皇家学会会员 ◆ 创建滑铁卢大学组合与优化系
◆ 图论与拟阵论两大领域奠基性工作
◆ 二次世界大战伟大无名英雄(Great unsung hero of World War II)
W.T. Tutte (1917-2002)
Tutte的战友Jerry Roberts(破译小组最后一名 成员)2014年3月25日去世，英国《每日邮报》报 道的标题是《英国传奇译码专家去世 曾助二战 提前两年结束》，文中写道： 由于Tutte成功破解了“金枪鱼”系统的逻辑原 理，他的团队得以破译德军最高级别的密码“金 枪鱼”。
Very Large Scale Integration
用半导体工艺技术将电子电路的电子元器
件（电阻、电容、电感、晶体管、二极管、传
感器等）在一块半导体材料（硅、砷化镓）芯
片上，互连成有独立功能的电路和系统。亦称 为“芯片”（Chip）。
集成电路产业
集成电路产业包括设计、芯片制造、封装检测 三大部分。可形象地比喻为写书、印刷、装订。
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图论研究的对象是图，它由点及连接两
点的线所构成。现实世界中许多问题的数学
抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通
网、通讯网、社团网、大规模集成电路、分 子结构等都可以用图来描述。对图的研究形 成了一个专门的数学分支—图论 。
◆ 将荣誉博士学位退还滑铁卢大学
Paul Erdos (1913-1996)
图论(Graph Theory)
图论的起源：哥尼斯堡七桥，欧拉定理 图论的发展：四色问题 图论的经典：哈密顿圈， Ramsey数 图论的热点：极值问题 图论的前沿：整数流，偶图和 图论的应用：大规模集成电路设计
[化学]图论Graph Theory-精品文档
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第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。
其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。
1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。
我们记(),G V E =表示此图形。
图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。
边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。
此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。
边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。
若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。
定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。
G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。
01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。
GraphTheory离散数学图论双语
Ch1-15 Copyright 黃鈴玲
Handshaking theorem
Theorem 1.1 (Handshaking theorem)
e=uv (e joins u and v) (e is incident with u, e is incident with v)
Ch1-7 Copyright 黃鈴玲
Graphs types
loop
multiedges, parallel edges
undirected graph:
• (simple) graph: loop (), multiedge ()
Ch1-1 Copyright 黃鈴玲
Graph Theory 的起源
1736, Euler solved the Königsberg Bridge Problem (七橋問題)
Q: 是否存在一 種走法，可以走 過每座橋一次， 並回到起點？
(Ch7 Euler graph)
Ch1-2 Copyright 黃鈴玲
Ch1-9 Copyright 黃鈴玲
Application of graphs
一群人間兩兩互相認識或不認識(i.e., 沒有A認識B但 B不認識A的情形)，在安排一張圓桌的晚餐座位時， 是否存在一種排法能讓坐在一起的人都相互認識？
eg.
Tom, Dick know Sue, Linda.
Harry knows Dick and Linda.
• multigraph: loop (), multiedge ()
graph_theory
1. 图的基本概念
中必包含一个三角。 问题：定理5给出的边界是否是紧的？ 为便于讨论图算法，给出算法复杂性的几个基本定义 定义13：对于给定的函数g(n)，定义如下的函数集合 O(g(n)):={f(n)|存在正常数c和n0，使得对于所有n≥ n0，0≤f(n) ≤cg(n)}，称g(n)为O(g(n))中任意函数f(n) 的渐近上界（注：一般要求g(n)和f(n)定义于N）
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2. 路与回路
定理3：若W(G)=n，在G中删除一边获得G’，则W(G’) ≤n+1 定理4：对于任何一个图G，有k(G) ≤λ(G) ≤ δ(G) 定理5：一个连通无向图G中的结点v是割点⇔ 存在两个结点u和w，使得结点u和w的每一条路都通过v。 定义6：若u可达v，它们之间所有路中，最短路的长度称为结 点u和v之间的距离，记作d<u,v>，若从u到v不可达，d<u,v> ＝∞。称D=max{d<u,v>|u,v∈V}为图G=<V,E>的直径 注：d<u,v>
3
1 图的基本概念
8. 环（loop）：关联于同一结点的边，也称为自回路 9. 有向图、无向图和混合图：本课程只涉及有向图 和无向图
定义2：设G=<V,E>是一个图，则|V|称为G的阶 数（order），|E|称为G的规模（size）。
定义3：在图G= <V,E>中，与结点v (v ∈ V)关联的 边数，称为该结点的度数（degree），记作deg(v)。
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2.路与回路
定理8：若无向图G恰有两个奇数度结点，则此 两点间必有一条路 定义8：如果图G=<V,E>的结点集合V可划分为 8 G=<V,E> V 两个非空集合V1 、 V2的并，使得任意e∈E均连 接了分处V1和V2中的两个结点，则称其两分图 （bipartite graph）。 例子 定理9：简单图G=<V,E>是两分图 iff 不包含任 何奇圈。
图论
补图
定义1：设G是简单图，H是一个以V(G)为顶 点集的图，且两个顶点在H中邻接当且仅当它 在G中不邻接，则称H为G的补图，记为H= G
G G K5
定义2：由G的所有结点和为使G变成完全图, 所需要添加的那些边组成的图, 称之为G的补 图.
