函数性质应用(讲义)
第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版
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（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
专题：函数的奇偶性讲义(教师用)
函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。
高考数学复习讲义：函数的性质及其应用
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)换元法：形如求 y＝ ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的 值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将 原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解． (3)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或 最值常用分离常数法求解．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立， ∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0，即 a＝1. 答案：1
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[把握考情]
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数 的单调性、求单调区间；利用单调性求参数的取 值范围、比较大小、求最值等； 2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数 常规角度 的奇偶性，利用奇偶性求值等； 3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期 性的判断，利用周期性求函数值等． 主要以选择、填空题为主，难度中档或中偏高档 函数的性质常与解不等式、函数的零点、命题的 创新角度 真假性、导数等交汇命题
上单调递减，故不正确；选项 C 中的函数是偶函数，在(0，
＋∞)上单调递增，故正确；选项 D 中的函数是奇函数，在 R
上单调递增，故不正确．故选 C. 答案：C
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2.[考法二]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)，且在
[－1,0]上单调递减，设 a＝f( 2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，
图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象 可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负 得函数的单调性
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。
题型七函数的基本性质(复习讲义)(原卷版)
题型七函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2 B．y x+2 C．y＝4x+2 D．y＝3x+22.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，直线l 2：y=kx （k ≠0）与直线l 1在第一象限交于点C ．若∠BOC=∠BCO ，则k 的值为（ ）A B C D ．3.如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.考点02反比例函数 一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数经过点，则下列说法错误．．的是（ ） A ．B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当时，随的增大而增大D ．当时，随的增大而减小2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）ky x=(2,1)2k =0x >y x 0x >y x y ax a =-(0)ay a x=≠A ．B ．C ．D ．3.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，直线与反比例函数的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段与之差最大时，求点P 的坐标．OABC A x ()3,2D OB ()0,0k y k x x =>>C D OABC 152B 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭105,3⎛⎫⎪⎝⎭2416,55⎛⎫⎪⎝⎭(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =AB (0)k y x x =>()6,1AOB AB PA PB6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y=a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）． （3）交点式：y=a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质y kx b =+my x=()1,2A (),1B n -AB x C P x ACP △4P开口向上开口向下四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2 3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．5.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；7.已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+x c经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n。
第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义
第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。
第四讲 函数常考知识复习讲义(学生版)
第四讲函数常考知识复习讲义I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 3题型二：求函数的解析式 4题型三：求函数的值域 5题型四：函数的单调性 6题型五：函数的奇偶性 8题型六：函数性质的综合应用 10题型七：幂函数 12题型八：函数的实际应用 14 III数学思想方法 19①分类讨论思想 19②转化与化归思想 19③数形结合思想 20I本章知识思维导图II典型例题题型一：求具体函数与抽象函数的定义域【例1】(2024·广东深圳·高一校考期中)函数y=9-x2x的定义域是.【例2】(2024·上海松江·高一校考期末)函数y=xx2-1的定义域为(用区间表示).【例3】(2024·河南新乡·高一校联考期末)函数f x =8x2-x2-1的定义域为．【例4】(2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)若函数f x 的定义域为-1,2，则函数f3+2x的定义域是．【例5】(2024·高一课时练习)已知函数f(x+1)的定义域是[-2,2]，则函数f(x)的定义域是．【例6】(2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞，则函数F x =f x+2+3-x的定义域为.【例7】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x+1的定义域为1,2，则f2x的定义域为.【例8】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x 的定义域为-1,1则y=f x+1x2-2x-3的定义域为【例9】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f2x的定义域为12,2，则函数f x2的定义域为.【例10】(2024·全国·高一专题练习)函数f3x+1的定义域为1,7，则函数f x 的定义域是.【例11】(2024·河南郑州·高一校考阶段练习)已知函数f(x)是一次函数且f(f(x))+2f(x)=-x-2，则函数f(x)的解析式为．【例12】(2024·全国·高一专题练习)已知f x 是二次函数．且f x+1+f x-1=2x2-4x．则f x =．【例13】(2024·四川眉山·高一校考阶段练习)已知f x+1=2x2+3，则f x =．【例14】(2024·高一课时练习)已知函数f x+1=x，则函数f x 的解析式是.【例15】(2024·全国·高一专题练习)已知f1x=x1-x2，则f x =.【例16】(2024·江苏盐城·高一统考期中)已知函数f(x)满足f3-2x=x2-x，则f(x)=.【例17】(2024·全国·高一专题练习)已知f1+1 x=1x-1，则f x =．【例18】(2024·上海·高一专题练习)已知函数f x 满足2fx-1x+f x+1x=1+x，其中x∈R且x≠0，则函数f x 的解析式为【例19】(2024·高一课时练习)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x，则f(x)的解析式为.【例20】(2024·全国·高一专题练习)求下列函数的值域.(1)f x =2x+41-x;(2)f x =5x+4x-2;(3)f x =x2-2x-3，x∈-1,4(4)y=x2+x+1x【例21】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=5x+4x-1；(2)y=x-1-2x；(3)y=2--x2+4x.【例22】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=16-x2；(2)y=x2-4x+61≤x≤5；(3)y=xx+1；(4)y=2x+41-x.【例23】(2024·全国·高一课堂例题)求下列函数的值域：(1)y=x+1，x∈1,2,3,4,5；(2)y=x2-2x+3，x∈0,3；(3)y=2x+1x-3x>4；(4)y=2x-x-1；(5)y=x2-2x+4x-2x>2；(6)y=2xx2+3x+4x<0；(7)y=2x2+2x+5x2+x+1．【例24】(2024·高一校考课时练习)求下列函数的值域:(1)y =2x +1x -3，(2)y =x +4xx >0 ，(3)y =-2x 2+x +3，(4)y =x +41-x题型四：函数的单调性【例25】(2024·高一课时练习)定义域为(-2,0)∪(0,2)的函数f (x )在区间(-2,0)上是增函数，在区间(0,2)上是减函数，则：(1)函数y =-f (x )的单调递增区间是；单调递减区间是；(2)函数y =-f (x +1)的单调递增区间是；单调递减区间是．【例26】(2024·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习)函数y =7+6x -x 2的单调递增区间为.【例27】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x =x +1x -52x >0 ，则f x 的递减区间是.【例28】(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f x =xx -1,x ≤0-x 2-a +1 x +2a ,x >0在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是.【例29】(2024·全国·高一课堂例题)已知函数f x 在0,+∞ 上单调递减，对任意x ∈0,+∞ ，均有f x ⋅f f x +2x =13，记g x =f x +4x 2，x ∈0,+∞ ，则函数g x 的最小值为．