晶体结构的衍射理论-固体物理学
固体物理第六章晶体X射线衍射
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Vectors in the direct lattice have the dimensions of [length]; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of [1/length]. • The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.
n=3, =67.52o no reflection for n4
Combining Bragg and d-spacing equation
X-rays with wavelength 1.54 Å are “reflected” from the (1 1 0) planes of a cubic crystal with unit cell a = 6 Å. Calculate the Bragg angle, , for all orders of reflection, n.
• a1,a2,a3又称为正点阵
a3 b3
a2 b2 a1
b1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 此时， b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵 （reciprocal lattice） • If a1,a2,a3 are primitive vectors of the crystal lattice, then b1,b2,b3 are primitive vectors of the reciprocal lattice.
2d sin = n
晶体结构与晶体衍射
晶体结构与晶体衍射晶体是由原子、离子或分子按照一定的几何规律排列形成的固态物质。
晶体结构和晶体衍射是研究物质性质的重要手段，也是科学家们探索物质世界的关键之一。
本文将从晶体结构的描述和晶体衍射的原理两个方面进行论述。
一、晶体结构的描述晶体结构的描述是对晶体中原子、离子或分子排列规律的描绘。
科学家们通过一系列的实验和分析方法，逐步揭示了晶体结构的内在规律。
最早的晶体结构研究方法之一是X射线衍射。
1895年，康普顿发现了X射线的散射现象，为后来的晶体衍射实验奠定了基础。
著名的物理学家布拉格父子在1912年提出了布拉格衍射定律，建立了X射线衍射的理论基础。
布拉格衍射定律表明，当X射线照射到晶体上时，由于晶体中原子、离子或分子的周期性排列，X 射线会发生衍射现象，通过测量衍射角度可以得到晶体中原子、离子或分子的间距和排列方式。
现代的晶体结构研究主要依赖于X射线衍射和中子衍射两种方法。
这两种方法在实验原理和数据分析方法上有所不同，但本质上都是利用入射射线与晶体中原子、离子或分子的相互作用，通过测量衍射角度和强度来揭示晶体的结构。
现代晶体结构学发展至今，我们已经揭示了大量的晶体结构。
晶体结构包括元胞和晶格两个层次。
元胞是晶体中最小重复单元，它可以完全描述晶体的结构信息。
晶格是对元胞排列规律的描述，通过晶格可以了解晶体中原子、离子或分子的间距和排列方式。
二、晶体衍射的原理晶体衍射是指入射射线与晶体中原子、离子或分子相互作用后发生的衍射现象。
晶体衍射的实验结果反映了晶格中的周期性排列信息，通过对衍射图样的分析可以获得晶体结构的重要参数。
当入射射线照射到晶体上时，会有一部分射线被晶体吸收，一部分射线被晶体原子、离子或分子散射。
这些散射波相互干涉形成衍射图样。
根据布拉格衍射定律，我们可以计算出晶格中原子、离子或分子的间距和排列方式。
晶体衍射的强度分布与晶体中原子、离子或分子的位置、类型和排列方式有关。
由于晶体中原子、离子或分子的种类和排列方式多种多样，导致晶体衍射图样的形态各异，从而揭示了晶体的结构信息。
衍射花样与晶体结构的关系
衍射花样与晶体结构的关系衍射花样与晶体结构的关系1. 引言晶体结构与衍射花样是固体物理学中两个重要的概念。
晶体结构描述了固体内部的原子或离子排列方式，而衍射花样则展示了光或其他波在晶体上的散射过程。
衍射花样与晶体结构之间存在着密切的关系，理解这种关系对于深入理解物质的性质及其应用具有重要意义。
本文将从简单到复杂的方式逐步探讨衍射花样与晶体结构之间的联系，并分享我的个人观点和理解。
2. 衍射与晶体2.1 衍射的基本原理衍射是波穿过物体或通过物体缝隙后的偏折现象。
当波遇到晶体时，由于晶体内部原子或离子的排列方式，波的传播路径会发生改变，形成特定的衍射花样。
衍射花样可以通过衍射公式和晶体结构参数来计算和解释。
2.2 晶体结构的基本概念晶体是由周期性排列的原子或离子组成的结构。
晶体结构可由晶体学家通过实验和理论分析得到。
晶体结构通过晶胞和晶格来描述，其中晶胞是晶体中的最小重复单元，晶格是由晶胞在空间中平行堆叠形成的周期性结构。
3. 衍射花样与晶体结构之间的关系3.1 衍射花样的观察与分析通过使用衍射技术，可以观察和分析晶体的衍射花样。
通过X射线衍射实验可以解析出晶体的衍射花样，并推导出晶体的结构信息。
3.2 晶体结构参数与衍射花样的联系晶体结构参数直接影响着衍射花样的形状和强度分布。
