第二讲多分辨分析与Mallat算法

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mallat分解方法

mallat分解方法1. 简介mallat分解方法是一种在信号处理中常用的技术，用于将信号分解成不同尺度的频带。

这种方法基于小波变换，通过对信号进行多级分解，可以得到信号在不同频率范围内的表示。

mallat分解方法由Stephane Mallat于1989年提出，是一种基于多尺度分析的信号处理方法。

它在许多领域中得到广泛应用，如图像处理、音频处理、压缩等。

mallat分解方法的核心思想是使用小波函数作为基函数进行信号分解。

小波函数具有时域和频域上的局部性质，可以有效地捕捉信号的局部特征。

mallat分解方法通过对小波函数进行缩放和平移操作，构建了一组具有不同尺度和位置的小波函数族。

2. mallat算法步骤mallat算法主要包括两个步骤：分解和重构。

2.1 分解•将原始信号进行低通滤波和高通滤波得到近似系数和细节系数。

•低通滤波器将原始信号中的低频部分保留下来，并且去除了高频部分。

•高通滤波器将原始信号中的高频部分保留下来，并且去除了低频部分。

•重复上述步骤，将近似系数作为输入，继续进行低通滤波和高通滤波，直到达到设定的分解层数。

2.2 重构•将分解得到的近似系数和细节系数进行逆变换，得到重构信号。

•逆变换过程是对分解过程的逆操作，通过将每一级的近似系数和细节系数进行上采样、滤波和加权求和，得到重构信号。

3. mallat分解方法的应用mallat分解方法在信号处理领域有广泛的应用。

3.1 图像处理mallat分解方法可以用于图像压缩、去噪等方面。

通过对图像进行mallat分解，可以得到不同尺度上的图像信息。

根据不同尺度的重要性，可以选择保留部分系数，从而实现图像压缩。

同时，在mallat分解域中对图像进行去噪处理也是一种常见的应用。

3.2 音频处理mallat分解方法可以用于音频信号降噪、特征提取等方面。

通过对音频信号进行mallat分解，可以得到不同尺度上的音频信息。

在降噪方面，可以根据不同尺度的能量分布来选择保留或去除部分系数，从而实现降噪效果。

基于小波变换的汽车振动信号去噪分析_图文(精)

基于小波变换的汽车振动信号去噪分析,姜永胜.王其东设计-研究基于小波变换的汽车振动信号去噪分析姜永胜・-一.王其东1(1.合肥工业大学机械与汽车工程学院,合肥230009;2.安徽江淮汽车有限公司,合肥230022摘要:从小波变换的理论背景出发。

介绍了利用小波变换对信号进行分解的原理。

并针对汽车振动信号的非平稳性特点.对驾驶员座椅振动信号用dB4小波进行了多分辨分析和小波包分析。

并运用Madab中的Wavelet 7I钿Uox对其进行去噪处理,取得了明显的效果。

通过与FouIie珐噪的比较,可以看出小波变换在汽车振动信号去噪中有着Fourier分析无可比拟的优点。

关键词:汽车振动;多分辨分析;小波包分析;去噪中图分类号:U461.4文献标识码:A 文章编号:1005—2550(200604-0023-03汽车在实际行驶过程中.其振动信号的激振源主要有发动机振动、汽车各总成所产生的振动、车轮滚动产生的周期振动以及路面不平度产生的随机激励。

显然此信号是一个含噪声的非平稳振动信号[¨。

对汽车振动信号的处理以往采用的方法是基于 Fourier变换的谱分析法。

但F0urier变换是一种基于整个时域或频域的全局变换.无法表述信号的时频局域性质.不适用于非平稳信号的处理。

尽管窗口FouIier变换有了一定的改进.但由于窗口的形状和大小固定不变.与频率无关。

无法实现频率分辨率随频率变化进行自动调节的要求。

目前流行的小波分析具有多分辨率分析的特点.且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力.可以聚焦到信号的任意细节进行频域处理.频率分辨率可随信号的频率变化进行自动调节.非常适用于非平稳振动信号的处理c2]。