图的同构
例：图G如右图
2 1 3
3
3 4 5
3
4
3 2
2 1
4 5
2 1
2 5
(1) (2) (3) 则（1）是G的生成子图，是由边 (2,3),(2,4),(2,5),(1,2),(1,5)导出的子图，但不是点导 出子图。 （2）是由边(2,3),(2,4),(2,1)导出的子图。 （3）是由点{2,3,5}导出的子图，也是由边(2,3),(2,5) 导出的子图。 （4）既不是点导出的子图，又不是边导出的子图，是G 的子图。
2
5 7
3
一. 图的概念
设A，B为两个非空集合，记 AB={<a,b>|aA∧bB}(笛卡儿积) A&B={(a,b) |aA∧bB}(无序对集合) 定义1：一个无向图G定义为一个二元组<V,E>，记做 作G=<V,E>，其中 A （1）V是一个非空集合，称为G e1 e e5 2 的顶点集，它的元素称为顶点； G : B e6 D （2）EV&V，称为G的边集， e3 e 4 C e7 其元素称为边， V&V中的元素可以在 V(G)={A,B,C,D} E中出现不止一次。 注1：以下，用分别V(G),E(G)表示图G 的顶点集和边集。 注2：只讨论V(G)和E(G)有限的情形。 注3：在保持图的顶点和边的关系不变的情况下，图 形的位置、大小、形状都是无关紧要的。
graphtheory(精)
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
Figure: 例如, “������3 与 ������4 ”是邻接点
王涛 (河南大学) 图 论
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
(a) 孤立点: ������5
王涛 (河南大学) 图 论
2010 年 7 月 17 日
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与图相关的概念和约定
不与任何点相邻接的点, 称为孤立点. 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph) ， 否则称为非平凡 图(nontrivial graph) 。 仅由孤立结点组成的图叫零图 。
王涛 (河南大学) 图 论
������ 23
������ 34
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与图相关的概念和约定
不与任何点相邻接的点, 称为孤立点. 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph) ， 否则称为非平凡 图(nontrivial graph) 。 仅由孤立结点组成的图叫零图 。
王涛 (河南大学)
图 论
2010 年 7 月 17 日
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与图相关的概念和约定
一条边的两个端点称为与这条边是关联的(incident) 若两个点与同一条边相关联, 则称两个点是邻接点. 关联于同一点的两条边叫邻接边.
王涛 (河南大学)
图 论
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与图相关的概念和约定
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
图论(GraphTheory)电脑辅助空间资讯规划设计理论
證明：設欲加上(i,j)邊，依定義，T的任二點i和j之間恰有一簡單路
G = (V, E), 若 |E| < |V| - 1，則G是非連結的 (反之不一定成立) G = (V, E), 若 |E| > |V| - 1，則G存在迴路 (反之不一定成立)
圖的矩陣表達方式(資料結構)
Adjacency matrix
ห้องสมุดไป่ตู้
Depth First Search
adjacency matrix : O(?) incidence matrix : O(?)
DFS和BFS的複雜度相同。但是，BFS的the worst case 是DFS的the best case。反之亦然。
adjacency matrix : O(n2) incidence matrix : O(n*e)
延伸樹的演算法
Breadth First Search (廣度優先搜尋法) Depth First Search (深度優先搜尋法)
延伸樹的演算法
Breadth First Search (廣度優先搜尋法，BFS)
Depth First Search (深度優先搜尋法，DFS)
由任一點i開始，先拜訪相連之所有點j1 ,j2 , ... ,jn
樹(Tree)就是沒有迴圈的圖(graph)，且任二點之間有唯一簡單路徑 (simple path) 一群不相連結的樹，稱之為林(forest) G = (V, E), G’ = (V’, E’), G’是G的子圖(sub-graph)，如果 V’⊆V, E’⊆E G = (V, E)的延伸樹(spanning tree) S = (V’, E’) 是G的子圖；V’=V, E’⊆E, S是樹(tree)
二编图论
6
例：无向图
例: G=<V,E>,V={a,b,c,d,e}, E={(a,a),(a,b),(a,b),(b,c),(c,d),(b,d)}.
a b
d
e
c
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例：有向图
例: D=<V,E>,V={a,b,c,d,e}, E={ <a,a>, <a,b>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b> }.
