指数函数与对数函数的关系(附答案)
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)单选题1、已知函数f (x )=log a (x −b )（a >0且a ≠1，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．a >0，b <−1B ．a >0，−1<b <0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <02、下列计算中结果正确的是（ ）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33 3、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）4、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．695、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）A ．25天B ．30天C ．35天D ．40天6、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )7、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <010、（多选题）下列计算正确的是（ ）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0 C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=211、已知a ，b 均为正实数，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab =（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2填空题12、对数型函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(十三)参考答案1、答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0，故选：D2、答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误； 对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A3、答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．4、答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解.∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5、答案：B分析：根据给定条件求出m 及a 10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20，解得m =120,a 10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t ， 即40%=120⋅a 10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a 10)2=a 20，于是得t −10=20，解得t =30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B6、答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.7、答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a >0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12， 所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)， 因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A .8、答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．9、答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.10、答案：BC解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误； 故选：BC11、答案：AD分析：令t =log a b ，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入a b =b a 即可求出a ，b 的值. 令t =log a b ，则t +1t =52， 所以2t 2−5t +2=0，即(2t −1)(t −2)=0，解得t =12或t =2，即log a b =12或log a b =2，所以a =b 2或a 2=b ，因为a b =b a ，代入得2b =a =b 2或b =2a =a 2，所以a =4，b =2或a =2，b =4，所以a b =2或a b =12.故选：AD.小提示：本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.12、答案：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一，满足f (x )=|log a (x +b )|，a >1，b ≥1即可） 分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f (x )=|log 2(x +1)|．所以答案是：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一）。
对数与指数的之间的关系理解和归纳
对数与指数的之间的关系理解和归纳知识点：对数与指数之间的关系理解和归纳一、对数与指数的定义和性质1.对数的定义：对数是幂的指数，用来表示幂的次数。
2.指数的定义：指数是基数的幂，用来表示幂的次数。
3.对数的基本性质：(1)对数的底数必须大于0且不等于1。
(2)对数的真数必须大于0。
(3)对数的值是实数。
4.指数的基本性质：(1)指数的底数必须大于0且不等于1。
(2)指数的值可以是正数、负数或0。
(3)指数的幂是实数。
二、对数与指数的互化关系1.对数与指数的互化公式：(1)如果y=log_a(x)，则a^y=x。
(2)如果y=a^x，则log_a(y)=x。
2.对数与指数互化的意义：(1)对数可以用来求解指数方程。
(2)指数可以用来求解对数方程。
三、对数与指数的增长速度1.对数增长速度：对数函数的增长速度逐渐变慢。
2.指数增长速度：指数函数的增长速度逐渐变快。
四、对数与指数的应用1.对数与指数在科学计算中的应用：(1)天文学：计算星体距离。
(2)生物学：计算细菌繁殖。
(3)经济学：计算货币贬值。
2.对数与指数在实际生活中的应用：(1)通信：计算信号衰减。
(2)计算机科学：计算数据压缩率。
(3)物理学：计算放射性物质衰变。
五、对数与指数的图像和性质1.对数图像：对数函数的图像是一条斜率逐渐减小的曲线。
2.指数图像：指数函数的图像是一条斜率逐渐增大的曲线。
3.对数与指数的性质：(1)对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是R。
(2)指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞)。
(3)对数函数和指数函数都是单调函数。
六、对数与指数的关系总结1.对数与指数是幂的两种表示形式，它们之间可以相互转化。
2.对数与指数具有不同的增长速度，对数增长速度逐渐变慢，指数增长速度逐渐变快。
3.对数与指数在科学研究和实际生活中有广泛的应用。
4.对数与指数的图像和性质反映了它们的单调性和变换规律。
通过以上对对数与指数之间关系的理解和归纳，我们可以更好地掌握对数与指数的知识，并在学习和生活中灵活运用。
(完整版)指数函数对数函数专练习题(含答案).docx
指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是 ，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是 ，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析： 数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析： 当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝ ，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析： 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析： 如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解： 要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ － ，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解： 令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝ ，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝ ，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解： 法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ， 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（ ）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ ）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10， 上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（ ）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
课件6：4.3 指数函数与对数函数的关系
【答案】 C
解题归纳
解题提示
根据反函数的定义，函数y＝f（x）存在反函数时，x
与y必须是一一对应关系，二次函数f（x）＝x2-2ax-3
图像的对称轴为直线x＝a，在其两侧x，y具备一一对
应条件，即分别为单调函数，存在反函数.
变式训练
给出下列命题：
①函数f（x）＝x2存在反函数；
2
为（ A ）
A.-1
B.1
C.12
D.2
三
例3
反函数的图像应用
已知α与β分别是函数f（x）＝2x+x-5与g（x）＝
log8x3+x-5的零点，则2α+log2β的值为（
）
A.4+log23
B.2+log23
C.4
D.5
三
反函数的图像应用
【解析】 由g（x）＝log8x3+x-5，
化简得g（x）＝log2x+x-5.
图像上.因此，互为反函数的两个函数的图像关于直线y
＝x对称.
（2）函数y＝f（x）与它的反函数y＝f-1（x）的图
像相交但不重合时，它们的交点必在直线y＝x上.
有的函数的反函数是它本身，如函数y＝
数是它本身，图像重合.
