七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式1学案无答案新版苏科版
七年级数学下册9从面积到乘法公式小结与试探温习学案无答案新版苏科版
第九章小结与试探【学习目标】1．进一步明白得本章的有关内容，把握有关的运算法那么，并会应用法那么进行计算。
2．了解公式的几何背景。
3．反思本章的学习进程，进一步感受从图形面积计算得出整式乘法法那么、整式乘法公式的进程，并会明白得计算的算理，进展符号感，进展有层次的试探和表达能力。
【学习重、难点】1.灵活运用整式乘法法那么和乘法公式进行运算。
2.明白因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式学习进程：【课堂导学】1．学生自己回忆本章所学的内容，在学生独立试探的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流2．举出整式乘法与因式分解的例子，体会整式乘法的运算法那么和乘法公式和因式分解与整式乘法的互逆关系。
3．你明白吗？（1）单项式乘单项式:①系数与系数相乘；②相同字母相乘；③单独字母照抄.（2）单项式乘多项式：用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得积相加.（3）多项式乘多项式:用其中一个多项的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(4)乘法公式：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2②(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ③(a -b)2=a 2-2ab+b 2(5)因式分解方式： ①提取公因式法； ②公式法．【课堂检测】1.单项式乘以多项式： (-3xy+23y 2-x 2)×6x 2y2.多项式乘以多项式: (x ＋2)(2x －3)3.乘法公式： ⑴、 (2m-n)2 ⑵、(x-21)(x 2+41)(x+21)4.计算题：(1)(x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x)(2)(p+2q)2-2(p+2q)(p+3q)+(p+3q)2(3)(2m-3n)2 (4)(-4x+5y)(-5y+4x)5.化简后求值：22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--，其中2-=a ，31=b ．6.把以下各式分解因式：（1）2n a -502+n a； （2）2)(4y x y x --．7.把以下各式分解因式：(1) 16x 4-72x 2y 2+81y 4(2) (x2+y2)2-4x 2y 2(3) -ab(a-b)2+a(b-a)2(4) (x 2+4x)2+8(x 2+4x)+16课堂小结：本节课你有什么收成？课后反思：【课后巩固】1.以下分解因式中，错误的选项是( )A.15a 2+5a=5a(3a+1)B.-x 2-y 2=-(x+y)(x-y)C.m(x+y)+x+y=(m+1)(x+y)D.x2-6xy+9y 2=(x-3y)22.要使x 2+2ax+16是一个完全平方式,那么a 的值为( )A.4B.8C.4或－4D.8或－83.（－5）2000＋（－5）2001的结果( ) A.52000 B.-4×52000C.-5D.(-5)40014．当x=1时，代数式ax 2+bx+1的值为3，那么(a+b-1)(1-a-b)的值等于（ ）A.1B.－1C.2D.－25.有4个代数式①m 2n;②3m -n;③3m+2n;④m 3n. 可作为代数式9m 4n-6m 3n 2+m 2n 3 的因式是（ ）A.①和②B.①和③C.③和④D.②和④6.假设x-y=5,xy=6，那么x 2y-xy 2=______ __, x 3y+xy 3=___ __7.已知(3x+ay)2=9x 2-48xy+by 2，那么a,b 的值别离为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式1教案新版苏科版1127
9.4乘法公式（1）一、教材依据：二、设计思路：1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。
首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。
通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。
三、学生分析：1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：①同类项的定义。
②合并同类项法则的正确应用。
③多项式乘以多项式法则。
2、学生对即将学习的内容已经具备的水平：在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。
这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。
四、教学／学习目标及其对应的课程标准：（一）教学目标：1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
2、通过图形面积的计算，感受完全平方公式的直观解释。
3、经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。
（二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下坚实的基础。
（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
七年级数学下册 9.4 乘法公式(一)课件 (新版)苏科版
第七页，共16页。
完全(wánquán) 平方公式
特点：
(a+b)2= a2+2ab+b2 (a-b)2= a2-2ab+b2
（1）两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者 仅差一个“符号(fúhào)”不同；
（2）公式的右边都是二次三项式，其中两项是公式 左边二项式中每一项的平方，简称“平方项”，中 间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者仅差一 个“符号(fúhào)”不同，简称“2倍之积项”。
解法(jiě fǎ)二：(a-b)2=[a+(-b)2]
=a2+2.a.(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
完全平方(píngfāng)公式
(a+b)2= a2+2ab+b2
(a-b)2= a2-2ab+b2
你能用语言叙述完全平方公式吗？
两个数的和（差差）的平方等于这两个数的平 方和与它们的积的2倍的和（差）差。
首平方，尾平方，首尾之积2倍加(bèi jiā)
减在中央
第八页，共16页。
例1 用完全平方公式 (gōngshì)计算：
(2＋7y)2
想一想
第九页，共16页。
例1 用完全平方公式 (gōngshì)计算：
(2)(2x＋7y)2
想一想
第十页，共16页。
例1 用完全平方 (píngfāng)公式计算：
9.4乘法(chéngfǎ)公 式（一）
第一页，共16页。
创设 (chuàngshè) b 情境
a
a
a
b
b
b
a
如果把它们看成2个小长方形和2个小正方 形，那么它们的面积(miàn jī)可分别表a示b为 __a_b__、__b_2__、__a_2__、_____.
