九年级数学二次函数导学案全部

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九年级上册数学导学案-二次函数

九年级上册数学导学案——二次函数第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。

其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．六、目标检测1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a≠－1 2．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝8x D．y＝8x23．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．三、探索新知：画二次函数y＝x2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】…由图象可得二次函数y＝x2的性质：1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．四、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来． …归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．五、归纳总结22．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称，开口大小_______________．3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，｜a ｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a ｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜越小，抛物线的开口越________．六、课堂训练2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________七、目标检测1．函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．三、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．观察图象得：2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．四、理一理知识点1．2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．五、课堂巩固训练2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．六、目标检测2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．第4课时二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用；三、探索新知：画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．12．请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ．四、整理知识点2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．五、课堂训练2．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________． 4．将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数解析式 ___________________________．六、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________． 2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．第5课时二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题．三、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：2．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向______平移______个单位，就得到抛物线y＝－12(x＋1)2－1．五、课堂练习2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同的解析式为（）A．y＝12(x－2)2＋3 B．y＝12(x＋2)2－3C．y＝12(x＋2)2＋3 D．y＝－12(x＋2)2＋34．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．六、目标检测1．2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B C D4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．三、探索新知：1．求二次函数y＝12x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y＝12x2－6x＋212．画二次函数y＝12x2－6x＋21的图象．解：y＝12x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．五、课堂练习1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y 有_________值是___________．六、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝12x2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式．二、课前基本练习1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－12x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．三、例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．四、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）五、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？六、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．AP七、目标检测1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．第8课时 26.2用函数观点看一元二次方程一、阅读课本：二、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．三、探索新知1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．四、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．五、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0六、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0②如图2a＋b_______04a＋2b＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．七、目标检测根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；八、课后训练1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正第12课时实际问题与二次函数一、阅读课本：二、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题．三、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？四、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位图①以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（）2．如图：（1）当x为何范围时，y1＞y2?（2）当x为何范围时，y1＝y2?（3）当x为何范围时，y1＜y2?3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 35．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间．（2）设点P 运动时间为t （秒）①当t ＝5时，求出点P 的坐标． ②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，0），B （3，0）两交点，且交y 轴于点C ．（1）求b 、c 的值；（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．。

人教版数学九年级上册第22章《二次函数》全章导学案

22.1.4 二次函数y ax2bx c 的图象学习目标：1. 能经过配方把二次函数y ax 2bx c 化成 y a( x h)2 + k 的形式，进而确立张口方向、对称轴和极点坐标。

2．熟记二次函数y ax 2bx c 的极点坐标公式；3．会画二次函数一般式学习要点：掌握二次函数y ax 2bx c 的图象．y ax2bx c 的图象和性质.学习难点：运用二次函数y ax2bx c 的图象和性质解决实质问题 .学习方法：问题式五步教课法 .学习过程一、出示目标二、预习检测1. 抛物线y2；对称轴是直2 x 31的极点坐标是线；当 x =时 y 有最值是；当 x时，y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小。

2.二次函数分析式 y a(x h)2 +k 中，很简单确立抛物线的极点坐标为，所以这类形式被称作二次函数的极点式。

三、怀疑互动：（1）你能直接出函数y x22 x 2的像的称和点坐？（2）你有法解决（ 1）？解：y x22x 2 的点坐是，称是.（3）像我能够把一个一般形式的二次函数用的方法化点式进而直接获得它的像性 .（4）用配方法把以下二次函数化成点式：① y x 22x 2② y 1 x22x 5③2y ax2bx c（5）：二次函数的一般形式y ax 2bx c 能够用配方法化成点式：，所以抛物y ax2bx c 的点坐是；称是，（6）用点坐和称公式也能够直接求出抛物的点坐和称，种方法叫做公式法。

用公式法写出以下抛物的张口方向、称及点坐。

① y 2x 23x 4② y2x 2x 2③ yx 24x四、达用描点法画出 y 1 x2 2 x 1的像 .（1）点坐2；（2）列表：点坐填在；（列表一般以称中心，称取．）x⋯⋯y1 x2 2x 1 ⋯2（3）描点，并：6 y5 4 3 21 x7654321O1 2 312 3 4（4）察：① 象有最点，即x =，y 有最是；② x，y 随 x 的增大而增大；xy 随x 的增大而减小。

