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第7模块第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________．解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小．解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。

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第2模块第7节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝－1x 2＋2x ＋1的图象是( )解析：间接法，只要抓住定义域{x |x ≠－1}及y <0，即可选出B. 如果用直接法，则把y ＝－1x 2＋2x ＋1变形为y ＝－(x ＋1)－2，它可看成是把y ＝x －2的图象向左平移1个单位，再作关于x 轴对称而得．答案：B2．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析：g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x的图象右移1个单位而得．本题考查函数图象的平移法则．答案：C3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析：画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右移动1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象，故选C.答案：C4．设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析：函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，y ＝f (1－x )＝f [－(x －1)]．把y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象同时都向右平移一个单位，就得到y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象，对称轴y 轴向右平移一个单位得直线x ＝1，故选D.答案：D 二、填空题5．函数y ＝2－xx －1的图象关于点________对称．解析：y ＝2－x x －1＝－1＋1x －1，y ＝2－x x －1的图象是由y ＝1x 的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1)．答案：(1，－1)6．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根的个数是________．解析：a |x |＝|log a x |有意义，则x >0，问题即a x＝|log a x |.画出两个函数y ＝a x ，y ＝|log a x |的图象，则可以得到交点有2个．答案：2 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件： (1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数； (3)在[－2,0)上，f ′(x )>0； (4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式．解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0. 故函数y ＝f (x )的一个图象如右图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.8．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|>2. 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2，由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )的图象可知原不等式的解集为(－∞，5)．[高考·模拟·预测]1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：∵0<12<1，∴y ＝log 12f (x )的图象在(0,1]上递增，在[1,2)上递减(同增异减)．故选C.答案：C2．下列三件事与如下图中吻合最好的顺序为( )①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一段时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(4)(1)(3) D ．(4)(1)(2)解析：根据其速度的变化判断函数图象的单调性可得①②③对应图象为(4)(1)(2)，选D. 答案：D3．如右图所示，一质点P (x ，y )在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x,0)的运动速度V ＝V (t )的图象大致为( )解析：由图可知，当质点P (x ，y )在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0)的速度先由正到0，到负，到0，再到正，故A 错误；投影点Q (x,0)在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点P (x ，y )在开始时沿直线运动，故投影点Q (x,0)的速度为常数，因此C 是错误的，故选B.答案：B4．把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：C 2的解析式为y ＝(x －u )3－3(x －u )－v .由题意对于关于x 的方程(x －u )3－3(x －u )－v ＝x 3－3x ，即3ux 2－3u 2x －3u ＋u 3＋v ＝0对于任意u >0至多只有一个实数解，∴Δ＝9u 4－12u (u 3－3u ＋v )≤0，即v ≥－14u 3＋3u ，令f (u )＝－14u 3＋3u ，则f ′(u )＝－34u 2＋3＝－34(u 2－4)，∴当u ＝2时f (u )取得最大值f (2)＝4.∴v ≥4.故选B.答案：B5．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如下：记y ＝k (x ＋1)＋1，∴y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1有四个交点，故k AB <k <0.∴－13<k <0.答案：(－13，0)6．已知函数f (x )＝m (x ＋1x )的图象与h (x )＝12(x ＋1x )＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a2x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)解法一：设P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，则点P 关于A 点的对称点(x ′，y ′)在函数f (x )的图象上．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋x ＝0，y ′＋y ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .于是有2－y ＝m (－x －1x )，即得y ＝m (x ＋1x )＋2，∴m ＝12.解法二：易知h (x )经过点(1,3)，故f (x )经过点(－1，－1)，代入得m ＝12.(2)由(1)得f (x )＝12(x ＋1x)，故有g (x )＝12(x ＋1x )＋a 2x ＝12(x ＋a ＋1x)，解法一：g ′(x )＝12(1－a ＋1x 2)．当0<x ≤a ＋1(a ≥－1)时，g ′(x )≤0，∵g (x )在区间(0,2]上为减函数，故有a ＋1≥2，得a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)．解法二：任意取x 1，x 2∈(0,2]，不妨设x 1<x 2. 则g (x 1)－g (x 2)＝12(x 1－x 2)x 1x 2－(a ＋1)x 1x 2>0恒成立．故x 1x 2－(a ＋1)<0，对0<x 1<x 2≤2恒成立． ∴1＋a ≥4，∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。