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式(1)教案1(新版)苏科版
这个公式也称为完全平方公式．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
你能说出这两个公式的特点吗？
根据公式特点，教师引导学生完善完全平方公式口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中间，符号看前方．
例2用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；（2）(2x－7y)2；（3）(－2a－5)2．
（3）(－m＋n)2＝－m2＋n2；
（4）(－a－1)2＝a2－2a－1．
3．用简便方法计算992．
4．如图所示，内外两个均为正方形，则小正方形的边长为多少cm？大正方形的面积比小正方形大多少？
3
四学生板演，由学生评价．
学生思考后口答．
学生尝试完成．
进一步的应用，让学生更加熟练、准确地运用完全平方公式进行计算，起到强化和巩固的作用．
9.4乘法公式（1）——完全平方公式
9.4乘法公式（1）——完全平方公式
教学目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；
2．通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；
3．经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力．
教学重点
运用完全平方公式进行简单的计算．
教学难点
完全平方公式的应用．
第（1）题由学生口答，教师板书．
第（3）题可能会出现两种解法，教师予一讲解；若只出现一种，教师也可适当补充．
例3计算：
（1）9982；（2）20012．
学生思考尝试，相互补充．
小组讨论总结，全班交流．
读口诀，体会其内容．
（2）、（3）两题由两个学生板演．
独立思考，作业本上完成，两学生板演．
尝试多种方法解题并找出最优化方法，可以提高学生解题的策略性．把两数差转化为两数和，引导学生感受转化的思想以及知识之间的内在联系．
苏科初中数学七年级下册《9.4 乘法公式》教案 (11)
9.4 乘法公式（1）课 题课时分配本课（章节）需 11 课时 本 节 课 为 第 4 课时9.4乘法公式（1）教学目标 1.能说出完全平方公式及其结构特征 2.能正确的运用完全平方公式进行计算 重 点 能够熟练掌握完全平方公式 难 点 正确运用完全平方公式进行计算教学方法讲练结合、探索交流课型 新授课 教具 投影仪教 师 活 动学 生 活 动 一、情景设置：ababbaab怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？二、新课讲解： 1.完全平方公式如果把上图看成一个大正方形，它的面积为2)(b a +如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为222b ab a ++则易得2)(b a += 222b ab a ++也可通过多项式乘法法则得到对于任意的a 、b ，上式都成立2)(b a += 222b ab a ++ ——完全平方公式学生回答由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．学生分组进行讨论 推出公式aabb(a-b)b同样通过计算上图阴影的面积，易得 2222)(b ab a b a +-=-也可利用多项式乘法法则证明对于任意a 、b 上式都成立2)(b a += 222b ab a ++2222)(b ab a b a +-=- —— 完全平方公式2.例题1：计算⑴ 2)2(+x ⑵2)21(+y ⑶2)4(b a -练习：第76页 第 1、2、3、4 小结：今天我们学习了乘法公式2)(b a += 222b ab a ++ 2222)(b ab a b a +-=-试说出这2个公式的特点。
教学素材：A 组题：计算：1022 1992B 组题：板演分组讨论 板演 学生板演 共同小结思考：2)a-与2)(ab-相等吗-相等吗？2)(ba-a+与2)(b(b作第82页1、2、4业教学后记。
9.4乘法公式(1)
1 1 ( x 2 y )( x 2 y ) 2 2 计算： （1） 2
（2）(－4a－1)(4a－1)
B 组题：
1.思考： ( a b) 与 (a b) 相等吗？ ( a b) 与 (b a ) 相等吗
2 2 2 2
作业
第 82 页 1、2、4
板 复习 …… …… …… …… …… 教
书
设
计 例1 …… …… 例2 …… …… 板演 …… …… …… …… ……
学
后
记
完全平方公式、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用。 练习：第 80 页 第 1、2、3、4 小结： 今天我们学习了乘法公式
(a b) 2 = a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b)( a b) a 2 b 2
(a b) 2 a 2 2ab b 2
也可利用多项式乘法法则证明对于任意 a、b 上式都成立
(a b) 2 = a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2
例题 1：计算 板演 —— 完全平方公式
⑴
( x 2)
2
1 ( y )2 2 ⑵
教学方法 教 师
学 生 活 动
情景设置：
b a ab a
学生回答
b
ab
怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？ 新课讲解： 1.完全平方公式 如果把上图看成一个大正方形，它的面积为 ( a b)
2
由学生自己先做(或互 相讨论)，然后回答，若 有答不全的，教师(或其 他学生)补充．
七年级数学下册 第九章从面积到乘法公式复习教案 苏科版
第九章从面积到乘法公式单元总结提升---[教案]班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1. 完全平方式公式：（a±b）2= a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2= a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.（3）几何意义：5.因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1. 单项式与单项式相乘，应注意：（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意: 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解; 2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止; 3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？ (1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) (4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x (5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.