九年级二次函数导学案17个

1NO.1《函数与它的表示法》导学案学习目标：1.熟练掌握函数表示方法，会求自变量取值范围，并能解决生活中的函数问题。

2.体会函数建模思想在实际生活中的应用，3.感受数学在生活中的魅力．预习案出函数图象．（２）．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【归纳】__________________________________________叫做函数解析式或______________ _________________________叫做解析法___________________________叫做列表法 __________________________________________叫做图像法【探究点二】2、如图，一辆汽车在行驶中，速度v 随时间t 变化的情况如图所示.（1）在这个问题中，速度v 与时间t 之间的函数关系是用哪种方法表示的？_______________（2）时间t 的取值范围是什么？______________________。

（3）当时间t =______，汽车行驶的速度最大，最大速度是______；当时间t =______时，速度为0？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐增加？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐减少？当t__________时，按匀速运动行驶?【典型例题】3、一根蜡烛长20cm,每小时燃掉4cm.(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式.(2)求自变量x 可以取值的范围;(3)蜡烛点燃2h 后还剩多长?4、求下列函数中自变量x 的取值范围(1) y=3x+2 335x -（2）y =(3)4y （）探究案1、等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm), 腰AB 长为x （cm ） (1)写出y 与x 之间的函数解析式; (2)指出自变量x 可以取值的范围.2的正方形ABCD 的一边BC 上，有一动点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，四边形APCD 的面积为y 。

人教版本初中九年级的数学下册的二次函数全章精品导学案

人教版九年级数学下册二次函数全章精选导教案【师生共用】第 1 课时 26.1二次函数一、阅读教科书第4— 6 页上方二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的看法剖析解题；3．列二次函数表达式解实质问题．三、知识点：一般地，形如 ____________________________ 的函数，叫做二次函数。