所以小波分析又称为“数学显微镜”。

是振动信号分析与处理的得力工具。

本文针对汽车振动信号的特征.采用小波变化对其进行去噪,取得了比 Fourier变换优越的去噪效果。

1小波变换理论1.1小波变换【¨】对于任意函数t∈L2(R的连续小波变换定义为:聊(Ⅱ,6=叭t,钆.6(f]=l妒硝(t狄t山 (1 式中,‰础=了音妒(气}口,6∈噩,口≠o;口为频率参数, 称为尺度因子;6为时移参数,称为平移因子。

mallat算法原理

mallat算法原理Mallat算法，又称Wavelet Transform，是一种基于小波函数的数据分析和处理方法，它将信号或图像分解成一系列小波频带，然后进行变换和重构以完成特定的分析或处理任务。

这种算法的优点在于具有时间和频率上的局部性、多分辨率分析和灵活的压缩性能等。

Mallat算法基于小波函数的变换，这些小波函数是一系列的正交函数(如Haar、Daubechies、Coiflet等)，它们具有时频局部性质，可以捕捉信号的局部特征，如短暂的信号脉冲和边缘等。

这些小波函数都是由一个母小波函数通过平移、缩放、反转等操作得到的。

Mallat算法的基本过程分为分解、重构和逆变换三个步骤。

1. 分解：将原始信号或图像分解成一系列小波频带。

这个过程是由多层的低通和高通滤波器完成的，其中低通滤波器用于提取信号的低频成分，高通滤波器则用于提取信号的高频成分。

在每一层分解过程中，低频部分进一步分解，高频部分则用作下一层分解的输入。

这样就得到了一系列不同频段的小波系数，代表了原始信号或图像的局部特征。

2. 重构：将得到的小波系数重构成原始信号或图像。

这个过程是由多个逆滤波器和逆上采样操作完成的，逆滤波器用于将小波系数进行逆变换，同时逆上采样操作将分辨率恢复到原来的大小。

通过这种方式，可以从分解后的小波系数重构出与原始信号或图像相似的结果。

Mallat算法的应用范围很广，可以应用到信号和图像处理、数据压缩、模式识别、图像分割等领域。

其核心在于通过小波分析将信号和图像分解成不同频段的小波系数，通过对这些小波系数的变换和重构完成特定的分析或处理任务。

02-多分辨率信号分解理论：小波变换

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

mallet算法原理

mallet算法原理
Mallet算法是一种基于滑动窗口的滤波算法，适用于信号降噪和滤波。

其
基本思想是将输入信号分成一系列重叠的窗口，然后通过对每个窗口应用滤波器来获得输出信号。

具体步骤如下：
1. 定义窗口大小和重叠率：首先，需要确定窗口的大小和窗口之间的重叠率。

窗口大小决定了每个窗口中包含的信号点数，而重叠率决定了相邻窗口之间的重叠部分。

2. 分割输入信号：将输入信号分割成一系列重叠的窗口。

每个窗口的大小由步骤1中定义的窗口大小确定，而窗口之间的重叠部分由重叠率确定。

3. 应用滤波器：对于每个窗口，应用所选的滤波器来滤波窗口中的信号。

滤波器可以是任何合适的滤波算法，例如FIR滤波器或IIR滤波器。

4. 重叠相加：将滤波后的窗口在重叠部分进行相加，以获得最终的输出信号。

通过重叠相加的操作，保证了输出信号的平滑过渡，减少了窗口分割带来的伪像。

此外，Mallet算法还可以用于执行离散小波变换，这是一种信号的分解方法。

通过使用两个互补的滤波器产生A和D两个信号，其中A表示近似值，D表示细节值。

在小波分析中，趋势项值是在按照大缩放因子进行变换时产生的系数，此系数值是低频分量系数。

而细节项值是在按照小缩放因子进行
变换时产生的系数，此系数值是高频分量系数。

离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。

原始信号通过这样一组低高通滤波器进行分解叫做一次分解，同样的也可以进行多次分解（只进行一次分解成为一级分解）。

以上信息仅供参考，如有需要建议查阅相关文献或咨询专业人士。

Mallat小波的s手工编程算法说明(原创)

