二次方程组及其解法
二元二次方程组的解法
代入消元
x y a 2.对于形如 的二元二次方程组的解法，我们可 xy b 以借助一元二次方程根与系数的关系来求解 。
3.基本步骤： ⑴ 代入消元，将方程转化为一元二次方程
⑵ 解一元二次方程得两根
⑶ 代入方程，求得原方程组的解 4. 注意：方程组的解的书写格式
作业：
解下列方程组
• 1．将方程组中的二元一次方程变形为一 个未知数用另一个未知数表示的代数式. • 2．将所得的代数式代入二元二次方程中 得到一个一元二次方程。 • 3．解一元二次方程求出一个未知数的值。 • 4．将所求的值代入由1所得的式子求出 另一未知数的值。 • 5．写出方程组的解。
练习： 解下列方程组
⒈ y = x－2 x2＋y2 = 6 ⑴ ⑵ ⒉ 2y－3x = 1 ⑴ 13x2－8xy＋3 = 0 ⑵
练习:⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 B
（ B ）
x y2 0
x y 2
2 1 1 x y
y 1 C x 2
A
D
⒉下列方程组中，是二元二次方程组的是 （ C ）
x y 2x
2 2
B
x y 1
C
x y 4y 2
2 2
x y 5
的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
二元二次方程的一般形式是：
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
（a、b、c不同时为零）。其中 ax 、bxy、cy 叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项。
2
2
观察；下面的两个方程组 x2－2xy＋y2－4x＋y－15=0 x－2y＋1=0 x2－ y2 =10 x2－3xy＋2y2=0 第一个方程组：是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的。 第二个方程组： 是由二个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组。
二元二次方程组的解法
二元二次圆程的解法之阳早格格创做一、真质综述：1．解二元二次圆程组的基础思维战要领解二元二次圆程组的基础思维是“转移”，那种转移包罗“消元”战“落次”将二元转移为一元是消元，将二次转移为一次是落次，那是转移的基础要领.果此，掌握佳消元战落次的一些要领战本领是解二元二次圆程组的闭键.2．二元二次圆程组常常依照二个圆程的组身分为“二·一”型战“二·二”型，又分别成为Ⅰ型战Ⅱ型.“二·一”型是由一个二元二次圆程战一个二元一次圆程组成的圆程组；“二·二”型是由二个二元二次圆程组成的圆程组.“二·一”型圆程组的解法（1）代进消元法（即代进法）代进法是解“二·一”型圆程组的普遍要领，简直步调是：①把二元一次圆程中的一个已知数用另一个已知数的代数式表示；②把那个代数式代进二元二次圆程，得到一个一元二次圆程；③解那个一元二次圆程，供得一个已知数的值；④把所供得的那个已知数的值代进二元一次圆程，供得另一个已知数的值；如果代进二元二次圆程供另一个已知数，便会出现“删解”的问题；⑤所得的一个已知数的值战相映的另一个已知数的值分别组正在所有，便是本圆程组的解.（2）顺用根与系数的闭系对于“二·一”型二元二次圆程组中形如的圆程组，不妨根据一元二次圆程根与系数的闭系，把x、y瞅干一元二次圆程z2-az+b=0的二个根，解那个圆程，供得的z1战z2的值，便是x、y的值.当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以本圆程组的解是二组“对于称解”.注意：不要拾掉一个解.此要领是解“二·一”型圆程组的一种特殊要领，它适用于解“战积形式”的圆程组.以上二种是比较时常使用的解法.除此除中，另有加减消元法、领会落次法、换元法等，解题时要注意领会圆程的结构特性，机动采用妥当的要领.注意：（1）解一元二次圆程、分式圆程战无理圆程的知识皆不妨使用于解“二·一”型圆程组.（2）要预防漏解战删解的过失.