此中x 是________， a 是 __________， b 是 ___________， c 是 _____________．四、基本知识练习2 3 2 ＋ 30x ；③ y＝ 200x 2 ＋ 400x＋ 200 ．这三个式子中，虽1．察看：① y＝ 6x ；② y＝－x2然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，假如 y＝ ax2＋ bx ＋ c（ a、b、c 是常数， a≠ 0），那么 y 叫做 x 的 _____________．2．函数 y＝ (m－ 2)x 2＋ mx － 3（ m 为常数）．（1）当 m__________ 时，该函数为二次函数；（2）当 m__________ 时，该函数为一次函数．3．以下函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？假如二次函数，请指出各项对应项的系数．（ 1）y＝ 1－ 3x2（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x (x－5)＋ 2（ 4）y＝ 3x 3＋ 2x2 （ 5） y＝ x＋1x五、讲堂训练1． y＝(m ＋ 1)x m2 m－ 3x＋ 1 是二次函数，则 m 的值为 _________________ ．2．以下函数中是二次函数的是（）1B ． y＝ 3 (x － 1) 2 C． y＝ (x＋ 1) 2 2 1A． y＝ x＋－ x D． y＝2－x2 x3．在必定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s＝ 5t2＋ 2t，则当 t＝ 4 秒时，该物体所经过的行程为（）A．28 米B．48 米C．68 米D．88 米4．n 支球队参加竞赛，每两队之间进行一场竞赛．写出竞赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式 _______________________ ．25．已知 y 与 x 成正比率，而且当x＝－ 1 时， y＝－ 3．（2）当 x＝ 4 时， y 的值；（3）当 y＝－1时， x 的值．36．为了改良小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长形绿化带 ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为25m ）的空地上修筑一个矩40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的 BC 边长为 x m ，绿化带的面积为y m 2．求出自变量x 的取值范围．y 与 x 之间的函数关系式，并写六、目标检测1．若函数 y ＝ (a － 1)x 2＋ 2x ＋ a 2－ 1 是二次函数，则（）A ． a ＝ 1B ． a ＝± 1C ． a ≠ 1D ． a ≠－ 12．以下函数中，是二次函数的是（）2－1B ． y ＝x － 1C ． y ＝ 8 8A ． y ＝x x D ．y ＝ 2x 3．一个长方形的长是宽的 2 倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．已知二次函数 y ＝－ x 2＋ bx ＋ 3．当 x ＝ 2 时， y ＝ 3，求这个二次函数分析式．第 2 课时二次函数 y ＝ax 2 的图象与性质一、阅读课本：P6 — 8 二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ ax 2的性质，并会灵巧应用．三、研究新知：2【提示：绘图象的一般步骤：①列表（取几组x 、y 的对应值；②描点（表中x 、 y 的数值在座标平面中描点（ x ， y ）；③连线（用光滑曲线）．】列表：x ⋯－3－2－1 0 1 2 3 ⋯y＝x2 ⋯⋯描点，并由象可得二次函数 y＝ x2的性：1．二次函数 y＝ x 2 是一条曲，把条曲叫做______________．2．二次函数 y＝ x2中，二次函数a＝ _______，抛物 y＝ x2的象张口 __________ ．3．自量 x 的取范是 ____________ ．4．察象，当两点的横坐互相反数，函数 y 相等，所描出的各点对于________称，进而象对于 ___________称．5．抛物 y＝x2与它的称的交点（，）叫做抛物y＝x2的 _________．所以，抛物与称的交点叫做抛物的_____________．6．抛物 y＝x 2有 ____________点（填“最高”或“最低”）．四、例剖析例 1 在同向来角坐系中，画出函数1 2 2 2的象．y＝ x ， y＝ x ， y＝2x2解：列表并填：x ⋯－4－3 －2 －1 01 2 34⋯1 2⋯⋯y＝2xy＝ x2的象画，再把它画出来．xy＝ 2x2 ⋯－ 2 ⋯－ 1.5 － 1 － 0.5 0 0.5 1 1.52 ⋯⋯1 2 2，y ＝2x 2 的二次系数a_______0；点都是 __________ ；：抛物 y ＝ x ，y ＝x2称是 _________ ；点是抛物的最_________点（填“高”或“低” ）．例 2在例 1 的直角坐系中画出函数y ＝－ x 2， y ＝－1x 2， y ＝－ 2x 2 的象．2列表：x ⋯－3－2－112 3⋯ y ＝ x 2⋯⋯x ⋯－4－3－2－10 1234⋯12⋯⋯y=－ 2xx y ＝－ 2x 2⋯ －4 ⋯－ 3 － 2 － 10 1 2 3 4⋯ ⋯：抛物 y ＝－ x 2，y ＝－12x 2， y ＝－ 2x 2的二次系数a______0，点都是 ________，称是 ___________，点是抛物的最________点（填“高”或“低” ）．五、理一理 1．抛物 y ＝ ax 2 的性象（草）张口称有最高或点最方向最低点当 x ＝ ____ a ＞ 0， y 有最_______ ，是______．当 x ＝ ____ a ＜ 0， y 有最_______ ，是______．2．抛物线 y＝ x2与 y＝－ x2 对于 ________对称，所以，抛物线y＝ax2与 y＝－ ax2对于_______对称，张口大小 _______________．3．