理论力学-第13章

理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
在牛顿第二定律的基础上所建立的动力学普遍定理，通过 矢量形式表示物体运动与相互作用力之间的关系，故称之为 “矢量力学”。
分析力学则采用能量与功来描述非自由质点系的运动与相 互作用力之间的关系，即通过将惯性力引入非自由质点系， 从而将动力学问题在形式上转化为静力学问题后，再应用虚 位移原理所建立的动力学普遍方程，采用分析力学的方法解 决力学问题，弥补了矢量力学在求解具有复杂约束系统和变 形体动力学问题方面所存在的不足。
动力学普遍方程
(Fi miai ) δ ri 0
若将式中的各矢量分别表示为直角坐标形式 Fi Fix i Fiy j Fiz k ai xi i yi j zi k d ri dxi i dyi j dzi k
则得到动力学普遍定理的解析表达式：
[(Fix mixi )δ xi (Fiy mi yi )δ yi (Fiz mizi )δ zi ] 0
q
j
ri t
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
再将此式对 qk 求偏导数
由于
ri t
和
ri q j
所以
仅为广义坐标和时间的函数，与 qk无关
ri qk
ri qk
这是所要证明的第一个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri
N j 1
ri q j
q
j
ri t
将其对任意广义坐标qk求偏导数，并考虑到 q j 与qk是相互独立的，得
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
(Fi FNi miai ) δ ri 0
动力学普遍方程
(Fi FNi miai ) δ ri 0
利用理想约束条件：
FNi δ ri 0
系统的总虚功变为:
(Fi miai ) δ ri 0
上 式 称 为 动 力 学 普 遍 方 程 （ generalized equations of dynamics）。它表明，任一瞬时作用于理想、双侧约束系统上 的主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的虚功之和为零。
ri
qk
N 2ri j1 q jqk
q j
2ri tqk
N j 1
q j
( ri qk
)q j
( ri ) t qk
上式等号右端正是 ri 对时间的全导数，
qk
ri d ( ri ) qk d t qk
这就是所要证明的第二个关系式。
第二类拉格朗日方程
ri qk
riபைடு நூலகம்qk
ri d ( ri ) qk d t qk
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
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第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
将动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，所导出的第二 类拉格朗日方程，更便于求解非自由质点系的动力学问题。
考察由n个质点组成的质点系中有s个完整、理想约束，则 可以选N（N= 3n-s）个广义坐标q1，q2，…，qN 描述质点系的位 形。第i个质点的质量为mi，其位矢ri可表示为广义坐标和时间 的函数，即
用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为第二类拉格朗日 方程，它形式简洁、便于计算，广泛用于求解完整约束的复 杂质点系动力学问题。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
动力学普遍方程 第二类拉格朗日方程 动力学普遍方程和 拉格朗日方程的应用 结论与讨论
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
动力学普遍方程
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动力学普遍方程
考察由n个质点组成的理想约束系统。根据达朗贝尔原理， 系统中第i个质点的惯性力与质点所受主动力和约束力组成平衡 力系，即
Fi + FNi - miai = 0，i = 1，2，…，n
式中，mi、ai、Fi和FNi分别为质点系中第i个质点的质量、 加速度、所受主动力和约束力。若给系统任一组虚位移dri（i = 1，…，n），则系统的总虚功为
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
第二类拉格朗日方程
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
据此，得到由广义坐标表示的虚位移：
δ ri
N k 1
ri qk
δ qk
(Fi miai ) δ ri 0
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
这是由N个独立方程所组成的方程组。
第二类拉格朗日方程
为导出第二类拉格朗日方程，首先需要证明两个关系式：
ri qk
ri qk
ri d ( ri ) qk d t qk
将ri对时间求导数
ri = ri（q1，q2，…，qN，t）
ri
N j 1
ri q j
)
T qk
第二类拉格朗日方程
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
(
T qk
)
T qk
其中T为质点系的动能:
T
n i1
1 2
mi
ri2
Qk Qk* 0 (k=1,2,,N )
d T T
dt
qk
qk
Qk
(k=1,2, ,N)
这一方程称为第二类拉格朗日方程(Lagrange equation of the second kind)，简称为拉格朗日方程(Lagrange equation)。每一 个方程都是二阶常微分方程，方程的数目等于质点系的自由度 数目。