的反函
变式训练
1.若函数y＝f（x）的图像恒过点（0，1），则函数y＝
f-1（x）+3的图像一定经过点
反函数的充要条件是
（
）
A.a∈（-∞，1］
B.a∈［2，+∞）
C.a∈（-∞，1］∪［2，+∞）
D.a∈［1，2］
【解析】 因为二次函数f（x）＝x2-2ax-3不是定义域内
对数函数与指数函数的相互关系
指数函数的性质
定义域：所有实数 值域：正实数集 函数图像：在第一象限内单调递增 函数值永远大于0
对数函数与指数函数的图像
对数函数图像：以10为底的对数函数图像是单调递增的，随着x的增大，y值也增大。 指数函数图像：以2为底的指数函数图像是单调递减的，随着x的增大，y值减小。 对数函数与指数函数图像关系：对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。 图像性质：对数函数和指数函数的图像都是连续的，并且在定义域内是单调的。
对数函数与指数函数的 相互关系
汇报人：XX
目录
对数函数与指数函数的定 义
01
对数函数与指数函数的性 质
02
对数函数与指数函数的相 互转换
03
对数函数与指数函数的应 用
04
对数函数与指数函数的比 较
05
对数函数与指数 函数的定义
对数函数的定义
定义：对数函数是指数函数的反函数，即以底数为自变量，指数为因变量的函数。
对数函数与指数 函数的相互转换
指数函数转换为对数函数
公式：a^x = y 可以转换为 log(a,y) = x
意义：将指数函 数的形式转换为 对数函数的形式， 可以更好地理解 和分析函数的性 质和变化规律
应用：在数学、 物理、工程等领 域中，经常需要 将指数函数转换 为对数函数进行 计算和分析
注意：转换时需 要注意函数的定 义域和值域，以 及选择合适的底 数和真数
实际应用：在实际应用中，对数函数和指数函数可以相互转化，通过对数运算或指数运算进行计算 和分析。
感谢您的观看
汇报人：XX
对数函数与指数函数的表示方法
对数函数表示为 y = log_a(x)，其中 a 是底数， x 是自变量
指数函数和对数函数之间有什么关系？
指数函数和对数函数之间有什么关系？
指数函数和对数函数是数学中常见的两类函数，它们之间有着
紧密的关系。
指数函数可以表示为 y = a^x，其中 a 为底数常数，x 为指数。
在指数函数中，底数 a 为一个正数时，随着 x 的增大，函数 y 的值
也会随之增大；底数 a 为一个小于 1 的分数时，随着 x 的增大，函
数 y 的值会减小。
指数函数的图像通常呈现出上升或下降的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数可以表示为 x =
log_a(y)，其中 a 为底数常数，y 为函数的值。
对数函数中，底数 a
的取值与指数函数相反。
当y 为正数时，对数函数的值是一个实数；当 y 为负数时，对数函数的值是一个虚数。
指数函数和对数函数之间的关系体现在它们的定义和性质上。
具体而言，对数函数是指数函数的反函数，即 log_a(a^x) = x。
这个
关系表明，指数函数和对数函数可以互相抵消，从而得到原来的数值。
另外，指数函数和对数函数还具有以下的一些性质和关系：
1. 指数函数的图像是上升或下降的曲线，而对数函数的图像是一条直线，与 x 轴交于正半轴；
2. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增长的，对数函数也是增长的；当底数 a 在 0 和 1 之间时，指数函数是衰减的，对数函数也是衰减的；
3. 指数函数和对数函数关于 y = x 对称；
4. 指数函数和对数函数都具有相似的性质，如指数规律和对数运算法则等。
综上所述，指数函数和对数函数之间有紧密的关系。
它们是数学中重要的概念和工具，被广泛应用在科学、经济、工程等领域的问题中。
对数函数与指数函数的关系
01
02
求函数反函数的步骤:
3 求原函数的值域
04
05
2 x与y互换
4 写出反函数及它 的定义域
03
1 反解
y y=2x
结论:
Q(a,b) y=x
(0,1)
O
(1,0)
P(b,a) y=log2x x
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得
1loag(41)
即 :loa3 g1 , a3.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
b＝f(a) a＝f－1(b)
例 5： 已 知 函 数 （ f x） x2（ 1x2） 求 出 f （ 14） 的 值 。
解 ： 令x214， 解 之 得 ： x5 又x2， x5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
理论迁移
f(x)log2(12x)
例4 已知函数
.
（1）求函数f(x)的定义域和值域；
（2）求证函定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1) 互为反函数
解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得
ｘ＝ｙ＋2 3
对数函数和指数函数的关系
对数函数和指数函数的关系对数函数和指数函数是数学中常用的两个函数，它们之间存在着密切的关系。
尽管在形式上它们表达出来的形式相反，但在性质和应用上它们却相互依存。
首先，让我们来了解一下指数函数。
指数函数是这样定义的：对于任意实数 x，指数函数 y = a^x，其中 a 是一个正常数且不等于 1。
指数函数的特点是，当 x 增加时，用以指数的底数 a 的指数函数值也会相应增加。
同时，底数 a 的取值还决定了指数函数的增长速度。
如果 a 大于 1，则指数函数是递增的；反之，如果 a 小于 1，则指数函数是递减的。
与指数函数相对应的是对数函数。
对数函数是这样定义的：对于任意正实数 y 和正常数 a（且a ≠ 1），对数函数 y = loga(x) 是一个解析函数，它的定义域是正实数集合，值域是实数集合。
对数函数的特点是，当底数 a 固定时，自变量 x 的增大会导致对数函数值的增大，但增速会逐渐减缓。
对数函数和指数函数之间存在着一种特殊的关系，即互为反函数。
互为反函数的两个函数可以互相取消对方的作用。
例如，当一个指数函数和一个对数函数通过底数相互对应时，它们构成一对互为反函数的函数对。
在实际应用中，指数函数和对数函数具有广泛的应用。
指数函数可以用来描述一些增长速度快的现象，如人口增长、物质分解等。
而对数函数则常用于解决指数增长问题的逆向求解，如求解指数方程等。
此外，对数函数还可以用于数值计算中的对数运算，使复杂的乘法和除法运算转化为简单的加法和减法运算，提高计算的效率。
总之，对数函数和指数函数是数学中重要的函数之一。
它们之间存在着密切的关系，可以互为反函数。
在实际应用中，它们有着广泛的应用，不仅有助于解决实际问题，还能简化数值计算。
对于数学学习者来说，深入理解和掌握对数函数和指数函数的关系，对于提高数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
《指数函数对数函数》练习题(附答案)
指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数且叫做对数函数图象过定点，即当时，.在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.指数函数习题一、选择题1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x)B ．f (b x )≥f (c x)C ．f (b x )>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a >5D ．a ≥ 55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3) B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1.解读：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，1 (x >0).答案：A2. 解读：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)．若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x)．∴f (3x )≥f (2x)． 答案：A3.解读：由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4. 解读：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x>1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B5. 解读：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6>(3－a )×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解读：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.答案：C7. 解读：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 解读：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解读：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]．11. 解：令a x＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时，y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立． 因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或13、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ） A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ）A 、lg5lg7B 、lg35C 、35D 、3515、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13B C D 6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<10、2log 13a <，则a 的取值范围是（ ）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的 二、填空题13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===。