当 a＞ 0 时， a 越大，抛物线的张口越___________；当 a＜ 0 时，｜ a｜越大，抛物线的张口越 _________；所以，｜ a｜越大，抛物线的张口越________，反之，｜ a｜越小，抛物线的张口越________．六、讲堂训练1．填表：张口方向极点有最高或最值对称轴最低点2 2 当 x＝ ____ 时， y 有最y＝3x _______值，是 ______．y＝－8x 22．若二次函数y＝ ax2的图象过点（ 1，－ 2），则 a 的值是 ___________ ．3．二次函数y＝(m－ 1)x 2的图象张口向下，则m____________．24．如图，①y＝ax② y＝ bx2③ y＝ cx2④ y＝ dx2比较 a、 b、c、 d 的大小，用“＞”连结．___________________________________七、目标检测1．函数 y＝37x2的图象张口向 _______，极点是 __________，对称轴是 ________，当 x＝ ___________时，有最 _________值是 _________．22．二次函数y＝mx m2 有最低点，则m＝ ___________．23．二次函数y＝(k ＋ 1)x 的图象以下图，则k 的取值4．写出一个过点（1， 2）的函数表达式_________________．第 3 课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质一、本：P9— 10二、学目：1．会画二次函数y＝ ax2＋ k 的象；2．掌握二次函数y＝ ax2＋ k 的性，并会用；3．知道二次函数y＝ ax2与 y＝的 ax2＋ k 的系．三、研究新知：在同向来角坐系中，画出二次函数y＝ x2＋ 1，y＝ x2－ 1 的象．解：先列表x ⋯－3－2 － 10 1 2 3 ⋯y＝ x2＋ 1 ⋯⋯y＝ x2－ 1 ⋯⋯描点并画察象得：1．张口方向点称有最高（低）点最y＝ x2y＝ x2－1y＝ x 2＋12．能够发现，把抛物线 y＝ x2向 ______平移 ______个单位，就获得抛物线y＝ x2＋ 1；把抛物线 y＝ x2向 _______平移 ______ 个单位，就获得抛物线y＝ x2－ 1．3．抛物线 y＝x2， y＝ x2－ 1 与 y＝ x2＋ 1 的形状 _____________ ．四、理一理知识点1．y＝ ax2 y＝ ax2＋ k张口方向极点对称轴有最高（低）点a＞0 时，当 x＝ ______时， y 有最 ____ 值为 ________；最值a＜0 时，当 x＝ ______时， y 有最 ____ 值为 ________．增减性2．抛物线 y＝ 2x2向上平移 3 个单位，就获得抛物线__________________ ；抛物线 y＝ 2x 2向下平移 4 个单位，就获得抛物线__________________ ．所以，把抛物线 y＝ ax2向上平移 k（k＞ 0）个单位，就获得抛物线 _______________；把抛物线 y＝ ax 2向下平移 m（ m＞ 0）个单位，就获得抛物线 _______________．3．抛物线 y＝－ 3x2与 y＝－ 3x2＋ 1 是经过平移获得的，进而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ ax2与 y＝ ax2＋ k 的形状 __________________ ．五、讲堂稳固训练1．填表函数草图张口对称轴对称轴右边的增减极点最值性方向y＝ 3x2y＝－ 3x2＋12y＝－ 4x －2 ．将二次函数 y ＝ 5x2－ 3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个极点坐标为（ 0，－ 3），张口方向与抛物线y＝－ x2的方向相反，形状同样的抛物线分析式 ____________________________ ．4．抛物线 y＝ 4x2＋ 1 对于 x 轴对称的抛物线分析式为______________________ ．六、目标检测1．填表函数张口对称轴最值对称轴左边的增减性极点方向y＝－ 5x 2＋ 3 y＝ 7x2－ 11 2－2 1 22．抛物线 y＝－x 可由抛物线 y＝－ x ＋ 3 向 ___________平移 _________个单位3 3获得的．3．抛物线 y＝－ x2＋h 的极点坐标为（ 0， 2），则 h＝ _______________ ．4．抛物线 y＝ 4x 2－ 1 与 y 轴的交点坐标为_____________ ，与 x 轴的交点坐标为_________．第 4 课时二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本：P10— 11二、学目：1．会画二次函数y ＝ a （ x- h ）2的象；2．掌握二次函数y ＝ a （ x- h ）2的性，并要会灵巧用；三、研究新知：画出二次函数y ＝－1 21 2的象，并考它的张口方向、称、(x ＋1)， y － (x － 1)22点以及最、增减性．先列表：x⋯－4－3－2－101234⋯12⋯⋯ y ＝－ 2(x ＋ 1)1 2⋯y ＝－ 2(x － 1)⋯描点并画． 1．察象，填表：函数张口点称最增减性方向12 y ＝－ 2(x ＋ 1)1 2 y ＝－ 2(x － 1)1 2也画上去（草）．2．在上把抛物 y ＝－ x2①抛物 y ＝－1(x ＋1) 2， y ＝－ 1x 2， y ＝－ 1(x － 1)2的形状大小 ____________ ．2 2 2②把抛物线 y＝－1 2向左平移 _______个单位，就获得抛物线y＝－1 2；x2(x＋ 1)2把抛物线 y＝－1 2向右平移 _______个单位，就获得抛物线y＝－1 2 x (x ＋1) ．2 2四、整理知识点1．y＝ ax2 y＝ ax2＋ k y＝ a (x- h)2 张口方向极点对称轴最值增减性（对称轴左边）2．对于二次函数的图象，只需｜a｜相等，则它们的形状_________，不过 _________不一样．五、讲堂训练1．填表张口对称对称轴极点右边的增减图象（草图）最值方向轴性1 2y＝2xy＝－ 5 (x ＋ 3)2y＝ 3 (x－ 3)22．抛物线 y＝ 4 (x － 2)2与 y 轴的交点坐标是___________，与 x 轴的交点坐标为________．3 ．