解：（2）是因式分解，（6）是整式乘法.【点评】本题旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识. 变式题 下列变形中，因式分解对不对？为什么？ (1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2) (3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b) (4)4a 2－100=(2a+10)(2a －10)(5)a 2－b 2=(a －b)2提示： 第（2）题提取公因式a 后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.【说明】此题旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是(2)中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意.类型之二、基本运算型 1.整式乘法的运算例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则a ＊b+（b-a ）＊b 等于（ ）A.a 2-b ； B.b 2-b ； C.b 2； D.b 2-a.【思路分析】在（b-a ）＊b 中，把（b-a ）看作是规定运算中的a ，展成一般形式后用整式的乘法进行运算.解：a ＊b+（b-a ）＊b= ab+a-b+[ （b-a ）b+（b-a ）-b]= ab+a-b+[b 2-ab+b-a-b]= ab+a-b+b 2-ab-a= b 2-b.选B.【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键. 变式题 已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=-21xy ，C= 81x 3y 3- 41x 2y 4.求：2AB 2-C. 提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项.解：2AB 2-C=2（2x 2+3xy-y 2）（-21xy ）2-（81x 3y 3- 41x 2y 4） =（4x 2+6xy-2y 2）（41x 2y 2）-81x 3y 3+ 41x 2y 4=x 4y 2+23x 3y 3-21x 2y 4-81x 3y 3+ 41x 2y 4= x 4y 2+811x 3y 3- 41x 2y 4.例3 计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2；（2）[（4x n+1-21y ）2+4y （x n -16y ）]÷8x 2.【思路分析】利用乘法公式展开后计算.解：（1）原式=3（m 2+2m+1）-5（m 2-1）+2（m 2-2m+1）=3m 2+6m+3-5m 2+5+2m 2-4m+2=2m+10； （2）原式=（16x 2n+2-4x n+1y+41y 2+4x n y- 41y 2）÷8x 2=（16x 2n+2-4x n+1y+4x ny ）÷8x 2=2x 2n-21x n-1y+21x n-2y. 【点评】在整式的运算中，为了运算简捷，要尽量利用乘法公式计算，混合运算要注意运算顺序.尽管（2）中出现了多项式除以单项式运算，但应用倒数可将除法转化为乘法运算，即（m+n ）÷a=（m+n ）×a 1=m ×a 1+n ×a1=m ÷a+n ÷a.可见掌握转化思想，可以探索新知识，解决新问题.变式题 计算：（1）（a+b+c-d ）（a-b+c+d ）； （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.提示： （1）建立平方差公式的模型后求解；（2）将（x+1）与（x+4），（x+2）与（x+3）先分别相乘.解：（1）观察运算符号，两多项式中a 、c 符号相同，b 、d 符号相反，因此可以把a 、c 结合在一起，看成一项，把b 、d 结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.原式=[（a+c ）+（b-d ）][（a+c ）-（b-d ）]=（a+c ）2-（b-d ）2=a 2+2ac+c 2-b 2+2bd-d 2；（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x 2+5x ，再视其为整体进行运算.原式=[（x+1）（x+4）][ （x+2）（x+3）]=[ x 2+5x+4][ x 2+5x+6]= [（ x 2+5x ）+4][ （x 2+5x ）+6]= （ x 2+5x ）2+10（ x 2+5x ）+24=x 4+10x 3+25x 2+10x 2+50x+24= x 4+10x 3+35x 2+50x+24. 2.因式分解例4 （1）分解因式:2x 2-18= ; (2) 分解因式:a 3-2a 2b+ab 2= ; (3) 分解因式:x 2-y 2+ax+ay= .【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法. 解：（1）原式=2（x 2-9）=2（x+3）（x-3）； （2）原式=a （a 2-2ab+b 2）+a （a-b ）2；（3）原式=（x 2-y 2）+（ax+ay ）=（x+y ）（x-y ）+a （x+y ）=（x+y ）（x-y+a ）. 【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题 先阅读，再分解因式：x 4+4=（x 4+4x 2+4）-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2=（x 2+2x+2）（x 2-2x-2）. 仿照这种方法把多项式644＋x 分解因式.提示 仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解. 解：644＋x =（x 4+16x 2+64）-16x 2=（x 2+8）2-（4x ）2=（x 2+4x+8）（x 2-4x+8）类型之三、基本应用型例5 若x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，求x 2y 2＋2x 3y 2＋x 4y 2的值.【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x 、y ，再化简所求代数式后代入求值.解：因为x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，所以（x 2－4x+4）＋（y 2－10y ＋25）=0， （x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y2＋2x3y2＋x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，x2（x+y）－y2（x+y）=0，（x2－y2）（x+y）=0，（x+y）（x-y）（x+y）=0，（x+y）2（x-y）=0，又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面积为49C㎡.答：矩形的面积为49C㎡.例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力.