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.4、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100% 答案：B分析：根据题意，计算出log 24000log 21000的值即可；当SN=1000时，C =Wlog 21000，当SN=4000时，C =Wlog 24000，因为log 24000log 21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6、指数函数 y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.7、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．a cb +>由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne =ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为(20,0),C 点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，c a >a c b +>一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 故选：ACD12、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2，故选项D错误；故选：AC.13、已知函数f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0.关于x的方程f(x)−t=0的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当t≤0时，方程有两个实数解B．当t>4时，方程无实数解C．当0<t<4时，方程有三个实数解D．当t=4时，方程有两个实数解答案：CD分析：方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，数形结合可得结果.方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，由图可知：当t<0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解；当t=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故A错误；当t>4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有1个交点，即方程f(x)−t=0有1个实数解，故B错误；当0<t<4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故C正确；当t=4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解，故D正确.故选：CD.填空题14、已知函数f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为_____．答案：18##0.125分析：根据对数型函数的过定点(2,1)，代入方程中可得2m+n=1，根据基本不等式即可求解.f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)过定点(2,1)，所以P(2,1),所以2m+n=1故2m⋅n≤(2m+n2)2⇒m⋅n≤18，当且仅当m=14,n=12时等号成立.所以答案是：1815、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解 函数y =log 12(3x −1)的定义域为(13,+∞)又y =log 12(3x −1)是由y =log 12u 与u =3x −1复合而成，因为外层函数y =log 12u 单调递减，所以求函数y =log 12(3x −1)的单调递减区间即是求内层函数u =3x −1的增区间，而内层函数u =3x −1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y =log 12(3x −1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点， 由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本ℎ(x )万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x )=180x +100；当产量大于50万盒时ℎ(x )=x 2+60x +3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 答案：(1)y ={20x −300,0≤x ≤50−x 2+140x −3700,x >50,x ∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x ≤50和x >50两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y =200x −200−180x −100=20x −300， 当产量大于50万盒时，y =200x −200−x 2−60x −3500=−x 2+140x −3700， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记单选题1、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.2、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ） A ．12a −b B ．12b +a C ．12a +b D ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916).故选：D ．4、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2) 答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．5、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e)D ．(0,√e )答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解. f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B.6、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ， 所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.7、已知对数式log (a+1)24−a（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可. 由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.8、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1 C ．±1D ．0 答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C. 多选题9、如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y =ka t (k ∈R 且k ≠0，a ≠1)．则下列说法正确的是（ ）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3=2t2答案：BCD分析：由题意结合函数图象可得{ka=1ka3=4，进而可得y=2t−1；由函数图象的类型可判断A；代入x=6可判断B；代入y=2、y=64可判断C；代入y=4、y=6、y=9，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则{ka=1ka3=4，解得{k=12a=2（负值舍去），∴函数关系式为y=12×2t=2t−1，对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；对于B，当x=6时，y=25=32>30，故选项B正确；对于C，令y=2得t=2；令y=64得t=7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确；对于D，令y=4得t1=3；令y=6得t2=log212；令y=9得t3=log218；所以t1+t3=3+log212=log2144=2log212=2t2，故选项D正确.故选：BCD.小提示：本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项. 依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD11、已知函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)，g(x)=2x+62x+2则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数B．g(x)的图象关于点(1，2)对称C．若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=4D．令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a+1)>4，则实数a的取值范围是(−1,+∞)答案：BCD分析：利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.由题意函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)=lg(√(x−1)2+1−(x−1))，因为√(x−1)2+1−(x−1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f(0)=lg(√2+1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误；将g (x )=2x +62x +2的图象向下平移两个单位得到y =2x +62x +2−2=2−2x 2+2x，再向左平移一个单位得到ℎ(x )=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，此时ℎ(−x )=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x )，所以ℎ(x )图象关于点(0,0)对称， 所以g (x )的图象关于(1,2)对称，所以B 正确；将函数f (x )的图象向左平移一个单位得m (x )=lg(√x 2+1−x)， 因为m (−x )+m (x )=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0， 即m(−x)=−m(x)，所以函数m (x )为奇函数， 所以函数f (x )关于(1,0)点对称，所以F (x )若在1+a 处 取得最大值，则F (x )在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，所以C 正确； 由F(a)+F(−2a +1)>4，可得f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， 由f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))， 设m (x )=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， 可得t ′=√x 2+1−1<0，所以t =√x 2+1−x 为减函数，可得函数m (x )=lg(√x 2+1−x)为减函数，所以函数f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))为单调递减函数， 又由g (x )=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，所以F (x )为减函数，因为F (x )关于点(1,2)对称，所以F (a )+F (−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)，即F(−2a +1)>F(2−a)， 即−2a +1<2−a ，解得a >−1，所以D 正确. 