指数函数与对数函数的关系(附答案)

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

知识点一：反函数

1．已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是 A ．有且仅有一个实根 B ．至少有一个实根

C ．至多有一个实根

D ．0个，1个或1个以上根

2．若函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，f(a)＝b ，ab≠0，则g(b)等于

A ．a

B ．a －1

C ．b

D ．b －1

3．若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数f －1

(x)上一定存在点

A ．(0,1)

B ．(1,0)

C ．(0,0)

D ．不能确定 4．已知函数y ＝2x －a 的反函数是y ＝bx ＋3，则a ＝__________，b ＝__________.

5．函数y ＝3x

(0

①二次函数一定有反函数 ②反比例函数一定有反函数 ③若函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1

(x)有公共点P ，则点P 一定在直线y ＝x 上 ④单调函数在其单调区间上一定有反函数

知识点二：指数函数与对数函数的关系

7．函数y ＝log 1

2

x(x>2)的反函数是

A ．y ＝2x

(x<－1) B ．y ＝(12)x (x>－1)

C ．y ＝2－x

(x<－1) D ．y ＝(12

)－x (x>－1)

8．函数f(x)＝log a (3x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点

A ．(1,0)

B ．(0,1)

C ．(0，23)

D ．(2

3，0)

9．已知对数函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1，x>0)满足f(a

4

)＝0，则函数f(x)的反函数f

－1

(x)＝__________.

10．若函数f －1(x)为函数y ＝lg(x ＋1)的反函数，则f －1

(x)的值域是__________．

11．将函数y ＝3x －2

的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线y ＝x 对称后所得图象的函数解析式为__________．

能力点一：求反函数

12．函数y ＝1＋log 1

2

x 的反函数是

A ．y ＝2x

－1(x∈R ) B ．y ＝(12)x －1(x∈R )

C ．y ＝2

1－x

(x∈R ) D ．y ＝(12

)x －1

(x∈R )

13．函数y ＝2－x

＋1(x>0)的反函数是 A ．y ＝log 21x －1，x∈(1,2) B ．y ＝－log 21x －1，x∈(1,2) C ．y ＝log 2

1x －1，x∈(1,2] D ．y ＝－log 21

x －1

，x∈(1,2] 14．函数y ＝0.2－x

＋1的反函数是

A ．y ＝log 5x ＋1(x>0)

B ．y ＝log x 5＋1(x>1)

C ．y ＝log 5(x －1)(x>1)

D ．y ＝log 5x －1(x>0)

15．若函数y ＝x 2

－2ax ＋3(x>2)有反函数，则a 的取值范围为__________．

16．函数f(x)的图象与函数y ＝log 3x(x>0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.

17．已知函数f(x)＝10

x

1＋10x ，试求它的反函数以及反函数的定义域、值域．

能力点二：指数函数与对数函数关系的应用

18．已知f(x)＝x －2，则f －1

(8)等于

A ．10

B ．4

C ．8

D ．12

19．已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f －1(x)，则函数y ＝f －1

(1－x)的图象是

20．函数y ＝f(x)的图象过(0,1)点，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数图象过点__________．

21．如果点(1,2)既在函数f(x)＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数f －1

(x)的图象上，则a ＝__________，b ＝__________.

22．求下列函数的反函数：

(1)y ＝x ＋1(x≥0)；

(2)y ＝2x ＋3x －1(x∈R 且x≠1)．

23．已知函数f(x)＝3x ，且f －1(18)＝a ＋2，g(x)＝3ax －4x

的定义域为区间[0,1]． (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的值域．

24．已知f(x)＝log a (a －a x

)(a>1)． (1)求f(x)的定义域，值域； (2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)解不等式：f －1(x 2

－2)>f(x)．

答案与解析

基础巩固

1．C 2.A 3.B

4．6 12 由y ＝2x －a ，得x ＝12y ＋12a ，互换x ，y 得y ＝12x ＋a 2.

由反函数定义， 知12x ＋1

2a ＝bx ＋3， ∴12a ＝3，b ＝12. 从而a ＝6. 5．(0,2]

6．②④ ①可举反例：y ＝x 2

.③如函数f(x)＝7－3x ，f －1

(x)＝7－x

2

3

(x≥0)，显然(2,1)

与(1,2)既在函数y ＝f(x)图象上，又在反函数的图象上，但不在直线y ＝x 上，所以①③不正确．

7．C

8．C f(x)过定点(2

3，0)，

∴反函数过点(0，2

3)．

9．4x

由f(a 4)＝0，

得log a a 4＝0，∴a

4

＝1，a ＝4.

∴f(x)＝log 4x.∴f －1

(x)＝4x

.

10．(－1，＋∞) 由函数y ＝lg(x ＋1)，知其定义域为(－1，＋∞)． ∵f －1

(x)是y ＝lg(x ＋1)的反函数， ∴f －1

(x)的值域即y ＝lg(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)．

11．y ＝log 3x 函数y ＝3x －2的图象向左平移2个单位后对应的解析式为y ＝3x

，它关于直线y ＝x 对称后所得图象的解析式为y ＝log 3x.