变式题 已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.解答： 由已知条件可以设2x 3-x 2+m=(2x+1)(x 2+a x+b),则2x 3-x 2+m=2x 3+(2a +1)x 2+(a +2b)x+b.对比多项式系数可得类型之四、思想方法型1.整体转化思想例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是2，并且x=ｅ＋３b a 3+2cd+２１e 2，求9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值. 【思路分析】整体确定a+b 、cd 的值，进而得到x 的值，将求值式化简后再代入.解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，所以x=ｅ＋b a 33+2cd+２１e 2=ｅ）＋b a (3+2cd+２１e 2=e 03×+2×1+21×22=2+2=4. 原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.变式题 （1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 与a 2 + b 2 的值.（2）设m 2+m-1=0，求m 3+2m 2+2004的值.提示：本题在解题时要运用整体思想.解：（1）已知（a+b ）2=144， (a-b)2=36,a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36，把ab 与a2 + b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90，两式相减，得到4ab=108，即ab=27.答：ab=27，a2 + b2=90.（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.∴m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.答：m3+2m2+2004=2005.2.数形结合思想例8 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.（a+b）（a-b）=a2-b2；B.（a+b）2=a2+2ab+b2；C.（a-b）2=a2-2ab+b2；D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.a图2图1【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.变式题（苏科版课课练P63 6）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2. Array提示：结合图形寻求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、实践型1.思维实践型例9 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x 2+1+6x=（3x+1）2，或9x 2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：9x 2+1+481x 4=（29x 2+1）2，9x 2+1-1=（3x ）2，9x 2+1-9x 2=12. 解：所加的单项式可以是±6x 或481x 4或-1或-9x 2. 【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.变式题 观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，…猜想一下，第n 个式子是 .提示： 通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n 个式子中右边的底数为2n （n+1）+1，因此有：[2n ·（n+1）+1]2-[2n （n+1）]2={[2n ·（n+1）+1]+[2n （n+1）]}{[2n （n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n 2+4n+1=（2n+1）2.故第n 个式子为（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2.2.动手实践型例10 现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.（1） 选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.变式题（苏科版课课练P63 6）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=3a 2+5ab+2b 2，显然需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.解：需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.画图如图2所示.中考名题欣赏1.计算：（-1-2a ）（2a-1）= ；化简：（21m+n ）（m-2n ）= . 解：（1）方法1：（-1-2a ）（2a-1）=-2a+1-4a 2+2a=1-4a 2；方法2：（-1-2a ）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a 2-1）=1-4a 2； 方法3：（-1-2a ）（2a-1）=（-1-2a ）（-1+2a ）=（-1）2-（2a ）2=1-4a 2.（2）方法1：原式=21m 2-mn+mn-2n 2=21m 2-2n 2； 方法2：原式=21（m+2n ）（m-2n ）=21（m 2-4n 2）=21m 2-2n 2； 方法3：原式=2（21m+n ）（21m-n ）=2（41m 2-n 2）=21m 2-2n 2. 【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.2.（1）把代数式xy 2-9x 分解因式，结果正确的是（ ）A.x （y 2-9）B.x （y+3）2C.x （y+3）（y-3）D.x （y+9）（y-9）（2）把代数式a 3+ab 2-2a 2b 分解因式的结果是 .解：（1）xy 2-9x=x （y 2-9）= x （y+3）（y-3），故选C ；（2）原式=a （a 2+b 2-2ab ）=a （a 2-2ab+b 2）=a （a-b ）2.【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A ，第（2）题误填a （a 2+b 2-2ab ）.3. （1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为 （ ）A.m 2+21mnB. ２－ｍ２m n c. ２＋ｍ２m n D. ２＋ｎｍ２２（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块 型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是 .