故选：BCD.小提示：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1 、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据函数f (x )的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式，从而得解. 2 、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 填空题12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____． 答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解. ∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．14、对于任意不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (2x +3)+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______. 答案：(−1,4)分析：根据log a 1=0求得正确结论.依题意，当2x +3=1，即x =−1时，f (−1)=log a 1+4=4， 所以定点为(−1,4). 所以答案是：(−1,4)解答题15、已知函数f(x)=2x−12x.（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。
(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)
(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)单选题1、计算：2lg √5−lg 4−12=（ ）A ．10B ．1C ．2D ．lg 5 答案：B分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg √5−lg 4−12=lg(√5)2+lg √4=lg5+lg2=lg10=1. 故选：B2、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ）A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件； f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意.故选：A．3、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.4、下列计算中结果正确的是（）A．log102+log105=1B．log46log43=log42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A5、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K1+e−0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge≈0.434,lg2≈0.301）A．5790m/s B．6219m/s C．6442m/s D．6689m/s答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v=v0ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s.故选：C．7、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y= f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解. 因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D9、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13. 故选：C ．10、若2x −2y <3−x −3−y ，则（ ）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0 答案：A分析：将不等式变为2x −3−x <2y −3−y ，根据f (t )=2t −3−t 的单调性知x <y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x −2y <3−x −3−y 得：2x −3−x <2y −3−y ， 令f (t )=2t −3−t ，∵y =2x 为R 上的增函数，y =3−x 为R 上的减函数，∴f (t )为R 上的增函数， ∴x <y ，∵y −x >0，∴y −x +1>1，∴ln (y −x +1)>0，则A 正确，B 错误； ∵|x −y |与1的大小不确定，故CD 无法确定. 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 多选题11、设函数f (x )={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |,x >0，若关于x 的方程f (x )=a (a ∈R )有四个实数解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．99D ．100 答案：BC分析：首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到x 1+x 2=−10，根据对数函数的性质得到x 4=1x 3，从而得到(x 1+x 2)(x 3−x 4)=−10(x 3−1x 3)，再根据函数单调性求解即可.如图所示：因为关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个实数解x1,x2,x3,x4，且x1<x2<x3<x4，所以0<a≤1.y=x2+10x+1的对称轴为x=−5，所以x1+x2=−10.因为|lgx3|=|lgx4|，所以lgx3+lgx4=0，即x3x4=1，x4=1x3.因为|lgx3|≤1，所以110≤x3<1.所以(x1+x2)(x3−x4)=−10(x3−1x3)，因为y=−10(x−1x )，110≤x<1为减函数，所以(x1+x2)(x3−x4)=−10(x3−1x3)∈(0,99]. 故选：BC12、下列运算（化简）中正确的有（）．A．(a 16)−1⋅(a−2)−13=a12B．(x a−1y)a⋅(4y−a)=4xC ．[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=3−2√2D ．2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=−52a 73b −23答案：ABD分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可对于A ：(a 16)−1⋅(a−2)−13=a−16+23=a12，故A 正确；对于B ：(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x 1a ×a y a−a =4xy 0=4x ，故B 正确；对于C ：[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=[(√2−1)2]121+√21=√2−1−(√2−1)+1=1，故C错误；对于D ：2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=[2×(−5)÷4]a3+23−43b23+13−53=−52a 73b −23，故D 正确；故选：ABD13、已知函数f (x )={|lnx |,x >0−x 2+1,x ≤0，若存在a <b <c ，使得f (a )=f (b )=f (c )成立，则（ ）A ．bc =1B ．b +c =1C ．a +b +c >1D ．abc <−1 答案：AC分析：采用数形结合可知−1<a ≤0，1e ≤b <1，1<c ≤e ，然后简单计算可知b +c >1，bc =1，a +b +c >1，故可知结果. 如图：可知−1<a≤0，1e≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1c+c>a+2>1. 故选:AC.14、下列各式化简运算结果为1的是（）A．log53×log32×log25B．lg√2+12lg5C．log√a a2(a>0且a≠1)D．e ln3−(0.125)−13答案：AD分析：根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案.解：对于A选项，原式=lg3lg5×lg2lg3×lg5lg2=1；对于B选项，原式=12lg2+12lg5=12lg(2×5)=12；对于C选项，原式=2lg√aa=2×2=4；对于D选项，原式=3−813=3−2=1.故选：AD.15、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A ．2.5元B ．3元C ．3.2元D ．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x (x >2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x ≥22.4，解得x 的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x 万元， 所以(10−x−20.2×0.5)x ≥22.4，化简得x 2−6x +8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键.填空题16、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________．答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果.