晶格常数决定了衍射花样的缩放比例，晶胞的对称性决定了衍射花样的对称性等。
4. 我对衍射花样与晶体结构关系的理解在我的理解中，衍射花样与晶体结构之间的关系是一种相互依存的关系。
衍射花样可以提供晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
通过分析衍射花样，可以了解晶体内部的原子或离子排列方式，从而深入理解物质的性质和行为。
总结与回顾通过本文的探讨，我们可以得出以下结论：晶体结构与衍射花样密切相关，理解这种关系对于深入研究物质的性质及其应用具有重要意义。
衍射花样提供了晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
晶体学基础知识讲义导论X衍射
晶体结构 = 点阵 * 结构基元
点阵点或结点总和称为点阵(lattice)，具有平移对称性。
沿着一定方向按某种规则把 结点联结起来，则可以得到 描述各种晶体结构的几何图 象----晶体的空间格子(简 称为晶格)
二 晶 体点 阵
晶体结构最突出的特点是其结构基元(原 子、离子、分子或络合离子）在晶体所占有的 空间中作周期性的排列，构成了晶体点阵结构 图案。点阵总是由为数无限和周围相同点组成。
CsCl的晶胞图
Cs+ Cl-
CsCl晶体结构示意图
CsCl的晶体结构示意图
CsCl的晶胞图 Cl–
Cs+
Cl–
1.1.1 经典晶体学
1669年丹麦学者斯蒂诺，发现了晶面角守恒定律。
1801年法国结晶学家赫羽依，发表了有理指数定律。
1805–1809年间德国学者外斯总结出晶体对称定律。 随后又提出了晶带定律。
1809年乌拉斯顿设计了第一台反射测角仪。 1818–1839年间外斯和英国学者密勒先后创立了用
以表示晶面空间方位的晶面符号。
经典晶体学还包括了对天然矿物物理性质的研究。
1.2.2 近代晶体学
1912年德国科学家劳埃成功发现了X射线对晶体的衍 射现象，具体地证实了晶体结构点阵理论的正确性。
1913年英国晶体学家布拉格父子和俄国晶体学家吴 里弗分别独立地推导出X射线衍射基本公式。 20世纪20年代，完成了收集X射线衍射图谱和推引 空间群方法等工作。
◆ 晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律 ◆ 晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质
晶体产生衍射的充要条件
晶体产生衍射的充要条件晶体是由原子或分子有序排列而形成的固体物质。
当入射的电子、中子或X射线等波长较小的粒子照射到晶体上时，晶体会发生衍射现象。
晶体产生衍射的充要条件如下：1. 晶体的结构具有周期性：晶体的原子或分子排列呈现出周期性的结构，即具有重复的空间排列方式。
这种周期性结构使得晶体能够形成衍射图样。
2. 入射波长小于晶格常数：入射粒子的波长需要小于晶体的晶格常数，才能够与晶格相互作用并发生衍射。
衍射是一种波动现象，只有波长与晶格常数相当或更小的入射波才能够与晶格相互作用。
3. 入射波与晶体的结构有相互作用：入射波与晶体的结构发生相互作用，入射波的波动性使得它们在晶体中散射，并与晶体中的原子或分子相互干涉。
这种干涉会导致入射波的衍射。
4. 入射波与晶体的方向关系：入射波的方向与晶体的晶轴方向、晶面方向之间存在特定的关系。
只有满足特定的方向关系，入射波才能够在晶体中衍射出清晰的衍射图样。
5. 衍射图样的观察：衍射图样需要通过适当的探测器进行观察和记录。
常用的探测器包括底片、荧光屏、探测器阵列等。
通过观察衍射图样，可以了解晶体的结构信息。
晶体的衍射现象是研究晶体结构和物性的重要手段之一。
通过晶体衍射实验，可以确定晶胞参数、晶格类型、晶面指数等晶体结构信息，进而了解晶体中原子或分子的排列方式和相互作用。
衍射图样的特征和衍射角度的测量结果可以通过数学方法进行分析和计算，得到晶体的结构模型。
晶体衍射的充要条件是晶体具有周期性的结构，并且入射波的波长小于晶格常数。
入射波与晶体的结构相互作用并满足特定的方向关系后，会在晶体中发生衍射现象。
通过观察和分析衍射图样，可以得到晶体的结构信息。
晶体衍射的研究对于理解晶体的性质和应用具有重要意义，广泛应用于材料科学、固体物理、化学等领域。
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律晶体衍射是固体物理学中的重要概念，它通过分析光线或粒子在晶体结构上的散射和干涉现象，揭示了晶体的微观结构信息。
而布拉格定律则是晶体衍射的基础，它描述了入射光线或粒子在晶体上的散射条件。
本文将从晶体衍射的原理和特点出发，详细介绍晶体衍射与布拉格定律的相关内容。
一、晶体衍射的原理和特点晶体衍射是由于晶体的周期性结构导致的光线或粒子的散射和干涉现象。
当入射光线或粒子遇到晶体的原子或离子时，会受到晶体中的电场或电荷分布的相互作用，并发生散射。
与非晶体相比，晶体具有明显的周期结构，晶格中的原子或离子排列有序，因此晶体衍射呈现出一系列特点。
首先，晶体衍射具有干涉性质。
当入射光线或粒子的波长与晶体的晶格常数相当时，晶体中的每个原子或离子都可以看作是一种点源，它们发出的散射光线或粒子会相互干涉，形成一系列明暗相间的衍射斑图。
其次，晶体衍射具有角度选择性。