“二·二”型圆程组的解法(i) 当圆程组中惟有一个可领会为二个二元一次圆程的圆程时，可将领会得到的二个二元一次圆程分别与本圆程组中的另一个二元二次圆程组成二个“二·一”型圆程组，解得那二个“二·一”型圆程组，所得的解皆是本圆程组的解.(ii) 当圆程组中二个二元二次圆程皆不妨领会为二个二元一次圆程时，将第一个二元二次圆程领会所得到的每一个二元一次圆程与第二个二元二次圆程领会所得的每一个二元一次圆程组成新的圆程组，可得到四个二元一次圆程组，解那四个二元一次圆程组，所得的解皆是本圆程的解.注意：“二·一”型圆程组最多有二个解，“二·二”型圆程组最多有四个解，解圆程组时，即不要漏解，也不要删解.二、例题领会：例1．解圆程组领会：小心瞅察那个圆程组，不易创制，此圆程组除可用代进法解中，还可用根与系数的闭系，通过构制一个以x, y为根的一元二次圆程去供解.解法一：由(1)得y=8-x (3)把(3)代进(2)，整治得x2-8x+12=0.解得x1=2, x2=6.把x1=2代进(3)，得y1=6.把x2=6代进(3)，得y2=2.所以本圆程组的解是.解法二：根据根与系数的闭系可知：x, y是一元二次圆程，z2-8z+12=0的二个根，解那个圆程，得z1=2, z2=6.∴所以本圆程组的解是.注意：“二·一”型圆程组中的二个圆程，如果是以二数战与二数积的形式给出的，那样的圆程组用根与系数的闭系解是很便当的.但是要特地注意末尾圆程组解的写法，不要漏掉.例2．解∵圆程①是x与2y的战,圆程②是x与2y的积,∴x与2y是圆程z2-4z-21=0的二个根解此圆程得:z1=-3,z2=7,∴∴本圆程的解是证明:此题属于特殊型的圆程组,可用一元二次圆程的根与系数的闭系去解.别的型的二元二次圆程组,也皆不妨通过变形用烦琐的特殊解法.例3．解(1)解法一(用代进法)由②得:y=③把③代进①得: x2-+4()2+x--2=0.整治得:4x2-21x+27=0∴x1=3 x2=.把x=3代进③得:y=1把x=代进④得:y=.∴本圆程组的解为:解法二(用果式领会法)圆程(1)可化为(x-2y)2+(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0∴x-2y+2=0 大概x-2y-1=0本圆程组可化为:分别解得:证明:此题为I型二元二次圆程组,普遍可用代进法供解,当供出一个已知数的值代进供另一个已知数的值时,一定要代进到二元一次圆程中去供,若针对于二元二次圆程的特性,采与特殊解法,则较为烦琐.例4． k为何值时，圆程组.（1）有二组相等的真数解；（2）有二组不相等的真数解；（3）不真数解.领会：先用代进法消去已知数y，可得到闭于x的一元圆程，如果那个一元圆程是一元二次圆程，那么便不妨根据根的判别式去计划.解：将(2)代进(1)，整治得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)（1）当时，圆程(3)有二个相等的真数根.即解得：k=1.∴当k=1时，本圆程组有二组相等的真数根.（2）当时，圆程(3)有二个不相等的真数根.即解得：k<1且k≠0.∴当k<1且k≠0时，本圆程组有二组不等真根.（3）果为正在（1）、（2）中已知圆程组有二组解，不妨决定圆程(3)是一元二次圆程，但是正在此问中不克不迭决定圆程(3)是可是二次圆程，所以需二种情况计划.(i)若圆程(3)是一元二次圆程，无解条件是，，即解得：k>1.(ii)若圆程(3)不是二次圆程，则k=0，此时圆程(3)为-4x+1=0，它有真数根x=.概括(i)战(ii)二种情况可知，当k>1时，本圆程组不真数根.注意：使用判别式“Δ”的前提条件是能决定圆程为一元二次圆程，不是一元二次圆程不克不迭使用Δ.例5．解圆程组领会：解二元二次圆程组的基础思维是先消元转移为一元二次圆程，再落次转移为一元一次圆程解之.本题用代进法消元.解：由(1)得y= (3)将式(3)代进式(2)，得2x2-3x()+()2-4x+3()-3=0,化简，得4x2-13x-35=0,即 (x-5)(4x+7)=0∴ x1=5, x2=-.将x1=5代进(3),得y1=3,将 x2=-代进(3)，得y2=-.∴圆程组解是：.例6．解圆程组.领会：此圆程组是由二个二元二次圆程组成的圆程组，正在(1)式的等号左边领会果式后将二元二次圆程转移为一元二次圆程.