Mallat 算法及问题Mallat 算法在小波多分辨率分析中具有极其重要的地位。

Mallat 算法中，与尺度函数)(t φ相联系的是低通滤波器)(n h ，与小波函数)(t ψ相联系的是高通滤波器)(n g 。

分解后得到离散逼近信号)(n a j [又称：尺度系数]，和离散细节信号)(n d j [又称：离散小波系数]。

本文以《小波分析及其应用》为主要参考书。

未指明情况下，均指该书。

1．由滤波器系数h 计算滤波器系数g尺度滤波器（低通滤波器）)(n h 是核心，小波滤波器)(n g 可由)(n h 计算得到。

计算公式为)1()1()(1n h n g n --=-。

该公式的含义为：将)(n h 以0=n 翻转，得到)(n h -，再将序列右移1位，即得到)1(n h -。

再乘上符号n --1)1(，即得到)(n g 。

如图所示：可见，实现方法为：对)(n h 倒序，然后在对该序列的适当位置添加负号。

如最后（从左到右）1位乘以1-（因为其0=n ，1)1(1-=--n ），倒数第2位保持原数（因为其1-=n ，1)1(1+=--n ），以此类推。

特别注意，以上序列索引从1=n 开始（Matlab 中就是如此），而以0=n 点为中心翻转。

如果序列从0=n 开始索引，则需要作调整，原乘以1-改为乘以1+，原乘以1+的改为乘以1-。

在Matlab 中，用Orthfilt( )函数可得到各种正交小波的滤波器系数Lo_D （低频分解滤波器）和Hi_D （高频分解滤波器），另外，Lo_R 和Hi_R 分别为低频重构滤波器和高频重构滤波器。

特别注意的是，Lo_R 为Lo_D 的倒序：Lo_D = wrev(Lo_R)；Hi_R 为Hi_D 的倒序：Hi_D = wrev(Hi_R)。

wrev 即矢量倒序。

另，Wfilters( )函数可得到各种小波的滤波器系数，不限于正交小波。

Matlab 中，分解是按照公式 3.2.6（即 3.4.9）和 3.2.18（即 3.4.10），即：∑∑-=-=++k j j kj j k a n k g n d k a n k h n a )()2()()()2()(11进行的，其对应的抽取图为图3.1，即滤波器为分解滤波器h 和g 。

正交小波基与多分辨分析

具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
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5
正交小波
且对任意
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
R
d j,k
f (t), j,k (t)
f (t)2 j/2 (2 j t k)dt
§4 正交小波基与多分辨分析
正交小波多分辨分析小波函数和小波空间信号空间L2(R)的分解双尺度方程标准正交小波基的构造滤波器系数h(k)和g(k)的性质 Mallat快速算法紧支集正交小波的性质
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1
正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
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图4-1
13
双尺度方程
双尺度方程描述了两个相邻尺度空间V
j和V
j
1函数、相邻尺度空间V
j
1和W
的基函数
j
j1,k , j,k和 j,k之间的内在联系。
由于V0 V1，W0 V1，所以(t)， (t)也属于V1空间，可以用 1,k(t)来线性表示

小波分析及其应用(精品教程)

0 A B ，使
A c j ,k
2 l
2Βιβλιοθήκη j k c

2 j ,k
j ,k
2
B c j ,k
2 l2
2 l2
对所有二重双无限平方可和序列 c j ,k 成立，即对于 c j ,k 立。

j k
c

2 j ,k
k
c e
k

ikx
(8.1-1)
1 2 (8.1-2) f x e ikx dx 0 2 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说 [3] 明：从任一个平方可和的函数 f ( x) 出发，为了得到一个连续函数 g ( x) ，只需或者增大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ck
为了能重构信号 f t ，要求 j ,k j ,kZ 是 L2 R 的 Riesz 基。定义 8.2-1 一个函数 L2 R 称为一个 R 函数，如果 j ,k j ,kZ 在下述意义上是一个
Risez 基： j ,k , j , k Z 的线性张成在 L2 R 中是稠密的，并且存在正常数 A 与 B ，
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第八章小波分析理论及应用间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论[3]。 ” 为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念： ˆ 满足：定义 8.1-1 若 W L2 R 选择得使 W 与它的傅里叶变换 W