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第2模块第12节[知能演练]一、选择题1．如下图，阴影部分面积为( )A.⎠⎛ac[f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d xC.⎠⎛ac [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D.⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x答案：B( )解析：本题应画图求解，更为清晰，故选C.,⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋(2x －12x 2)| 21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 答案：C3．设f (x )＝⎠⎛0x sin t d t ，则f [f (π2)]等于( )A ．－1B ．1C ．－cos1D ．1－cos1解析：由于⎠⎛0x sin t d t ＝(－cos t )| x0＝1－cos x . ∴f (x )＝1－cos x .∴f (π2)＝1－cos π2＝1.∴f [f (π2)]＝f (1)＝1－cos1.答案：D4．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t ＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t＝(13t 3－2t 2)| x 0＝13x 3－2x 2，x ∈[－1,5]．令F ′(x )＝x (x －4)＝0，∴x 1＝0，x 2＝4，∴F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.答案：B 二、填空题5．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )| 21 ＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．答案：6.5 m6．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，那么函数f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )| 10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)| 10 ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3. 答案：f (x )＝4x ＋3 三、解答题7．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， f (1)＝－2且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝－23＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3，即f (x )＝x 3－3x .(2)作出曲线y ＝x 3－3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称．所以(－3，0)的阴影面积与(0，3)的阴影面积相等．所以所求图形的面积为＝－2(14x 4－32x 2)| 30＝92.8．如图所示，抛物线y ＝4－x 2与直线y ＝3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动．(1)求使△P AB 的面积最大的P 点的坐标(a ，b )；(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x ＝a 分为面积相等的两部分．(1)解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x 2y ＝3x ，得x 1＝1，x 2＝－4.∴抛物线y ＝4－x 2与直线y ＝3x 的交点为 A (1,3)，B (－4，－12)，∴P 点的横坐标a ∈(－4,1)．点P (a ，b )到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3a －b |12＋32，由题知b >3a ，∴d ＝b －3a10∵P 点在抛物线上，∴b ＝4－a 2，d ′a ＝110·(4－3a －a 2)′＝110(－2a －3)＝0，∴a ＝－32，即当a ＝－32时，d 最大，这时b ＝4－94＝74，∴P 点的坐标为(－32，74)时，△P AB 的面积最大．(2)证明：设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S ，位于x ＝－32右侧的面积为S 1.S ＝⎠⎛1－4(4－x 2－3x )d x ＝1256，S 1＝⎠⎛1－32(4－x 2－3x )d x ＝12512，∴S ＝2S 1，即直线x ＝－32平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积．[高考·模拟·预测]1．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3解析： (sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )＝－a ＋1＝2，a ＝－1.答案：A2．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2，所以有a ＝2. 答案：A3．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(m/s)在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间(s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由路程关于时间的函数关系式可知，物体A 的路程s ＝⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ＝t 3＋t ，物体B 的路程s ＝⎠⎛0t 10t d t ＝5t 2，又因为物体A 、B 均在同一直线l 上运动，故当物体A 追上物体B 时，应有t 3＋t ＝5t 2＋5，解之得t ＝5.答案：C4．由两曲线y ＝sin x (x ∈[0,2π])和y ＝cos x (x ∈[0,2π])所围成的封闭图形的面积为________．解析：S ＝ (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝2 2. 答案：2 25．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0),0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )| 10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.答案：336．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：y ＝－t 2＋8t ，其中(0≤t ≤2，t 为常数)，l 2：x ＝2.若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如下图中的阴影部分所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影部分的面积S 关于t 的函数S (t )的解析式；(3)若g (x )＝6ln x ＋m ，问是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由图形知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0a ×82＋b ×8＋c ＝04ac －b 24a ＝16，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝8c ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0， ∴x 1＝t ，x 2＝8－t . ∵0≤t ≤2，∴直线l 1与f (x )的图象的左交点坐标为(t ，－t 2＋8t )．由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x＝[(－t 2＋8t )x －(－x 33＋4x 2)]| t 0＋[(－x33＋4x 2)－(－t 2＋8t )x ]| 2t ＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.(3)令φ(x )＝g (x )－f (x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m .∵x >0，要使函数f (x )与函数g (x )有且仅有两个不同的交点，则函数φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点．φ′(x )＝2x －8＋6x＝2x 2－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)x(x >0)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x )<0，φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x )＝0. ∴φ(x )的极大值为φ(1)＝m －7； φ(x )的极小值为φ(3)＝m ＋6ln3－15.当x 无限趋近于零时，φ(x )<0，当x 无限大时，φ(x )>0.∴要使φ(x )＝0有且仅有两个不同的正根，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)＝0φ(3)<0或⎩⎪⎨⎪⎧φ(3)＝0φ(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m －7＝0m ＋6ln3－15<0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6ln3－15＝0m －7>0. ∴m ＝7或m ＝15－6ln3.∴当m ＝7或m ＝15－6ln3时，函数f (x )与g (x )的图象有且只有两个不同的交点．。