【例30】(2024·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)若f x =x 2-ax +2a 在区间1,+∞ 上是增函数，则实数a 的取值范围是.【例31】(2024·全国·高一专题练习)设函数f x =x +1,x <a a x -2 2,x ≥a，若f x 存在最大值，则实数a 的取值范围为．【例32】(2024·全国·高一专题练习)函数f (x )=x +1x-a +a 在区间[1,2]上的最大值为5，则a =．【例33】(2024·湖北武汉·高一校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数，若对于任意正实数x ,y ，恒有f xy =f x +f y ，且f 3 =1，则不等式f x +f x -8 <2的解集是.【例34】(2024·全国·高一专题练习)已知函数y =f x 的定义域为R ，对任意的x 1、x 2，且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0成立，若f x 2+1 >f t 2-t -1 对任意x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是．【例35】(2024·全国·高一假期作业)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称，且f (x )在(-∞，2)上是增函数，则f (-1)与f (3)的大小关系是．【例36】(2024·全国·高一课堂例题)证明函数f x =x +1xx >0 在区间0,1 上递减，在区间1,+∞ 上递增，并指出函数在区间0,+∞ 上的最值点和最值．【例37】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1，且当x>0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.【例38】(2024·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对任意的x ,y ∈(0,+∞)，都有f (xy )=f (x )+f (y )；②当且仅当x >1时，f (x )<0成立．(1)求f (1)；(2)用定义证明f (x )的单调性；【例39】(2024·天津·高一统考期中)已知函数f(x)=x2+a2ax+b是奇函数，且f1 =2.(1)求f x 的解析式；(2)判断f x 在区间0,1上的单调性并说明理由.题型五：函数的奇偶性【例40】(2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中)已知f x =11+x(x∈R，且x≠-1)，g x =x2+2x∈R．(1)求f g2的值；(2)判断函数g x =x2+2x∈R的奇偶性；(3)证明函数g x =x2+2在0,+∞上是增函数．【例41】(2024·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习)已知定义在-1,1上的奇函数f x =ax-bx2+1，且f-12=-25.(1)求函数f x 的解析式;(2)判断f x 的单调性(并用单调性定义证明);(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.【例42】(2024·全国·高一随堂练习)判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=5x+3；(2)f(x)=5x；(3)f(x)=2x2+1；(4)f(x)=x2+6x+9；(5)f(x)=1x2+2x4；(6)f(x)=x+1x3.【例43】(2024·全国·高一期中)已知函数f(x)=2x-ax，且f(2)=92.(1)求实数a的值；(2)判断该函数的奇偶性；(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并证明.【例44】(2024·甘肃白银·高一校考期中)已知函数f x =x2-ax+4，g x =x+b ax2+2.(1)若f x+1在b-1,b+1上为偶函数，求a，b的值；(2)设g x 的定义域为-1,1，在(1)的条件下：①判断函数g x 在定义域上的单调性并证明；②若g t-1+g2t<0，求实数t的取值范围.【例45】(2024·全国·高一期中)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(-∞,0)∪(0, +∞)，f(x⋅y)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f2 =1．(1)试判断函数f x 的奇偶性；(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性；(3)求函数f x 在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集．【例46】(2024·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习)已知函数y=f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =x2-ax，其中a∈R(1)求函数y=f x 的解析式；(2)若函数y=f x 在区间0,+∞不单调，求出实数a的取值范围.【例47】(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末)设函数f x 是增函数，对于任意x，y∈R都有f x+y=f x +f y ．(1)写一个满足条件的f x 并证明；(2)证明f x 是奇函数；(3)解不等式12f x2-f x >12f3x．题型六：函数性质的综合应用【例48】(多选题)(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则下列说法正确的是()A.M(2)=3B.∀x≥1，M(x)≥4C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0【例49】(多选题)(2024·江苏南通·高一统考期末)奇函数f x 与偶函数g x 的定义域均为R，在区间a,ba<b上都是增函数，则()A.0∉a,bB.f x 在区间-b,-a上是增函数，g x 在区间-b,-a上是减函数C.f x g x 是奇函数，且在区间a,b上是增函数D.f x -g x 不具有奇偶性，且在区间a,b上的单调性不确定【例50】(多选题)(2024·福建福州·高一校联考期中)已知连续函数f x 对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)-1，当x>0时，f x >1，f1 =2，则()A.f0 =1B.f x 在-4,4上的最大值是4C.f x 图像关于-1,0中心对称D.不等式f3x2-2f x <f3x-2的解集为0,5 3【例51】(多选题)(2024·江西赣州·高一统考期中)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=x ，x 表示不超过x的最大整数，例如1,1=1，-1,1=-2．已知函数f x =x-x ，则()A.f x 在R上是增函数B.f-3 2=12C.f x 为奇函数D.f x 的值域为0,1【例52】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)已知定义域为R的函数f x 满足：∀x,y∈R，f x+y+f x-y=f x f y ，且f1 =1，则下列结论成立的是()A.f0 =2B.f x 为偶函数C.f x 为奇函数D.f2 =-1【例53】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)设函数f x 是定义在0,+∞上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x，y都有f xy=f x +f y ；②当x>1时，f x >0；③f8 =3.则下列说法不正确的是()A.f1 =1B.f14=-2C.不等式f x +f x-3<2的解集为x|-1<x<4D.若关于x的不等式f kx+f3-x≤2恒成立，则k的取值范围是0,16 9【例54】(多选题)(2024·重庆长寿·高一统考期末)若函数f x 在定义域内D内的某区间M是增函数，且f xx在M上是减函数，则称f x 在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是()A.若f x =x4则不存在区间M使f x 为“弱增函数”B.若f x =x+x-1则存在区间M使f x 为“弱增函数”C.若f x =x5+x3+x则f x 为R上的“弱增函数”D.若f x =x2+4-ax+a在区间0,2上是“弱增函数”，则a=4【例55】(2024·福建漳州·高一校考期中)已知定义在区间0,+∞上的函数f x =t x+4 x-5(t>0)．(1)若函数f x 分别在区间0,2,2,+∞上单调，试求t的取值范围；(直接写出答案)(2)当t=1时，在区间1,4上是否存在实数a,b，使得函数f x 在区间a,b上单调，且f x 的取值范围为ma,mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【例56】(2024·全国·高一期中)已知函数f x =ax2-x+2a-1a>0(1)设f x 在区间1,2的最小值为g a ，求g a 的表达式；(2)设h x =f xx，若函数h x 在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围．【例57】(2024·高一单元测试)已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)=1.(1)证明：f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数；(2)解不等式f(2x-1)<2.题型七：幂函数【例58】(2024·全国·高一专题练习)已知幂函数f x =x-m2-2m+3-2<m<2,m∈Z满足：①f x 在0,+∞上为增函数，②对∀x∈R，都有f-x-f x =0，求同时满足①②的幂函数f x 的解析式，并求出x∈1,4时，f x 的值域.【例59】(2024·浙江金华·高一校考期中)已知点2,2在幂函数f(x)的图像上.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+ax+3，x∈1,+∞是否存在实数a，使得g(x)最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【例60】(2024·全国·高一假期作业)已知幂函数f x =m2-6m+10x-n2+4n n>1,n∈Z,m∈R的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式2a+3-m3<a-1-n2的a的取值范围.【例61】(2024·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-5m +7 x m -1为奇函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数g x =14f x +1+12-f x -14<x <2 的最小值.【例62】(2024·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中)已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N ∗)关于y 轴对称，且在0,+∞ 上单调减函数．(1)求m 的值；(2)解关于a 的不等式a +1 2m3<3-2a 2m3．【例63】(2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习)已知幂函数f x =k 2+k -1 x 2-k 1+k ，且f 2 <f 3 .(1)求函数f x 的解析式；(2)试判断是否存在正数m ，使得函数g x =1-f x +2mx 在区间0,1 上的最大值为5，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【例64】(2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递增.