根据晶体的布拉格定律，只有满足一定散射角度的入射光线或粒子才能在晶体中发生衍射。
这意味着不同入射角度和不同衍射角度对应着不同的衍射条件，从而使得衍射斑图的位置和形状随着入射角度的变化而改变。
最后，晶体衍射具有信息衍射的特点。
根据衍射斑图的位置、形状和强度分布，可以反推出晶体的结构信息。
通过分析衍射斑图的间距和角度，可以确定晶体的晶格常数和晶体面的取向。
这为研究晶体结构和材料性质提供了重要的手段和依据。
二、布拉格定律的推导和应用布拉格定律是描述晶体衍射的基本规律，它通过分析散射光线或粒子在晶体中的干涉现象，给出了入射角度和衍射角度之间的定量关系。
布拉格定律的推导基于几何光学和干涉光学的原理，下面将对其进行简要介绍。
设晶体中的两个晶面之间的距离为d，入射光线或粒子与晶面的夹角为θ，入射光线或粒子在晶体上发生衍射后的干涉光线或粒子与晶面的夹角为φ。
根据布拉格干涉的条件，晶面散射的光线或粒子应满足相位差为整数倍的关系。
根据光的传播定律和几何关系，可以得到入射光线或粒子与晶面的夹角θ与衍射角度φ之间的关系：2dsinθ = nλ其中，d为晶面间的距离，θ为入射角度，φ为衍射角度，n为整数，λ为入射光线或粒子的波长。
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
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14
3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
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晶体结构衍射理论
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• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
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12
讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
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固体物理第5讲晶体衍射
第五讲：晶体衍射X 射线晶体衍射 散射波振幅衍射条件 布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。
考虑每个原胞中电子密度空间分布所给出的散射强度。
因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因此可以将电子密度函数作傅里叶展开：()()∑⋅⋅=321 h h h i hhe n n rKKr (5.1)由相距为r 的体积元散射的射线束之间的位相差因子是()r k' k •−i e ，入射束和出射束的波矢分别是k 和k’。
从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。
在k’方向上散射波的总振幅F 为：()()()()()()∑∫∑∫∫⋅∆−⋅+−⋅−−===321321 h h h i hh h h i hi h edVn e dVn e dVn F rk K rk' k Kr k' k KKr h(5.2)式中k' k k −=∆ 为散射矢量。
当散射矢量等于一个倒格矢K h 时，指数的幅角为零，F = Vn (K h )。
可以证明当散射矢量同任一倒格矢相差足够大时，F 小到可以忽略。
在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。
22'k k =。
因此衍射条件为：022=+•hh K K k (5.3) 这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。
稍加变换可得：()321/2sin /22h h h d πθλπ= (5.4) 定义K h 的诸整数可能含有一个公因子n ，然而在晶面密勒指数中的公因子n 已被消去。
这样就得布喇格的结果：λθn d =sin 2 (5.5) 单胞的结构因子在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，常常采用结晶学中的原胞即单胞。
当衍射条件h K k =∆ 被满足时，对于一个由含有N 个单胞的晶体，散射振幅为：()s i s Nf e dVn N F h ==∫•−r K r (5.6)f s 称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。
晶体结构与衍射的物理学解释
晶体结构与衍射的物理学解释晶体结构与衍射是固体物理学中一门重要的研究领域。
晶体是由原子、离子或者分子有序排列形成的，具有高度规则的周期性结构。
通过衍射现象，我们可以了解晶体的内部结构和原子排列方式。
在本文中，我们将探讨晶体结构与衍射的物理学解释。
首先，让我们了解晶体的结构。
晶体的结构通常可以分为离子晶体和共价晶体两类。
离子晶体是由正负离子通过电磁相互作用力排列而成的。
常见的例子包括盐和氯化钠。