解：（1）S=m 2+21·m ·（n-m ）=m 2+21mn-21m 2=２＋ｍ２m n ，选C ； （2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C 型地砖，其面积为（2m+n ）2或4m 2+4mn+n 2.因此，依次填入C ，（2m+n ）2= 4m 2+4mn+n 2.【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.4.老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5等等；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.当m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n-1）一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.（说明：规律说成是：“两奇数的平方差是4的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设m ＞n 的条件，不扣分）.【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，（大数减小数），右边是8的倍数.【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.5.化简：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替x 求值. 解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2.取一个x 值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x 值代入求值，但取x 值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x 台，上海发往西安y 台，求总运费.图1解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x ）+950y+700（6-y ）=100x+250y+8200（元）（答略）.【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.章内专题阅读如何用乘法公式？乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.1.直接用例1 计算（3x 2+y ）（3x 2-y ）分析 本题符合平方差公式的结构特征，其中3x 2相当于公式中的a 、y 相当于公式中的b ，故可直接使用平方差公式.解 原式=（3x 2）2-y 2=9x 4-y 2.2.连续用例2 计算（x+1）（x 2+1）（x 4+1）（x 8+1）（x-1）.分析 按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式. 解 原式=（x-1）（x+1）（x 2+1）（x 4+1）（x 8+1）=（x 2-1）（x 2+1）（x 4+1）（x 8+1） =（x 4-1）（x 4+1）（x 8+1）=（x 8-1）（x 8+1）= x 16-1.3.整体用例3 计算2)23(z y x --（新教案9.4（3）例4变式题）分析 将x-3y 看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.解 原式=[（x-3y ）-2z]2=（x-3y ）2-4（3x-y ）z+4z 2=x 2-6xy+9y 2-12x+4y+4z 2.4.逆向用例4 求证：无论x 为何值，代数式4x 2-12x+2都不小于-7.分析 乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判断原式的取值范围.解 原式=（4x 2-12x+9）-7=（2x-3）2-7，因为（2x-3）2≥0，所以 原式=（2x-3）2-7≥-7.5.变序用例5 计算22)32()32(-+x x分析 先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2、（2x-3）2展开后再计算要简便得多.解 原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x 2-9）2=16x 4-72x 2+81.6.凑项用例6 计算（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）分析 直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.解 原式=（5-4）（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）=（52-42）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）=…=5512-4512.7.裂项用例7已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值. （新教案9.6（2）例3）分析 一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a 、b 的值.解 （a 2-2a+1）+（b 2+4b+4）=0，所以 （a-1）2+（b+2）2=0，于是a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.于是(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1.8.搭配用例8 求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.分析考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.解原式=（x2-8x+7）（x2-8x+15）+16=（x2-8x+7）[（x2-8x+7）+8]+16=（x2-8x+7）2+8（x2-8x+7）+16=[（x2-8x+7）+4]2=（x2-8x+11）2.即为完全平方式..9.消元用例9 已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.解 x=5-y，所以z2=（5-y）y+y-9，所以（y2-6y+9）+z2=0，所以（y-3）2+z2=0，解得y=3，z=0，所以x=2，故.（x+z）-y=（2+0）-3= 18.- 21 -。
七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4 乘法公式(3)学案(无答案) 苏科版
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————9.4 乘法公式（3） 【学习目标】进一步熟知完全平方公式、平方差公式的特点；灵活运用乘法公式进行计算。
【预习研问】A 1．完全平方公式 ；平方差公式 。