(1)求f x 的解析式；(2)若f x >3x 2+k -1 x 在1,3 上恒成立，求实数k 的取值范围．【例65】(2024·浙江杭州·高一校联考期中)已知幂函数f (x )=x -3n 2+9(n ∈N )为偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=3f (x )+2tx +3，求函数y =g (x )在区间[2,6]上的最小值G (t ).【例66】(2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知幂函数f x =2m2-5m+3x m是定义在R上的偶函数.(1)求f x 的解析式；(2)在区间-1,1上，f x 的图象总在函数y=kx-2图象的上方，求实数k的取值范围.【例67】(2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)已知幂函数f x =m2-5m+7x m-1，且f x =f-x.(1)求函数f x 的解析式；(2)若g x =f xf x +1,a,b均为正数且g a +g b =1，求f a +f b 的最小值.题型八：函数的实际应用【例68】(2024·全国·高一专题练习)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【例69】(2024·全国·高一专题练习)某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(千部)手机，需另外投入成本R x 万元，其中R x =10x2+100x+800,0<x<50504x+10000x-2-6450,x≥50，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2024年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式；(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【例70】(2024·全国·高一专题练习)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W x =12x2+x，在年产量不小于6万件时，W x =7x+81x-37．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【例71】(2024·全国·高一专题练习)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m )，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值，并求出此时x 的值．【例72】(2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试)党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车，需另投入成本C x 万元，且C x =10x 2+500x ,0<x <40901x +10000x-4300,x ≥40.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润=销售-成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【例73】(2024·浙江衢州·高一校考阶段练习)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=12x2+20x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x-600(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【例74】(2024·高一课时练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x0≤x≤10(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅6-12 x+4(万件)，其中k为工厂工人的复工率(0.5≤k≤1).A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)对任意的x∈0,10(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【例75】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅ (万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本6-12x+4(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？III 数学思想方法①分类讨论思想【例76】设函数f (x )=x +2，g (x )=x 2-x -1.用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )=max{f (x ),g (x )}，则M (x )的最小值是()A.1B.3C.0D.-54【例77】已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2)x 2-m 满足f (2)<f (3)，则函数g (x )=2x +m -x -m 的值域为()A.-258,+∞ B.[-3,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【例78】若定义在R 的奇函数f (x )在0,+∞ 单调递增，且f (-3)=0，则满足xf (x +1)≤0的x 的取值范围是()A.[-2,0]∪[1,4]B.[-4,-1)∪[0,2]C.[-4,-1]∪[0,2]D.[-4,-1]∪[3,+∞)【例79】已知函数f x =x 2-2ax +2,x ≤1x +9x-3a ,x >1的最小值为f 1 ，则a 的取值范围是()A.[1,3]B.3,+∞C.0,3D.-∞,1 ∪3,+∞【例80】已知函数f (x )=|x 2+bx |(b ∈R )，当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为M b ，则M b 的取值范围是()A.[1,+∞)B.[3-22,+∞)C.[4-23,+∞)D.[5-25,+∞)②转化与化归思想【例81】定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (-2)=1，则满足-1≤f (x -1)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,1]C.[-1,3]D.[0,2]【例82】已知函数f x =3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，设t=n-m，则t的最大值为()A. 1B.5-1C.1712 D.43【例83】若定义在R的奇函数f(x)在-∞,0单调递减，且f2 =0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【例84】设a=0.40.6，b=0.60.8，c=0.80.4，则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c【例85】已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)【例86】函数f(x)=3+2x-x2的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[1,3]D.[-1,1]③数形结合思想【例87】已知函数f(x)为奇函数，x>0时为增函数且f2 =0，则{x|f(x-2)>0}=.()A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【例88】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：①对任意的x 1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立；②f(-2)=0.则不等式f(x)x>0的解集为()A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)21数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例89】已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m ,5]的值域是[-5,4]，则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]【例90】奇函数f (x )在-∞,0 上单调递减，且f 2 =0，则不等式f (x )>0的解集是．()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【例91】如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90{^°})时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是()A.B.C.D.【例92】已知函数y =f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图像如图所示，则不等式xf (x )>0的解集为()22越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)。
新教材人教A版数学必修第一册讲义4-2-2第2课时指数函数的性质及其应用
第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案] 当a >1时，若x >0，则y >1；若x <0，则0<y <1.当0<a <1时，若x >0，则0<y <1；若x <0，则y >12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a >0.3b ，则a >b .( )(2)函数y ＝3x 2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y ＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m >1，则m >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 利用指数函数的单调性比较大小【典例1】 比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y ＝0.7x 在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.选D.[答案]D题型二 解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2； (2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， ∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[针对训练]2．已知32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围． [解] 由32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，得32x －1≥30.5. ∵函数y ＝3x 在R 上为增函数，∴2x －1≥0.5，得x ≥34.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 3．若a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为增函数，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为减函数，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 当0<a <1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，＋∞. 