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域和频域观察,但不能把二者有机的结合起来;这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息,而其傅立叶谱是信号的统计特性,从其表达式中也可以看出,它是整个时间域内的积分,没有局部化分析信号的功能,完全不具备时域信息,也就是说,对于傅立叶谱中的某一频率,不能够知道这个频率是在什么时候产生的;这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾;在实际的信号处理过程中,尤其是对非常平稳信号的处理中,信号在任一时刻附近的频域特征很重要;如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的,是一瞬变信号,单从时域或频域上来分析是不够的;这就促使人们去寻找一种新方法,能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征,构成信号的时频谱,这就是所谓的时频分析,亦称为时频局部化方法;为了分析和处理非平稳信号,人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命,提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等;其中,短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的;短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号,从而计算出各个不同时刻的功率谱;但从本质上讲,短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法,因为它使用一个固定的短时窗函数,因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷;小波变换是一种信号的时间—尺度时间—频率分析方法,具有多分辨率分析Multi-resolution的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,使一种窗口大小固定不变,但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法;小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率;在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,所以被誉为分析信号的显微镜;小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面, 小波分析已成为国际研究热点. 无论是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础, 按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换, 这种非线性小波变换处理非线性问题更为有效.二、分析小波的基本定义答：小波Wavelet 这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形;所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式;与Fourier 变换相比,小波变换是时间空间频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier 变换的困难问题,成为继Fourier 变换以来在上的重大突破;有人把小波变换称为“数学显微镜”;小波分析方法是一种窗口大小即窗口面积固定但其形状可改变,时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法,即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率;正是这种特性,是小波变换具有对信号的自适应性;小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶,已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT 成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域;原则上讲,传统上使用傅立叶分析的地方,都可以用小波分析取代;小波分析优于傅立叶变换的地方是,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质;设()()R L t 2∈ψ()R L 2表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间,其傅立叶变换为()ωψ∧;()ωψ∧满足允许条件Admissible Condition ：时,我们称()t ψ为一个基本小波或母小波Mother Wavelet;将母函数()t ψ经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列;对于连续的情况,小波序列为其中,a 为伸缩因子,b 为平移因子;对于离散的情况,小波序列为对于任意的函数()()R L t f 2∈的连续小波变换为其逆变换为小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样;其窗口形状为两个矩形[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+±⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-±⨯∆+∆-∧∧a a a b a b /,/,00ψωψωψψ,窗口中心为()a b /,0ω±,时窗宽和频窗宽分别为ψ∆a 和a /∧∆ψ;其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置,而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置,也影响窗口的形状;这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时小波变换的时间分辨率较差,而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低,这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变换迅速的特点;这便是它优于经典的傅立叶变换与短时傅立叶变换的地方;从总体上来说,小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性;三、小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓,二者相辅相成,试对小波分析和傅立叶变换进行比较答：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓,它自产生以来,就一直与傅立叶分析密切相关,他的存在性证明,小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析,二者是相辅相成的,两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号ft 分解到以{expjωt}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号ft 