A 2．下列式子中能运用完全平方公式计算的是（ ）A ．))((y x y x ---B ．))((y x y x +--C ．（))(y x y x --+-D ．A 3．下列式子中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．))((b a b a +--B ．))((3333y x y x +-C ．))((b a b a ---D ．2222)((m n n m +-）A 4．下列计算正确的是 （ ）Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=--C ．()()22222x y x y x y +-=-D ．()2222x y x xy y -+=-+B 5．计算(1) (－4a －1)(4a －1) (2)(x-1) (x+1) (x 2+1) (x 4+1) (3) (3x+2)2 －(3x-5)2(4) (x-2y+1) (x+2y-1) (5) (2x+3)2 －2 (2x+3) (3x-2) + (3x-2)2个人或小组的预习未解决问题：【课内解问】 ()()x y z x y z -+-++A 1．填空题（1） (1-a ) (1+a ) (1+a 2) (1+a 4) (__________) = a 16-2a 8+1 ；（2） (x-y ) · (x+y )2=___________________；（3）（53x+ ）2=259x 2+6xy+25y 2 （4）3012=( + )2= = 。
B 2．计算（1）)(41)2(222b a b a --- （2）)1)(1)(1(2-+-a a a（3）22)3()3(--+a a （4）22)13()13(-+a a（5）))((c b a c b a --+- （6）)32)(32(-++-b a b aB 3．先化简，再求值：[(x -1)2+1][(x +1)2+1], 其中x 2=6B 4．解方程：()()()()2235239981x x x x +----+=B 5．已知12,3-==+xy y x ，求下列各式的值（1）22y x + （2）22y xy x +- （3）2)(y x -【课后答问】A 1．填空：（1）22) ( 8-=+-m m m ；（2） )1( )1(12222+-=-+=+x x x x x x 。
数学苏科版七年级下册第九章 9.4 乘法公式
公式特点： 1、积为二次三项式；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 首平方，末平方，首末两倍中间放
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2 （2） (a-b)2=a2-2ab＋b2 这个两个公式都称为完全平方公式
两项和的平方就等于这两项的平方和加上 这两项积的二倍。
第9章 整式乘法与因式分解
9.4乘法公式 第2课时
上节课我们学习的知识是什么？
完全平方公式
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2 （2） (a-b)2 =a2-2ab＋b2
(-a－2b)2 解：原式=(-a)2－2·(-a)·2b+(2b)2
第9章 整式乘法与因式分解
9.4乘法公式 第1课时
完全平方和公式
b ab
a a²
b²
(a+b)²
ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式的数学表达式 (a+b)2= a2 + 2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
a
a
b
a
a
b b
方法（3）：可以拼成长方形，则未
被盖住的部分的面积为 (a b)(a b)
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
9.4 乘法公式 苏科版七年级数学下册课件
阴影部分的面积。
能不能用不同的方法计算图中阴影 的面积，你你能发现什么？
你能用所学的知识来解释
(b a)2 (b a)2 4ab 吗？
学一学
例1 计算： （1）(x-3)(x+3)(x2+9) （2）(2x+3)2(2x-3)2
学一学
例2 计算： (x+y+4)(x+y-4）
随堂练习 课本练习
(a+b)(a-b)
a2-b2
这个运算过程,也可以表示为
(a+b)(a-b)
a2- ab + ab - b2 a2-b2
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
你能用语言叙述平方差公式吗？ 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差
你能说出这个公式的特点吗？
特点： 公式的左边:
两个二项式的积，其 中有一项（a）完全相同， 另一项（b和-b)互为相 反数； 公式的右边:
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2 (a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍的积在中央， 符号看前方.
初中数学 七年级(下册)
9.4 乘法公式
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
聪明的阿凡提
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷. 巴依老爷有两块地，一块面积为 a2，另一块面积为 b2，而阿凡提只有一块地，面积为(a+b)2 .有一天， 巴依老爷眼珠一转对阿凡提说:“我用我的两块地 换你的一块地，可以吧？”
最新苏科版初中数学七年级下册《9.4 乘法公式》精品教案 (9)
乘法公式课题9.4乘法公式(2) 总计第课时教学目标1.通过拼图探索计算2)(cba++的公式，并推导这个公式.2.进一步巩固完全平方公式和平方差公式，并会用乘法公式化简某些代数式.重难点如何灵活运用乘法公式教学方法手段演示、动手操作、整理归纳教学过程设计情境创设请同学们用准备好了的正方形和长方形纸板拼图，拼成如图所示的大正方形.问：通过这样的拼图过程，你能发现什么吗？探索活动做一做问题一：你是如何表示图中大正方形的面积的？问题二：你能用2222)(bababa++=+推导2)(cba++吗？结论：得到公式cabcabcbacba222)(2222+++++=++小试牛刀计算（1）2)432(cba++（2）2)23(zyx--例题教学例1.计算（1）2)35(p+（2）2)72(yx-（3）)9)(3)(3(2++-xxx（4）22)32()32(+-xx二次备课（方法和手段、改进建议）（5）)4)(4(++-+y x y x 练一练（1）22)10()10(+-x x （2）))((2222n mn m n mn m +-++（3）22)33()33(--+aa （4）)3)(3()3(2y x y x y x +--+例2.若,4,922-==+xy y x 求（1）2)(y x + （1）2)(y x -例3.求代数式)(5)3()2(22n m m n m n m -+--+的值，其中51,101==n m . 小结（1） 说说完全平方公式、平方差公式的特征（2） 把b a +看成""x ，就可以用完全平方公式计算2)(c b a ++，运用这种转化的思想，你能计算3)(b a +、4)(b a +吗？作业 设计教学反思。
2019版七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4 乘法公式(2)教案 (新版)苏科版
