一道例题的别解与引申
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一
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１— Ｉ
２
ｌ ｙ ｘ ｚｆ
ｘ 一 ２ ＋ Ｚ 一 ０， Ｙ
（ ， Ｚ Ｘ Ｙ， ），
那么所求 直线 ｚ 的方 程 可写成
型
ｘ
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（ ，， ＝ｌ １ ４— ） ２ ｆ
Ｉ ｙ ｚ ｌ ｘ
Ｘ ＋ ２ — Ｚ 一 ０ ｙ ，
广 西师 范大 学学 报 （ 自然科 学版 ） ２０ ， ７１：６ — ２５ ， ０９ ２（）２４ ６．
５ Ｊ． 是熟悉和巩 固学 习 了的东 西 ； 其二 是启 发 大家 灵活 运 ［ ］张宏伟 ，呼青英．高等 数学 习题教学 中的人文精神 ［］
大 学 数 学 ，２０ ， ５ ５ ：０ ４ ． ０８ ２（）４ — ２
摘
要 充 分 发 掘 空 间 几 何 元 素 （ 、 、 ）的位 置 关 系 ， 解 决 空 同直 线 、 面 问 题 很 有 帮 助． 于 此 ， 一 点 线 面 对 平 基 对
中 图分 类 号 Ｏ１２ ２ ８ ．
道 课 本 例题 给 出别 解 并 加 以 引 申．
关 键 词 直 线 方 程 ； 置 关 系 ； 展 引 申． 位 拓
●ｏ ●ｏ ●‘ ●ｏ ： ● ｏ ●ｏ ●ｏ ● ｏ ●ｏ ●・ ＞ ●ｏ （ ●ｏ ●ｏ ● ●ｏ 争 ●ｏ ●ｏ ●
作 者简 介 ： 善 明 （９ ０－）男 ， 西安 康 人 ， 李 １６ － ， 陕 剐教 授 ， 要 从 事 数 学 教 主 育 和几 何 学 研 究 ， Ｅｍａｌ ａ ｌｍ＠ １ ６ ｃｒ． ｉ ｋｓ ： ２ ．ｏ ｎ
基 金项 目 ：解 析 几 何 》 品 课 程 建 设 项 目（ 康 学 院 ［ ｏ ９ ５ 号 ） 安 《 精 安 ｚ ｏ３ １ ；
康 学 院教 改 研 究 项 目（ｇ １Ｏ Ｏ ） ＪＯ ２ ２ １
显 然 又 有
０ ：１ ：２ ≠ １ ：２ ：３， ０ ：１ ：２ ≠ ２ ：１ ：４，
４ Ｏ
高 等数 学 研 究
２１ ００年 ３ 月
即 既不平行 于 ， 不平 行于 ． 以所求 直线 Ｚ 也 所 的
方 程 为
３ 拓展 引 申
该 例属 于“ 过一 点与 两直 线都 相交 的直线 ”类 求
型
０
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１
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问题． 由于此 例 中几何元 素 位置特 殊（ ｚ， Ｚ， Ｐ Ｐ ｚ
ｌ — １— ０ ２ ｌ
因为 ｚ ｚ 与 和 ｆ 都 相交 ， ２ 而且 Ｚ 过 点 Ｍ Ｏ ０ Ｏ ， （ ， ，） 方
收 祷 日期 ：０ ８ １ ２ ； 改 日期 ：０ ９ １ ２ ． ２ ０ — ２— ６ 修 ２ ０ — ２— ０
由以上两 式得
Ｘ ：Ｙ ：Ｚ 一 ０ ：２ ：４ — ０ ：１ ：２。
ｏ ●‘ ● ｏ ＝＇ ●・ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ● ｏ ●・ ●ｏ Ｃ
ｆ ４十 ３ 一 ３ ｛ ５ — ０ 一 － － ，
不同部门 的数学 沟通起来． ”由此可见 习题在数学教学
中的地 位和作用是举 足轻重 的． 鼓励 学生一题多 解 ， 多
）ｘ＋ ２ ３ ｙ一 ２ ｚ一 ８— ０ ．
高等 教育 出版 社 ，２ ０ ． ０５
４ 侍爱玲 ， 张艳．一道空 间解析几何习题的探讨Ｄ］ ． 我 国著名数学 家华 罗庚 先 生在 其所 著《 等 数学 ［］王晓静 ， 高
引论 》 的序 言 中有如 下精辟 的论 述 ： 习题 的 目的首 先 “ 用， 独立思考 ； 其三是 融会贯 通 ， 出些综 合性 的习题 ， 把
１ 例 题 呈 现
向向量为
ｌ一 （ ， ， ） １２３ ，
例１ Ⅲ 求通过 点 Ｐ（ ， ， ） 与两直线 １ １１ 且
ｆ ¨ 寻一 号 詈一 ，
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而 Ｚ 过 点 Ｍ２ １ ２ ３ ， 向 向量 为 ： （ ，，）方
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（ １４ ， ２， ， ）
所 以有
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都相交 的直线 的方程 ． 原 解 设 所求 直线 的方 向 向量 为
Ｖ０ ． ３， ． １ １ Ｎｏ ２
Ｍ ａ ．，２ Ｏ ｒ Ｏ１
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ Ｅ Ｎ ＯＬＬ ＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｍ Ｃ
高 等 数 学 研究
３ ９
一
道 例 题 的别 解 与 引 申
李善 明
（ 康 学院 数 学 系 ， 安 陕西 安康 ，２ ０ ０ ７ ５０ ）