共价晶体则由共享电子成键的原子构成，如钻石和石英。
每种晶体都有其特定的晶格结构，这是因为原子、离子或者分子通过化学键的相互作用力形成了稳定的排列模式。
晶体结构的理论基础可以追溯到布拉维格点理论。
该理论认为晶体的结构由离散的点组成，这些点按照一定的规则排列。
晶格的形状可以是立方体、四方体、六方体等。
晶格决定了晶体的物理和化学性质。
而衍射现象则是通过射线经过晶体后发生偏折，形成干涉影像。
这一现象由尤凡·拉斯·冯·朗缪爵士在19世纪初首次发现并解释。
当入射光波的波长与晶体晶格的间距相当时，光波会与晶格相互作用，形成衍射图样。
衍射图样是由晶体上的原子、离子或者分子之间的构造激发出的相干光所产生的干涉效应。
这种干涉效应使得衍射光波向特定的方向发散或聚焦。
通过衍射图样，研究者可以确定晶体的晶格常数、晶胞的尺寸和原子排列方式。
要理解衍射现象，我们需要借助于波动光学的理论。
根据惠更斯原理，光波会在到达障碍物后扩展成球面波。
当光波遇到晶体的晶格时，球面波被透过晶格间隙的射线所限制，其中一些射线将受到相干干涉的影响。
干涉效应使得某些方向上的光波受到增强，而其他方向上的光波受到相消干涉的影响。
在X射线衍射实验中，入射的X射线通过晶体，与晶体中的原子相互作用后发生衍射。
根据衍射图样的形状和条纹的位置，可以确定晶体的晶格常数和晶胞的几何形状。
这对于进一步研究材料的物理化学性质和结构特征非常重要。
值得注意的是，晶体结构与衍射的研究领域一直在不断发展和改进。
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
聊城大学《固体物理》第一章 第七节 晶体衍射
原子网的衍射图
三、三维衍射 对于三维空间格子，可以看作由一系列平行的原子网所组成。 当X射线照射到理想晶体时，各层原子网的衍射线，必然有一部 份由于相互干涉而被抵消，所能保留下来的那部分衍射线，必 然满足第三个方向的衍射条件：
' 0.0024 (1 cos 2 )
(b) X射线的吸收 定义：当X射线穿过物质时，因受到散射、光电效应等的影响， 强度减弱的现象。
强度衰减规律：
I I0e1x
I0 ：原始强度；线吸收系数1 ：单位厚度物质对X射线的吸收能 力；x: X射线穿过物质的距离
对于一定的物质1是常数。实验证明1与物质的密度成正比即： 1 = m m ：质量系数系数（只与吸收体的原子序数Z和X射线的波长有
老Bragg发现了X射线的特征谱，莫塞莱(Moseley）对其进行了 研究，并推导出了Kα射线的波长λ Kα的计算公式为：
λKα= 4/[3R(Z – σ)2] 式中： Z:阳极靶的原子序数; R:常数;σ:屏蔽系数。
该式就是著名的莫塞莱定律，表示K系特征X射线的波长与 阳极靶的原子序数的平方近似成反比关系。
透射电子衍射：研究厚度小于 0.2微米的薄膜结构 反射电子衍射：研究大块试样的表面结构 会聚束电子衍射：入射电子束聚焦在试样上 选区电子衍射：利用试样后面的透镜，选择小至1微米的区域
进行衍射观察
缺点：电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱， 电子衍射主要用来观察薄膜。
例、典型的电子衍射
三、中子衍射 热中子流被固体、液体或气体中的原子散射引起的衍射现象， 称为中子衍射。主要用于研究物质（金属）的微观结构。 1932年，发现中子，但是由于当时中子源太弱，得到的中子束 能量不均匀，难以找到具体应用， 40年代，当核反应堆建立以后，才有可能利用中子衍射效应探 索物质内部的结构。 从核反应堆发出的中子经过减速（慢化）以后，其能量与热平 衡的分子原子及晶格相当，所以这种慢中子又称为热中子。 热中子的德布罗意波长约为0.1nm，和X射线的波长一样，正好 与晶格间距同数量级，因此如果将这样的中子束打到物质靶上， 一定会像X射线那样发生衍射现象。
固体物理学的奥妙
固体物理学的奥妙固体物理学是物理学的一个重要分支，研究物质的固态结构、性质和相互作用规律。
固体物理学的研究对象是固体，固体是物质的一种状态，具有一定的形状和体积，其分子或原子排列紧密，具有一定的结构和性质。
固体物理学的研究内容涉及晶体结构、晶体缺陷、晶体生长、固体的热学性质、电学性质、磁学性质等方面，揭示了固体的许多奥妙。
固体物理学的奥妙之一在于晶体结构的研究。
晶体是固体物质中具有长程有序结构的物质，其原子或分子按照一定的规律排列，形成周期性的结构。
固体物理学家通过X射线衍射等方法揭示了晶体的结构，揭示了晶体中原子或分子的排列方式，从而揭示了固体的性质和行为。
晶体结构的研究不仅揭示了物质的微观结构，还为材料设计和制备提供了重要的理论基础。
固体物理学的奥妙之二在于晶体缺陷的研究。
晶体缺陷是指晶体中原子或分子的周期性排列被破坏所形成的缺陷，包括点缺陷、线缺陷和面缺陷等。
晶体缺陷对固体的性质和行为具有重要影响，如固体的导电性、热导率、机械性能等都与晶体缺陷密切相关。
固体物理学家通过实验和理论研究揭示了晶体缺陷的形成机制和对固体性质的影响规律，为材料的性能优化和改进提供了重要的参考。
固体物理学的奥妙之三在于固体的热学性质研究。
固体的热学性质包括热容、热传导、热膨胀等，这些性质反映了固体在温度变化下的行为。
固体物理学家通过热力学和统计物理学的理论分析，揭示了固体的热学性质与其微观结构之间的关系，为固体材料的热管理和应用提供了理论支持。
