最新多元统计分析之因子分析

多元统计分析之因子

分析

第八章因子分析

§8.1 什么是因子分析及基本思想

1904年Charles Spearman发表一篇著名论文《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用以研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算的设备使因子分析的应用和发展受到很大的限制，甚至停滞了很长时间。后来由于电子计算机的出现，才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大的进展。目前这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。

1 什么是因子分析

因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。

例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。

假设100人测试的分数{}100,,1, =i X i 可以用上述六个因子表示成线性

函数：

,1001,i 662211 =++++=i i i i i F a F a F a X ε

其中61,,F F 表示六个因子，它对所有X i 是共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数61,i i a a 称为因子载荷，它表示第i 个应试人员在六个因子方面的能力。i ε是第i 个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定),0(~2i i N σε，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。这里的61,,F F 的值未知的，并且有关参数的统计意义更不

一样。因子分析的任务，首先是估计出{}ij a 和方差{

}2i σ，然后将这些抽象因子{}i F 赋予有实际背景和因子之间的相互关系，以达到降维和对原始变量进行分

类的目的。

因子分析的内容十分丰富，本章仅介绍因子分析常用的两种类型：R 型因子分析（对变量作因子分析）和Q 型因子分析（对样品作因子分析）。

2 基本思想

因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性（或相似性）的大小把变量（或样品）分组，使得同组内的变量（或样品）之间相关性（或相似性）较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。

从全部计算过程来看作R 型因子分析与作Q 型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R 型从相关系数矩阵出发，Q 型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定哪一类型的因子分析。

§8.2 因子分析的数学模型

1 数学模型（正交因子模型） R 型因子分析数学模型

??

?

??

?

?++++=++++=++++=p m pm p p p m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 22112

22221212112121111 用矩阵表示：

??

?

???

?

???????+????????????????????

??????=??????????????p m pm p p m m p F F F a a a a a a a a a X X X εεε 212121222211121121

简记为

)

1()

1()()

1(????+=p m m p p F A

X ε

且满足：

1）p m ≤

ii ）0),(=εF Cov 即F 和ε是不相关的；

iii ）m

I F D =?

???

???????

?=10101

)( 即F 1…F m 不相关且方差皆为1。

??????????????=22

22100)(P D σσσε 即p

εε,,1 不相关，且方差不同。 其中),(1'=p X X X 是可实测的p 个指标所构成p 维随机向量，

),,(1'=m F F F 是不可观测的向量，F 称为X 的公共因子或潜因子，即前面所

说的综合变量，可以把它们理解为在高维空间中的互相垂直的m 个坐标轴；a ij 称为因子载荷是第i 个变量在第j 个公共因子上的负荷，如果把变量X i 看成m 维因子空间中的一个向量，则ij a 表示X i 在坐标轴F j 上的投影，矩阵A 称为因子载荷矩阵；ε称为X 的特殊因子，通常理论上要求ε的协方差阵是对角阵，ε中包括了随机误差。

由上述模型满足的条件可知：m F F F ,,,21 是不相关的。若m F F F ,,,21 相关时，则D(F)就不是对角阵，这时的模型称为斜交因子模型，本章将不讨论这种模型。

类似地，Q 型因子分析数学模型为：

?????

?

?++++=++++=++++=n

m nm n n n m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 22112

222212121

12121111 此时X 1, X 2, …, X n 表示n 个样品。

因子分析的目的就是通过模型ε+=AF X 代替X ，由于n m p m <<,，从而达到简化变量维数的愿望。

因子分析和主成分分析有很多相似之处，在求解过程中二者都是从一个协方差阵（或相似系数阵）出发，但这两种模型是有区别的，主成分分析的数学模型实质上是一种变换，而因子分析模型是描述原指标X 协方差阵∑结构的一

种模型，当p m =时，若不能考虑ε，此时因子分析也对应于一种变量变换，但在实际应用中，m 都小于p ，且为经济起见总是越小越好。另外在主成分分析中每个主成分相应的系数ij a 是唯一确定的，即因子戴荷阵不是唯一的，若Γ为任一个m m ?阶正交阵，则因子模型ε+=AF X 可写成：ε+Γ'Γ=))((F A X ，仍满足约束条件，即0),(),(,)()(=Γ'=Γ'=ΓΓ'=Γ'εεF Cov F Cov I F D F D m ，所以F Γ'也是公共因子，ΓA 也是因子载荷阵。因子载荷这个不唯一性，从表面上看是不利的，但后面将会看到当因子载荷阵A 的结构不够简化时，可对A 实行变换以达到简化目的，使新的因子更具有鲜明的实际意义。从因子分析的数学模型上看，它与多变量回归分析也有类似之处，但本质的区别是因子分析模型作为“自变量”的F 是不可观测的。

2 因子模型中公共因子、因子载荷和变量共同度的统计意义

为了便于对因子分析计算结果做解释，将因子分析数学模型中各个量的统计意义加以说明是十分必要的。

假定因子模型中，各个变量以及公共因子、特殊因子都已经是标准化（均值为0，方差为1）的变量。

（1） 因子

（2） 载荷的统计意义

已知模型：

i m im j ij i i i F a F a F a F a X ε++++++= 2211

两端后乘F j 得：

j i j m im j ij j i j i j i F F F a F F a F F a F F a F X ε++++++= 12211

于是

)()()()()()(2211j i j m im j j ij j i j i j i F E F F E a F F E a F F E a F F E a F X E ε++++++=

由于在标准化下有：

1,0)(,1)(,0)(,0)(=====i i i VarX X E Var E F E εε

因此(),(),()i j i j i j i j X F i j F F i j F E X F r E F F r E F r εε===

所以上式可写成：

1212i j j j j j m j i j X F i F F i F F ij F F im F F F ij r a r a r a r a r r a ε=++++++=（因为各因子不

相关，所以相关系数为0）

故因子载荷ij a 的统计意义就是第i 个变量与第j 个公共因子的相关系数即表示X i 依赖F j 的份量（比重）。因此用统计学的术语应该叫作权，但由于历史的原因，心理学家将它叫做载荷，即表示第i 个变量在第j 个公共因子上的负荷，它反映了第i 个变量在第j 个公共因子上的相对重要性。

（2）变量共同度的统计意义

所谓变量X i 的共同度定义为因子载荷阵A 中第i 行元素的平方和，即

∑===

m

j ij i a

h 1

2

2

p ,1,i

为了说明它的统计意义，将下式两边求方差，即

i m im i i i F a F a F a X ε++++= 2211

)()()()()(2

222121i m im i i i Var F Var a F Var a F Var a X Var ε++++= V

2

22221i im i i a a a σ++++=

22i i h σ+=

由于X i 已标准化了，所以有

221i i h σ+=

此式说明变量X i 的方差由两部分组成：第一部分为共同度2i h ，它刻划全部公共因子对变量X i 的总方差所作的贡献，2i h 越接近1，说明该变量的几乎全部原始