题型三 指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断． [解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c 且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5 [解析] 函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.[答案] D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. [答案] B3．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( ) A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a[解析] 由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .[答案] C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的递增区间． [答案] A5．已知函数f (x )＝2－x 2＋2x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[0,3]上的值域．[解] (1)函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (0)＝1，f (1)＝2，f (3)＝18，所以f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (3)＝18，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 课内拓展 课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y ＝f (a x )”型函数的单调性【典例1】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．[解] 令t ＝a x (t >0)，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t ＝－1.①若a >1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．②若0<a <1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t ＝a x 的形式，再利用定义域和函数y ＝a x 的单调性求出t 的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y ＝f (a x )”型函数的奇偶性 【典例2】 设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x 2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [解析] 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.[答案] B 2．若0.72x －1≤0.7x 2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] ∵函数y ＝0.7x 在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7 x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A. [答案] A[解析] 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减，可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故，∴a >c ，故a >c >b .[答案] A4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.[答案] D5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数[解析] 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.[答案] A 二、填空题6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． [解析] 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2. ∵t >0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x ＝1，∴x ＝0. [答案] 0 7．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．[解析] 设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以y ＝3u ≥3－1＝13， 所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，故解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．[答案] 4 三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解] (1)1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.综合运用11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23[解析] 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a0，即13≤a <1，故选B.[答案] B12．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析] 令3x ＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)． ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案] [14，＋∞)13．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．[解析] 解法一：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象向右平移1个单位得到函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象(如图所示过点(0,2))，当m <0时，再向下平移|m |个单位就可以得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，需要有m ≤－2.解法二：由题意得，因为0<12<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，故m 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1(a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．[解] (1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝1－23x＋1. ∵f (－x )＝1－23－x ＋1＝1－2·3x 1＋3x ＝1－2(3x＋1)－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．。
函数的性质综合讲义
函数的性质综合讲义一、函数的单调性 1.定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．2.单调区间若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 3.定义变式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么 ①⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数； （x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数． 4.函数单调性的证明步骤（1）取值：设1x ，2x 是所研究的区间内的任意两个值，且12.x x < （2）作差：()()12f x f x -（3）变形：将()()12f x f x -通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号 （5）结论5.函数单调性的常见结论（1）函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反；（2）函数f (x )与函数f （x ）＋c （c 为常数）具有相同的单调性； （3）当c ＞0时，函数y ＝cf (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当c ＜0时，函数y ＝cf (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反； （4）若f (x )≠0，则函数f (x )与()1f x 具有相反的单调性；（5）若()0f x ≥，函数()f x 具有相同的单调性；（6）若()f x ,()g x 具有相同的单调性，则()()f x g x +与()f x ,()g x 具有相同的单调性；（7）若()f x ,()g x 具有相反的单调性，则()()f x g x -与()f x 具有相同（与()g x 具有相反）的单调性； 考点一、函数单调性的判断例1、下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈），（230时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈），（∞+23时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．例2、试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a）（111-+-x x ＝a ）（111-+x ，f (x 1)－f (x 2)＝a ）（1111-+x －a ）（1112-+x ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．法二(导数法)：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上递增． 例3、判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． 法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.∵y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．考点二、求函数的单调区间 例4、求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 考点三、函数单调性的应用常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值． 角度一：求函数的值域或最值例4、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小例5、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21-(f ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得)21-(f ＝)25(f .由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>)25(f >f (e)，∴b >a >c .