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定理5(证明)
证明: () 设 d’=(d2-1,d3-1,…,dd1+1-1, dd1+2, …, dn) 可简单图化为 G’=<V’,E’>, 其中 V’={v2,v3,…,vn}, 则令G=<V,E>, V=V’{v1}, E = E’ { (v1,v2), (v1,v3), …, (v1,vd1+1) }, 于是d可简单图化为G.
零图(null graph): E=, n阶零图: |V(G)|=n, Nn 平凡图(trival graph): 1阶零图, N1 空图(empty graph): V=E=,
图定义中规定顶点集非空，由于图的运算中，可 能产生点集为空集的运算结果
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24
例2
例2: (1)d=(5,4,4,3,3,2); (2)d=(5,3,3,2,1).
5 3 3 1 ╳
5
3
3
1
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好的数学问题/猜想
简洁：简短而易理概念融于一体
一般性：适用性广，涵盖面宽
核心性：与已知的著名定理和猜想有关联
经久性：久而未决（至少20年）
影响力：解决该问题的尝试产生新概念，新 证明技巧
图论的起源——哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将七桥问题转化为图论问题 : 求图中一条 迹 (walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质 的迹称为欧拉迹）。 欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2。
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
闭的欧拉迹也称为欧拉回路。
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图存在欧拉回路 且可分解成 边不交的圈。
需要多少个圈？ 二百多年来，这个问题一直未能解决。
圈分解猜想
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可分解成至多 n/2 个 圈（欧拉图：无奇度数点的连通图）
四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着 色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。 Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上 有过合作。 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了 四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
优旅行路线(行程最短或费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。里程或机 票价作为每条边的权。
旅行商问题
问题: 在带权图中找一条回路：过每个点
恰好一次 , 且边的权之和最小 ( 带权最优哈
密顿圈）
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机等
中国邮递员问题
图论的发展——四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 该问题成为数学史上最著名问题之一。将地图 看作一个平面图：国界为边，相交处为点，国 家区域称为面，则该问题可表述为：
四色问题
Tait的错误在于他认为3-正则，3-连通的
平面图有一个圈包含所有点（哈密顿圈）。
可是他没能证明这一点。半个多世纪后(1946
年)，Tutte给出了第一个不含哈密顿圈的3正则，3-连通平面图，从而宣告了Tait证明 的错误是无法修补的。
图论的经典——哈密顿圈问题
Tait 对四色问题的错误证明在于假定
中国邮递员问题: 在带权图中找一条回路：
过每条边至少一次 , 且边的权之和最小 ( 带权
最优欧拉回路问题)
难度: 有多项式算法
(Edmonds, 1985 von Neumann Prize) 应用: 起源于中国邮递（管梅谷，1962）
图论的经典——Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
中科院系统所曾引领中国图论的发展。
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
图论分支
图 论
结 构 图 论
极 值 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
我们将通过图论发展历程中的若
干好问题/猜想，来了解这一学科的
Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可分解成cn 个圈。 Pyber 认为此猜想的解决在目前是不可及的“ out of reach at present”。
路分解猜想
Gallai 猜想： n 个点的连通图可分解成至多 (n+1)/2条路。 Lovasz 定理 ： n 个点的连通图可分解成至多 n/2条路和圈。 Lovasz： 长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科 学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现 为匈牙利科学院院长。
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图论研究的对象是图，它由点及连接两
点的线所构成。现实世界中许多问题的数学
抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通
网、通讯网、社团网、大规模集成电路、分 子结构等都可以用图来描述。对图的研究形 成了一个专门的数学分支—图论 。
3-正则，3-连通平面图有哈密顿圈（含
所有点的圈）。
哈密尔顿圈问题: 哪些图有哈密顿圈？
带权哈密尔顿圈
哈密顿圈可看成过每个点恰好一次的 回路；若每条边有一个权(weight),求最优
哈密顿圈（总权和最小的哈密顿圈），就
是找一条回路：过每个点恰好一次且行程
最短—旅行商问题。
旅行商问题
问题提出: 一个旅行商从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计最
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab ce
de
ac ad bc
cd
be
bd
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。 普林斯顿数学系自2008年起，一直有每周一 次的离散数学seminar，邀请世界各地的数学 家作报告，主要侧重图论。