第八章 假设检验

或 n 若所得的置信区间不包含u0，则拒绝H0， 否则不能拒绝。
x z2

x z2 /
s n


上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤

1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6

x z ~ N (0,1) / n


根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。

（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形


小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2
拒绝域
z

某厂采用自动包装机分装产品，假定每 包产品的重量服从正态分布，每包标准 重量为1000克，某日随机抽查40包，测 得样本平均重量为986克，样本标准差是 24克。试问在α=0.05的显著性水平上， 能否认为这天自动包装机工作正常？
第八章 假设检验
什么是假设检验



假设检验就是利用样本数据对关于总体参 数的原假设和备选假设进行检验的过程。 若样本数据不支持原假设，则拒绝原假设； 原假设用 标注， 为备选假设。 Ha H0 原假设就是，在进行检验之前，对总体参 数或总体分布做的一个初步假设。 备选假设与原假设互为排斥。
假设检验的原理
样本统计量未落入小概率 事件发生区域
拒绝域 α=0.01
0 -2.33 －1
x
小结：总体均值的单侧检验 （大样本下）


1.左侧检验的形式 假设：H0: u≥u0,Ha: u＜u0 检验统计量
x z ~ N (0,1) / n

(总体方差已知)
(总体方差未知) 显著性水平为α是的拒绝法则为： 若 z z ，则拒绝H0

3.决策中的假设检验：在上述两种情形 中，如果拒绝H0则必须采取措施。然而， 当面对分别与原假设和备选假设相联系 的措施，决策者必须在二者间做出选择， 在这种情况下，无论是否拒绝H0，都必 须采取某种措施。

关于假设形式的总结 假设检验：双侧检验和单侧检验 双侧检验：H0： 0 Ha: 0 单侧检验：H0： 0 或 Ha： 或



假定级别总体近似服从正态分布，试问 在显著水平5%下，该机场能否被命名为 高水平服务水准机场。（高水平服务水 准机场的标准是评分等级超过7.） 由题意有，u0=7,x=7.75,n=12,s=1.125 设定假设命题有： H0:u≤u0;Ha:u>u0 由命题可知，该假设 检验为右侧检验。



在这个例子中，当H0为真时而拒绝了H0，表 明这种新型喷射器实际上不比目前所用的喷射 器好，但却错误认为这种新型的喷射器提高了 每加仑燃料的功效，那么此时发生了第一类错 误。 若当H0为假时而接受了H0，表明这种新型喷 射器实际上比目前所用的喷射器好，但错误认 为这种喷射器没有提高每加仑燃料的功效，则 此时发生了第二类错误。
若|z|>1.96，则该事件发生是小概率事件，（因为 有：P(|z|>1.96)=α＝0.05）那么我们认为不会发 生，因此我们拒绝原假设。接受备选假设。 计算得到z＝2.7,因此我们拒绝原假设。


拒绝域 α/2
拒绝域 α/2
0 －1.96 1.96
z



注意到：假设检验涉及到小概率事件的标准， 多小的概率算不可能出现？ 在上例中，小概率事件的出现以0.05为 标准， 这一标准我们称为显著水平，用α表示。 由于确定了显著水平，我们相应的可以确定假 设检验的临界值，上例中的临界值为1.96和1.96。这里出现了双侧临界值的情况。
H0为真 接受H0 拒绝H0 结论正确 第一类错误 （弃真）
H0为假 第二类错误 （纳伪） 结论正确
例如：某汽车生产研究小组设计了一种 能提高汽车油料效能的新的燃料喷射器。 目前旧型喷射器的效能为24公里每加仑， 设定的假设检验如下： H0：u<=24 Ha: u>24 由Ha表明，我们将试图找出的结论放入备 选假设。



第一类错误发生的概率为α，即检验的显 著性水平。一般设置为0.05和0.01。 在发生第一类错误概率较小时，如果拒 绝原假设H0，则我们可以很大的程度相 信关于拒绝原假设的结论是正确的。 在这种情况下，统计上支持我们做出H0 为假，而Ha为真的结论。即拒绝原假设 总有较大的把握。