解：将式(1)领会果式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0即 (3x-4y)(x+y-1)=0∴ 3x-4y=0,大概x+y-1=0.故只需解底下二组圆程组：（1）；（2）.（1）由3x-4y=0，得y=x，代进x2+y2=25,得x2+x2=25, x2=16, x=±4, 即x1=4, x2=-4,将x1战x2代进y=x，得y1=3, y2=-3.（2）由x+y-1=0，得y=1-x，代进x2+y2=25,得x2+(1-x)2=25,整治，得x2-x-12=0,即 (x-4)(x+3)=0,∴ x3=4, x4=-3. 当x3=4时, y3=-3;当x4=-3时，y4=4.故本圆程组的解为：;；；.例7．解圆程组.解：本圆程组可化为，进而由根与系数的闭系，知x, -y是圆程z2-17z+30=0的二个根.解此圆程，得z1=2， z2=15.即，故本圆程组的解为.例8．解圆程组领会：瞅察圆程(2)，把(x-y)瞅成真足，那么它便是闭于(x-y)的一元二次圆程，果此可领会为(x-y-3)(x-y+1)=0，由此可得到二个二元一次圆程x-y-3=0战x-y+1=0.那二个二元一次圆程分别战圆程(1)组成二个“二·一”型的圆程组：分别解那二个圆程组，便可得到本圆程组的解.解：由(2)得∴ x-y-3=0大概x-y+1=0.∴本圆程组可化为二个圆程组：用代进消元法解圆程组（1）战（2），分别得：，∴本圆程组的解为.过失领会：注意不要将（1）式过失领会为（x+y）(x-y)=1,故而领会为（x-y）=1大概者（x+y）=1,那样干是错的，果为当左边≠0时，不妨领会出无贫多种大概，比圆（x+y）(x-y)=1还不妨领会为x+y=2,x-y=等等.例9．解圆程组领会：圆程(1)的左边为整，而左边不妨果式领会，进而可达到落次的手段.圆程(2)左边是真足仄办法，左边是1，将其二边仄圆，也不妨达到落次的手段.解：由(1)得,∴ x-4y=0大概x+y=0.由(2)得(x+2y)2=1∴ x+2y=1大概x+2y=-1本圆程组可化为以下四个圆程组：解那四个圆程组，得本圆程组的四个解是：注意：不要把共一个二元二次圆程领会出去的二个二元一次圆程组成圆程组，那样会出现删解问题，共时也不要漏解.例10．解圆程组领会：此圆程组是“二·二”型圆程组，果为圆程(1)战(2)皆不克不迭领会为二个二元一次圆程，所以需要觅找其余解法.咱们先思量是可换元法.果为.所以，圆程(1)可化为, 隐然此圆程组具备换元条件，不妨用换元法去解.解：由(1)式，得，设x+y=u, xy=v（那种换元是办理问题的闭键），则本圆程组可化为：解那个圆程组，得：，即：解：，解：无解.∴本圆程组的解为.例11：解：设=z,那么本圆程组形成:解闭于z战x的圆程组.得经考验是本圆程组的解.∴本圆程组的解是.。
(完整版)二元二次方程组的解法
2 二元二次方程的解法一、内容综述：1. 解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2. 二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看做一元二次方程z -az+b=0 的两个根，解这个方程，求得的z1 和z2 的值，就是x、y 的值。
当x1=z 1 时，y1=z2；当x2=z 2 时，y 2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
二元一次(二次)方程组一元一次不等式的解法
§1.概念
求解方程组的解的过程。 解方程组：
§2.应用举例
例1 解下列方程组
（1） （2）
1 2x 0
2
…………….. ① ………. ②
2 x 3x y 0
x 2y 0 x 3y 5 0
……….. ①
……. ②
练习1 解下列方程组 x 2 y 1 0 ……….① （1） 2 x y 2 0 ………. ②
(2)ab 0
{
a 0 b 0
或 {
a 0 b 0
c c 或 (3)ab c(b 0) a 当b 0时； a 当b 0时. b b
§2.概念
一元一次不等式：
形如ax b 0(或ax b 0) (a 0)的不等式.