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第11模块第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0，即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组．所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ，则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。

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单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上．答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面．则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ，解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ，则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ，又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1，由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角．连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))．解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。

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第4模块第2节[知能演练]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn等于( )A ．－12B ．2 C.12D ．－2解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n－1∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案：A2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于( )A ．(8,1)B ．(－8,1)C ．(4，－12D ．(－4，12)解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)．答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：∵AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|，故四边形是梯形．答案：A4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由OC →＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧α＝3x ＋y10，β＝－x ＋3y10.∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)，又λa ＋b 与c 共线，因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：26．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．解析：∵向量AB →与a 同向， ∴设AB →＝(2t,3t )(t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)．设B 为(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5,4) 三、解答题7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．[高考·模拟·预测]1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．答案：B3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，则DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.答案：55．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝(－1k －2t ，－2k ＋1t，假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t )＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .[备选精题]6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。

高三基础知识天天练数学检测4.人教版

单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋131解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋131]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0，即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)．答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13→.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0，即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4－π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λPA →＋PB →化简即得－PC →＝λPA →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ， ∴⎩⎨⎧a ＋6503－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12)①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线．又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ，则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ，得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13.同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。

人教版高中数学高二-数学天天练第7课时正、余弦定理(三角函数)

正、余弦定理（三角函数）1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又由c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－ac 2ac＝5a 2－2a 24a 2＝34. 2．(2008年高考四川卷)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53B.54C.55D.56解析：选B.由正弦定理sin A a ＝sin B b ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin2B 52b＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.故选B. 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A.∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.所以△ABC 是钝角三角形．故选A.4.在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A.依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，因此C ＝120°.5．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．不确定解析：选A.由正弦定理a sin A ＝c sin C得sin C ＝c sin A a ＝6×222＝32.∵c >a ，∴C >A ＝45°，∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b ＝3，则角C 的值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选C.由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3，∴sin B ＝33sin A ＝33×32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°.7．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝sin B sin A ·BC ＝2232·12＝23·12＝2·43＝4 6.答案：4 68．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________．解析：根据三角形内角和定理知∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°.根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin45°＝3sin60°，∴BC ＝3sin45°sin60°＝3×2232＝ 6. 答案： 69．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：如图由余弦定理得：cos B ＝22＋(1＋3)2－(6)22×2×(1＋3)＝12⇒ B ＝π3，故AD ＝AB sin π3＝2×32＝3.答案： 310．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积＝12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， ∴C ＝60°.11．(2009年高考全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .解：由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32，sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2B ＝34，sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)，于是B ＝π3或B ＝2π3.又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.12.△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且a (cos B ＋cos C )＝b ＋c .(1)求证：A ＝π2；(2)若△ABC 外接圆半径为1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)证明：∵a (cos B ＋cos C )＝b ＋c∴由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c . ∴整理得(b ＋c )(a 2－b 2－c 2)＝0.∵b ＋c >0，∴a 2＝b 2＋c 2.故A ＝π2.(2)∵△ABC 外接圆半径为1，A ＝π2，∴a ＝2.∴b ＋c ＝2(sin B ＋cos B )＝22sin(B ＋π4)．∵0<B <π2，∴π4<B ＋π4<3π4，∴2<b ＋c ≤2 2.∴4<a ＋b ＋c ≤2＋22，故△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．。

