苏教版初三数学《锐角三角函数》章末重难点题型
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《锐角三角函数》章末重难点题型
【考点1 锐角三角函数定义】
【方法点拨】锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。 正弦（sin ）等于对边比斜边， 余弦（cos ）等于邻边比斜边 正切（tan ）等于对边比邻边； 【例1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( ) A ．
12
B ．
2 C ．
3 D ．
22
【分析】设BC 为x ，根据题意用x 表示出AB ，根据勾股定理求出BC ，运用正弦的定义解答即可． 【答案】解：设BC 为x ，则AB ＝3x ， 由勾股定理得，AC ＝＝
＝2
x ，
∴sin B ＝＝
＝
，
故选：D ．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( ) A ．22
B ．3
C ．
24
D ．
13
【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可． 【答案】解：设BC ＝x ，则AB ＝3x ， 由勾股定理得，AC ＝＝2
x ，
则tan B ＝＝2
，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-2】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列各组线段的比不能表示
sin BCD ∠的( )
A ．
BD
BC
B ．
BC
AC
C ．
CD
BC
D ．
CD
AC
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可． 【答案】解：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，
∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝
＝
＝
，
即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确， 故选：C ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A ＝
，cos A ＝
，tan A ＝
，cot A ＝
．
【变式1-3】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cos A
的值的有()个
（1）AD
AC （2）AC
AB
（3）BD
BC
（4）CD
BC
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cos A＝＝＝，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
【考点2 网格中的锐角三角函数值】
【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
【例2】如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB
的值为()
A 5
B
25
C．1
2
D
3
【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，
∵S△ABC＝2×7﹣＝5
由勾股定理可知：AC＝＝5，
∵AC•BD＝5，
∴BD＝，
由勾股定理可知：BC＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键．
【变式2-1】由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则ABC
的正切值为()
A．5
B．
25
C．1
2
D．
5
【分析】作CD⊥AB于点D，利用勾股定理计算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案．【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝，
BD＝＝2，
故tan∠ABC＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
【变式2-2】如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则BAC ∠ 的正切值是( )
A ．
12
B ．
52
C ．
25
5
D ．2
【分析】如图，根据勾股定理可求BD ，AD ，再根据正切的定义可求∠BAC 的正切值． 【答案】解：如图，在Rt △ADB 中，
AD ＝＝，BD ＝＝2，
则∠BAC 的正切值是＝2．
故选：D ．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得BD ，AD ． 【变式2-3】如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于
32
，则sin (CAB ∠=
)