由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1，所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可.17、函数f （x ）＝3x −3−x 3x +3−x +2，若有f （a ）＋f （a －2）＞4，则a 的取值范围是________.答案：（1，＋∞）分析：构造函数F （x ）＝f （x ）－2，则f （a ）＋f （a －2）＞4等价于F （a ）＋F （a －2）＞0，分析F(x)奇偶性和单调性即可求解.设F （x ）＝f （x ）－2，则F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ，易知F （x ）是奇函数，F （x ）＝3x −3−x 3x +3−x ＝32x −132x +1＝1－232x +1在R 上是增函数， 由f （a ）＋f （a －2）＞4得F （a ）＋F （a －2）＞0，于是可得F （a ）＞F （2－a ），即a ＞2－a ，解得a ＞1.（1，＋∞）18、若max{a,b}={a,a ≥b,b,a <b,则函数M(x)=max {log 2x,3−x }的最小值为________． 答案：1分析：结合图象可得答案.如图，函数y =log 2x,y =3−x 在同一坐标系中，且log 22=3−2=1，所以M(x)在x =2时有最小值，即M(2)=1.所以答案是：1.解答题19、（1）当a =−1时，解关于x 的方程log 2(1x +a)=1；（2）当a =5时，要使对数log 2(1x +a)有意义，求实数x 的取值范围；（3）若关于x 的方程log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0有且仅有一个解，求实数a 的取值范围 答案：（1）x =13；（2）x <−15或x >0；（3）(1,2]∪{3，4} 分析：（1）解对数方程，其中log 22=1；（2）log 2(1x +a)有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为(a −4)x 2+(a −5)x −1=0有且仅有一个解，对a 进行分类讨论，注意变形中的真数1x +a >0要始终成立，所以要检验.（1）∵log 2(1x −1)=1∴1x −1=2∴x =13（2）对数log 2(1x +5)有意义，则1x +5>0，解得：x <−15或x >0， 所以实数x 的取值范围为x <−15或x >0； （3）log 2(1x+a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]1x +a =(a −4)x +2a −5>0①方程两边同乘x 得：(a −4)x 2+(a −5)x −1=0即[(a −4)x −1](x +1)=0②当a =4时，方程②的解为x =−1，此时x =−1代入①式，a −1=3>0，符合要求 当a =3时，方程②的解为x =−1，此时x =−1代入①式，a −1=3>0，符合要求当a ≠4且a ≠3时方程②的解为x =−1或x =1a−4，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2综上：方程log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0有且仅有一个解，实数a 的取值范围是(1,2]∪{3，4}20、计算：（1）lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2；（2）e ln 3+log √525+(0.125)−23．答案：（1）2；（2）11.分析：（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.（1）原式=2lg5+lg2×(lg100−lg2)+(lg2)2=2lg5+lg2×(2−lg2)+(lg2)2=2×(lg5+lg2)=2lg10=2．（2）原式=3+log 51252+[(0.5)3]−23 =3+212log 55+(0.5)−2 =3+4+(2−1)−2=3+4+22=11．。
指数函数和对数函数的关系
指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们有着密切的关系。
指数函数是具有形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量；而对数函数是具有形如f(x)=loga(x)的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量。
接下来，我们来详细探讨指数函数和对数函数的关系。
1.定义关系：f(g(x))=a^(loga(x))=xg(f(x))=loga(a^x)=x也就是说，对于指数函数f(x)和对数函数g(x)，当它们的自变量和函数的定义域和值域匹配时，它们的函数值相互等于自变量。
2.特点对比：- 指数函数f(x)=a^x是增长的函数，也就是说随着x的增大，函数值也随之增大；而对数函数g(x)=loga(x)是上升的函数，它的函数值随着x的增大而增加。
- 当a>1时，指数函数f(x)=a^x的图像是上升的且没有上界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是上升的且有一个水平渐近线y=0。
- 当0<a<1时，指数函数f(x)=a^x的图像是下降的且没有下界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是下降的且有一个水平渐近线y=0。
-指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0,+∞)；而对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集R。
3.换底公式：另一个重要的关系是指数函数和对数函数的换底公式。
对于任意两个正实数a和b，以及a不等于1，b不等于1，有以下换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)其中，c是一个任意正实数且不等于1、换底公式的含义是，以任意底c取对数的结果都是等价的，只是在数值上有所差异。
4.解方程与求导关系：- 解指数方程通常需要利用对数函数，例如求解a^x=b的x时，可以取对数得到x=loga(b)。
- 解对数方程通常需要利用指数函数，例如求解loga(x)=b的x时，可以取指数得到x=a^b。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
指数对数函数图像与性质(含答案)
指数对数函数图像与性质(含答案)指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的函数类型之一。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集，图像在点(1,0)处经过y轴且单调递增。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集，图像在点(0,1)处经过y轴且单调递增。
对数函数和指数函数是互为反函数的函数对，它们之间有着很多有趣的性质和运算规律。
对于指数函数，有以下基本运算规律：(1) $a^r\cdota^s=a^{r+s}$，(2) $a^r\div a^s=a^{r-s}$，(3) $(a^r)^s=a^{rs}$，(4) $(ab)^r=a^r\cdot b^r$。
对于对数函数，有以下恒等式：$\log_aN=N$，$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，以及以下几个小结论：$\log_ab^n=n\log_ab$，$\log_an^M=M\log_an$，$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$，$\log_aa=1$，$\log_a1=0$。
在解题时，我们可以利用对数函数和指数函数的性质和运算规律，来求解函数的定义域、值域、单调性等问题。
例如，对于函数$y=-x^2+2x+1$，我们可以求出它的顶点坐标为$(1,2)$，因此它的值域为$(-\infty,2]$，并且它在区间$(0,1)$上单调递减，在区间$(1,+\infty)$上单调递增。
对于函数$y=\log_2(x^2-ax+3a)-5x+6$，我们可以先求出它的定义域为$(a-3\sqrt{a},a+3\sqrt{a})$，然后判断它在该定义域内的单调性，最后求出使其在区间$[2,+\infty)$上单调递减的$a$的取值范围。
对于函数$y=4x-\frac{12}{2-a\cdot2x+2\sqrt{a^2x^2+1}}$，我们可以先求出它的定义域为$(0,2]$，然后求出它的导数，令其为0，解出$x$的值，再求出函数在该定义域上的最大值和最小值。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的定义与性质1. 定义指数函数是以底数a（a>0且a≠1）为底的函数，一般表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
2. 性质⑴当a>1时，指数函数是递增函数，图像上开；当0<a<1时，指数函数是递减函数，图像下降。
⑵当x=0时，a^0=1。
⑶当a>1时，随着x的增大，函数值y=a^x也会增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y=a^x会减小。
3. 图像当底数a>1时，指数函数的图像是递增的曲线，图像上翘；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的曲线，图像下降。
4. 应用指数函数在科学计算、生物增长、财经复利、工程技术等领域都有着重要的应用。
例如在计算机科学中，指数函数常用于指数衰减算法、指数增长算法等；在生物学中，指数函数常用于描述生物的增长规律；在金融领域中，指数函数用以描述利息的复利增长等。
二、对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指数函数的逆运算，一般表示为y=log_a(x)，其中a是底数，x是真数，y是对数。
2. 性质⑴对数函数的定义域为x>0，值域为实数集。
⑵对数函数的图像是单调递增的曲线，在0处没有定义。
⑶特殊情况下，当底数a=10时，我们称为常用对数函数，一般表示为y=log(x)；当底数a=e时，我们称为自然对数函数，一般表示为y=ln(x)。
3. 图像对数函数的图像是单调递增的曲线，图像在x轴的右侧。
4. 应用对数函数在科学计算、信息论、统计学、工程技术等领域都有着广泛应用。
例如在信息论中，对数函数用于计算信息量、信息熵等；在统计学中，对数函数用于描述正态分布、伯努利分布等；在工程技术中，对数函数用于解决指数增长问题、指数衰减问题等。
三、指数函数与对数函数的关系1. 反函数关系指数函数与对数函数是一对反函数，它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。
具体而言，对数函数y=log_a(x)中，x=a^y。
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系习题