第二类错误发生的概率为β：它是把来自 θ=θ1(θ1≠θ0)的总体的样本值代入检验统计量 所得结果落入接受域的概率。 在绝大多数的假设检验运用中，一般都只对第 一类错误进行控制，而通常不对第二类错误加 以控制。由于第二类错误发生的不稳定性，我 们一般采用“不能拒绝H0”而不采用“接受H0” 的说法。采用“不能拒绝H0”的说法使我们避 免了犯第二类错误的风险。因此，我们往往把 要否定的陈述作为原假设，而把拟采纳的陈述 本身作为备择假设。
0
0 0
表达式中的等号总是出现在原假设中，在选择原假设 或备选假设时，应将试图建立的结果设定为备选 假设。
第一类错误和第二类错误



原假设和备选假设是关于总体的两个对 立的解释。二者之中有且仅有一个是正 确的。 因为假设检验是建立在样本数据基础上 的，因此得出来的结论不一定百分百正 确，存在发生错误的可能。 存在两种错误：第一类错误和第二类错 误


在原假设为真的前提下考虑某统计量 的一次实现值，若该值的出现是一个 小概率事件，则表明原假设成立的前 提是不正确的，从而拒绝原假设。 一般认为，小概率事件在一次试验中 不可能出现，可以忽略不计。若原假 设成立的情况下，由样本的统计量的 出现是小概率事件，则拒绝原假设。


假定已知某总体服从正态分布，其标准差为2，但 不知其均值。现有人认为其均值为3，抽取一个容 量为36的样本，得到样本平均值为3.9 H 原假设H 0： 3 ；备选假设： a： 3 假定H0成立，则有， x 3 z ~ N (0,1) 2 / 36
正常的原假设。 因此统计上能够支持对包装机运作不正常采取的 措施。


2.关于双侧检验的P值： 在双侧检验中，p值为分布一侧面积的两 倍。据测我们可以将P值与α直接比较。 如果不是将一侧面积的两倍取为P值，那 么必须另行建立基于一侧面积α/2的关于 p值的拒绝规则置信水平1-α下的区间估计/显著水平为α的 假设检验

n
x 0 z / 2

n
所以，若x落在不拒绝区域内，则u0必被包 含在置信区间内。即：检验统计量的值落在 不拒绝域内，与置信区间包含总体参数是等 价的。因此，我们有以下的用置信区间进行 假设检验的形式。


假设H0:u=u0;Ha:u≠u0 我们可以通过计算置信区间来判断是否拒 绝或不拒绝原假设。 计算1-α置信水平下的估计区间：
x t s/ n

显著性水平为α时的拒绝法则为： t t

（3）双侧 假设 H0: u＝u0,Ha:u≠u0 检验统计量为：
x t s/ n

显著性水平为α时的拒绝法则为： | t | t /2


国际航空运输联合会通过调查商务旅行 者来评定跨太平洋通道的机场等级，最 大可为10.限选取12名商务旅行者作为一 简单随机样本，要求他们对伦敦的 heathrow国际机场评定等级，得到的数 据分别为： 7，8，10，8，6，9，6，7，7，8，9， 8
总体均值的单侧检验：大样本

HILLTOP咖啡的标签上表明其重量至少为3 磅，今抽取36听咖啡组成一样本，检测其 平均质量，得到x=2.92磅。由以前的研究 结果已知总体的标准差为 =0.18，选定α ＝0.01，检验标签上的重量说明。

H0: u≥3 Ha: u<3 检验统计量为：
总体均值的检验：小样本情形 且总体方差未知



1.检验的形式（样本来自正态总体） （1）左侧 假设 H0:u≥u0,Ha:u<u0 检验统计量为 x t s/ n 显著性水平为α时的拒绝法则为：若

t t
则拒绝H0

（2）右侧 假设 H0: u≤u0,Ha:u>u0 检验统计量为：
假设检验
x 0 P(| | z / 2 ) / n
区间估计
x P(| | z / 2 ) 1 / n
估计区间： x z / 2

n
不拒绝区域：0 z / 2

n

因为有：

n 0 x z / 2