第二讲 多分辨分析与Mallat算法

V j1 Vj V j1
L2(R)
4) 平移不变性 ：f (t) V0 f (t k) V0 , k Z
： 5) Riesz 基存在性 存在函数 V0 ， 使 {(t k)}kZ 构成 V0
的一个Riesz基（不一定是正交的） 。

称为尺度函数。
V j
,
j

Z
称为由 生成的多分辨分析。
f,g
fˆ1 fˆ2 eiu fˆ fˆ s fˆ s ip fˆ
1 fˆ , gˆ
2
• Z-变换 序列a={an}的z变换定义为：
a z an zn
序列的离散傅立叶变换 序列a={an}的离散傅立叶变换定义为：
dk
2


• Vj如何定义？
Vj


f

t |
f

t


ek
,
k 2j
t

k 1,k Z ,
2j
kZ
ek
2

jZ
…, V-2,V-1,V0,V1,V2,…,Vj,…构成L2(R)上的一个 嵌套的子空间序列.
0 V1 V0 V1 Vj L2(R)
预备知识
• 线性空间 • 内积与正交 • 线性空间的范数 • 平方可积空间 • 平方可和空间 • 绝对可积与绝对可和空间
小波研究的函数空间L2(R)
f(x)是平方可积的
• 绝对可积函数空间L1(R)
f t L1(R) R f (t) dt
若 f t L1(R) ，则 fˆ() f (t)eitdt
L R 构成 2 j,k j,kZ
的标准正交基。
j,k t 2 j/2 2 j t k kZ
t dt 0
R
正交小波函数的构造
定理2.1 则
令
gk
1
k
h 1k
,
(t)
2
gk(2t k)
k
j,k t 2 j/2 2 j t k
)
(t)
1 2
1,0
(t)

1 2
1,1
(t
)
Vj1 Vj Wj Vj1 Wj1 Wj
f j1 f j wj f j1 wj1 wj
f j a j,k j,k Vj ; wj d j,k j,k Wj
kZ
称N2(t)是尺度函数，它生成L2(R)上的1次基数B样条多分辨分析{Vj} 。
L2(R)上的2次基数B样条多分辨分析{Vj}
Vj中的函数在任意二进区间 n / 2 j ,n 1 / 2 j n Z 是2次多项式,
在R上是1次连续可导的能量有限函数。即Vj中的函数在R上是分段二 次的、连续可微且能量有限的。可以证明：
kZ
aj,k
,
kZ
d j,k
kZ 称为
a j1,k
的（1次）小波变换.
kZ
L2 R Wj jZ
j,k j,kZ 构成L2(R)的一个标准正交基.
f (t)
d j,k j,k (t) f 2
2
d j,k
jk
kj
• 由于 V0 V1 , V0 所以 V1 ，从而存在
常数
hk
,
kZ
使得
源自文库
t hk1,k t
kZ
t hk 2 2t k kZ
t 2hk 2t k kZ
基数B样条多分辨分析{Vj}的两尺度方程
• 由习题2.1可知，线性B样条多分辨分析{Vj} 的两尺度方程如式（2-4）;二次B样条多分 辨分析{Vj} 的两尺度方程如式（2-6）.
f (t) Vj f (2t) Vj1
f (t) V0 f (t k) V0

t


1, 0,
t 0,1
其他
t k kZ 构成V0的标准正交基
j,k t 2 j 2 j t k , k Z
j,k kZ 构成Vj的一个标准正交基.
第2章 多分辨分析与Mallat算法
孙 延奎
清华大学计算机科学与技术系
内容提纲
• 预备知识 • 小波研究的函数空间L2(R) • L2(R)的Haar多分辨分析{Vj} • L2(R)的多分辨分析{Vj}及例子 • 用多分辨分析构造小波的基本方法与举例 • 常用紧支撑小波及做图 • 小波变换的Mallat算法 • Mallat算法的实现 • 小波在奇异点检测和信号降噪中的应用 • 双正交小波变换的Mallat算法
标准正交基。
L2(R)的多分辨分析{Vj}
令
V j
，j
, 2,1,0,1, 2,
是L2 R中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：
1) 单调性： Vj1 Vj Vj1 ， j Z
2) 逼近性 ： Vj {0}， Vj L2 (R) 0
jZ
jZ
3) 伸缩性 ： f (t) Vj f (2t) Vj1
(t) 2hk(2t k)
k
ˆ
1 2
hˆ


2
ˆ


2

ˆ()
2


k

hk
(2t

k
)

eit
dt


2 hk
k
(2t k)eitdt



2 hk
k
0 V1 V0 V1 Vj L2(R)
f (t) Vj f (2t) Vj1
f (t) V0 f (t k) V0
t
N2 t 2 t
0
0t 1 1t 2 其它
N2 t k kZ 构成V0的一个Riesz基，但不是标准正交基。
如何得到L2(R)上的Haar多分辨分析{Vj}？
• V0如何定义？
V0


f
t |
f
t

ck , k

t

k
1,k Z ,
kZ
ck
2




• V1如何定义？
V1


f
t |
f
t
k dk , 2
t

k 1,k Z ,
2
kZ
, hn , , h2 , h1, h0 , h1, h2 , , hn ,
性质3
V j1 V j W j

L2
R


j
W
j
尺度空间 小波空间 推导见式（2-16）
问题：W j 的结构如何?如何构造小波 , 使 j,k kZ 构成 W j
的标准正交基？从而
若 fˆ L1(R) ，则 f (t) 1 fˆ ()eitd
2
f1 f2 t

f1 t
u f2
u du
卷积定理 平移性质
调制性质 尺度伸缩性质 微积分性质 Parseval定理
f1 f2 t f t u eit f t f t / s f p t
(u)eiu/2eik /2 du