角度三：解函数不等式例6、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足)1(xf <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由f (x )为R 上的减函数且)1(x f <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值例7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．二、函数的最值1.最大值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ；（2）存在0x I ∈,使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值. 2.最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ；（2）存在0x I ∈,使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值.例1、若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )m ax ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4.例2、函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.例3、函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－221-t ）（＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y m ax ＝14.三、函数的奇偶性 1.奇函数定义如果函数f （x ）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x ，都有f （﹣x ）＝﹣f（x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数定义如果函数f （x ）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x ，都有f （﹣x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称 3.判断奇偶性的方法 （1）定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果有()()f x f x -=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. (2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． 4.函数奇偶性的函数特征 (1)奇函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，其特点是f （x ）＝m 时，f （﹣x ）＝﹣m . (2)偶函数的图象特征偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f （x ）＝n 时，f （﹣x ）＝n ．(3)由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函 数的单调性相反． 考点一、函数奇偶性的判断 例1、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．例2、如果f （x ）是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）A ．y ＝x ＋f （x ）B ．y ＝xf （x ）C ．y ＝x 2＋f （x ）D ．y ＝x 2f （x ）解析：∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）．对于A ，g （﹣x ）＝﹣x ＋f （﹣x ）＝﹣x ﹣f （x ）＝﹣g （x ），∴y ＝x ＋f （x ）是奇函数．对于B ，g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝xf （x ）＝g （x ），∴y ＝xf （x ）是偶函数．对于C ，g （﹣x ）＝（﹣x ）2＋f （﹣x ）＝x 2﹣f （x ）， ∴y ＝x 2＋f （x ）为非奇非偶函数，对于D ，g （﹣x ）＝（﹣x ）2f （﹣x ）＝﹣x 2f （x ）＝﹣g （x ），∴y ＝x 2f （x ）是奇函数．故选B ．考点二、函数奇偶性的应用例3、已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a ﹣1，2a ]，则a ＝ ，b ＝ ．解析：∵定义域应关于原点对称，故有a ﹣1＝﹣2a ，得a ＝．又∵f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，即：ax2＋bx＋3a＋b＝ax2﹣bx＋3a＋b∴b＝0．故答案为：，0例4、已知函数f（x）＝ax3＋bx＋1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝．解析：∵函数f（x）＝ax3＋bx＋1，∴f（﹣x）＝a（﹣x）3＋b（﹣x）＋1＝﹣ax3﹣bx＋1，∴f（﹣x）＋f（x）＝2，∴f（﹣a）＋f（a）＝2．∵f（a）＝8，∴f（a）＝﹣6．故答案为﹣6．例5、定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m＝，n＝．解析：因为函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以必定有f（0）＝⇒m＝0，此时f（x）＝，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数得到f（﹣x）＝﹣f （x），即＝⇒n＝0．故答案为：m＝0，n＝0．例6、已知函数f（x）＝＋a是奇函数，则实数a＝．解析：因为已知函数的定义域为R，并且是奇函数，所以f（0）＝0，即，即＋a＝0，解得a＝﹣；故答案为：．例7、设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f （x）表达式为．解析：设x＜0，则﹣x＞0，∴＝﹣f（x），f（x）＝x（1﹣）﹣1，又∵f（x）是R上的奇函数∴当x＝0时，f（0）＝0．故答案为：．例8、已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式．解析：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴∴当x＝0时∵f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（﹣0）＝﹣f（0）∴f（0）＝0∴例9、已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．解析：设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，＋∞）∴f（﹣x）＝﹣x（1＋）＝﹣x（1﹣）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x（1﹣）即f（x）＝x（1﹣）而f（0）＝0综上所述f（x）的解析式为故答案为例10、设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）﹣g（x）＝x2﹣x，求f（x），g（x）．解析：f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）；g（x）为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x）．f（x）﹣g（x）＝x2﹣x∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝x2＋x从而﹣f（x）﹣g（x）＝x2＋x，即f（x）＋g（x）＝﹣x2﹣x，⇒例11、、定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明．解析：f（x）为奇函数∵定义在R上的函数y＝f（x），对任意x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），∴令x1＝x2＝0，有f（0＋0）＝f（0）＋f（0）．解得f（0）＝0．令x1＝﹣x，x2＝x，有f（﹣x＋x）＝f（﹣x）＋f（x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数．例12、已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）（x∈R，y∈R），且f （0）≠0，试证明f（x）是偶函数．解析：证明：令x＝y＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（0）＋f（0）＝2f（0）•f（0）∵f（0）≠0，∴f（0）＝1令x＝0∵f（x＋y）＋f（x﹣y）＝2f（x）•f（y）∴f（y）＋f（﹣y）＝2f（0）•f（y）∴f（﹣y）＝f（y）即f（x）是偶函数四、函数的周期性1.周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．3.周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.例2、已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4.又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＝504）（31-1-31+＋1＝1 345.五、性质的综合 常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一：奇偶性的应用例1.函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．－2x B ．2－xC ．－2－x D ．2x解析：选C x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.角度二：单调性与奇偶性结合例2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.），（21-∞ B.），（），（∞+⋃∞2321- C.），（2321 D.），（∞+23解析：选C 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.角度三：周期性与奇偶性结合例3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－1,0)解析：选A 因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，化简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4，故选A.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合例4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．例5．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－98 D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.例6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)解析：选A 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2.∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．例7．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.。
第14讲 一次函数的应用]讲义(教师版)
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一次函数的应用1.使学生巩固一次函数的概念和性质。
2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。
