工程力学 第17章 复合材料的力学行为 习题及解析
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工程力学（静力学与材料力学）习题解答
第17章 复合材料的力学行为
17－1 图示结构中，两种材料的弹性模量分别为E a 和E b ，且已知E a >E b ，二杆的横截面面积均为bh ，长度为l ，两轮之间的间距为a ，试求： 1．二杆横截面上的正应力；
2．杆的总伸长量及复合弹性模量；
3．各轮所受的力。
知识点：静不定问题，复合弹性模量 难度：很难 解答：
解：1．P Nb Na F F F =+ （1） b a l l ∆=∆ （2） bh
E l
F l a Na a =∆ （3） bh
E l
F l b b Nb =
∆ （4）
将（3）、（4）代入（2），得b
Nb
a Na E F E F =
（5）
（1）、（5）联立解得
P b a a Na F E E E F +=，P b a b
Nb F E E E F +=
bh F E E E bh F P b a a Na a +==σ，bh F E E E bh F P
b a b Nb b +==σ
2．由（3）式 bh
E E l
F bh E l F l )(b a P a Na a +==
∆ 设复合弹性模量E c
)
2(c P bh E l
F l =∆，由于a l l ∆=∆，比较两式得
2
b
a c E E E +=
3．由于F Na >F Nb ，所以，轮C 、轮G 脱离接触面，所以受力为零。
0)(=∑F k M ，02
2R Nb Na =--a F h
F h F H
∴ b a b a P R 2E E E E a h F F H +-=，b
a b
a P R R 2E E E E a h F F F H D +-==
17－2 玻璃纤维/环氧树脂单层复合材料由2.5kg 纤维与5kg 树脂组成。已知玻璃纤维的弹性模量E f =
85GPa ，密度f ρ= 2500kg/m 3
，环氧树脂的弹性模量E m = 5GPa ，密度m ρ= 1200kg/m 3。试求垂直于纤维方向和平行于纤维方向的弹性模量E y 和E x 。
知识点：单向铺层纤维增强复合材料，复合弹性模量 难度：一般 解答：
解：纤维和基体的总体积：00517.01200
5
25005.2=+=
V m 3 纤维体积与复合材料总体积之比：1934.000517
.025005
.2f ==V
11.685
)1934.01(51934.085
5)1(f f m f f m =⨯-+⨯⨯=-+=
E V E V E E E y GPa G
D
R F D
Na F Nb
F C H
R F H
P
F a
K
(a)
习题17-1图
47.20)1934.01(51934.085)1(f m f f =-⨯+⨯=-+=V E V E E x GPa
17－3 已知组成单层复合材料的基体材料具有明显的屈服平台，屈服强度ms σ= 20MPa ，强度极限
mb σ= 50MPa ，相应的极限应变为ms ε= 14.5%，mb ε= 30%；纤维的强度极限fb σ= 2000MPa ，极限应变fb ε=
15%。现要求这种复合材料在平行于纤维方向加载时，能承受1300MPa 的应力，试确定所需纤维的体积比。
知识点：单向铺层纤维增强复合材料，复合弹性模量，增强体积比 难度：一般 解答：
解：%65.6420
200020
1300ms fb ms cb f =--=--=
σσσσV
17－4 具有明显屈服平台的树脂，其屈服强度ms σ= 35MPa ，强度极限mb σ= 65MPa ，相应的极限应变为ms ε= 15%，mb ε= 40%；玻璃纤维的强度极限fb σ= 1860MPa ，极限应变fb ε= 15.5%。若以树脂为基体，以纤维作为增强材料组成单层复合材料，试求产生增强效果所需的最小纤维体积比，并确定沿纤维方向加载时复合材料横截面上所能承受的最大的名义应力。
知识点：单向铺层纤维增强复合材料，增强体积比，名义应力 难度：一般 解答：
解：%64.135186035
65ms fb ms mb fcr =--=--=σσσσV
MPa
93.64)0164.01(35%64.11860 )
1(fcr ms fcr fb cb
=-⨯+⨯=-+=V V σσσ
17－5 已知单层复合材料的弹性常数分别为E x = 15GPa ，E y = 4.5GPa ，xy ν= 0.10，G xy = 6.28GPa 。任意点的应力状态如图所示，其中X σ= 15GPa 。试求该点的X ε、Y ε、XY γ。
知识点：单向铺层纤维增强复合材料，应力应变分析，刚度矩阵与柔度矩阵 难度：很难 解答：
解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⨯⨯⨯-
⨯-⨯=33
33
31082.61
00
105.41105.41
.00
105.41.010
151][S =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡⨯⨯⨯-⨯-⨯-----44
5
55
10466.10
001022.21022.20
1022.21067.6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡︒-︒︒︒-︒︒︒︒︒︒︒︒-︒︒=)45sin 45(cos 45cos 45sin 45cos 45sin 45cos 45sin 245cos 45sin 45cos 45sin 245sin 45cos ][222222T =⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--05.05.015
.05.015.05.0 ==-T T T ][][1
1⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--0115.05.05.05.05.05.0
]][[][][11T S T S -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0115.05.05.05.05.05.0⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡⨯⨯⨯-⨯-⨯-----05.05.015
.05.015.05.010466.10
001022.21022.20
1022.21067.644
5
55
习题17-5图