暑假预习天天练(第十二天)--6和7 人教版数学一年级上册(含解析)

暑假预习天天练（第十二天）--6和7 人教版数学一年级上册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．数出下面物体的个数并将数字写在田字格内。

2．连一连。

3．按顺序写数。

4．根据下面的数，圈出对应数量的水果。

5．根据数字给下列图形涂上颜色。

6．数一数，比一比。

7．算一算，填一填。

8．在括号里填上“＋”或“－”。

2( )2＝43( )2＝14( )1＝3 5( )4＝16( )2＝47( )1＝69．连一连数的组成，合起来是6。

10．连一连数的组成，合起来是7。

11．连一连12．括号里可以填几？1＋( )＜54－( )＞22＋( )＜77－( )＞413．算一算。

7－3＝4＋3＝3－2＝5－5＝1＋4＝6－0＝4＋3＝5＋2＝0＋4＝7－6＝6－4＝3－2＝6－3＝2＋5＝14．圈一圈。

①把左边的5个圈起来：②把从左数第6个圈起来：15．按要求画图。

○○○○画△比○多2个：画□比○少3个：画☆和○同样多：16．看图写算式。

（个）（个）（个）（个）17．(1)从左边数，第5张上有( )朵花，有3朵花的是第( )张。

(2)从右边数，第( )张图上的花最少，第( )张图上的花最多。

(3)从左边数，第( )张图和第( )张图上的花合起来正好是6朵，还有第( )张图和第( )张图上的花合起来也正好是6朵。

参考答案：1．4；7；5【解析】略2．见详解【分析】数清楚各个图上物品的数量，再数清楚各个方框中圆点的数量，再将数量相同的物品和圆点连起来，即可得出答案。

【详解】如下图：【点睛】本题考查学生对10以内数认识的掌握和运用。

3．0，2，3，5【分析】根据10以内数的排序，按0、、1、2、3、4、5、6、7的顺序填写即可。

【详解】由分析可得：【点睛】主要考查学生对10以内数的排序的掌握情况。

4．【解析】略5．【解析】略6．5＜7；4＞2【解析】略7．【解析】略8．＋－－－－－【分析】根据10以内整数加减法运算，结合题干要求进行解答即可。

数学天天见成绩步步高高考能力测试步步高数学基础训练7 doc

高考能力测试步步高数学基础训练7基础训练7 二次函数与二次方程●训练指要掌握二次函数的图象和性质；掌握二次函数在闭区间上的最值.一、选择题1.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标为(2，-1)，与y 轴的交点为(0，11)，则A.a =1,b =-4,c =11B.a =3,b =12,c =11C.a =3,b =-6,c =11D.a =3,b =-12,c =112.已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞,3)内此函数A.是增函数B.不是单调函数C.是减函数D.不能确定3.如果函数y =x 2+ax -1在区间［0，3］上有最小值-2，那么实数a 的值为A.2B.±2C.-2D.-310 二、填空题4.(2003年上海春季高考题)若函数y =x 2+(a +2)x +3,x ∈［a ,b ］的图象关于直线x =1对称，则b =_________.5.已知［1，3］是函数y =-x 2+4ax 的单调递减区间，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题6.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与两坐标轴交点分别为(-1，0)和(0，-1)，且顶点在y 轴的右侧，求b 的取值范围.7.求函数f (x )=x 2+2x +1在区间［t ,t +1］上的最小值g (t ),并求出g (t )的最小值.8.对于x ∈R ,二次函数f (x )=x 2-4ax +2a +30(a ∈R )的值均为非负数，求关于x 的方程3+a x =|a -1|+1的根的范围.高考能力测试步步高数学基础训练7答案一、1.D 2.B 3.C二、4. 6 5.(－∞,21］三、6.(－1,0) 7.g (t )=⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≤≤-->+）（2)2()12(0)1()1(22t t t t t g (t )的最小值为0.提示：讨论对称轴x =－1与区间端点t ,t +1的关系.98.［,18］4。

高三基础知识天天练数学7-3人教版

第7模块第3节[知能演练]一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a .因而cb ，否则，若c ∥b ，则a ∥b 与已知矛盾，因而cb . 答案：C2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( )A ．互不相交B ．至多有两条直线相交C ．三线相交于一点D ．两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点．答案：C3．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面解析：对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾；对于选项B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线，即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线有一条或零条；对于选项D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条．答案：B4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45.∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D 二、填空题5．