高三基础知识天天练 数学7-6人教版

第7模块 第6节

[知能演练]

一、选择题

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→

的是

( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→

； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；

④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A

2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：

①SA →＋SB →＋SC →＋SD →

＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →

＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →

＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.

其中正确结论的个数是

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →

＝0， 所以③正确；

又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，

SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，

于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B

3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为

( )

A ．a 2 B.12a 2 C.1

4

a 2

D.34

a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2

cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.

答案：C

4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→

，N 为B 1B 的中点，

则|MN →|为

( )

A.216a

B.66a

C.

156

a

D.153

a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，

则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a

2)．

设M (x ，y ，z )

∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→

，

∴(x －a ，y ，z )＝1

2(－x ，a －y ，a －z )

∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3

得M (2a 3，a 3，a 3)，

∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3

)2

＝

216

a . 答案：A 二、填空题

5．下列命题中不．

正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；

④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．

解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－

|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →

不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．

答案：②③④

6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →

的夹角等于________； (2)CB →在CA →

方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →

＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →

〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|

＝－1＋0＋02·2＝－12，

∴〈CB →，CA →

〉＝2π3

；

(2)CB →在CA →

方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.

答案：(1)2π3 (2)－2

2

三、解答题

7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；

(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →

⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意

OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →

＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，

所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，

因此存在点E ，使得OE →

⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，2

5

)．

8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .

(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →

；

(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →

.

解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，