4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－135．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．6．若函数f(x)＝2x＋1x＋a的反函数是其本身，则实数a＝________.7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3)D ．(1)(2)(3)14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.一、单项选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)2．把函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A．y＝－a x B．y＝a－xC．y＝log a(－x) D．y＝－log a x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( )A．(－2,0) B．[－2,2]C．[－2,0] D．[0,2]4．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C ．可能有3个D ．一定有3个5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．36．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75D ．10711．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．16．已知函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．18．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f－1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)答案 C解析y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝12ln x，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)答案 B解析令y＝12x2＋1.∵x>2，∴y＝12x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝12y2＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)．4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－13答案 B解析∵函数y＝3x－2a，∴x＝y＋2a3，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y ＝13x ＋23a ，x ∈R .∵函数y ＝3x －2a 的反函数是y ＝bx ＋23，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13，2a 3＝23，解得a ＝1，b ＝13.故选B.5．已知函数f (x )＝x 2，x ∈D 的值域是{1,4,9}，且函数f (x )存在反函数，这样的f (x )共有________个．答案 8解析 当x 2＝1时，x ＝±1；当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝9时，x ＝±3.若函数f (x )存在反函数，则一个y 只能对应一个x ，列举如下：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9.故这样的f (x )共有8个． 6．若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的反函数是其本身，则实数a ＝________. 答案 －2解析 函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数为x ＝2y ＋1y ＋a ，即y ＝1－axx －2，因为函数f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数是其本身，所以2x ＋1x ＋a ＝1－axx －2，所以a ＝－2. 7．已知函数f (x )是以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝lg (x ＋1)，令函数g (x )＝f (x )(x ∈[1,2])，则g (x )的反函数为________________．答案 g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)解析 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，∴f (x )＝f (－x )＝lg (－x ＋1)；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，∴f (x )＝f (x －2)＝lg [－(x －2)＋1]＝lg (－x ＋3)．∴g (x )＝lg (－x ＋3)(1≤x ≤2)，∴－x ＋3＝10g (x )，∴x ＝3－10g (x )．故反函数为g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，x ∈[－1,1]，对称轴x ＝a ，所以a ≥1或a ≤－1.当a ≥1时，f －1(x )＝a －x ＋a 2－2，x ∈[3－2a,3＋2a ]；当a ≤－1时，f －1(x )＝a ＋x ＋a 2－2，x ∈[3＋2a,3－2a ]．知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 A解析 反函数的定义域即为原函数的值域．由12x －1>0可得log 212x －1∈R ，所以原函数的值域为R ，故它的反函数的定义域为R .故选A.10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 答案 D解析 ∵f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，∴－1≤log 3x 2≤1，即13≤x 2≤3，而x >0，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f －1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C解析 由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称 答案 D解析 函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )互为反函数，图像关于直线x －y ＝0对称．故选D.13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3) D ．(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f －1(x )，∵f (x )是奇函数，∴f (x )的值域关于原点对称，即f －1(x )的定义域关于原点对称．假设f (x )＝y ，则f (－x )＝－y .∴f －1(y )＝x ，f －1(－y )＝－x .∴f －1(－y )＝－f －1(y )，即f －1(－x )＝－f －1(x )．∴f －1(x )是奇函数．故(1)正确；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数，不一定f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，比如f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤1，x ，x >1存在反函数，但f (x )在R 上不单调，故(2)不正确；(3)x 0不一定属于f (x )的值域，即f －1(x 0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.答案 log 2(x －1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上，∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x ，又f (x )>1，∴f －1(x )＝log 2(x －1)(x >1)．15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析 由y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，且f (4)＝1，得g (1)＝4，所以a 2＝4，a ＝2.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．答案 (1,4)解析 ∵y ＝f (x )的图像过点(0,1)，∴f (4－x )的图像过点(4,1)，∴g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点(1,4)．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，＋∞解析 因为y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )互为反函数，所以二者关于y ＝x 对称．若y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )有实数根，则y ＝f (x ＋a )与y ＝x 有交点，所以x ＋a －1＝x ，即a ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 2x ，y ＝的图像，如图所示，则a ，b ，c 分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a <b <c .19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 答案 AC解析 ∵函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，当a >1时，由a x －1>0，可得x >0，此时，函数的图像仅在y 轴的右侧；当0<a <1时，由a x －1>0，可得x <0，此时，函数的图像仅在y 轴的左侧，故A 正确．由于f (－x )＝log a (a －x －1)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1≠－f (x )，故函数不是奇函数，故B 不正确．由于函数y ＝log a t 和函数t ＝a x 的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f (x )＝log a (a x －1)在它的定义域内一定是增函数，故C 正确．