高中数学第1章算法初步1.4算法案例教学案苏教版必修

[典例 ] 在平面直角坐标系中作出函数 y＝ 2x 和 y＝4－x 的图象，根据图象判断方程 2x
＝4－ x 的解的范围，再用二分法求这个方程的近似解 (误差不超过 0.001)，写出这个算法的
伪代码，并画出流程图． [解 ] 在同一坐标系内作出函数
y＝ 2x 和 y＝ 4－ x 图象如图： 由图象
解析：逐一验证，由题意，① 12－ 7＝ 5 是 5 的倍数；② 21－ 10＝ 11 不是 3 的倍数；③
34－ 20＝ 14 是 2 的倍数；④ 47－ 7＝ 40 是 40 的倍数．故①③④正确．
答案：①③④
6．下列伪代码的运行结果是 ________．
a←120 b← 252 While a≠ b If a＞ b
x，y， z 的不定方程组
m＝3x＋ 2， m＝ 5y＋ 3， m＝ 7z＋ 2
的正整数解．
2．欧几里得辗转相除法 (1)含义：求两个正数 a， b(a> b)的最大公约数的方法，称为欧几里得辗转相除法． (2)步骤：计算出 a÷ b 的余数 r ，若 r＝ 0，则 b 即为 a， b 的最大公约数；若 r≠ 0，则把 前面的除数 b 作为新的被除数，把余数 r 作为新的除数，继续运算，直到余数为 0，此时的 除数即为 a， b 的最大公约数． 3．两个常用函数 (1)Mod(a， b)表示 a 除以 b 所得的余数． (2)Int( x)表示不超过 x 的最大整数． [点睛 ] 辗转相除法的理论根据是：由 a＝ nb＋ r? r＝ a－ nb，得 a， b 与 b， r 有相同的公约数．
[层级一 学业水平达标 ] 37 1． Int 5 ＝ ________； Int(－ 11.2)＝ ________.
答案： 7 －12 2．用辗转相除法求 85 和 51 的最大公约数时，需要做除法的次数为 答案： 3
________ ．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《源自文库《《《《《《《《《《《
∴ 324,243,270的最大公约数为 27.
答案： 27
4．下列程序输出的 n 的值是 __________．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
j← 1 n← 0 While j≤ 11 j←j＋ 1 If Mod j， 4 ＝ 0 Then
n← n＋ 1 End If j←j＋ 1 End While Print n
3． 84 和 32 的最小公倍数是 ________． 解析：先求 84 和 32 的最大公约数． 84＝ 32× 2＋20， 32＝ 20＋ 12， 20＝ 12＋ 8， 12＝ 8＋ 4， 8＝ 4×2. 故 84 和 32 的最大公约数是 4. 所以 84 和 32 的最小公倍数为 84×32÷ 4＝ 672. 答案： 672 4．下列伪代码运行的一个结果是 ________． m← 2 While Mod( m,4)≠2 or
可知方程 2x＝ 4－x 有一根在 [1,2]内．
伪代码为：
马鸣风萧萧整理
流程图如下：
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
a←1 b← 2 c← 0.001 While | a－ b| ≥ c x0← a＋ b /2 f a ← 2a＋a－4 f x0 ← 2x0＋x0－ 4 If f x0 ＝ 0 Then Exit While End If If f a f x0 ＜ 0 Then b← x0 Else a← x 0 End If End While Print x0
马鸣风萧萧整理
伪代码：
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
流程图：
(1)求三个正整数 a， b， c 的最大公约数的步骤是：
①先求其中两个数的最大公约数，如求 a，b 的最大公约数，用 m 表示；②再求 m 与第
三个数 c 的最大公约数，用 n 表示；③ n 就是三个数 a， b， c 的最大公约数．
(36， 12)→ (24,12)→ (12,12)，∴输出 12.
答案： 12
7．试写出求三个正整数 a， b， c 的最大公约数的算法语句．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
解：先写出的伪代码是求正整数 a， b 的最大公约数，设最大公约数用 b 表示，然后再
(1)利用二分法求方程的近似解时，要根据二分法的步骤写出算法的每一步，再利用循 环结构写出近似解即可．
a＋ b (2)要注意 正好是方程根的处理．
2 [活学活用 ] 在平面直角坐标系内作出 y＝ x2 和 y＝ 2x 的图象，并判断方程 x2＝ 2x 在 (－ 1,0)内有无实 根．若有，求出这个实根的近似值 (误差不超过 0.01)．写出这个算法的
马鸣风萧萧整理
写出求正整数 b，c 的最大公约数的伪代码，并输出其最大公约数，用
b 表示，可用“当型”
语句写出伪代码．
所求的算法语句 (即伪代码 )如下：
Read a， b， c While Mod a， b ≠ 0
r← Mod a， b a← b b← r End While While Mod c， b ≠ 0 r← Mod c， b c← b b← r End While Print b
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1.4 算法案例
1．符号 Int( x)和 Mod( a，b)的含义是什么？ 2．“孙子问题”相当于怎样的数学问题？ 1． 欧几里得辗转相除法是解决什么问题的数学方法，它的一般步骤是什么？
[新知初探 ]
1．“孙子问题”相当于求关于
伪代码： m← 2 While Mod( m,15) ≠ 0 or
Mod( m＋ 1,17)≠ 0 or Mod( m＋ 2,19)≠ 0 m← m＋ 1 End While Print m， m＋ 1， m＋ 2
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
答案： 3
5．m 是一个正整数，对两个正整数 a，b，如果 a－ b 是 m 的倍数，则称 a，b 对模 m 同
余，用符号 a≡b(Modm)表示，则下列各式中：
① 12≡7(Mod5)；② 21≡ 10(Mod3)；③ 34≡ 20(Mod2)；④ 47≡7(Mod40) ．
正确的有 __________ ． (填序号 )
② x1－x2＝ e；
③ x1＜e＜ x2;
④ | x1－x2| ＜ e.