固体物理学的奥妙之四在于固体的电学性质研究。
固体的电学性质包括导电性、介电常数、电磁感应等，这些性质与固体中电荷载体的运动和排列有关。
固体物理学家通过量子力学和固体物理学理论，揭示了固体的电学性质与其晶体结构、电子结构之间的联系，为固体材料的电子器件设计和应用提供了理论指导。
固体物理学的奥妙之五在于固体的磁学性质研究。
固体的磁学性质包括顺磁性、铁磁性、反铁磁性等，这些性质与固体中原子或分子的磁矩排列有关。
固体物理第一章4
当衍射波矢和入射波矢相差一个或几个倒格矢时，就满足衍射
加强条件；
n称为衍射级数，（h1h2h3）是面指数，而（nh1nh2nh3）称为衍
射面指数。
二、反射公式（布拉格反射定律）
1912年，英国物理学家布拉格父子根据劳厄的实验结果，推导出了
考察沿S0方向入射的单色X射线被位于原点O及A的两个格点所散 射的情形。
晶格中任一格点A的位矢为： l l1a1 l2a2 l3a3 R
对于沿S方向的散射束而言，由O、A两个格点所散射的射线的 光程差为： δ＝CO＋OD
CO Rl S0 ,OD Rl S
（通常样品与X射线束斑的线度同样品到X射线源及探测器的距离相 比甚小，可以近似地认为入射束与沿某方向的散射束均为平行光）
只研究布喇菲Bravais格子。
一、衍射方程（ Laue方程）
德国物理学家 劳埃Max von Laue（1879~1960 ）。因晶体的X
射线衍射研究成果，获1914年诺贝尔奖。
间中的矢量，因此：
k k0 nKh (3)
其中n是整数，上式即为倒格子空间的衍射方程。 因此，劳厄方程（2）式也可写为
Rl Kh 2'
Rl nKh 2 (2)
倒格子空间的衍射方程
k k0 nKh (3)
倒格子空间的衍射方程的意义：
当X光的衍射波矢k与入射波矢k0之差等于倒格矢时，则k的方向
即为衍射加强的方向。衍射的实质是晶体中各原子散射波之间相互干
涉的结果。 建立布拉格衍射方程的基本出发点是：考虑为每组晶面族的反射。 即当衍射线对某一晶面族来说恰为光的反射方向时，此反射方向 便是衍射加强的方向。 由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射波的反射，才得以使
固体物理-第一章 晶体结构
1.4. 晶体的宏观对称性
但是具有4度象转轴不一定同时具有4度旋转轴和 反演中心。
1 = i, 2 = m, 3 = 3 i, 6 = 3 m
(3+i和3+m分别表示3度旋转与反演和反映的联合操作)
1.4. 晶体的宏观对称性
例如正四面体CH4没有4次回转对称轴和反演中心 但我们可以将它作如下图所示操作，而复原。
其中v = a1 . (a2 x a3),为正点阵原胞的 体积。
a2 b2 a1 b1 Fig.1-5-1.倒易 点阵基矢
1.5.倒易点阵
2.性质
由图可见，b1沿a2xa3 ,所确定的平面的法向。由于|a2 x a3| 可视为原胞体积的底面积，如果a2 x a3所确定的平面（晶 面）的面间距为d1, 则， |b1 |=2p|a2 x a3|/ v=2p/d1 同样 |b2 |=2p|a3 x a1|/ v=2p/d2 a3 b3 |b3 |=2p|a1 x a2|/ v=2p/d3 a2 b2 倒易点阵的一个基矢与正点阵中一 a1 组平行晶面对应，该基矢的方向就 b1 是晶面的法线方向，该基矢的大小 Fig.1-5-1.倒易 就是这一组平行晶面面间距倒数的 点阵基矢 2p倍。
1.4. 晶体的宏观对称性
了E点，则E点必定是格点，由于B,C 是等价的，所以将 晶格绕通过C且垂直于晶面的轴顺时针方向转动 q 角后 晶格也应该复原。也就是说，必然存在一个格点F，经 上述转动后与格点D重合。因为,EF//AD,且
EF=BC(1+2cosq),由于EF，
AD在同一晶面上，EF间的 距离应该是BC的整数倍，即 (1+2cosq)为整数，（包括0和 正负整数，因为q 角可能大 于90度），能够满足这一条件
晶体散射知识点
晶体散射知识点晶体散射是固体物理学中的一个重要概念，它描述了入射粒子（通常是光子或中子）与晶体中原子或离子相互作用而发生的散射现象。
通过研究晶体散射，我们可以深入了解晶体结构和性质，并在许多领域应用这些知识，例如材料科学、X射线衍射和散射成像等。
一、晶体散射的基本原理晶体散射的基本原理可以通过布拉格方程来描述，即nλ = 2dsinθ其中，n为散射的阶数，λ为入射光的波长，d为晶格常数，θ为散射角。
该方程说明了在晶体中，入射光的波长与晶体的结构参数之间存在着一定的关系。
当满足布拉格条件时，入射光会被晶体散射出去，并且产生衍射图案。
二、X射线衍射X射线衍射是晶体散射的一种常见应用，通过使用X射线和晶体的相互作用，我们可以得到晶胞的结构信息。
X射线衍射的原理是根据布拉格方程，通过测量衍射角和入射波长的关系，从而推断晶体的晶格常数、晶胞参数以及晶体结构。
X射线衍射是一种非常精确的方法，广泛应用于材料科学、结构生物学、地质学等领域。
它不仅可以用于研究晶体的结构，还可以确定材料的相、缺陷和晶体的有序度。
三、中子散射中子散射是另一种常见的晶体散射技术，在研究晶体结构和动力学过程方面具有独特的优势。
中子散射利用中子与晶体中原子核发生散射的现象，通过测量散射角和入射波长来获得晶体的结构和动力学信息。