由于t ＝a x －1无最值，故y ＝log a t 无最值，故D 不正确．故选AC.20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称． 解 (1)要使函数f (x )＝log 2(1－2x )有意义， 则1－2x>0，即2x<1. 故x <0，此时0<1－2x <1， ∴f (x )＝log 2(1－2x )<0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y ＝f (x )＝log 2(1－2x )可得1－2x ＝2y ，解得x ＝log 2(1－2y )，故原函数的反函数为f －1(x )＝log 2(1－2x )，与原函数相同，所以函数f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．易错点一 对反函数的定义理解不清而致误已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝x 对称，且g (x )的图像过定点(1,2020)，则y ＝f －1(x ＋1)的图像过定点________．易错分析 本题容易误认为f (x ＋1)与f －1(x ＋1)互为反函数．答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020)，∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．答案 4正解如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.一、单项选择题1．函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数是( ) A ．y ＝1＋log 2x (x >0) B ．y ＝log 2(x －1)(x >1) C ．y ＝－1＋log 2x (x >0) D ．y ＝log 2(x ＋1)(x >－1) 答案 C解析 由y ＝2x ＋1⇒x ＋1＝log 2y ⇒x ＝－1＋log 2y ，又因原函数的值域{y |y >0}，故其反函数是y ＝－1＋log 2x (x >0)．2．把函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A ．y ＝－a xB ．y ＝a －xC ．y ＝log a (－x )D ．y ＝－log a x答案 B解析 函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y ＝a x ，其关于y 轴对称的函数解析式为y ＝a －x .故选B.3．已知f (x )＝－4－x 2的反函数为f －1(x )＝4－x 2，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴⎩⎨⎧4－x 2≥0，f－1x ≥0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x ≥0，即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2]．故选D.4．当0<a <1时，方程log a x ＝a x 的实数解( ) A ．有且只有一个 B ．可能无解 C ．可能有3个 D ．一定有3个答案 C解析 考虑函数y ＝log a x 与函数y ＝a x 的图像公共点，易知B ，D 两项不对．又y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y ＝x 上存在一个公共点外，还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12两个公共点．故选C. 5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3答案 B解析 解法一：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a ＝a ＝，故a ＝12.6．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y ＝1－xx(x ≠0)的反函数为y ＝11＋x (x ≠－1)，其图像为y ＝1x的图像向左平移1个单位长度．7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 C解析 由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)，当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.8．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析 由函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，则g (x )＝log 3x ，所以g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)＝log 3(x 1x 2…x 2020)2＝2log 3(x 1x 2…x 2020)＝2log 381＝8.故选B.二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上答案 AC解析 对于A ，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B ，因为函数f (x )＝1x在定义域上不单调，但函数f (x )存在反函数，故错误；对于C ，因为原函数与它的反函数的图像关于y ＝x 对称，所以将y ＝f (x )的图像沿y ＝x 翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D ，比如函数y ＝－x ＋1与其反函数y ＝x 2－1(x ≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y ＝x 上，故错误．故选AC.10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75 D ．107答案 BC解析 由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94>2＝94>2，故A 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169<2＝169<2，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝4925<2＝4925<2，故C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫1072＝10049>2＝10049>2，故D 错误．综上，选BC.11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)答案 CD解析 当x ＝1时，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y ＝1时，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y ＝(2)x 与的交点；(2,0.5)是函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 4x 的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 答案 ABC解析 令a ＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A ，∵函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，∵函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称，故B 正确；对于C ，D ，∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．故选ABC.三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 答案 －－x ，x ∈(－∞，－4]解析 由y ＝－x 2，x ∈(－∞，－2]，得y ∈(－∞，－4]，∴x ＝－－y ，即f －1(x )＝－－x ，x ∈(－∞，－4]．14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴f (x )的图像过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1，∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x 2＋2x )＝，∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．16．已知函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x 解析 ∵b ≠0，∴x －b x ＋b ≠1，∴f (x )＝log a x －b x ＋b ≠0.由y ＝log a x －b x ＋b ，化为x －b x ＋b ＝a y ，解得x ＝b ·1＋a y 1－a y .把x 与y 互换可得y ＝b ·1＋a x 1－ax ，∴f (x )的反函数f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x. 四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式4x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12， 又0<a <1，∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 18．已知f (x )＝1－3x1＋3x ，求f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 解 令y ＝1－3x 1＋3x ，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y ， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.解 ∵y ＝f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f －1(x )在R 上也是增函数．∵f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.由|f －1(log 2x )|<1，得－1<f －1(log 2x )<1，∴f －1(1)<f －1(log 2x )<f －1(3)，∴1<log 2x <3，∴2<x <8，即所求不等式的解集为{x |2<x <8}．20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k .解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )． 因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， 所以2x ＝1＋y 1－y(－1＜y ＜1)， 所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)因为f －1(x )＞log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k ，所以⎩⎨⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎨⎧ x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}； 当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