§ ax b 0 (a 0)的解 3.
x 2 y 0 ………. …..② 小结：解方程组的步骤与方法
①分析构成方程组的各个方程之间的内在联系. ②利用代入消元，加减消元消去一个元. ③转化为一元一次（二次）方程求解. ④确定方程组的解.
（2）
4 x y 4 0 ………. ①
思考与提高：解下列方程 2 (1)( x 1)( x 5 x 6) 0
b 1 当a 0时 x a b 0 2 当a 0时 x a
0
b a
x
b a
x
解不等式是指求不等式的解集（以后学习）. 求不等式的解是指求适合不等式的自变量的范围. 求解不等式只能在实数范围内进行. 对含参不等式要对参数进行分类讨论。
例1 求下列各不等式的解
(1) x 1 0 (2)2a 1 0 (3)3 2 x 0
代数方程解法多元二次方程组的求解方法
代数方程解法多元二次方程组的求解方法多元二次方程组是指由多个二次方程组成的方程组。
解决多元二次方程组的主要方法是代数解法。
本文将介绍几种常见的多元二次方程组求解方法。
一、多元二次方程组的一元化方法多元二次方程组通常形式如下：$$\begin{cases}a_{11}x_1^2+a_{12}x_2^2+\cdots+a_{1n}x_n^2=b_1 \\a_{21}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2n}x_n^2=b_2 \\\cdots \\a_{m1}x_1^2+a_{m2}x_2^2+\cdots+a_{mn}x_n^2=b_m \\\end{cases}$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$为未知数，$a_{ij}$和$b_i$为常数。
为了解决该方程组，可以通过一元化的方法，将多元二次方程组转化为一元方程的形式。
具体步骤如下：1. 首先，选取一个未知数作为代入变量，将其他未知数用代入变量表示。
2. 然后，将代入后的方程代入原方程组，消去其他未知数，得到关于代入变量的一元二次方程。
3. 最后，解决一元二次方程，得到代入变量的取值，再代入原方程组求解其他未知数的值。
二、解法举例下面以一个具体的多元二次方程组为例，介绍多元二次方程组的求解过程。
$$\begin{cases}2x_1^2+3x_2^2=13 \\4x_1^2+7x_2^2=29 \\\end{cases}$$1. 选取$x_1$作为代入变量，将$x_2$用$x_1$表示：将第一个方程代入第二个方程得：$4x_1^2+7\left(\frac{13-2x_1^2}{3}\right)=29$。
2. 化简得到关于$x_1$的一元二次方程：$23x_1^2-26x_1+30=0$。
3. 解一元二次方程，得到$x_1$的两个解：$x_1=\frac{13}{23}$或$x_1=1$。
4. 将$x_1$的解代入原方程组，即可求解出$x_2$的值。
二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
21.6二元二次方程及方程组解法(二)
① ②
① + ②×3 得 x2 + 2x – 35 = 0
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拓
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求两个未知数的和与积
x y 25 xy 12
2 2
① ②
②×2 + ① 得 x + y = ±7 原方程组可化为
x y 7 x y 7 , xy 12 xy 12
如果二元二次方程组中有一个方程可以变形为两个 一次方程的形式，那么解这个方程组的问题可以转化 为解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成 的两个方程组，像这样解二元二次方程组的方法叫做 因式分解法
‹# ›
转化举例
2 2 x xy 2 y 2 x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , 2 2 x 3y 0 x 4 y 0 x 7 xy 12 y 0
②×2 - ①×3
得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
‹# ›
拓
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消去一个未知数得到一元方程
2 2 x 15 xy 3 y 2 x 9 y 98 0 2 5 xy y 3 y 21 0
其中有一个方程可以分解成一次方程
2 2 x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
拓
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二元二次方程组的解法与应用
二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。
解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。
一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。
下面将逐一进行介绍。
1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。
首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。
再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。
将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。
1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。
通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。
消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。
以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。
1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。
二元二次方程组解法PPT教学课件
四：归纳第一段文意 ：
虎丘位置地形： 中秋游览盛况：
去城可七八里，近城，
无高岩邃壑 游人往来，纷错如织 倾城阖户，连臂而至
重茵累席，置酒交衢 檀板丘积，樽罍云泻
四：疏通课文字词句（第二段） ：
• 布席之初，呕者百千 ：
歌唱
• 分曹部署，竟以新艳相角：
部分 安排
较量、竞赛
• 未几而摇首顿足者，得数十人而已
六：归纳第三段文意 ：