把抛物线y ＝ 3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________ ．把抛物线y ＝ 3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________ ．4．将抛物线 y＝－1(x－ 1)x 2向右平移 2 个单位后，获得的抛物线分析式为____________ ．35．写出一个极点是（ 5，0），形状、张口方向与抛物线y＝－ 2x2都同样的二次函数解析式___________________________ ．六、目标检测1．抛物线 y＝ 2 (x ＋ 3)2的张口 ______________；极点坐标为 __________________；对称轴是 _________；当 x＞－ 3 时， y______________ ；当 x＝－ 3 时， y 有 _______ 值是 _________．2．抛物线 y＝ m (x ＋ n) 2 向左平移 2 个单位后，获得的函数关系式是 y＝－ 4 (x － 4)2，则m＝ __________ ，n＝ ___________．3 ．若将抛物线 y ＝ 2x2＋ 1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________ ．4．若抛物线y＝ m (x ＋1) 2过点（ 1，－ 4），则 m＝ _______________．第 5 课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质一、阅读课本：第12页～第13页上方．二、学习目标：1．会画二次函数的极点式y＝ a (x－ h)2＋ k 的图象；2．掌握二次函数y＝ a (x－ h)2＋ k 的性；3．会用二次函数y＝ a (x－ h)2＋ k 的性解．三、研究新知：画出函数 y＝－12(x ＋1)2－1 的象，指出它的张口方向、称及点、最、增减性．列表：x ⋯－4－3－2－10 12⋯y＝－1 2－ 1 ⋯⋯(x＋ 1)2由象：1．函数张口称最增减性点方向1 2－ 1 y＝－ (x＋1)22．把抛物 y＝－1x2向 _______平移 ______个位，再向 _______平移 _______ 个位，2就获得抛物 y＝－1(x ＋1) 2－1．2四、理一理知点y＝ ax2 y＝ ax2＋ k y＝ a (x- h) 2 y＝ a (x－ h)2＋ k张口方向极点对称轴最值增减性（对称轴右侧）2．抛物线y＝ a (x－ h)2＋ k 与 y＝ax2形状 ___________，地点 ________________ ．五、讲堂练习1．y＝ 3x2 y＝－ x2＋ 1 y＝1(x＋ 2)2 y＝－ 4 (x－ 5)2－3 2张口方向极点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2． y＝ 6x2＋ 3 与 y＝ 6 (x － 1)2＋ 10_____________ 同样，而 ____________ 不一样．3．极点坐标为（－ 2， 3），张口方向和大小与抛物线y＝1 x2同样的分析式为（）21 2 1 2－ 3A ． y＝(x －2) ＋ 3B ． y＝ (x＋ 2)2 21 2 1 2＋ 3C． y＝ (x ＋2) ＋ 3 D ．y＝－ (x ＋2)2 24．二次函数 y＝ (x－ 1)2＋ 2 的最小值为 __________________ ．5．将抛物线 y＝ 5(x－ 1)2＋ 3 先向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位后，获得抛物线的分析式为 _______________________ ．6．若抛物线 y＝ ax2＋ k 的极点在直线y＝－ 2 上，且 x＝ 1 时， y＝－ 3，求 a、 k 的值．7．若抛物线y＝ a (x－ 1)2＋ k 上有一点 A （3， 5），则点 A 对于对称轴对称点A’的坐标为__________________．六、目标检测1．张口方向极点对称轴y＝ x2＋ 1y＝ 2 (x－3) 2y＝－(x＋ 5)2－ 42．抛物线y＝－ 3 (x ＋ 4)2＋ 1 中，当 x＝ _______时， y 有最 ________值是 ________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用以下哪幅图表示（）ABCD4．将抛物线y＝ 2 (x ＋ 1)2－ 3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得抛物线的表达式为 ________________________ ．5．一条抛物线的对称轴是x＝ 1，且与 x 轴有独一的公共点，而且张口方向向下，则这条抛物线的分析式为____________________________ ．（任写一个）第 6 课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质一、本：第 14 ～第 15 上方．二、学目：21．配方法求二次函数一般式y ＝ax ＋ bx ＋ c 的点坐、称； 22．熟二次函数y ＝ ax ＋ bx ＋c 的点坐公式；23．会画二次函数一般式y ＝ ax ＋ bx ＋ c 的象．三、研究新知：1．求二次函数y ＝12x 2－ 6x ＋21 的点坐与称．1 2解：将函数等号右配方：y ＝ x －6x ＋ 21 2．画二次函数 y ＝1x 2－ 6x ＋21 的象．2解： y ＝1x 2－ 6x ＋ 21 配成点式 _______________________ ．2 列表：x⋯345678 9⋯y ＝ 1x 2－ 6x ＋ 21 ⋯ ⋯ 23．用配方法求抛物 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠ 0）的点与称．四、理一理知点：y ＝ ax 2y ＝ ax 2＋ k y ＝a( x － h)2 y ＝ a( x － h)2＋k y ＝ ax 2＋ bx＋ c张口方向点对称轴最值增减性（对称轴左边）五、讲堂练习1．用配方法求二次函数y＝－ 2x2－ 4x＋ 1 的极点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝ 3x2＋ 2x 的极点坐标．3．