3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。
1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。
2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。
一次函数与实际问题一次函数与正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图像和性质在生活中有着广泛的应用，利用一次函数和正比例函数的图像解决实际问题是本章的一个重点，这部分内容在中考中占有非常重要的地位，常与方程组、不等式等联系在一起考查。
例 1.如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图中提供的信息，有下列说法：（1）食堂离小明家0.4km；（2）小明从食堂到图书馆用了3min；（3）图书馆在小明家和食堂之间；（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min．其中正确的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个【解析】根据观察图象，可得从家到食堂，食堂到图书馆的距离，从食堂到图书馆的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．解：由纵坐标看出：家到食堂的距离是0.6km，故①错误；由横坐标看出：小明从食堂到图书馆用了28-25=3（min），故②正确；∵家到食堂的距离是0.6km，家到图书馆的距离是0.4km，0.6km＞0.4km，∴图书馆在小明家和食堂之间，故③正确；小明从图书馆回家所用的时间为：68-58=10（min），∴小明从图书馆回家的平均速度是：0.4÷10=0.04（km/min），故④正确；正确的有3个，故选：B．练习1在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t （秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（）A、甲的速度随时间的增加而增大B、乙的平均速度比甲的平均速度大C、在起跑后第180秒时，两人相遇D、在起跑后第50秒时，乙在甲的前面【答案】D【解析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．故选D．练习2甲乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x=4时，甲乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】①根据图象可知：甲队挖掘600米，需要6天，故可求得甲队的挖掘速度；②由函数图象可知乙队开挖两天后，用4天时间，挖掘200米；③求得4天两队各自挖掘的长度即可；④求得乙队完成任务需要的天数即可．解：①600÷6=100，故①正确；②（500-300）÷（6-2）=200÷4=50，故②正确；③甲队4天挖掘400米，乙队4天挖掘300+2×50=400米，故③正确；④（600-300）÷50=6天，所以乙队共需要8天完成任务，甲队需要6天完成任务，故④正确．故选：D．这道题的文字比较多，容易造成视觉厌倦，所以要解决此类问题，必须先耐心把题耐心细致地读三遍以上，搞清楚有哪些条件，要求什么，做到心中有数。
一次函数的图象和性质-教师讲义
青蓝教育教师辅导讲义年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课程主题一次函数的图象和性质授课类型T理解函数图象及一次函数的概念C利用函数的图象解决与一次函数有关的问题T能运用所学的函数知识解决实际问题授课日期时段年月日 A段（8：00--10：00）教学内容【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b=+的图象与正比例函数y kx=的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b=+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b=+（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b＝0时，y kx b=+即y kx=，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b=+（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线；当b＞0时，直线y kx b=+是由直线y kx=向上平移b个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．解：设函数的解析式为y kx b=+.它的图象过点（1.5，0），（0，2）41.50322k b kbb⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴∴该函数的解析式为423y x=-+.举一反三：已知一次函数的图象与正比例函数2y x=的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】23y x=-；提示：设一次函数的解析式为y kx b=+，它的图象与2y x=的图象平行，则2k=，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b．解得3b=-．∴一次函数解析式为23y x=-．【变式2】（1）已知直线(0)y kx b k=+≠，与直线2y x=平行，且与y轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k=+≠与31y x=+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．【答案】（1）22y x=-；（2）32y x=+或3y x=.提示：（1）因为所求直线与2y x=平行，所以2y x b=+，将（0，－2）代入，解得2b=-，所以22y x=-.（2）由题意得3k=，假设点（1，4）在31y x=+上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线3y x b=+上，解得2b=或0b=.所求直线为32y x=+或3y x=.类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．根据图象求出y与x的函数关系式．解：根据图象，当0≤x≤50时，可设解析式为y kx=，将(50，25)代入解析式，所以12k=，所以12y x=；当x＞50时可设解析式为y ax b=+，将(50，25)，(100，70)代入解析式得502510070a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得0.920ab=⎧⎨=-⎩，所以0.920y x=-．所以当0≤x≤50时函数解析式为12y x=；当50x>时函数解析式为0.920y x=-．∴所求的一次函数解析式为：1(050)20.920(50)x xyx x⎧≤≤⎪=⎨⎪->⎩．举一反三：小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D ；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数()()243y m x n =++-． （1）当m 、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m 、n 的取值范围. 解：（1）240m +>，即m ＞－2，n 为任何实数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是满足24030m n +≠⎧⎨-=⎩即23m n ≠-⎧⎨=⎩时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则24030m n +>⎧⎨->⎩，即23m n >-⎧⎨<⎩．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①y 随着x 的增大而增大②与x 轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =+【答案】C ；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①y 随着x 的增大而增大②y 与x 轴的正半轴相交．C 中当k ＞0，b ＜0，y 的值随x 的值增大而增大，且与x 的正半轴相交，符合条件．故选C ．举一反三：函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B ；提示：不论k 为正还是为负，k 都大于0，图象应该交于x 轴上方，故选B.一.选择题1. 已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图所示，那么a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <C ．0a >D ．0a <2．一次函数21y x =--的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知一次函数k x k y +-=)21(的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是（ ）A.0>kB.0<kC.210<<k D.21<k4．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量c （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，该厂对这种产品的生产是（ ）A ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少B ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平C ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产D ．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产5．已知直线y x =和直线12y x b =-+相交于点(2，c )，则b 、c 的值分别为（ ）． A ．2，3 B ．3，2 C ．12-，2 D ．12-，36. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（ ）．A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm知b ＞0，故ab ＞0．8. 【答案】＞；因为一次函数43y x =-+中的k ＝ －4＜0，y 随x 的增大而减小，所以12x x < 时，12y y >．9. 【答案】3；【解析】互相平行的直线k 相同.10.【答案】()3,0,()0,1 【解析】令x ＝0，解得y ＝1；令y ＝0，解得x ＝3. 11.【答案】＜【解析】k ＞0，y 随x 的增大而增大.12.【答案】4±一次函数与x 轴交点为,02b ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴交点为（0，b ）,所以1||||422b b -=，解得b ＝±4.三.解答题13.解：（1）图象经过原点，需218k -+＝0，∴9k =；（2）把点(0，－2)代入()3218y k x k =--+，解得k ＝10； （3）图象与y 轴的交点在x 轴的上方，需218k -+＞0，且3－k ≠0，解得k ＜9且k ≠3；（4）图象平行于直线y x =-，说明3－k ＝－1，解得4k =； （5）y 随x 的增大而减小，需3－k ＜0，解得3k >. 1解：（1）∵1-y 与1+x 成正比例，∴ ()11y k x -=+当x ＝1时，y ＝5 解得k ＝2 ∴23y x =+ (2)A(3,02-)，B(0，3) 12AOB S OA OB ∆=⨯＝1393224⨯⨯=. 15.