• 本段用精炼而简洁的笔法描写了虎丘景物： 深不可测的剑泉 摩天倚云的千顷山
• 虎丘景观 秀丽无比的千山万壑 晚景尤佳的文昌阁 荒废已久的平远堂
七：疏通课文字词句（第四段） ：
• 吏吴两载，登虎丘者六： 做官（名作动） • 歌者闻令来，皆避匿去 ：
县令， 躲藏
• 他日去官 ： 辞去
(x y)(x y) 3 ①
x
2
4xy
3y2
1
(x
3y)(x
y)
1
②
① ÷② 得 x y 3 x 3y
即 x = 2y
小结
1、解二元二次方程组的思路： 消元或降次；
2、解由两个二元二次方程组成的 方程组，根据方程组的特点， 导出一个一元方程或一次方程
3、七种不同类型的方程组解法
• 学习永远是件快乐而有 趣的事！
答案： D
课堂小练习4：
• 下列“而”字作连词表示转折的一项是：
A 未几而摇首顿足者，得数十人而已 B 壮士听而下泪矣 C 一人缓板而歌 D 且举世誉之而不加劝
答案： D
课堂小练习5：
• ⑴下列红色词的用法与其它不同类的一项是：
如织。而中秋为尤胜。
译文： 虎丘离苏州城只有七八里，山上并没有 险峻的高岩或幽深的谷壑，只是因为离城近的 缘故，（达官贵人）装饰豪华、满载歌声的游 船，没有一天断过。凡有月的晚上，有花的早 晨或雪天的傍晚，游人来来往往，像穿梭织布 一样。 （这景象）又以中秋更为盛况空前。
(完整版)二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
专题2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法(解析版)
2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法（解析版）回顾过去在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法．进入高中之后，我们会学习更多类型的方程的解法．高中新课标必修2中学习直线与圆的方程时，涉及到二元二次方程组的解法，本讲内容主要涉及到二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．1．简单的二元一次方程组【例1 】 解方程组：327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y =把 1y =代入③，得 3.x = 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x2．简单的三元一次方程组【例2】 解方程组： 3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③分析：方程①只含x ，z ，因此，可以由②，③消去y ，再得到一个只含x ，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．解：②×3＋③，得 11x ＋10z ＝35． （4）与④组成方程组347111035x z x z +=⎧⎨+=⎩①④解这个方程组，得52x z =⎧⎨=-⎩，把x ＝5，z ＝－2代入②，得2×5＋3y －2＝9，∴13y =，所以5132x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩变式1． 解方程组：34145217223x z z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③分析：三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z ．解：①+③，得 5x+6y=17 ④ ②+③×2，得， 5x+9y=23 ⑤④与⑤组成方程组56175923x z x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得12x y =⎧⎨=⎩， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴ z=3∴ 123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3．简单的二元二次方程组【例3】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2) 消x 还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．变式1．解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：第二个方程可变形为 x ＝2y ＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0， 解得y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =⎧⎨=⎩， 220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 【例4】解方程组9 (1)18 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程29180z z -+=的两根，解方程得：3z z ==或6． ∴ 原方程组的解是：11113663x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或． 说明：对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．练习1．解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =⎧⎨=⎩， 223,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =．① ②所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 223,4.x y =⎧⎨=⎩【例5】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)(2)3-⨯得：223()0x xy xy y +-+=，即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=， ∴ 300x y x y -=+=或∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例6】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析： (1)(2)2+⨯得：2()36 (3)x y +=，(1)(2)2-⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1)-(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．