分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的;2、傅立叶变换用到的基本函数只有sinωt,cosωt,expjωt,具有唯一性；小波分析用到的函数即小波函数则具有多样性,同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远;小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题,目前往往是通过经验或不断地试验对结果进行对照分析来选择小波函数;3、在频域分析中,傅立叶变换具有良好的局部化能力,特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号,傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式,如sinω1t+ω2t+ω3t,但在时域中傅立叶变换没有局部化能力,即无法从ft 的傅立叶变换中看出ft 在任一时间点附近的性态;事实上,Fwdw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅,在傅立叶展开式中,它是由ft 的整体性态所决定的;4、在小波分析中,尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小;5、在短时傅立叶变换中,变换系数Sω,τ主要依赖于信号在τ-δ,τ+δ片段中的情况,时间宽度是2δ因为δ是由窗函数gt 唯一确定的,所以2δ是一个定值;在小波变换中,变换系数Wfa,b 主要依赖于信号在b-aΔφ,b+aΔφ片断中的情况,时-间宽度是2aΔφ,该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的,所以小波变换具有时间局部分析能力;6、若用信号通过滤波器来解释,小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说,带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f;四、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数,其二进制伸缩与平移构成()R L 2的规范正交基,才使小波得到真正的发展;1988年在构造正交小波基时提出了多分辨分析Multi-Resolution Analysis 的概念,从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性,将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来,给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法,即Mallat 算法;Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位; 定义：空间)(2R L 中的多分辨分析是指)(2R L 满足如下性质的一个空间序列{}Z j j V ∈：1调一致性：1+⊂j j V V ,对任意Z j ∈2渐进完全性：Φ=∈j Z j V I ,{})(2R L V U close j Z j =∈ 3伸缩完全性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f4平移不变性：j j j j j V k t V t Z k ∈-⇒∈∈∀--)2()2(,2/2/φφ5Riesz 基存在性：存在0)(V t ∈φ,使得{}Z k k t j j ∈--|)2(2/φ构成j V 的Risez 基;关于Riesz 的具体说明如下：若)(t φ是0V 的Risez 基,则存在常数A,B,且,使得：对所有双无限可平方和序列{}k c ,即 {}∞<=∑∈222Z k k k c c 成立; 满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析,如果)(t φ生成一个多分辨分析,那么称)(t φ为一个尺度函数;关于多分辨分析的理解,我们在这里以一个三层的分解进行说明,其小波分解树如图所示;从图可以明显看出,多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频部分则不予以考虑;分解的关系为1231D D D A S +++=;另外强调一点这里只是以一个层分解进行说明,如果要进行进一步的分解,则可以把低频部分3A 分解成低频部分4A 和高频部分4D ,以下再分解以此类推;在理解多分解分析时,我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近()R L 2空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器;从上面的多分辨分析树型结构图可以看出,多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解,使频率的分辨率变得越来越高;MALLAT 算法中包括两个主要的过程,这就是分解过程和重构过程; 对于一个多分辨分析Z j j V ∈}{,以及信号021V f g g g f n n ∈++++= ,其中1、分解算法⏹ 由于()10-∈∈V V t ϕ以及()10-∈∈V W t ψ,故有：⏹ 信号分析和处理是,常常需要知道它在各个闭子空间的小波系数;首先由其采样值,经计算得其中的系数,同时：⏹ 其中1-j k c 和1-j k d 都是j c 使用分解序列在偶整数点的抽样,这称为向下抽样;小波分解2、重构算法⏹ 空间1-V 是空间0V 和0W 的值和,故有：则数列Z k j k c ∈}{、Z k j k d ∈}{、Z k j k c ∈-}{1具有如下公式：小波重构五、基于MATLAB,请自行选择一个一维信号,采用DB3小波函数,进行3尺度分…………解与重构;要求：1附上源程序；2绘出原始信号以及分解、重构的结果图;答：load leleccum;S=leleccum1:1000;w=’db3’;Subplot621;plots;Title‘原始信号’；Dwtmode;cazpd,cdzpd=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcazpdXzpd=idwtcazpd,cazpd,w,lx;Subplot622;plotxzpd;Title‘zpd模式重构图’；Dwtmode‘sym’;casym,cdsym=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcaspdXsym=idwtcasym,cdsym,w,lx;Subplot625;plotxsym;Title‘sym模式重构图’；Dwtmode‘spd’;casym,cdsym=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcaspdXsym=idwtcaspd,cdspd,w,lx;Subplot626;plotxspd;Title‘spd模式重构图’；六、给出一个小波分析的应用实例对于一给定的信号信号序列文件名为,利用小波分析对深夜时段信号分析答：源程序如下：Load leleccum;s=leleccum;w=’db3’;c,1=wavedecs,5,w;For i=1:5DI,:=wrcoeef‘d’,c,l,w,i;Endtt=1+100:lengths -100;subplot6,1,1;plottt,stt,’r’;title‘Electrical Signal and Details’;for i=1:5,subplot6,1,i+1;plottt,D5-i+1,tt,’g’; end。