二次函数 y＝ 2x2＋ bx ＋c 的极点坐标是（ 1，－ 2），则 b＝ ________，c＝ _________ ．4．已知二次函数 y＝－ 2x 2－ 8x－6，当 ___________时， y 随 x 的增大而增大；当x＝________时， y 有 _________值是 ___________．六、目标检测1 2的极点坐标．1．用极点坐标公式和配方法求二次函数y＝ x － 2－ 122．二次函数y＝－ x2＋ mx 中，当 x＝ 3 时，函数值最大，求其最大值．第 7 课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质一、复习知识点：第 6 课中“理一理知识点”的内容．二、学习目标：21．懂得求二次函数y＝ ax ＋ bx＋ c 与 x 轴、 y 轴的交点的方法；22．知道二次函数中a， b，c 以及△＝ b － 4ac 对图象的影响．三、基本知识练习1．求二次函数y＝ x2＋ 3x－ 4 与 y 轴的交点坐标为_______________ ，与 x 轴的交点坐标____________ ．2．二次函数y＝ x2＋ 3x－ 4 的极点坐标为 ______________，对称轴为 ______________．3．一元二次方程x2＋ 3x－ 4＝ 0 的根的鉴别式△＝______________．4．二次函数y＝ x2＋ bx 过点（ 1， 4），则 b＝ ________________ ．5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋ c（ a≠ 0），△＞ 0 时，一元二次方程有_______________，△＝ 0 时，一元二次方程有___________，△＜ 0 时，一元二次方程_______________．四、知识点应用1．求二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 与 x 轴交点（含 y＝ 0 时，则在函数值y＝ 0 时， x 的值是抛物线与 x 轴交点的横坐标）．例 1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．2．求二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 与 y 轴交点（含 x＝ 0 时，则 y 的值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标）．2例 2求抛物线y＝ x － 2x－ 3 与 y 轴交点坐标．23． a、 b、 c 以及△＝ b － 4ac 对图象的影响．（ 1） a 决定：张口方向、形状（ 2） c 决定与 y 轴的交点为（0，c）b（ 3） b 与－共同决定b 的正负性0与 x轴有两个交点（4）△＝ b2－ 4ac0与 x轴有一个交点0与 x轴没有交点例 3 如图，由图可得：a_______0b_______0c_______0△______0例 4已知二次函数y＝ x2＋ kx ＋ 9．①当 k 为何值时，对称轴为y 轴；②当 k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点；③当 k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点．五、课后练习1．求抛物线 y＝ 2x2－7x－ 15 与 x 轴交点坐标 __________ ，与 y 轴的交点坐标为_______．2．抛物线 y＝ 4x2－ 2x＋ m 的极点在 x 轴上，则 m＝ __________ ．3．如图：由图可得：a_______0b_______0c_______0△＝ b2－ 4ac______0六、目标检测1．求抛物线y＝ x2－ 2x＋ 1 与 y 轴的交点坐标为 _______________．2．若抛物线y＝ mx2－ x＋ 1 与 x 轴有两个交点，求 m 的范围．3．如图：由图可得： a _________0b_________0c_________0△＝ b2－ 4ac_________0第 8 课时二次函数y＝ax2＋bx＋c分析式求法一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的分析式；2．实质问题中求二次函数分析式．二、课前基本练习1．已知二次函数y＝ x2＋ x＋m 的图象过点（1， 2），则 m 的值为 ________________ ．2．已知点 A （ 2，5）， B（ 4， 5）是抛物线y＝4x2＋bx＋ c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为 _____________________ ．3．将抛物线y＝－ (x－ 1)2＋ 3 先向右平移 1 个单位，再向下平移3 个单位，则所得抛物线的分析式为 ____________________．4．抛物线的形状、张口方向都与抛物线y＝－12x2同样，极点在（1，－ 2），则抛物线的解析式为 ________________________________ ．三、例题剖析例 1 已知抛物线经过点 A （－ 1， 0）， B（ 4，5）， C（0，－ 3），求抛物线的分析式．例 2 已知抛物线极点为（ 1，－ 4），且又过点（ 2，－ 3）．求抛物线的分析式．例 3 已知抛物线与 x 轴的两交点为（－ 1， 0）和（ 3， 0），且过点（ 2，－ 3）．求抛物线的分析式．四、概括用待定系数法求二次函数的分析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ ax2＋ bx＋ c．2．已知抛物线极点坐标及一点，设极点式y＝ a(x－ h)2＋ k．3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式： y＝ a(x－ x1)(x －x2 )．（此中 x1、 x2是抛物线与x 轴交点的横坐标）五、实质问题中求二次函数分析式例 4要修筑一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？六、讲堂训练1．