答案：④
3． 324,243,270的最大公约数为 ______．
解析： 324＝243× 1＋81,243＝ 81× 3＋0，
故 324 和 243 的最大公约数为 81.
又 270＝ 81×3＋27,81＝ 27× 3＋ 0，
ab (2)整数 a 和 b 的最小公倍数为 a， b的最大公约数 ，即 (a，b 的最大公约数 )×(a， b 的最
小公倍数 )＝ a· b.
[活学活用 ]
求 396 和 270 的最小公倍数．
解：根据最大公约数和最小公倍数的关系可知这两个数的最小公倍数为
＝5 940.
利用二分法求方程的近似解
396× 270÷ 18
[层级二 应试能力达标 ]
1．下列格式中正确的是 ________．
① Mod(2,3)＝ 3； ② Mod(3,2)＝ 2；
③ Mod(2,3)＝ 1;
④ Mod(3,2)＝ 1.
答案：④
2．用二分法求方程的近似解，精确度为 e，则循环结构的终止条件是 ______． (填序号 )
① | x1－ x2| ＞ e；
Mod( m,5)≠ 3 or Mod( m,7)≠ 3 m← m＋ 1 End While Print m
解析：此伪代码的功能是求
m＝ 4x＋ 2， m＝ 5x＋ 3， m＝ 7x＋ 3
的最小正整数，
∴ m＝ 38. 答案： 38 5．已知如图所示的流程图 (其中的 m，n 为正整数 )：
马鸣风萧萧整理
孙子剩余定理的应用 [典例 ] 有 3 个连续的正整数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的 能被 19 整除，画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图，并写出伪代码． [解 ] 设这三个数分别为 m，m＋ 1，m＋ 2，则 m 满足的条件是 Mod(m,15)＝ 0 且 Mod( m ＋1,17)＝0 且 Mod( m＋ 2,19)＝ 0. 流程图：
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
(1)这个算法的功能是什么？
(2)当 m＝ 286， n＝ 91 时，运行的结果是什么？
解： (1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．
(2)∵ 286＝91× 3＋ 13,91＝ 13× 7，
∴ 286 与 91 的最大公约数是 13.故运行结果为 13.
8．写出用二分法求方程 x3－ 2x－ 3＝ 0 在区间 [1,2]内的一个近似解 (误差不超过 0.001)的 一个算法，并画出流程图．
解：本题考查了利用二分法算法求解方程近似解的方法． 伪代码如下：
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
流程图如图所示：
[小试身手 ] 1． Int(5) ＝ ________；
2 Int 3 ＝ ________；
Int( － 3.14)＝ ________.
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
答案： 5 0 － 4 2．用辗转相除法求 32 和 14 的最大公约数时，需要做 ________次除法运算． 答案： 3 3．用符号表示 m 被 7 除后余 2 为________． 答案： Mod( m,7)＝2
a←a－b Else
b← b－ a End If End While Print a
解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．
a， b 的值依次是：
(120,252)→ (120,132)→ (120,12)→ (108,12)→ (96,12)→ (84,12)→ (72,12)→ (60,12)→ (48,12)→
解决此类问题的方法就是从 m＝ 2 开始，对每一个正整数逐一检验，当 件时，结束循环，输出 m.
m 满足所有已知条
[活学活用 ] 下面一段伪代码的功能是 ________． m← 2 While Mod( m,2)≠1 or
Mod( m,3)≠ 2 or Mod( m,5)≠ 3 m← m＋ 1 End While Print m 解析：由代码含义可知， m 满足的条件是除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 3，又 m 逐个增大，故输出的 m 是满足条件的最小正整数．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
伪代码． 解： 作出 y＝ x2 和 y＝ 2x 的图象如图．由图可知方程 x2＝ 2x 在 (－ 1,0)内有且只有一个实根
x0. 设 f(x)＝ x2－ 2x，∵ f(－ 1)＞ 0 ， f(0)＜ 0，∴以上结论正确． 求这个实根误差不超过 0.01 的近似值的伪代码如下：
m＝ 2x＋ 1，
答案：求关于 x， y， z 的不定方程组 m＝ 3y＋ 2， m＝ 5z＋ 3
欧几里得辗转相除法的应用
的最小正整数解
[典例 ] 用辗转相除法求 396 和 270 的最大公约数，并设计算法，画出流程图，写出伪 代码．
[解 ] 396＝ 270＋ 126,270＝ 2× 126＋ 18,126＝ 18× 7， 因此 396 和 270 的最大公约数为 18. 算法如下： S1 a← 396 S2 b← 270 S3 如果 Mod( a， b)≠ 0，那么转 S4，否则转 S7 S4 r← Mod( a， b) S5 a← b b← r S6 转 S3 S7 输出 b