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 中点G ，连接EG 、FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．答案：①③④⑤三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF ＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝AE2＋EF2＋EB2＝42＋22＋1＝21.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．解：设AP ＝x (0≤x ≤2)，利用PF 与BC 所成的角是60°来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置．如下图，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AC ＝2.设AP ＝x (0≤x ≤2)，作PQ ⊥AB 交AB 于Q ，则PQ ∥BC ，相交直线PF 与PQ 所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角．∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，∴AF ⊥AC ，AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥PQ . ∵AB ∩AF ＝A ，∴PQ ⊥平面ABF ，PQ ⊥FQ . 要使PF 与BC 所成角是60°，只需使∠FPQ ＝60°，即只需使PF ＝2PQ ， ∵PQ ＝22AP ＝22x ， ∴只需使PF ＝2x .又在Rt △APF 中，PF ＝AP 2＋AF 2＝x 2＋1， ∴2x ＝x 2＋1. ∴x ＝1.∴当P 点是线段AC 的中点时PF 与BC 所成的角为60°.[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点为点D ，B 1，线段BC 的中点E ，线段A 1D 1中点F ，总共4个，故选C.答案：C2．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( )A.34 B.54C.74D.34解析：设棱长为2，BC 的中点为D ，由题意，得 AD ＝ 3.在Rt △A 1AD 中，A 1D ＝AA 21－AD 2＝22－(3)2＝1. 在Rt △A 1BD 中， A 1B ＝A 1D 2＋BD 2＝ 2. ∵AA 1∥CC 1，∴AB 与AA 1所成的角∠A 1AB 即为AB 与CC 1所成的角．在△A 1AB 中，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝AA 21＋AB 2－A 1B22AA 1·AB ＝4＋4－22×2×2＝34.答案：D3．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析：如下图所示，连接A 1B ，因A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C ，则异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与BA 1所成的角．不妨设AB ＝1，则AA 1＝2，设∠ABE ＝α，∠ABA 1＝β，则sin α＝12，cos α＝12，sin β＝25，cos β＝15. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝12·15＋12·25＝310＝31010.故选C.答案：C4．在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2；l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2，利用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系写出一个总能确定l 1，l 2是异面直线的充分条件________．解析：当s 1∥s 2且t 1与t 2相交时，可推得l 1与l 2总是异面直线，当l 1，l 2在α内的射影s 1，s 2平行时，我们可断定l 1与l 2一定不相交，同理当l 1，l 2在β内的射影t 1，t 2相交时，也可推得l 1，l 2一定不平行，故l 1与l 2一定是异面直线．同理当t 1∥t 2且s 1与s 2相交时，也符合题意．答案：s 1∥s 2，且t 1与t 2相交；(t 1∥t 2，且s 1与s 2相交)5．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________．解析：如下图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如下图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.答案：(0，3)6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上)．(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π2]，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ，使直线m 与B 1D 1相交成α角， ∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈(0，π2]．当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．。