直 线方程 的方法 ， 重 要 的是 培 养 、 练 了学 生 的发 更 训 学 的结构美 和方法 美．
具 ［］ Ｊ．高 等数 学研 究 ．２ ０ ，ｉ （） ｉ 一 １． ０ ８ ｉ２ ：ｉ ３
３ Ｍ］ 散 思维 ， 同时 ， 在解 题过 程 中 ， 会使 学生 深刻感 受 到数 ［］同济 大学应用数学 系．高等代 数与解析几何［ ．北京 ：
参 考 文 献
１ Ｍ］ 北 ９２ 此 ， 这类题 而言 ， 存在 解是 否唯一 的问题 ， 全面 Ｅ］波 利 亚 ．怎 样 解 题 ［ ．北 京 ： 京 科 学 出版社 ，１８ ． 就 还 需 ２ 思考． 过计算 这个 题 目， 仅 灵 活使 用 了多 种求 解 ［］刘 密 ．向量 积 一 求 空 间 直 线 方 程 和 平 面 方 程 的 万 能 工 通 不
根据直 线方 程的 三种表 示方 法 ， 给出 了本 例题 的 寻找规律 ， 于归 纳总 结 ， 善 养成 一个 良好 的学习 习惯 ， 七种 解法 ， 直线 的参 数式表 示 只需 由直线 的对称式 持之 以恒 ， 对 学生 的逻辑推理 能力 自然 会得到提高 ， 运用 引进 参数 即可． 如果 在本 题 中取 点 Ｍ 是 已知 直线 Ｌ 知识分析 问题 和解决 问题 的能力也会得 到增强． 上 的点 ， 那么所 求 的解 是无 穷 多 个 ； 如果 把 题 目中 的 条件 “ 相交 ”去 掉 ， 么 所 求 的 解 也 是 无 穷 多 个．因 那
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广 西师 范大 学学 报 （ 自然科 学版 ） ２０ ， ７１：６ — ２５ ， ０９ ２（）２４ ６．
５ Ｊ． 是熟悉和巩 固学 习 了的东 西 ； 其二 是启 发 大家 灵活 运 ［ ］张宏伟 ，呼青英．高等 数学 习题教学 中的人文精神 ［］
大 学 数 学 ，２０ ， ５ ５ ：０ ４ ． ０８ ２（）４ — ２
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要 充 分 发 掘 空 间 几 何 元 素 （ 、 、 ）的位 置 关 系 ， 解 决 空 同直 线 、 面 问 题 很 有 帮 助． 于 此 ， 一 点 线 面 对 平 基 对
中 图分 类 号 Ｏ１２ ２ ８ ．
道 课 本 例题 给 出别 解 并 加 以 引 申．
关 键 词 直 线 方 程 ； 置 关 系 ； 展 引 申． 位 拓
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作 者简 介 ： 善 明 （９ ０－）男 ， 西安 康 人 ， 李 １６ － ， 陕 剐教 授 ， 要 从 事 数 学 教 主 育 和几 何 学 研 究 ， Ｅｍａｌ ａ ｌｍ＠ １ ６ ｃｒ． ｉ ｋｓ ： ２ ．ｏ ｎ
基 金项 目 ：解 析 几 何 》 品 课 程 建 设 项 目（ 康 学 院 ［ ｏ ９ ５ 号 ） 安 《 精 安 ｚ ｏ３ １ ；
康 学 院教 改 研 究 项 目（ｇ １Ｏ Ｏ ） ＪＯ ２ ２ １
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０ ：１ ：２ ≠ １ ：２ ：３， ０ ：１ ：２ ≠ ２ ：１ ：４，
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高 等数 学 研 究
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高等 教育 出版 社 ，２ ０ ． ０５
４ 侍爱玲 ， 张艳．一道空 间解析几何习题的探讨Ｄ］ ． 我 国著名数学 家华 罗庚 先 生在 其所 著《 等 数学 ［］王晓静 ， 高
引论 》 的序 言 中有如 下精辟 的论 述 ： 习题 的 目的首 先 “ 用， 独立思考 ； 其三是 融会贯 通 ， 出些综 合性 的习题 ， 把
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高 等 数 学 研究
３ ９
一
道 例 题 的别 解 与 引 申
李善 明
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直 线方程 的方法 ， 重 要 的是 培 养 、 练 了学 生 的发 更 训 学 的结构美 和方法 美．
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根据直 线方 程的 三种表 示方 法 ， 给出 了本 例题 的 寻找规律 ， 于归 纳总 结 ， 善 养成 一个 良好 的学习 习惯 ， 七种 解法 ， 直线 的参 数式表 示 只需 由直线 的对称式 持之 以恒 ， 对 学生 的逻辑推理 能力 自然 会得到提高 ， 运用 引进 参数 即可． 如果 在本 题 中取 点 Ｍ 是 已知 直线 Ｌ 知识分析 问题 和解决 问题 的能力也会得 到增强． 上 的点 ， 那么所 求 的解 是无 穷 多 个 ； 如果 把 题 目中 的 条件 “ 相交 ”去 掉 ， 么 所 求 的 解 也 是 无 穷 多 个．因 那