1. 解下列三元一次方程组1） 2）3）2．已知345x y z==，且x+y+z=24，求x 、y 、z 的值． 3．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：234x y zx y z ++-+的值．4．已知567x y y z z x+++==且xyz≠0，求x ：y ：z ．． 5．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？6．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ (3) 22223x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(4) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩4．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 答案1.(1) 438x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (2)306a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (3) 842x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-41 3.814.::3:2:4x y z =5.金笔 5支，铂金笔5支，圆珠笔90支6．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩(3) 123412342222,x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(4)43x y =⎧⎨=⎩． 7．（1）1115,20,x y =⎧⎨=⎩2220,15;x y =-⎧⎨=-⎩（2）115,2,x y =⎧⎨=-⎩222,5;x y =-⎧⎨=⎩（3）5,34.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）112,2,x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=-⎩。
第08课时 二次方程(组)及其解法
ax bx c 0
2
（a
0)
(3)公式法 通过配方法可以求得一元二次方程 2 b b 4ac ax bx c 0(a 0) 的求根公式： x
2
2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法．
(4)因式分解法 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的左边可以分解为两个一次因式的积，那 么根据两个因式的积等于O，这两个因式 至少有一个为O，原方程可转化为两个一 元一次方程来解，这种方法叫做因式分解 法． 2．简单的二元二次方程组的解法 可用代入法解一个二元二次方程和一个 二元一次方程组成的方程组．
例1．（2009，武汉）解方程：
x 3x 1 0
2
例2．（2006· 上海）解方程组：
x y 3 0， 2 x y 1 0．
例3．（2006· 常德）根据下列表格中代 2 ax bx c与 x 的对应值，判断方 数式 2 a, b, c 为常数） 程 ax bx c 0 (a 0 ， 的一个解x的范围是（ ）
请参照例题，解方程， x 则此方程的解是
x 3 3 0
．
2
例4．（2006· 三明）阅读下面的例题： 解方程： x 2 x 2 0
解得 x1 2, x2 1 （不合题意，舍去）
2 x x20 （2）当 x 0 时，原方程化为
解得
x1 1（不合题意，舍去）， x2 2
x1 2, x2 2
2
所以原方程的解是
x
ax2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx c
6.17
6.18
6.19
6.20
人教版初二数学二元二次方程组的解法
人教版初二数学二元二次方程组的解法二元二次方程组是初中数学中的重要知课题之一，它是一组含有两个未知数和二次项的方程组。
解决二元二次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和图解法等。
本文将以人教版初二数学教材中的内容为基础，介绍不同解法的步骤和思路。
一、代入法代入法是解决二元二次方程组常用的一种方法。
通过将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，可进一步求解。
例如，我们考虑以下的二元二次方程组：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过将第一个方程中的 y 表示成 x 的函数，即 y = f(x)，然后将其代入第二个方程中，得到只含有 x 的方程。
具体步骤如下：1. 由第一个方程得到：y = -3x ± √(9x^2 - 12x^2 + 4) / 2简化为：y = -3x ± √(x^2 - 4x^2 + 1) / 2化简得：y = -3x ± √(-3x^2 + 1) / 22. 将 y 代入第二个方程中：4x^2 + 3x (-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2) - 2(-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2)^2 = 10化简并整理得到只含有 x 的方程：(3 ± √(-3x^2 + 1))^2 - 30x + 10 = 0我们可以通过解这个一元二次方程得到 x 的值，再将 x 的值代回原方程组中，求得 y 的值。
二、消元法消元法是另一种常用的解决二元二次方程组的方法。
通过将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的一元二次方程，可进一步求解。
继续以上述的方程组为例，我们可以通过消元法解决它：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过乘以合适的系数，使得方程组中的二次项系数相等，从而方便消元。
一元二次方程组的解法
判别式法的优缺点
优点
通用性强：适用于所有一元二
计算简便：只需计算一次判别
01
次方程，无论其是否有实根。
02
式，然后根据判别式的值进行
分类讨论。
03
缺点
无法直接得到根的具体形式：
02
• 对于一些简单的方程，可以快速求解。
03
04
缺点
05
• 对于一些复杂的方程，可能难以找到合 适的因式分解方法。
06
• 无法直接求解一元二次方程组的所有解 ，需要结合其他方法使用。
05 一元二次方程组的解法判别式法