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第3模块第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋122α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z ) C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )．答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α. 解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π.因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ，故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m .[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009≥22009(2010－1)．答案：B3．若sin θ22cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)．答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)． 5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13f (C 2)＝－14C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。

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第8模块第3节[知能演练]一、选择题1．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的面积被直线y ＝－x 平分，则( )A ．D ＋E ＝0B ．D －E ＝0C ．D 2＋E 2＝0D ．D ＋4E ＝0解析：圆心(－D 2，－E2)在直线x ＋y ＝0上．答案：A2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：原方程即⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1.|x |－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．答案：D4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：由题设知，在直角△OP A 中，OP 为圆的半径OA 的2倍，即OP ＝2，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.选A.答案：A 二、填空题5．过点O (0,0)及P (0,4)且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程是__________．解析：由题意知所求圆的圆心为(3,2)或(－3,2)，半径为13.故圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13或(x ＋3)2＋(y －2)2＝13.答案：(x －3)2＋(y －2)2＝13或(x ＋3)2＋(y －2)2＝136．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________.解析：∵点(1，2)在圆内，故当劣弧所对的圆心角最小时，直线垂直于过圆心与点(1，2)的直线，因此可知直线l 的斜率为22. 答案：22三、解答题7．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．解：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意得，b ＝－4a .PC ⊥l 2，而直线l 2的斜率k 2＝－1，∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝－2－(－4a )3－a ＝1，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.8．已知矩形ABCD 中，C (4,4)，点A 在x 2＋y 2＝9(x >0，y >0)上运动，AB 、AD 分别平行于x 轴、y 轴，求当矩形ABCD 的面积最小时A 点的坐标．解：本题的实质是：A 在x 2＋y 2＝9(x >0，y >0)上何处时，矩形ABCD 的面积最小，即(4－x )(4－y )的值最小，进而利用换元法转化成二次函数的最值问题．设A (x ，y )，则矩形ABCD 的面积为S ＝(4－x )(4－y )＝16－4(x ＋y )＋xy ，① 令t ＝x ＋y ，则t >0且t 2＝x 2＋y 2＋2xy ＝9＋2xy .所以①式化为S ＝16－4t ＋12(t 2－9)＝12(t －4)2＋72，当且仅当t ＝4时，S min ＝72.此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4xy ＝72，解得⎩⎨⎧x ＝2－22y ＝2＋22或⎩⎨⎧x ＝2＋22y ＝2－22.即A 点的坐标为(2－22，2＋22)或(2＋22，2－22)时，矩形ABCD 的面积最小． [高考·模拟·预测]1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意知圆心坐标为(0,2)，故选A. 答案：A2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：∵圆C 与两条直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，∴圆心C 在直线x －y －2＝0上，又圆心在直线x ＋y ＝0上，∴圆心坐标为(1，－1)．故选B.答案：B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：圆心C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(2，－2)，故选B. 答案：B4．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是__________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π5．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2<r }⊆A ，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}； ②{(x ，y )|x ＋y ＋2>0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}； ④{(x ，y )|0<x 2＋(y －2)2<1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析：集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2<r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周．)由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④6．已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95> 5.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。

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第3模块第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B，所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π时取最小值．所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。