解：（1）由题意，得25(020,)252010(20)(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨⨯+->⎩且为整数且为整数） 化简得：25(020,)10300(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨+>⎩且为整数且为整数）（2）把x ＝54代入y ＝10x ＋300，y ＝10×54＋300＝840（元）. 所以某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了840元.一.选择题1. 如果一次函数当自变量x 的取值范围是13x -<<时，函数值y 的取值范围是26y -<<，那么此函数的解析式是（ ）． A ．2y x =B ．24y x =-+C ．2y x =或24y x =-+D ．2y x =-或24y x =-2. 已知正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y k x =-的图象大致是（ ）．3．已知函数y kx b =+的图象不经过第二象限，那么k 、b 一定满足（ ） A ．k ＞0，b ＜0 B ．k ＜0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＞0，b ≤04．下列说法正确的是（ ）A ．直线y kx k =+必经过点（－1，0）B ．若点1P （1x ，1y ）和2P （2x ，2y ）在直线y kx b =+（k ＜0）上，且1x ＞2x ，那么1y ＞2yC ．若直线y kx b =+经过点A （m ，－1），B （1，m ），当m ＜－1时，该直线不经过第二象限D ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则m ＝±15．如图所示，直线1l ：y ax b =+和2l ：y bx a =-在同一坐标系中的图象大致是（ ）6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ）二.填空题7．若函数21||3122y m x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭为正比例函数，则m 的值为________；若此函数为一次函数，则m 的值为________．8. 已知一次函数2y x a =-与3y x b =-的图像交于x 轴上原点外的一点，则ab＝______. 9. 直线()42y m x m =+++，它的解析式中m 为整数，又知它不经过第二象限，则此时m＝ .10.若点（ a ，b ）在第四象限内，则直线y ax b =+不经过第 象限，函数值y 随着x 的增大而 . 11.已知直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P （m ，－1）为坐标系内一动点，若△ABP 面积为1，则m 的值为____________________________. 12. 如图, 直线443y x =- 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, 把△AOB 以x 轴为对称轴翻折， 再将翻折后的三角形绕点A 顺时针旋转90°, 得到△'''AO B ，则点''B 的坐标是 ____.三.解答题13.在平面直角坐标系xOy 中，将直线kx y =沿y 轴向上平移2个单位后得到直线l ，已知l 经过点A （－4, 0）． （1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B ，点P 在坐标轴上，△ABP 与△ABO 的面积之间满足12ABP ABO S S ∆∆=, 求P 的坐标．14. 已知：如图，平面直角坐标系中，A （ 1，0），B （0，1），C （－1，0），过点C 的直线绕C 旋转，交y 轴于点D ，交线段AB 于点E.（1）求∠OAB 的度数及直线AB 的解析式；（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，①求直线CE 的解析式；②若y 轴上的一点P 满足∠APE ＝45°，请直接写出点P 的坐标.15. 如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 沿边按A —B －C —D 的方向运动到点D （但不与A 、D两点重合）．求△APD 的面积y （2cm ）与点P 所行的路程x （cm ）之间的函数关系式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ； 【解析】分两种情况求解x ＝－1时，y ＝－2, x ＝3时，y ＝6；或者x ＝－1时，y ＝6, x ＝3时，y ＝－2.2. 【答案】B ；【解析】由题意和k ＞0，则一次函数y k x =-与y 轴的交点(0，k )，在y 轴正半轴上，排除C 、D ；又－1＜0，则图象经过一、二、四象限，排除A ，故选B ．3. 【答案】D ；【解析】不经过第二象限，包括经过原点和经过第一、三、四象限两种情况.4. 【答案】A ；【解析】C 选项1mk b -=+，m k b =+，解得11221111m m k m m m +-+=-=-=-----，因为m ＜－1，所以k ＜0，所以图象必过第二象限.5. 【答案】C ；【解析】A 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＞0，a ＜0，矛盾；B 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＜0，a ＜0，矛盾；D 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＜0，a ＞0，矛盾.6. 【答案】A 【解析】随着时间的推移，大正方形内除去小正方形部分的面积由4变到3，保持一段时间不变，再由3变到4，所以选A 答案.二.填空题7. 【答案】12，12±；2=⨯122ADP AD ==⨯14(102ADP S DP ==⨯((03<<。
高中数学讲义：利用函数性质与图像解不等式
利⽤函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x "Î<Û<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x $Î=，则()0,x a x Î时，()0f x <;()0,x x b Î时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x æö-=ç÷èø4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。
所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。
高一数学基础知识讲义(2021)——函数及其性质
高一数学基础知识讲义（2021）——函数及其性质第二讲 函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。
记作：:f A B →。
⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。
⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。
这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。
⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
⑹区间：定 义名 称符 号{}x a x b ≤≤闭区间[],a b{}x a x b <<开区间(),a b{}x a x b ≤<半开半闭区间[),a b{}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。
实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。
高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。
例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
函数的性质11-16讲义
第十一讲 映射的概念及判断 一 知识点精讲：1 对应 比喻在一个系统中的某一项在性质、作用、位置或数量上等情况中，同另一系统中的某一项相当。
例题1：2010年湖北行测真题苏东坡成全了黄州，黄州也成全了苏东坡，这实在是一种（ ）的有趣关系。
东坡写于黄州的那些杰作，既宣告着黄州进入了一个新的美学等级，也宣告着东坡进入了一个新的人生阶段，两方面一起（ ），谁也离不开谁。
A ．相辅相成 提升B ．水乳交融 闻名C ．如影随形 升华D ．同舟共济 流传 例题2：很多大学生希望毕业后找到一份工作，稳步发展，可是也有许多人不愿（ ） 。
他们有相对稳定的家庭背景，有工作能力，却在寻找生活的另一种可能性。
A ．按部就班B ．墨守成规C ．人云亦云D ．步人后尘在生活中也有许多这的例子： 学生与座位对应，（一对一） 火车票（有座位号）与火车上的座位（一对一） 学生对应班级，（多对一） 成绩好的同学对应原因（一对多） 2、映射的定义：映射是一种特殊的对应，设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →。
若集合A 中的元素a 集合B 中的元素B 对应，则称a 是b 的原象，b 是a 象。
一个原相只有一个象，但一个相可以有多个原象。
特点：映射具有方向性，B A f →:与A B f →:是不相同的一对一，多对一，不允许一对多，集合A 中可以有多余的元素 允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。
二 典例解析：1.下列对应构成映射的是（ ）图1图2 图3 图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、 2．设集合A 和B 都是正整数集合N *，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是_____________3.已知1{0,1,2,4},{,0,1,2,6,8}2A B ==,下列对应关系能构成从A 到B 的映射的是 A . 3:1f x x →- B. 2:(1)f x x →- C . 1:2x f x -→ D. :2f x x → 4、给定映射f ：（x ，y ）→（x ，x ＋y ），在映射f 下象（2，3）的原象是（a ，b ），则函数f （x ）＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________5. 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(课本22P 例7) （1）集合P P A |{=是数轴上的点} 集合=B R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合P P A |{=是平面直角坐标系中的点} , 集合=B },|),{(R y R x y x ∈∈， 对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3）集合x x A |{=是三角形} , 集合=B x x |{是圆}对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆（4）集合x x A |{=是新华中学的班级 } , 集合=B x x |{是新华中学的学生}对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生. 6． 以下给出的对应是不是从集合B 到集合A 的映射？ (1) 集合x x A |{=是三角形} , 集合=B x x |{是圆}对应关系f ：每一个圆对应它的内接三角形(2) 集合x x A |{=是新华中学的班级 } , 集合=B x x |{是新华中学的学生}对应关系f ：每一个学生都对应班他（她）的班级. 7 设集合},,{c b a A =，}0{=B ,则从A 到B 的映射共有几个？ 设集合},,{c b a A =，}1,0{=B ,则从A 到B 的映射共有几个？ 设集合},{b a A =，}2,1,0{=B ,则从A 到B 的映射共有几个？根据以上经验猜测：设集合A 有n 个元素，B 有m 个元素,则从A 到B 的映射共有几个？第十二讲 函数的概念一 知识点精讲 1 函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
幂函数及函数应用(讲义及答案)
5
12.