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3.2.3 指数函数与对数函数的关系知识点一：反函数1．已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是 A ．有且仅有一个实根 B ．至少有一个实根C ．至多有一个实根D ．0个，1个或1个以上根2．若函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，f(a)＝b ，ab≠0，则g(b)等于A ．aB ．a －1C ．bD ．b －13．若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数f －1(x)上一定存在点A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,0)D ．不能确定 4．已知函数y ＝2x －a 的反函数是y ＝bx ＋3，则a ＝__________，b ＝__________.5．函数y ＝3x(0<x≤2)的反函数的值域是__________． 6．下列关于反函数的说法中，正确的为__________．①二次函数一定有反函数 ②反比例函数一定有反函数 ③若函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)有公共点P ，则点P 一定在直线y ＝x 上 ④单调函数在其单调区间上一定有反函数知识点二：指数函数与对数函数的关系7．函数y ＝log 12x(x>2)的反函数是A ．y ＝2x(x<－1) B ．y ＝(12)x (x>－1)C ．y ＝2－x(x<－1) D ．y ＝(12)－x (x>－1)8．函数f(x)＝log a (3x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(0，23)D ．(23，0)9．已知对数函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1，x>0)满足f(a4)＝0，则函数f(x)的反函数f－1(x)＝__________.10．若函数f －1(x)为函数y ＝lg(x ＋1)的反函数，则f －1(x)的值域是__________．11．将函数y ＝3x －2的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线y ＝x 对称后所得图象的函数解析式为__________．能力点一：求反函数12．函数y ＝1＋log 12x 的反函数是A ．y ＝2x－1(x∈R ) B ．y ＝(12)x －1(x∈R )C ．y ＝21－x(x∈R ) D ．y ＝(12)x －1(x∈R )13．函数y ＝2－x＋1(x>0)的反函数是 A ．y ＝log 21x －1，x∈(1,2) B ．y ＝－log 21x －1，x∈(1,2) C ．y ＝log 21x －1，x∈(1,2] D ．y ＝－log 21x －1，x∈(1,2] 14．函数y ＝0.2－x＋1的反函数是A ．y ＝log 5x ＋1(x>0)B ．y ＝log x 5＋1(x>1)C ．y ＝log 5(x －1)(x>1)D ．y ＝log 5x －1(x>0)15．若函数y ＝x 2－2ax ＋3(x>2)有反函数，则a 的取值范围为__________．16．函数f(x)的图象与函数y ＝log 3x(x>0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.17．已知函数f(x)＝10x1＋10x ，试求它的反函数以及反函数的定义域、值域．能力点二：指数函数与对数函数关系的应用18．已知f(x)＝x －2，则f －1(8)等于A ．10B ．4C ．8D ．1219．已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f －1(x)，则函数y ＝f －1(1－x)的图象是20．函数y ＝f(x)的图象过(0,1)点，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数图象过点__________．21．如果点(1,2)既在函数f(x)＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数f －1(x)的图象上，则a ＝__________，b ＝__________.22．求下列函数的反函数：(1)y ＝x ＋1(x≥0)；(2)y ＝2x ＋3x －1(x∈R 且x≠1)．23．已知函数f(x)＝3x ，且f －1(18)＝a ＋2，g(x)＝3ax －4x的定义域为区间[0,1]． (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的值域．24．已知f(x)＝log a (a －a x)(a>1)． (1)求f(x)的定义域，值域； (2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)解不等式：f －1(x 2－2)>f(x)．答案与解析基础巩固1．C 2.A 3.B4．6 12 由y ＝2x －a ，得x ＝12y ＋12a ，互换x ，y 得y ＝12x ＋a 2.由反函数定义， 知12x ＋12a ＝bx ＋3， ∴12a ＝3，b ＝12. 从而a ＝6. 5．(0,2]6．②④ ①可举反例：y ＝x 2.③如函数f(x)＝7－3x ，f －1(x)＝7－x23(x≥0)，显然(2,1)与(1,2)既在函数y ＝f(x)图象上，又在反函数的图象上，但不在直线y ＝x 上，所以①③不正确．7．C8．C f(x)过定点(23，0)，∴反函数过点(0，23)．9．4x由f(a 4)＝0，得log a a 4＝0，∴a4＝1，a ＝4.∴f(x)＝log 4x.∴f －1(x)＝4x.10．(－1，＋∞) 由函数y ＝lg(x ＋1)，知其定义域为(－1，＋∞)． ∵f －1(x)是y ＝lg(x ＋1)的反函数， ∴f －1(x)的值域即y ＝lg(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)．11．y ＝log 3x 函数y ＝3x －2的图象向左平移2个单位后对应的解析式为y ＝3x，它关于直线y ＝x 对称后所得图象的解析式为y ＝log 3x.能力提升12．D13．A ∵x>0，∴0<2－x<1.∴y＝2－x＋1(x>0)的值域为(1,2)．由y ＝2－x＋1，可得x ＝－log 2(y －1)，∴y＝2－x＋1(x>0)的反函数为y ＝－log 2(x －1)＝log 21x －1(x∈(1,2))． 14．C 由y ＝0.2－x＋1，得y>1，x ＝－log 0.2(y －1)＝log 5(y －1)，∴y＝0.2－x＋1的反函数是y ＝log 5(x －1)(x>1)．15．a≤2 y ＝x 2－2ax ＋3的对称轴为x ＝a ，当满足条件a≤2时，y ＝x 2－2ax ＋3(x>2)是单调递增函数，此时存在反函数．16．3x17．解：由1＋10x≠0，可得x∈R .又f(x)＝10x1＋10x ＝1－110x＋1， ∴0<f(x)<1.∴函数f(x)的定义域为R ，值域为(0,1)． 由y ＝10x1＋10x ，得y ＋y·10x ＝10x，∴10x＝y 1－y .∴x＝lg y1－y.故f(x)的反函数为y ＝lgx1－x，定义域为(0,1)，值域为R . 18．A 19.C20．(1,4) ∵f(x)的图象过(0,1)， ∴f(－x)的图象也过(0,1)．∴g(x)＝f(4－x)的图象过点(4,1)． ∴g(x)的反函数图象过点(1,4)．21．－3 7 ∵点(1,2)在y ＝f －1(x)的图象上，∴(1,2)关于直线y ＝x 的对称点(2,1)应在y ＝f(x)的图象上． ∴f(2)＝1且f(1)＝2， 即⎩⎨⎧a ＋b ＝2，2a ＋b ＝1，解得a ＝－3，b ＝7.22．解：(1)∵y＝x ＋1，x≥0，∴y≥1且x ＝(y －1)2. ∴y＝x ＋1(x≥0)的反函数为y ＝(x －1)2(x∈[1，＋∞))． (2)∵y＝2x ＋3x －1，∴y＝2＋5x －1.∴y≠2且x ＝y ＋3y －2.∴y＝2x ＋3x －1的反函数为y ＝x ＋3x －2(x∈(－∞，2)∪(2，＋∞))． 拓展探究23．解：(1)∵f(x)＝3x，且f －1(18)＝a ＋2，∴f(a＋2)＝3a ＋2＝18. ∴3a＝2.∵g(x)＝3ax －4x ＝(3a )x －4x，∴g(x)＝2x －4x(0≤x≤1)．(2)令t ＝2x(0≤x≤1)， ∴t∈[1,2]．则g(x)＝y ＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴当t ＝1，即x ＝0时，g(x)max ＝0；当t ＝2，即x ＝1时，g(x)min ＝－2. 故g(x)的值域为[－2,0]．24．解：(1)为使函数有意义，需满足a －a x >0，即a x<a. 又a>1，∴x<1，故函数的定义域为(－∞，1)．又log a (a －a x)<log a a ＝1，∴f(x)<1，即函数的值域为(－∞，1)． (2)设x 1<x 2<1，则Δx ＝x 2－x 1>0. ∵a>1，∴ax 1<ax 2<a ，－ax 1>－ax 2. ∴a－ax 1>a －ax 2>0. ∴0<a －ax 2a －ax 1<1.Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝log a (a －ax 2)－log a (a －ax 1) ＝log a a －ax 2a －ax 1<log a 1＝0，∴Δy<0，即f(x 2)<f(x 1)．∴函数y ＝log a (a －a x)在(－∞，1)上是减函数．(3)设y ＝log a (a －a x)，则a y ＝a －a x， ∴a x ＝a －a y，两边取以a 为底的对数．∴x＝log a (a －a y)．∴函数f(x)的反函数为f －1(x)＝log a (a －a x)．由f －1(x 2－2)>f(x)，得log a(a－ax2－2)>log a(a－a x)．∵a>1，∴a－ax2－2>a－a x，即ax2－2<a x.∴x2－2<x，解得－1<x<2.又x2－2<1，∴－3<x<3，结合x<1.∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．。