判别式法的基本步骤
写出方程的一般形式
$ax^2 + bx + c = 0$
计算判别式
动力学问题
在涉及力、质量和加速度 等物理量的动力学问题中， 一元二次方程组可以帮助 求解未知的物理量。
振动和波动问题
在解决振动和波动等问题 时，一元二次方程组可以 用来求解频率、振幅、周 期等关键参数。
在经济问题中的应用
成本和收益分析
在经济学中，一元二次方 程组可以用来分析成本和 收益之间的关系，帮助决 策者制定最优策略。
01
1. 将一元二次方程化为一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$ 。
02
2. 计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。
03
3. 根据判别式的值，选择不同的解法
04
• 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，使用 求根公式 $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$。
解二元二次方程组
解二元二次方程组在代数学中，二元二次方程组（也称为二次方程组）是指具有以下形式的方程组：(1) ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0(2) gx^2 + hy^2 + ixy + jx + ky + l = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l为已知常数。
解决二元二次方程组是解决数学问题中常见的任务之一。
本文将介绍求解二元二次方程组的一种方法——配方法。
配方法是一种常用的求解二元二次方程组的方法，它基于二次方程的配方思想。
下面以一个具体的例子来详细说明配方法的步骤。
假设我们有以下二元二次方程组：(1) 2x^2 + 3xy + 2y^2 - 7x - 11y + 4 = 0(2) 3x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 5y + 6 = 0首先，我们将方程组中包含xy的项配方。
对于第一方程，我们将3xy这一项分解为两个平方项：xy和2xy，得到：(1') 2x^2 + xy + xy + 2y^2 - 7x - 11y + 4 = 0接下来，我们重新排列方程，将x和y的各项分别合并在一起，并且将常数项移到等号的另一边：(1'') 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 7x - 11y = -4现在，我们需要找出一个公式，使得方程两边的系数项逐项对应相等。
考虑到二次方程的一般形式为(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，我们可以根据这个公式将左边的三项组合成一个平方项，得到：(2x+y)^2 + 2y^2 - 7x - 11y = -4进一步化简，我们得到：(2x+y)^2 + 2(y^2 - 4x - 11y) = -4现在，我们需要将方程两边的系数项逐项对应相等。
根据一次方程的一般形式为a+bx=0，我们可以得到以下两个方程：(3) 2x + y = 0(4) y^2 - 4x - 11y = 0将方程(3)代入方程(4)中，我们可以消去x的项，得到：y^2 - 4(0) - 11y = 0进一步化简，我们得到：y^2 - 11y = 0因此，我们可以得到y=0或者y=11。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ,0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等. 2、 注意点：（1）二元二次方程是整式方程.（2）二元二次方程含有两个未知数. （3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 :220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了.“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零"，因为它们的意义是不一样的. 4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析:抓住关键(1）组内方程是整式方程。
（2)方程组中含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。
②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程.⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 ( ) A.x+xy=5C 。
x 2+y 2=3 D.x 2+2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==21y x和⎩⎨⎧-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。
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二元二次 方程组
思路：消元
方 代入法、加减 法：法、韦达定理
转化为 一 元二 次方程
混合方 程组
转化为整 式方程组
转化为整 式方程
注：解混合方程组必须进行检验.
1.解下列方程组：
⑵
y2 2x 2 0 ⑴ x2 y2 2x 1 0
4
x2 y2 1
94 4x2 y2 1 92
（x+h）2+（y+k）2=9的解，求h、
k的值.
若方程组x2 y2 m x y 2
有两组相同的实根 求m
当k为何值时，方程组
y2 4x 2y 1 0 y kx2 （1）有两个相同的实数解，并求解。 （2）有两个不同的实数解。 （3）无实数解。
6.已知方程组
X2-y+a+2=0 X-y+1=0
x y 14
⑶
x2 y 2 100
⑷
11 xy
1 ⑸
9x2 4y2 15
3x 2y 5
xy 1
6
x y xy 5
x2 2y2 y 1
⑺⑹2x y xy 22x2 4y2 x 6
2.解下列方程组：
⑴ x 1 y x4y6 0
x y 18
⑵
x3 y2 3
x=0 x=0 3.已知 y=0 ， y= -1 是方程
① ②
的两个解为 X=x1 X=x2 y=y1 ， y=y2 ，
且x1，x2是不等的正数.
⑴求a的取值范围；
⑵若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11， 试求a的值.
4.若方程x2-4x+k=0和方程2x23x+k=0有一个根相同，求k的 值.
5.直角三角形的斜边长为10， 如果一条直角边增加4，另一 条直角边减少1，则斜边长为 13，求两条直角边的长.