材料力学复习

400
FN F3 20kN
F3
A
C
F2
F1
固定端截面最大的正应力为
400
400 B
max
M max FN 143MPa Wz A
F3
A
C
最大切应力为
D
F1 F2
Tmax 31.8MPa max Wt
由第三强度理论
400
400 Me B
r 3 4
+
6 6
练习1
利用挠度、转角与分布载荷之间的关系做下图所示梁的
剪力方程和弯矩方程。已知F=30KN，q=35KN/m，l=450mm，
a=200mm， M 10KN m 。要求写出各拐点的计算过程。
F
q
M
A
a
C
B
l
练习2 P128 习题4.2（j）
P133 习题4.11（a）用挠度、转角、
解：1. 计算 FCD
MA 0 1 FCD 2 q 4 2 2 FCD 4q
2. 计算CD杆的稳定性
l
i
l D 4 (1 4 )
64 1 2

l
D (1 2 ) 4
D 2 (1 2 )
4 170

40 10 4
3
Fcr nst 由稳定性条件 n F
58048 2.5 4q
得：
q 5804N / m 5.8 KN / m
所以：
q 5.8 KN / m
练习1 直径mm的横梁CD，由直径d1=40mm的支杆AB支承，尺
寸如图所示。AB材料常数见下表。若横梁CD材料许用应力
[ ] 180 MPa，AB支杆许用稳定安全系数[n]st=4.0。试求该结构
M=10kN· m
FRB
F2=2kN
q 2 M C 4FRA 4 20A 2
CD段
D 4m 4m 20.5 16
B 3m
E
M D左 7F 2 4FRB M 16 M max M F 20.5
DB段
20
M D右 7 F 2 4 FRB 6 M B 3F 2 6 BE段 M E 0
1max
T1 T1 22 10 3 Wt1 πd1 / 16 π(0.123 ) / 16
3
A 22 kN· m +
B
C
64.84MPa [ ]
_
2 max
T2 T2 14 103 3 Wt 2 πd 2 / 16 π(0.13 ) / 16 71.3MPa [ ]
AC段 向下斜的直线() FSA右 7kN FRA
F1=2kN q=1kN/m
C 4m
M=10kN· m
FSC左 3kN
FRB
F2=2kN
CD段 向下斜的直线 ( A )
FSC右 1kN FSD 3kN
D 4m 4m
B 3m
E
DB段 水平直线 (-) EB段 水平直线 (-)
400 Me B
r3
M
T W
2 max