现代信号处理技术

DWTf DWT (m, n) 2m / 2 f (k ) (2m k n)
k
(11-27)
4 一维Mallat算法 ( x) ，满足尺度方程设尺度函数为 ( x)，对应的小波函数为 ( x) h(n) (2 x n)
信号 f ( x)在尺度j下所平滑的信号 Ad 为 j f
2. Fourier分析的主要内容
从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。
图11-1 傅立叶变换与棱镜
二、小波分析的发展历程
1.小波分析起源与追踪 1981年，Morlet仔细研究了Gabor变换方法，对 Fourier变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造做了创造性研究，首次提出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波。 2. 多分辨分析及Mallat算法的建立 Mallat与Meyer创立多分辨分析和Mallat算法。 3. Daubechies小波的提出 Daubechies建立了著名的Daubechies小波，这种小波是目前应用最广泛的一种小波,不能用解析公式给出，只能通过迭代方法产生，是迭代过程的极限。
二、短时傅立叶变换(Short Time Fourier
Transform , STFT )
我们将一个信号的STFT定义如下:
1 it (11-1) S ( , t ) e s( )h( t )d 2
其中h(t) 是窗函数. 沿时间轴移动分析窗, 我们可以得到两维的时频平面。STFT 方法最大的优点是容易实现。 STFT 分析实质上是限制了时间窗长的Fourier分析. STFT只能选定一个固定的窗函数, 且STFT 分析受限于不确定性原理, 较长的窗可以改善频域解但会使时域解变糟; 而较短的窗尽管能得到好的时域解, 频域解却会变得模糊。

基于多分辨分析的Mallat算法研究

小波函数为
（１）
（３
），，２） ∈ （ ∈
（）（）ｏ￣（－）０Ｖｋ∈Ｚ４ｆｘ ∈Ｖｃｆｘｋ ∈Ｖ，：
（）在ｇｘＥＶｔ得｛（－） ∈Ｚ｝成ｏｉｓ￣，５存（）ｏ．ｇｘｎＭ￣构的Ｒｅｚ即ａＶ＝ｐｍ｛ｎ｝）０ｓ（ｇ一）ｎ∈Ｚｂ存在０Ｔ）１ ≤日。使得对任意｛｝ ∈／Ｚ有：订。，ｃ２）（
过减４投影Ｖ，
够具有任意小的能量。条件（）为伸缩规３称
则性，明空间列ｆ中任一空间的基可由其中任意空间，表ｌ的基经过伸缩与平移变换得到。件（）为平移不变性，明条４称表
￡（） ∑ ∑ ∑６∑跏）（ｊ：ｔ）－
数日（）以完全决定一个多尺度分析。付可
１多分辨分析
２Ｍａａ分解与重构算法ｌｔｌ
多分辨分析的思想就是先在能量有限函数空间的某个子空间中建立基底，后利用简单的伸缩与平移变换，子空间然把
令厂Ｐ厂ｔｌ以￡ｄ＝以￡ｏｑ（＿＝）Ｐ）Ｑ），
息ｄ贝ｏｄ类似地则，＝＋，ｆ
・
当尺度因－ｌ￣ｍ＝时，应于厂。，补充细节信￣ｍ＝转Ｊ２相＿需田ｄ。＋
由Ｅｆｆ＋ｏｄ可得＝
ｎｉｎＪ
（５）

为建立（ｎ与（）系数之间的关系，换角标，用ｊｔ） — ｆ的代ｎ｝代之 √ ｎ之，有用代则

第四章多分辨率分析

(2-7)代入(2-6)
(2-8)
若对有 Kn=1 ，即，则该函数集称为归一化正交函数集，此时，相应的各系数和均方误差为：
(2-9)
1.4 完备正交函数集
前面我们学习了"信号可以用正交函数集内的所有正交函数的线性组合来近似"，但我们还存在一些疑问没有解决：(1) 是否存在一个"完备的"正交函数集，即在此函数集外，没有函数与集内所有函数都正交。(2) 是否存在一个"精确的"正交函数集，即通过集内所有函数的线性组合，可以精确地表示任意信号？这些问题的回答，实际上涉及到了完备正交函数集的两种定义。下面我们来看看。
j,k (t), j,k(t) 2 j (2 j t k) (2 j t k)dt
(k k)
(10.1.13)
(t 2) 如图（j）所示。同时，(t) 和 (t) 的整数位移之间也是正交的，即
(t k), (t k) 0 k, k Z
( t ) (t) (t 1) 2
(10.1.7)
再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对 x(t) 的近似要优于图(h)对 x(t) 的近似，也即分辨率高。所以，用 j,k (t)
对 x(t) 作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，j 越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当 j 时， j,k (t)
及与其有关的框架问题。在这两种情况下，时间t 仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究a,b及t 都是离
散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由 Mallat 和 Meyer 自 80 年代末期所创立的“多分辨率分析”技术在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