2019版七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4乘法公式（2）教案 （新版）苏科版教学目标:1．会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算；2．经历探索平方差公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．教学重点：探索平方差公式的过程，运用平方差公式计算．教学难点：探索平方差公式的过程．教学方法：教学过程：一.【情景创设】1．计算下列各式：（1）； （2）；（3）； （4）．2．观察几个式子计算所得的结果，哪几个项数更少？这些式子有何特征？你有何猜想？二.【问题探究】问题1:活动一（1）怎样计算上图中阴影部分的面积？（2）将图中的纸片只剪一刀，拼成一个长方形，面积可以如何表示？（3）你有何发现？活动二（1）用多项式乘法法则说明(a ＋b ) (a －b )＝a 2－b 2的正确性，从而得出平方差公式．（2）判断下列各式可以利用平方差公式吗？为什么？①(5x ＋y )(5x －y )； ②(a ＋2b )(2a －b )； ③(2n ＋m )(－m ＋2n )；④(c ＋d )(－c －d )； ⑤(2a ＋b )(2a －c )； ⑥(3y －x )(－x －3y )．问题2例1 用平方差公式计算：a ab b a －a －（1）(5x＋y)(5x－y)；（2）(2n＋m)(－m＋2n)；（3）(3y－x)(－x－3y)．例2 用简便方法计算：（1）101×99；（2）×三【变式拓展】问题4 1．填空：① ②③（）= ④ （）=⑤（）（）= ⑥ （）2.用平方差公式计算：（1）（2）3.计算：（1）（2）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）4．观察下式，你会发现什么规律？35=15 而15=—157=35 而35=—1 …1113=143 而143=—1 …请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来四.【总结提升】通过本节课的学习，你有哪些收获？。
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式1教案新版苏科版
课题： 9.4 乘法公式（1） 教学目标:1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；2．通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；3．经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力． 教学重点：运用完全平方公式进行简单的计算．教学难点：完全平方公式的应用 教学方法：教学过程：一.情景创设同学们知道阿凡提的故事吗？从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷．巴依老爷有两块地，一块面积为a 2，另一块面积为b 2，而阿凡提只有一块地，面积为(a ＋b )2．有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说：“我用我的两块地换你的一块地，可以吧？”阿凡提答应了吗？(a ＋b )2与a 2＋b 2哪个大呢？学习了今天这节课，大家都可以成为聪明的阿凡提了．二.问题探究问题1如图所示，大正方形的边长为 ，面积为 ．它由两块正方形和两块长方形构成，面积分别是 、 、 、 ．由此得到：(a ＋b )2＝ ．你能用前面学习的多项式的乘法公式来推导上面的公式吗？(a ＋b )2＝ ．这个公式称为完全平方公式 （出示课题） ．例1 计算：(a －b )2．分析：你准备如何来解决？有几种方法？完全平方公式．你能说出这两个公式的特点吗？a ab b问题2 用完全平方公式计算：（1）(5＋3p )2；（2）(2x －7y )2； （3）(－2a －5)2．问题3计算：（1）9982； （2）20012．三变式拓展问题41. (a ＋2b )2= . 2. 2)(b a +-= . 3. (______＋5a )2=36b 2－_______ ＋ _________.4.(m ＋n )2－(m －n )2=__________.5.2)(b a +与2)(b a --相等吗？2)(b a -与2)(a b -相等吗？6. 运用完全平方公式计算：（1）()2a b c ++ （2）()234a b c +-7.（1）多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是____ _______（填上一个你认为正确的即可）.（2）老师给出：1=+b a ，222=+b a ， 你能计算出 ab 的值为（ ）A 、1-B 、3C 、23-D 、21- 8.已知()27a b +=， ()23a b -=，求：（1）22a b+ （2）ab 的值.9.观察下面各式规律： ()()22221122121+⨯+=⨯+()()22222233231+⨯+=⨯+()()22223344341+⨯+=⨯+……写出第n 行的式子，并证明你的结论.四.总结提升通过本节课的学习，你有哪些收获？。
9.4 乘法公式 苏科版七年级数学下册教案
《平方差公式》教学案一、教材分析“平方差公式”是苏教版七年级数学（下册）第九章《从面积到乘法公式》的教学内容，是学习了整式的乘法运算后为了简化计算而归纳的一个公式，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例，也是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础。
它的依据是多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则。
“平方差公式”这一内容属于数学再创造活动的结果，教材为学生在数学活动中获得数学思想方法、提高能力提供了良好的契机，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，是让学生感悟换元思想，感受数学再创造的好教材。
二、教学目标知识目标：会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行计算。
能力目标：通过平方差公式的运用，培养学生运用公式的能力、分析、综合和概括能力。
情感目标：培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生善于观察、大胆创新的思维品质。
三、教学重点掌握公式的结构特征，并学会正确运用公式。
四、教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。
五、教学问题诊断分析1.学生刚学过多项式乘法，已经具备学习和运用平方差公式的知识结构。
2.多项式相乘的形式复杂多变，学生较容易被假象所迷惑；学生学习能力也参差不齐，部分学生对多项式相乘还不够熟练和细心。
3.学生的基础能力存在差异，在猜想过程中分不同层次，请学生大胆地猜测出公式，并对公式有一个直观的认识。
4.为突破难点，可采用小组合作、先体验后归纳的教学方式，使学生从中感悟换元和数形结合的数学思想。
5.大部分学生都能通过探索小结出平方差公式的特点，但在具体的问题中，还是有些同学会“判断失误”，关键在于要抓住平方差公式的本质。
在完成练习后，应该及时小结平方差公式应用的前提。
七年级数学下册 9-4《乘法公式》课件 苏科版
已知a+b=6,ab=2,求 (1)a2+b2的值.
(2)(a-b)2 的值.
(3)a2-ab+b2 的值.