2

1 2

[hk eik /2
k
(u )eiu / 2 du ]


1 2
k

[hk
eik
/
2
]ˆ(
2
)
1 hˆ( )ˆ( )
22 2
问题:
若 t生成多分辨分析{Vj}, 是否存在一个正交尺度函
标准正交基？
一维正交多分辨分析MRA及其性质
性质1 j,k kZ 构成Vj的一个标准正交基. 问题： j,k j,kZ 是否构成L2(R)的一个标准正交基?
注意：非标准尺度函数
性质2 正交尺度函数
的两尺度方程为
(t) 2hk(2t k)
k
其中， hk t , 2 2t k {hk}称为低通滤波器
aˆ anein
显然，它是关于数字频率 的以 2为周期
的连续函数
L2(R)的Riesz基
• 如果函数序列 n t 对于任何数列 cnl2 能使下
式 2 A cn 2 cnn t B cn 2 n
成立，则称 n t 为一个Riesz基。（线性无关的框 架）
尺度函数

正交尺度函数
正交多分辨分析具有哪些性质？
1.
两尺度方程中的系数
hk
kZ
,
具有什么性质？
2. Vj1 Vj Wj 中，尺度空间Vj与小波空间Wj的基
函数是什么？是否存在一个函数 ，它的二进
伸缩与平移 j,k 构成Wj的标准正交基？如果是， 如何构造之？
3. 所有Vj的基函数的集合是否构成L2 R 的标准正 交基？所有Wj的基函数的集合是否构成 L2 R的
L2(R)上的1次基数B样条多分辨分析{Vj}
Vj中的函数在任意二进区间 n / 2 j ,n 1 / 2 j n Z 是1次多项式,
在R上是连续的能量有限函数。即Vj中的函数在R上是分段线性的、连
续的且能量有限的。
可以证明： …, V-2,V-1,V0,V1,V2,…,Vj,…构成L2(R)上的一个嵌套的子空间序列.
• 尺度函数Nm+1(t)的性质
问题
1. 两个不同的尺度函数是否能够生成同一个多分辨分 析？
2. 若 t生成多分辨分析{Vj}, 是否存在一个正交尺度 t 函数 生成同一个多分辨分析{Vj}?
如果可以，如何构造？ 3. 正交多分辨分析具有哪些性质？有哪些作用？
线性样条尺度函数N2(t)和二次样条尺度函数 N3(t)
是
kZ
W j 的标准正交基.
j,k t 2 j/2 2 j t k
构成 L2 R
j ,kZ
的标准正交基。
gk 高通滤波器. 一个重要性质： gk 0
…, V-2,V-1,V0,V1,V2,…,Vj,…构成L2(R)上的一个嵌套的子空间序列.
0 V1 V0 V1 Vj L2(R)
f (t) Vj f (2t) Vj1
f (t) V0 f (t k) V0

1 2
t
2
N3
t



3 4
0,0 1
0,0
1次盒样条尺度函数1(t) 和2次盒样条尺度函数 2 (t)
1(t) N2 (t 1)
2 (t) N3 (t 1)
1(t) 与N2(t)生成相同的线性样条多分辨分析{Vj}。 2 (t) 与N3(t)生成相同的二次样条多分辨分析{Vj}。
两尺度方程的频域表示
数 t 生成同一个多分辨分析{Vj}?
按照习题2.2，
t n 是标准正交系的充分必要条件是： nZ ˆ 2k 2 1, R kZ
由此，可得如下的正交化方法：
ˆ
ˆ
1/ 2


kZ
ˆ


2k

2


h h k2l k2m
l,m 或
kZ
h h k k2m
0,m,m Z
kZ
, hn , , h2 , h1, h0 , h1, h2 , , hn , , hn , , h2 , h1, h0 , h1, h2 , , hn , , hn , , h2 , h1, h0 , h1, h2 , , hn ,
V j1 V j W j
1 t 0,1/ 2 t 1 t 1/ 2,1
0 其他
j,k t 2 j 2 j t k , k Z
j,k kZ 构成Wj的一个标准正交基.
(t)
1 2
1,0
(t
)

1 2
1,1(t


t

3 2
2
0t 1 1t 2

1

t

32
2
2t3
0
其它
N3 t k kZ 构成V0的一个Riesz基，但不是标准正交基。
L2(R)上的3次基数B样条多分辨分析{Vj} ？ L2(R)上的m次基数B样条多分辨分析{Vj} ？
两尺度方程