函数
f
(x)
x
2
2x
3，x
≤
0
的零点个数为（
2 ln x，x 0
A．2
B．3
C．4
） D．5
13. 已知0 a 1，则方程a|x| | log xa | 的实数根的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下的 x， f (x) 的 对应值表：
1 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
n 若 m，n 均为奇数，则函数 y x 是奇函数，其图象关于原点 对称； 若 m 为偶数，n 为奇数，则函数 y x 是偶函数，其图象关 于 y 轴对称； 若 m 为奇数，n 为偶数，则函数 y x 是非奇非偶函数，只 在第一象限内有图象．
2 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
10. 比较下列各数的大小：
5
5
（1） 3 2
3.1 2 ；
6
（2） (0.3)11
5
（3） (0.88)3
(0.88)3 ；
（4）(
2
)
2 3
3
6
0.711 ；
( 1) 3 ． 4
11. 函数 f (x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)
） D．(1，2)
线，并且有
，那么，函数 y f (x) 在区间
内有零点，即
，使得
，这个
c 也就是方程 f (x) 0 的根．
三、二分法 1. 定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f (a) f (b) 0 的函数
08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。
函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。
这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。
函数模型及其应用讲义
函数模型及其应用讲义一、知识梳理1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x注意：1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)不存在x0，使0x a<0n x<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．()(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()题组二：教材改编2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．4．]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．题组三：易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．三、典型例题题型一：用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油思维升华：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型二：已知函数模型的实际问题典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元思维升华：求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． (2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．题型三：构建函数模型的实际问题 命题点1：构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 命题点2：构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？引申探究：本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 命题点3：构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.命题点4：构造分段函数模型典例某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？思维升华：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．函数应用问题：典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．四、反馈练习1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年D ．2020年5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3D ．26 m 36．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－)82(xx (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____m.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)．11．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg )10(12I给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.15．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．16．某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝10x－2＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格，使该店每日销售产品A所获得的利润最大．(保留1位小数)。
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函数性质应用（讲义）
➢知识点睛
一、函数的单调性
确定函数单调性的常用方法：
（1）定义法：先求出函数的定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
（2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或可以作出函数图象，可由图象的升、降得出它的单调性或单调区间．
（3）转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增+增得增”、“减-增得减”、“同增异减”等，求得函数的单调性或单调区间．
注：
（1）确定函数单调性，优先确定定义域；
（2）利用定义证明单调性，注意取值的任意性．
二、函数奇偶性判断的步骤
三、函数单调性与奇偶性的常用结论
1.若()
f x是奇函数，且在原点处有定义，则f (0)=0．
2.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3.若()
f x是奇函数，则()
f x是
f x在关于原点对称的区间上单调性相同；若()
偶函数，则()
f x在关于原点对称的区间上单调性相反．
➢精讲精练
1. 函数|4||3|
y x x =++-是（ ） A ． 奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
2. 已知函数(4)0()(4)0x x x f x x x x +⎧=⎨-<⎩
≥（）（），则()f x 是（ ） A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
3. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意12x x ∈R ，，有
1212()()()1f x x f x f x +=++，下列说法一定正确的是（ ） A ．)(x f 是奇函数
B ．)(x f 是偶函数
C ．()f x +1是奇函数
D ．()f x +1是偶函数
4. 已知函数f (x )在R 上是增函数，若F (x )=f (x )- f (-x )，则（ ） A ．F (x )在R 上为增函数
B ．F (x )在R 上的增减性不定
C ．F (x )在R 上为减函数
D ．F (x )在R 上为常值函数
5. 已知函数()f x 的定义域为(3-2a ，a +1)，且(1)f x +是偶函数，则实数a 的值
是（ ）
A ．23
B ．4
C ．2
D ．6
6. 若函数2()||f x ax b x c =++（0a ≠）有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足
（ ）
A ．2400b ac a ->>，
B ．240b ac ->
C ．02b a -
> D ．02b a
-<
7. 已知函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2，
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，若(12)(2)f a f a +>--，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． (1)-∞-，
B ．(01)，
C ．(1)-+∞，
D ．(10)-，
8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)，+∞上单调递减，且
(2)(1)0f a f a -+-<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(2]2
， B ．3()2，+∞ C ．3[1)2， D ．3()2
，-∞
9. 若函数0()210x a x f x ax a x +⎧=⎨+-<⎩
≥（）（）在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．
10. 若函数221()1x ax x f x ax x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤（）（）
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a >-2
B ．-2<a <2
C ．a ≤-2
D ．12a -≤
11. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
2221()(|||2|3)2
f x x a x a a =-+--．若(1)()x f x f x ∀∈-R ≤，，则实数a 的取值范围为（ ）
12. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足(0)0f ≠，当0x >时，
()1f x >，且对任意的a b ∈R ，
，都有()()()f a b f a f b +=⋅． （1）求证：(0)1f =；
（2）求证：对任意的x ∈R ，有()0f x >；
（3）求证：()f x 在R 上是增函数；
（4）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．
13. 已知函数()f x 是增函数，定义域为(0)+∞，，且(4)2f =，()()()f xy f x f y =+，
求满足()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围．
14. 已知函数2211()a f x a a x
+=-，常数a >0． （1）设0m n ⋅>，证明：函数()f x 在[]m n ，
上单调递增； （2）设0<m <n ，且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，
，求n -m 的最大值．
【参考答案】
1. B
2. B
3. C
4. A
5. C
6. C
7. A
8. D
9.(01]，
10.C
11.B
12.（1）略；（2）略；（3）略；（4）03
<<
x 13.34
<≤
x
14.（1）略；（2）
3。