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第8模块第1节[知能演练]一、选择题1．已知直线l 过点(a,1)，(a ＋1，tan α＋1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．(180°－α)一定是直线l 的倾斜角解析：根据题意，直线l 的斜率k ＝(tan α＋1)－1(a ＋1)－a＝tan α.令θ为直线的倾斜角，则一定有θ∈[0°，180°)，且tan θ＝k ，所以若α∈[0°，180°)，则α是直线l 的倾斜角；若α∉[0°，180°)，则α不是直线l 的倾斜角，所以α不一定是直线l 的倾斜角．答案：C2．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0 解析：因为直线l 2经过点(0,5)，且方向向量为b ＝(－1，k )，所以直线l 2的方程为y －5＝－kx .又因为直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，且l 1⊥l 2，所以－k ·3＝－1⇒k ＝13，所以直线l 2的方程为y －5＝－13x ，即x ＋3y －15＝0. 答案：B3．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23 B.23C ．－32 D.32解析：由题意，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M (2k ＋1,1)，N (k －6k －1，－6k ＋1k －1)．又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.答案：A4．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.解法二：设方程为x a ＋yb ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.答案：B 二、填空题5．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设l 的倾斜角为α，则AB 的倾斜角为2α，tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34，∴tan α＝13或－3.∵tan2α＝34>0，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°.∴tan α＝13，即l 的斜率为13.答案：13.6．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为__________．解析：∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点，∴l 1的方程为：2x －y ＋8＝0. 答案：2x －y ＋8＝0 三、解答题7．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．8．一条光线经过P (2,3)点，射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后穿过Q (1,1)． (1)求光线的入射方程；(2)求这条光线从P 到Q 的长度．解：(1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点， ∴k l ＝－1，∴k QQ ′＝1.∴QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1)．即x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为(－12，－12)．又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎩⎨⎧1＋x ′2＝－121＋y ′2＝－12解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2. ∴Q ′(－2，－2)．设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线．则P (2,3)，Q ′(－2，－2)，得入射方程为 y ＋23＋2＝x ＋22＋2，即5x －4y ＋2＝0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |＝|NQ ′|. ∴|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝(3＋2)2＋(2＋2)2＝41，即这条光线从P 到Q 的长度是41.[高考·模拟·预测]1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的一个必要不充分条件是( )A ．a ＝－1B ．a ＝3C ．a ≠0D ．－1<a <3解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1，于是可以推出a ≠0；反之，当a ≠0时，不一定能推出两直线平行，故选C.答案：C3．经济学中的“蛛网理论”(如下图)，假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1，“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1，k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达到均衡点P ，与直线l 1，l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达到均衡点P 的条件为( )A.k 1＋k 2>0 B ．k 1＋k 2＝0 C ．k 1＋k 2<0 D ．k 1＋k 2可取任意实数解析：图1中最终能达到均衡点P .图2、图3均不能达到均衡点P .如右图，过P 点作平行于x 轴的直线交BC 于点Q ，在△BPQ 中，k 1＝tan α＝BQPQ>1，在△ABC 中，tan β＝BCAB<1.∴k 2＝－tan β>－1，∴k 1＋k 2>0. 答案：A4．与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，且与抛物线y ＝x 2相切的直线的方程是______________．解析：与x ＋2y ＋3＝0垂直的直线的斜率为2，所以y ′＝2x ＝2，x ＝1，切点坐标为(1,1)，所求的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝05．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)；点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F .某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y＝0.请你完成直线OF 的方程：(__________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：点E 为直线BP ：x b ＋y p ＝1与直线AC ：x c ＋ya＝1的交点，两方程相减可得(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0；点F 为直线CP ：x c ＋y p ＝1与直线AB ：x b ＋y a ＝1的交点，两方程相减可得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y＝0.答案：1c －1b6．已知四边形ABCD 的顶点为A (x ，y )，B (6,1)，C (3,3)，D (2,5)，是否存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出A 点坐标；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形．k BC ＝－23，k CD ＝－2，∴BC 与CD 不垂直．若AB ∥CD ，则AB ⊥AD .∵k AB ＝y －1x －6，k AD ＝y －5x －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －1x －6＝－2y －1x －6·y －5x －2＝－1，解得x ＝185，y ＝295.若AD ∥BC ，则AD ⊥AB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝－23y －1x －6·y －5x －2＝－1解得x ＝8613，y ＝2513.故存在A (185，295)或A (8613，2513)．。