相比于X射线衍射，中子散射对原子核有更高的散射横截面，因此在研究晶体的轻元素、磁性行为以及低温下的动力学过程方面更加有效。
中子散射广泛应用于材料科学、磁学、超导研究等领域。
四、散射成像散射成像是一种通过测量散射光的强度和相位信息来获取样品的内部结构的技术。
它可以用于非破坏性检测和分析，广泛应用于生物医学、材料科学和地质学等领域。
根据散射成像的原理，可以将其分为X射线散射成像、中子散射成像和电子散射成像等。
这些成像技术可以提供样品内部的结构、表面形貌和化学组成等信息，为研究者在不同领域的研究提供了重要的工具。
总结：晶体散射是固体物理学中的重要概念，通过研究晶体散射现象，我们可以深入了解晶体的结构和性质。
固体物理第三章 晶体衍射
Chapter 3晶 体 衍 射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。
在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。
实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。
如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。
这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。
由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。
3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。
格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。
晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。
在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。
例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。
这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。
对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。
从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。
另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。
（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。
《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。
庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。
蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。
） 波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。
固体物理第二章
由于k0=2π/ λ, (2)式:
R ∙(k0 - k)=2 πn
由平移矢量R和倒格式G的关系: R ∙G=2 πm (3) 比较(2)和(3): k0 – k=G (4)
(4)被称为劳厄方程
4.衍射极大条件 劳厄方程 （Laue Equation） a. 坐标空间中的劳厄方程
晶格中任一格点为O，格点A的位矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3, S0和S为单位矢量。 光程差 衍射加强的条件 A
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积， 即倒格子原胞的体积b
立方晶系的简约区
正格子 格常数 倒格子 格常数 简约区
sc
a
sc
2 a
由6个{100}*面 围成的立方体
由12个{110}*面 围成的菱形12面体 由8个{111}*面和6个{100}*面围 成的14面体
bcc
S=2f 当v1 ＋v2 ＋v3＝偶数
7. 晶体衍射
当辐射的波长与晶格中原子间距可以比较或更小时，可发生显著的衍射现象 。 （1）x射线 一种电磁波，由被高电压加速了的电子撞击靶极物质产生。X射线的光子能量为：
SG=celldV j nj(r-rj) exp(-iG•r)
= j exp(-iG•rj) dV nj() exp(-iG• ),
= r-rj . 原子形状因子 (atomic form factor) : fj= dV nj() exp(-iG• ), SG= j fj exp(-iG•rj) rj =xja1+ yja2+ zja3 , G= v1b1+ v2b2+ v3b3 SG(v1 v2 v3) = j fj exp[-2 i (v1xj + v2yj +v3zj )] 例如：体心立方 S=0 当v1 ＋v2 ＋v3＝奇数