小波分析考试题(附答案)

似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为，得到的小波函数为，然后重复步骤1和2。

再把小波向右移，得到小波，重复步骤1和2。

按上述步骤一直进行下去，直到信号结束；步骤4: 扩展小波，例如扩展一倍，得到的小波函数为；步骤5: 重复步骤1~4。

五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。

（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。

1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。

Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。

定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈ ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。

满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析，如果)(t g 生成一个多分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。

关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。

从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。

MALLAT算法快速实现方法及其应用研究

文章编号:1001-9227(2004)06-0004-03MALLAT算法快速实现方法及其应用研究张奉军,周燕*,曹建国**(济南大学科技处山东济南,250022)(*济南大学控制科学与工程学院济南,250022)(**重庆工学院汽车工程系重庆,400050)摘要:MALLAT算法是小波理论中的重要组成部分,根据MALLAT算法的原理,提出了该算法的一种快速的、实用的实现方法;并把该方法应用到噪声主动控制中,实验结果表明:该快速实现方法是有效的、实用的。

关键词:MALLAT算法滤波器噪声主动控制ABSTR ACT:Based on the MALLAT arithmetic,which is important part of wavelet theory,we put an quick re-alization method and use it in yawp active control.The e xperiment result shows it is effective and economic.KEYWORDS:MALLAT arithmetic;Filter;Ya wp active control中图分类号:TN911.4文献标识码:B0引言小波变换是把信号或函数分成不同的频率成分,然后对各个部分进行研究的一个新兴的信息处理手段。

虽然最初是由纯数学提出的,但是经过近10年的发展,逐步深入到了技术科学领域,已经取得了具有科学意义和应用价值的重要成果,成为了国际上众多学术团体和学科领域共同关注的热点。

在小波理论中,多分辨率分析是一个重要的组成部分。

多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法,分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器[1]。

因此,对于一个能量有限信号,可以通过多分辨率分析的方法把其中的逼近信号和细节信号分离开,然后再根据需要逐一研究。

信号分析_第6章多分辨分析

1/ 2
a 22 m2
1/ 4
分辨率
1/ a 2
尺度空间 V1
V0
尺度因子↑
V1
分辨率↓
V2
对应的子空间↓
7
m
V1 V0 V1 V2
3)信号在尺度空间中的展开
在m尺度空间中对信号s(t)进行展开
Pm s(t ) sm (t ) am (n)m,n (t ) 2
Vm span {m,n (t )}, n Z
称为m尺度空间
6
Example: Haar 小波对应的尺度函数 (t )
(t / 21 )
0 .5
(t )
(t / 21 )
(t / 22 )
t
1
t
1
2t1源自2ta 2 1 m 1
a 20 m0
1
a 21 m 1
多分辨分析又称为多尺度分析。多分辨分析理论统一了孤立的正交小波的构造行为，建立了正交小波变换的数学基础，使小波构造有了一般的方法。注：以下没有特殊申明，分辨率指时间分辨率
3
1 尺度函数 (Scale Function)与尺度空间
1)尺度函数
若基带函数 (t )平移后 n (t ) (t n) 满足
m m
空间内)不正交。
n ( 2 t ), k (2
m
m'
0 t 1 其它
n (t ),k (t ) (n k ) n, k Z成立因此函数 (t )是一个尺度函数，其平移可构
成一组正交函数
V0空间中的基函数 Vm空间中的基函数
0,0 (t ) (t )
t m,0 (t ) m 2

关于多分辨分析的几个问题

关于多分辨分析的几个问题
陈逢时
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】1997(025)005
【摘要】多分辨分析是Ｍａｌｌａｔ为各领域应用的子波变换建立起的统一的数学框架，本文引进基函数的频宽和时宽概念，使各种变换下的频率分辨率和时间分辨率特性一目了然，在塔形算法中，如果应用规范正交基作分解，则可使信号分析和综合框图具有完全对称的形式。

【总页数】3页(P92-94)
【作者】陈逢时
【作者单位】西安电子科技大学
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.6
【相关文献】
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