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第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角．在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ，则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。

江西省萍乡市2024-2025学年三上数学第六单元人教版基础知识模拟卷

江西省萍乡市2024-2025学年三上数学第六单元人教版基础知识模拟卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。

（除标注外，每空1分）1.31×2，要使积是三位数，里最大填( )。

2.算一算．5×3= 4×7= 2×6= 9×5= 50×3= 40×7= 20×6= 90×5= 500×3= 400×7= 200×6= 900×5= ．3.在横线里填上“＞”“＜”或“=”．48×63 48×6+48×3 29×101 29×100+29302×72 300+2×72 39×75+75 400×75．4.考考你．（在方格里填上合适的数）5.5个34是多少？观察上面算式，想一想整数乘法的意义是：求几个相同加数的简便运算．6.一个长50米的游泳池，刘老师已经游了5个来回，他游了( )米。

7.59×8的积是四位数．（判断对错）8.19×19=361 ．9.400×8的积未尾有3个0．．评卷人得分二、仔细推敲，选一选。

（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.同学们在玩游戏，8人一组可以分成6组，如果16人一组可以分成（）组。

A．12B．3C．22.712×4＝（）。

A．2700B．2800C．26003.要使□32×4的积是四位数，□里最小应填（）。

A．2B．3C．44.300×80（）3×8000．A．=B．＜C．＞5.礼堂里每排22个座位，一共有18排，350名学生来听课，够坐吗？（）A.够B.不够评卷人得分三、判一判。

湖南省岳阳市2023-2024学年三上数学第六单元人教版基础知识过关卷

湖南省岳阳市2023-2024学年三上数学第六单元人教版基础知识过关卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。

（除标注外，每空1分）1.一种儿童自行车有3个轮子，如果要装配52辆这样的儿童自行车，那么150个轮子( )（填“够”或“不够”）。

2.625×4的积末尾有( )个0．3.佳佳的体重20千克，爸爸的体重是佳佳的3倍，爸爸体重______千克。

妈妈的体重是佳佳的2倍多5千克，妈妈体重是______千克。

4.一头牛约重500千克，6头牛约重( )吨。

5.一辆新能源汽车每年可以减少碳排放量约2吨，85辆新能源汽车每年能减少碳排放量约( )吨，850辆新能源汽车每年能减少碳排放量约( )吨。

6.小军上学需要走7分钟，每分钟走65米，他家离学校一共( )米。

7.在下面的括号里填上合适的单位或数字。

马拉松全程约42( )。

数学书厚约6( )。

一只东北虎约重250( )，( )只东北虎合起来约1吨。

8.42×3，如果积是三位数，里最大能填( )；如果积是四位数，里最小填( )。

9.阳光小区原有560户居民，今年又新建成了8栋楼房，每栋楼房有132户居民。

阳光小区今年有( )户居民入住。

评卷人得分二、仔细推敲，选一选。

（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.养鸡场有公鸡65只，母鸡只数是公鸡的8倍，这养鸡场共有（）只鸡．A．585B．575C．5202.要使130×□的积是三位数，□里最大可以填（）。

A．8B．7C．93.要使□24×3的积是三位数，□里最大填（）。

A．2B．3C．44.将500张A4纸擦起来大约厚5厘米。

现在有1508张纸，摞起来大约厚（）。

A．10厘米B．15厘米C．150厘米5.下面算式中，得数与其他算式不同的是( )。

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第7模块第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________．解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小．解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →) ＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。

高三基础知识天天练 数学7-6人教版