(1) 1012 解： 1012 = (100+1)2
=1002+2×100×1+12 =10201
(2) 99.92 解： 99.92 = (100 –0.1)2
=1002 -2×100×0.1+0.12 =9980.01
利用完全平方公式计算：
1982 9.12
你难不倒我
• 每位同学出一道要求运用 完全平方公式来解的计算 题。然后同位交换互测。
观察并思考：
一块边长为a 米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。 形成四块对比实验田，以
种植不同的新品种(如图). b
你能用不同的形式表示实
验田的总面积吗?并进行比较：
a
1、结果有何关系？
2、你能从数学运算的
角度说明这一关系是对的吗？ a
b
多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个多
下面各式的计算是否正确？ 如果不 正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
公式的逆向使用；
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2 - 2ab+b2= (a-b)2
x2+2xy+y2=( x+y)2
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式2学案无答案苏科版
9.4 乘法公式（2） 学习目标1．会推导平方差公式 ；能说出平方差公式的特征；2．能运用平方差公式进行简单的计算预习研问A 1． 称为平方差公式。
A 2．下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 。
⑴()()c a b a -+ ⑵()()x y y x +-+ ⑶()()ab x x ab ---33 ⑷()()n m n m +--A 3．下面计算是否正确？若错，请改正。
（1）2)2)(2(2-=-+x x x （2）49)23)(23(2-=-+-x x xA 4．填空（1）))((n m n m -+= （2）22) )((y x y x -+＝（3）()()=-+y x y x 3232 （4）()()116142-=-a a A 5．若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为 ．A 6．计算（1）(1x)(1－x) (2) (a3b)(a －3b)（3）（32a)(3－2a) (4)(23x)(23x)个人或小组的预习未解决问题：课内解问A 1．在下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是 ( )A ．()()33a a ++B ．()()66x y y x -+C ．()()22m n m n -+-D ．()()22a b a b -+A 2．下列各式中，与222n m mn --的相等的是 （ ）A ．2)(n m -B ．2)(n m --C ．2)(n m +-D ． 2)(n m +A 3．填空：（1）()2x y -(_____)=224x y - (2) )(a b -(_____)=22a b -（3）2412x xy -(____)=(______)2 (4) ()32x --(_____) =249x- A 4．指出下列各式中的错误，并加以改正。
(1) ()()2222x x x +-=- (2 )()()2323294x x x -+-=-A 5．计算（1）(2b 3a 2) (3ab) （2）(－4a b －c)(4ab －c)（3）)9)(3)(3(2++-x x x ★（4）)4)(4(++-+y x y xB 6．利用乘法公式计算(1)99×101 （2）()()()()2215a a a a +---+B7．先化简，再求值 )13)(32()12)(12(+---+a a a a ，其中21=aA 6．当x=10，y=9时，求代数式x 2y 2的值。
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课题： 9.4 乘法公式（1） 学习目标: 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；
2．通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；
3．经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力．
学习过程：
一.情景创设
同学们知道阿凡提的故事吗？
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷．巴依老爷有两块地，一块面积为a 2
，另一块面积为b 2，而阿凡提只有一块地，面积为(a ＋b )2．有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说：“我用我的两块地换你的一块地，可以吧？”
阿凡提答应了吗？(a ＋b )2与a 2＋b 2哪个大呢？
学习了今天这节课，大家都可以成为聪明的阿凡提了．
二.问题探究
问题1如图所示，大正方形的边长为 ，
面积为 ．它由两块正方形和两块长方形构成，面积分别
是 、 、 、 ．
由此得到：(a ＋b )2＝ ．
你能用前面学习的多项式的乘法公式来推导上面的公式吗？
(a ＋b )2＝ ．
这个公式称为完全平方公式 （出示课题） ．
例1 计算：(a －b )2．
分析：你准备如何来解决？有几种方法？
完全平方公式．
你能说出这两个公式的特点吗？
问题2 用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p )2；（2）(2x －7y )2； （3）(－2a －5)2．
问题3计算： a a b b
（1）9982； （2）20012．
三变式拓展
问题4
1. (a ＋2b )2= .
2. 2
)(b a +-= . 3. (______＋5a )2=36b 2－_______ ＋ _________.
4.(m ＋n )2－(m －n )2=_____________.
5.2)(b a +与2)(b a --相等吗？2)(b a -与2)(a b -相等吗？
6. 运用完全平方公式计算：
（1）()2a b c ++ （2）()234a b c +-
7.（1）多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是____ _______（填上一个你认为正确的即可）.
（2）老师给出：1=+b a ，222=+b a ， 你能计算出 ab 的值为（ ）
A 、1-
B 、3
C 、23-
D 、21- 8.已知()27a b +=， ()23a b -=，求：（1）22a b
+ （2）ab 的值.
9.观察下面各式规律： ()()22
221122121+⨯+=⨯+
()()22222233231+⨯+=⨯+
()()22223344341+⨯+=⨯+……
写出第n 行的式子，并证明你的结论.
四.总结提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？
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