已知二次函数的图象过（0， 1）、（ 2， 4）、（ 3， 10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的极点坐标为（－2，－ 3），且图像过点（－3，－ 2），求这个二次函数的分析式．3．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋c 的图像与x 轴交于 A （1， 0）， B（ 3， 0）两点，与y轴交于点 C（ 0， 3），求二次函数的极点坐标．4．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AB ＝ 12mm， BC ＝ 24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度挪动，动点Q 从点 B 开始沿边BC 向 C 以 4mm/s 的速度挪动，假如P、Q 分别从 A 、 B 同时出发，那么△PBQ 的面积 S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．APBQC七、目标检测1．已知二次函数的图像过点A（－ 1，0），B（ 3，0），C（ 0，3）三点，求这个二次函数分析式．第 9 课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质一、阅读教科书：P15 的研究二、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值．三、课前基本练习1．抛物线y＝－ (x ＋1)2＋2 中，当 x＝ ___________时， y 有 _______值是 __________．1 2－x＋ 1 中，当 x＝ ___________时， y 有 _______ 值是 __________ ．2．抛物线 y＝ x23．抛物线 y＝ ax2＋ bx＋（ca≠ 0）中，当 x＝ ___________时，y 有 _______ 值是 __________ ．四、例题剖析：（ P15 的研究）用总长为 60m 的篱笆围成矩形场所，矩形面积S 随矩形一边长l的变化而变化，当l 是多少时，场所的面积S 最大？五、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位： m）与小球运动时间t（单位：2高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相互垂直， AC ＋ BD ＝ 10，当 AC 、BD 的长是D多少时，四边形ABCD 的面积最大？CAB 4．一块三角形废料以下图，∠ A ＝ 30°，∠ C＝ 90°， AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形 CDEF ，此中，点 D、 E、 F 分别在 AC 、 AB 、 BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在哪处？AEDC F B六、目标检测如图，点 E、F、G、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形 EFGH 也是正方形．当点 E 位于哪处时，正方形EFGH 的面积最小？D G CHFAEB第 10 课时用函数看法看一元二次方程一、阅读课本：第 20～ 22 页二、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝ 0 根的鉴别式△＝ b2－ 4ac 判断二次函数y＝ ax2＋ bx ＋c 与 x 轴的公共点的个数．三、研究新知1．问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞翔路线将是一条抛物线．假如不考虑空气阻力，球的飞翔高度h（单位： m）与飞翔时间t（单位：s）之间具相关系h＝ 20t－ 5t2．考虑以下问题：（1）球的飞翔高度可否达到 15m？如能，需要多少飞翔时间？（2）球的飞翔高度可否达到 20m？如能，需要多少飞翔时间？（3）球的飞翔高度可否达到 20.5m？为何？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．察看图象：2＋ x－ 2 的图象与 x 轴有 ____个交点，则一元二次方程x2＋ x－ 2 （ 1）二次函数y＝ x＝0 的根的鉴别式△＝ _______0；（ 2）二次函数 y＝ x2－ 6x＋ 9 的图像与x 轴有 ___________ 个交点，则一元二次方程x2－ 6x＋ 9＝ 0 的根的鉴别式△＝_______0；（ 3）二次函数 y＝ x 2－ x＋1 的图象与x 轴 ________公共点，则一元二次方程x2－ x＋1＝ 0 的根的鉴别式△ _______0．四、理一理知识1．已知二次函数y＝－ x2＋ 4x 的函数值为3，求自变量x 的值，能够看作解一元二次方程__________________ ．反之，解一元二次方程－x2＋ 4x＝3 又能够看作已知二次函数__________________ 的函数值为3 的自变量 x 的值．一般地：已知二次函数 y＝ax2＋bx ＋ c 的函数值为 m，求自变量 x 的值，能够看作解一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c＝ m．反之，解一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ m 又能够看作已知二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的值为 m 的自变量 x 的值．2．二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 与 x 轴的地点关系：一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0 的根的鉴别式△＝b2－ 4ac．2（ 1）当△＝ b－4ac＞时（ 2）当△＝ b 2－4ac ＝ 0 时（ 3）当△＝ b 2－4ac ＜ 0 时五、基本知识练习 2 1．二次函数y ＝ x － 3x ＋ 2，当 22．二次函数y ＝ x － 4x ＋ 6，当 3．如图， 4．