第二章——晶体衍射和倒格子
1.
K n h1b1 h2 b2 h3 b3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
4
晶体 结构
求解倒格
正格 基矢 倒格 基矢
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
R l K h 2π
(为整数)
其中 R l 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
a1 l2 a 2 l3 a3 R l l1
b1 h2 b 2 h3 b3 K h h1
b 1 h2 b 2 h3 b3 ) a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1 R l K h ( l1
*
3
3
（ 4）
倒格矢 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为
2π d h1h2 h3
。
a） 证明 K h h b1 h b 2 h b 3 与晶面族(h1h2h3)正交。 1 2 3
b） 证明
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
Statement: the Fourier transform of a function:
ik r e f (r ) f k k
To a periodic function in Bravais lattice:
ik r ik r R ik r ik R f (r ) f (r R) f k e f k e f k e e
fcc相的衍射峰
fcc相的衍射峰1. 引言在固体物理学中，晶体结构是一个非常重要的研究对象。
而了解晶体的结构，可以通过衍射实验来获得。
fcc相是一种常见的晶体结构，在衍射实验中会出现特定的衍射峰。
本文将详细介绍fcc相的衍射峰，并解释其产生机制和应用。
2. fcc相的基本概念fcc相是指面心立方结构（face-centered cubic structure）的晶体结构。
在fcc 相中，每个原子除了位于立方体的顶点上，还位于每个面的中心位置上。
这种排列方式使得fcc相具有一些特殊性质，包括高度对称性和密堆积性等。
3. 衍射实验和布拉格定律为了研究晶体结构，科学家们发展了衍射实验方法。
在衍射实验中，入射光束通过晶体后会发生散射，并形成衍射图样。
这些图样通常以一系列强度最大的点或线组成。
布拉格定律是描述晶格衍射规律的基本原理。
根据布拉格定律，对于一个晶体衍射峰的波长λ、入射角θ和衍射角β，有以下关系：nλ = 2d sin(θ)其中n为整数，d为晶格常数。
这个方程表明，当入射角和波长固定时，不同的衍射峰对应不同的整数n。
4. fcc相的衍射峰在fcc相中，由于其结构的特殊性质，会出现一些特定的衍射峰。
这些衍射峰对应着晶体中原子间距离的倍数。
fcc相中最常见和强度最大的衍射峰是(111)面的衍射峰。
根据布拉格定律，(111)面的衍射峰满足以下条件：λ = 2d/√3其中d为(111)面的晶格间距。
由此可见，(111)面的衍射峰会出现在一个特定波长下。
除了(111)面之外，在fcc相中还会出现一系列其他面的衍射峰。
例如，(200)面、(220)面、(311)面等都会产生特定波长下的衍射峰。
这些不同面对应着不同倍数的晶格间距。
5. fcc相的应用fcc相的衍射峰在材料科学和固体物理学中有广泛的应用。
通过测量和分析衍射峰，可以获得晶体的结构信息，包括晶格常数、晶胞参数等。
这对于研究材料的性质和行为非常重要。
另外，通过衍射实验还可以确定晶体中原子的位置和排列方式。
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* 原理：Ewald球 * 方法：von Laue方法、转动晶体法
2. 晶体结构其他实验方法
* 倒空间：电子衍射，中子衍射 * 实空间：FIM，STM * 计算机（模拟）实验
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4
1、晶体衍射实验方法
• 原理
* Ewald球构造法
• 实验
* von Laue方法 * 转动单晶法
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5
Ewald construction 反射球
• 衍射斑点与衍射条件
* 可根据观察到的斑点与 结构推断晶体结构
* 理解衍射方法原理
• CO= 2π/λ，入射方
energy electron diffraction, RHEED）
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10
清洁Ni(111)表面和吸附H 后的LEED图样
• 左图清洁Ni(111)表面。金属Ni是fcc结构
• 右图是吸附H以后呈2x2再构。表面二维原胞在 两个基矢方向扩大一倍，所以是2x2，但在倒 空间在两个方向缩小一倍
* 在电子受原子作用时(因而有晶格也因而存在B区边
界)，电子受边界的散射，连续能级会形成一个能隙 在某些能量区域内，电子不允许存在