A
C
d 38.5mm
F2
F1
（2） 在 B 端加拉力 F3 AB 为弯,扭与拉伸组合变形 固定端截面是危险截面
A
400
400
wenku.baidu.comB C
F3
D
F1 F2
400 Me B
M max 0.8F1 0.4F2 0.8kN m Tmax 0.4kN m
分布载荷之间的关系做剪力图、弯矩图。
练习4 2qa2
3a
4KN
a
4.5KN.m
练习5
3.5kN m
D
1m
A
2m
C
B
E
1m
2m
例题
图示单元体,已知 x =-40MPa,y
y
e
=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位. 解:（1）求 e-f 截面上的应力
DB、BE 四段. （2）剪力图 AC段 向下斜的直线()
A
将梁分为AC、CD、
4m
C
D
B 4m 3m
E
4m
FSA右 FRA 7kN FSC左 FRA 4q 3kN
CD段 向下斜的直线 ( )
FSC右 FRA 4q F1 1kN FSD F2 FRB 3kN
解： 1.
4轴受力简图如图（b），齿轮Ⅱ
和 Ⅳ上的外力偶矩
P 0.765 M 9549 9549 39.3N m n 183 .5 P 2.98 M IV 9549 9549 155 N m n 183 .5
2.扭矩图如图（c） 3.直径d 的选取
从扭矩图可以看出，在齿轮Ⅲ、Ⅳ之间，轴的任一横截面上的 扭矩皆为最大值，且：
(单位 MPa)
练习2 如图所示单元体，求
100MPa 40MPa
1.指定斜截面上的应力；
2.主应力大小及主平面位置，并将主平面标
在单元体图上。
60° 45° 100MPa 80MPa
练习3
P252 7.3（d）求主平面位置、主应力大小，按第二、
第四强度理论校核强度。[σ]=80MPa。
练习4
P253 7.4（b）求斜截面上的应力及主应力。
r , 3 [ ] 141.4 140 100% 100% 1% 5% [ ] 140
所以按照第三强度理论，构件安全。
所以按照第四强度理论，构件安全。
练习1
已知铸铁构件上危险点处的应力状态，
50 25 20
如图9所示。若铸铁拉伸许用应力为［σ］＝
60MPa，试按第二强度理论校核该点处的强 度是否安全。
直径。
z
y 3.64kN 10kN B DD
5kN
A C C
x
1.82kN 300mm
300mm
100mm
f
xy
x
30°
30
x y
30
2 2 40 60 40 60 cos( 60 ) ( 50) sin( 60 ) 2 2 58.3MPa x y 40 60 sin 2 xy cos 2 sin( 60 ) 2 2 ( 50) cos( 60 ) 18.3MPa
所能承受的最大载荷。（考虑CD杆的抗弯能力和AB杆的稳定性， 忽略截面剪力与轴力）
800 400
E GPa 180
p
s
a MPa 300
b 1.2
40
200
220
练习2 直径mm的横梁CD，由直径d1=40mm的支杆AB支承，尺
寸如图所示。AB材料常数见下表。若横梁CD材料许用应力
[ ] 180 MPa，AB支杆许用稳定安全系数[n]st=4.0。试求该结构
2 2
F3
A
C
157MPa
F2
F1
例题9 图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力 5 kN,径向力 1.82 kN;齿轮 D上作用有水平切向力10 kN,径向力 3.64 kN.齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm,齿轮 D 的节圆直径 d2=200mm.设许用应力 =100 MPa。试按第四强度理论求轴的
r , 2 1 ( 2 3 ) [ ]
r ,3 1 3 [ ]
目录
若上述例题中[σ]=140MPa，试用第三和第四
y
e
强度理论校核其强度。
解:
f
xy
x
30°
1 80.7MP
2 0
3 60.7MPa
n
r , 3 1 3 80.7 60.7 141.4 MPa
例题 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC 段的直径 d2=100mm。扭转力偶矩为MA = 22 kN· m， MB = 36 kN· ，MC m
=14 kN· m。已知材料的许用切应力[] = 80MPa，试校核该轴的
强度。 解：作轴的扭矩图 分别校核两段轴的强度
MeA
MeB
MeC
Tmax 155 N m
由强度条件
3
max
Tmax 16Tmax 3 Wt d
3
得：
16Tmax d π[ ]
16 155 27.2 10 3 m π 40 10 6
所以，为同时满足强度条件，取d>=27.2mm。
练习1 已知某传动轴为钢管，内径d=30mm，内外径之比=0.6，
14 kN· m
因此，该轴满足强度要求。
例题3.4
某组合机床主轴箱第4轴上有Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ三个齿轮，东西由5轴经齿轮Ⅲ传送到4 轴，再由齿轮Ⅱ和 Ⅳ带动1、2和3轴。1 和2轴同时钻孔，共消耗功率0.756kW；3 轴扩孔，消耗功率2.98kW。若4轴转速为 183.5r/min，材料为45钢， 取 [τ]=40MPa。试设计轴的直径。
校核CD杆的稳定性。CD杆相关的材料参数
为 E = 200GPa ， s 240 MPa ， p 200 MPa ， = 304MPa ，b = 1.12MPa a 。
例题
F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径
（2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力 F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
7kN 3kN
FS F2 FRB 3kN
+
x=5m
2kN
1kN
FSB右 F 2 2kN
+
3kN
F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x FSx FRA qx F 1 0 x = 5m
（3）弯矩图 AC段 M A 0 FRA
F1=2kN q=1kN/m
C 4m
30
练习5 如图所示为某构件内危险点的应力状态
（图中应力单位为MPa），试分别求其第二、
第三强度理论的相当应力
r2
60 40
、
，
r2
（μ =0.2）。
如图所示结构，两端铰支的圆环截面杆CD，其内径d=20mm，
外径D=40mm，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限
σp=200MPa。若AB杆直径D1=100mm，[σ]=160MPa, 稳 定安全系数nst=2.5，试计算许可载荷。
x y 2 max x y 80.7MPa 2 ( ) x 2 2 60.7MPa min
1 80.7MP
2 0
3 60.7MPa
强度理论的统一表达式： [ ] r 相当应力
r ,1 1 [ ]
所能承受的最大载荷。（考虑CD杆的抗弯能力和AB杆的稳定性， 忽略截面剪力与轴力）
800 400
E GPa 180
p
s
a MPa 300
b 1.2
40 90
200
220
45
练习3
如图所示，梁AB在A处铰支，在C处由二力杆CD支撑。
AB和CD材质相同且均为实心圆杆。AB的直径为dAB = 60mm ， CD的直径为 dCD = 15mm 。图中L=1m，W=400N，若nst=2，试
1 0.5 2
而
2E 200 109 1 3.14 99.3 6 p 200 10
1
由欧拉公式计算其
EI Fcr 2 ( l )
2
3.14 404 1012 (1 0.5 4 ) 3.142 200 109 64 (1 2) 2 58048N
材料为45钢。传动功率P=80KW，n=120r/min，如材料的
[τ]=70Mpa，请校核该轴的扭转强度。 练习2-3 P101习题3.3 、3.4
例题
作梁的内力图.
解： （1）支座反力为 F RA
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN· m
FRB
F2=2kN
FRA 7kN FRB 5kN

x y
cos 2 xy sin 2
n
（2） 求主应力和主单元体的方位
y 3
x 40,
y 60, xy 50
1 xy x
22.5°
因为x < y,所以0= -22.5°与min对应
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 22.5 45 0 2 0 67.5 135
400 400 B A D C
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
400 B
F2 1kN M e 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
A D
C
F1 F2
固定端截面是危险截面
M max 0.8F1 0.4F2 0.8kN m Tmax 0.4kN m
400
2 max