* 物理原因：电子波函数受Brillioun区边界反射，反 射波与行进波迭加，形成驻波！在边界上，原来自 由电子在空间均匀分布的平面波（|exp(ikx)|2=常 数），形成驻波(sinkx, coskx)，能量分裂，受原子 核吸引而驻其周围的能量低，受原子核排斥而驻原 子核之间的能量高，中间留下一段能量空白，电子 不允许具有这种能量！
• X射线散射截面较小，电子较大 • 能量约为100eV数量级的电子波长为A数量级
* 低能电子衍射（low energy electron diffraction, LEED)
* 电子与原子有强相互作用，易受散射，穿透深度 小——适合作表面结构研究
• 高能电子（105eV），波长更短，分辨率高
* 高能易损伤材料 * 掠射入表面，反射高能电子衍射（Reflect high
向，在C以CO为半径
作圆，球面上的倒格
o
点P满足衍射条件，将
产生衍射，在PC方向
可得衍射极大
* K的两端都是倒格点
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c
p
6
von Laue方法
• 晶体固定， 相当于倒格 点固定
• 改变波长， Ewald球增 大，球面扫 过的倒格 点，其延长
eikx eikx 2 cos kx, eikx eikx 2i sin kx
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2
本讲目的
• 实验上如何观测晶体结构？
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3
第11讲、晶体结构的实验观测
• 偏转磁场使电离物成象，放大
• 场电离容易产生在突起的表面 原子上，这样便反映表面结构 （球壳模型）
• 分辨率可达原子量级
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13
bcc结构W针尖
• 结构可由球壳模型模 拟，与图象对照
• 不同材料同样晶体结构 的图象是不是相同？
上讲回顾：晶体结构的衍射理论
• 衍射极大条件，仅是必要条件
* Bragg定律 * von Laue方程
• 能否观察到衍射极大
* 与几何结构因子有关 * 消光条件，两类消光
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1
视野拓展由von Lauer条件看B区边界
• Brillioun区边界面上的任何矢量都满足衍射极 大这个条件重要性质
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11
中子衍射 0.28 / E(eV),若E 0.0784 eV则 1A
• 特点
* 质量为电子的1800倍，采用低能量：0.1eV量级~1A 波长
* 不带电，主要被原子核散射，常被用来测定原子在 晶体中的位置
O 线方向都会 出现衍射极 大
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7
转动单晶法
固定k，绕 晶轴转动 晶体，相 当于改变 入射角。 倒格点扫 过Ewald 球，发生 衍射极大
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8
2、其他晶体结构实验方法
• 倒空间
* 电子衍射 * 中子衍射
• 实空间观察原子的位置
* 显微镜？ 晶格典型间隔10-10米
* FIM（场离子显微镜） * STM（扫描隧道显微镜）
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电子衍射 12 / E(eV),若E 144 eV则 1A
• 亮度装饰线不同，反映 不同材料的不同面的功 函数不相同
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扫描隧道显微镜，STM
• 1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM)
* G. Binnig与H. Rohrer * 人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面
的排列情况. 这是电子显微技术的一个重要里程碑 * 1986获诺贝尔物理奖
* 中子有磁矩，尤其适合于研究测定磁性物质的结构
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12
实空间：场离子显微镜，FIM
• 样品表面电场强度~1010伏/米
• 样品针尖曲率半径~500A
• 容器中低压惰性气体
• 气体原子被强电场极化，吸附 在样品表面顶端突起部位，其 电子隧穿产生电离
• STM利用量子力学的隧道效应
* 将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极， 当针尖与样品距离非常接近时, 在外加电场作用 下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度 扫描模式
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