如图抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 与 x 轴有两个交点；抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 与 x 轴只有一个交点；抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 与 x 轴没有公共点．x ＝ 1 时， y ＝ ________；当 y ＝ 0 时， x ＝ _______．x ＝ ________时， y ＝ 3．2一元二次方程ax ＋ bx ＋ c ＝ 0 一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c ＝ 3 的解为 _________________5．如图填空：（1） a________0 （2） b________0 （3） c________0（4） b 2－ 4ac________0六、讲堂训练1．特别代数式求值： ①如图看图填空：（1） a ＋ b ＋c_______0 （2） a － b ＋c_______0 （3） 2a － b_______0②如图2a ＋b_______04a ＋ 2b ＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程 ax2＋bx＋ c＝ 0 的根为 ___________；（2）方程 ax2＋bx＋ c＝－ 3 的根为 __________；（3）方程 ax2＋bx＋ c＝－ 4 的根为 __________；（4）不等式 ax2＋ bx＋ c＞0 的解集为 ________；（5）不等式 ax2＋ bx＋ c＜0 的解集为 ________；6）不等式－ 4＜ ax2＋ bx＋ c＜ 0 的解集为 ________．七、目标检测依据图象填空：（1） a_____0；（ 2） b_____0；（ 3） c______0；（4）△＝ b2－ 4ac_____0；（ 5） a＋ b＋ c_____0；（6） a－ b＋ c_____0；（ 7） 2a＋ b_____0；（8）方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的根为 __________ ；（9）当 y＞ 0 时， x 的范围为 ___________；（10）当 y＜ 0 时， x 的范围为 ___________ ；八、课后训练1．已知抛物线 y＝ x2－ 2kx ＋ 9 的极点在 x 轴上，则 k＝ ____________．2．已知抛物线 y＝ kx 2＋ 2x－ 1 与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围 ___________ ．3．已知函数 y＝ ax2＋ bx＋ c（ a，b，c 为常数，且 a≠ 0）的图象以下图，则对于x 的方程ax 2＋ bx＋c－ 4＝ 0 的根的状况是（）A ．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象，在以下说法中：①a c＜ 0；②方程 ax2＋ bx ＋c＝ 0 的根是 x1＝－ 1， x2＝ 3；③ a＋b＋ c＞0；④当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大．正确的说法有 __________________ （把正确的序号都填在横线上）．第 11 课时实质问题与二次函数商品价风格整问题一、阅读课本：第25～26页上方（研究1）二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的找寻方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、研究新知某商品此刻的售价为每件60 元，每礼拜可卖出300 件，市场检查反应：如调整价钱，每涨价 1 元，每礼拜要少卖出10 件；每降价 1 元，每礼拜可多卖出20 件．已知商品的进价为每件40 元，如何订价才能使利润最大？剖析：调整价钱包含涨价和降价两种状况，用如何的等量关系呢？解：（ 1）设每件涨价 x 元，则每礼拜少卖_________件，实质卖出 _________件，设商品的利润为y 元．（ 2）设每件降价x 元，则每礼拜多卖_________件，实质卖出 __________件．四、讲堂训练1．某种商品每件的进价为30 元，在某段时间内若以每件x 元销售，可卖出（100－ x）件，应如何订价才能使利润最大？2．蔬菜基地栽种某种蔬菜，由市场行情剖析知，1 月份至 6 月份这类蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元 /千克）的关系以下表：上市时间x/（月份）123456市场售价P（元 /千克）3这类蔬菜每千克的栽种成本y（元 / 千克）与上市时间x（月份）知足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（ 1）写出上表中表示的市场售价P（元 /千克）对于上市时间x（月份）的函数关系式；（ 2）若图中抛物线过 A 、 B、 C 三点，写出抛物线对应的函数关系式；（ 3）由以上信息剖析，哪个月上市销售这类蔬菜每千克的利润最大？最大值为多少？（利润＝市场售价－栽种成本）五、目标检测元，某旅馆客房部有60 个房间供游旅居住，当每个房间的订价为每日住满．当每个房间每日的订价每增添10 元时，就会有一个房间空间．对有旅客入住的房间，旅馆需对每个房间每日支出20 元的各样花费．求：（1）房间每日入住量 y（间）对于 x（元）的函数关系式；（2）该旅馆每日的房间收费 z（元）对于 x（元）的函数关系式；（3）该旅馆客房部每日的利润 w（元）对于 x（元）的函数关系式，当每个房间的订价为多少元时， w 有最大值？最大值是多少？第 12 课时实质问题与二次函数一、阅读课本：第27页研究 3二、学习目标：1．会成立直角坐标系解决实质问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．三、基本知识练习1．以抛物线的极点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴成立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ___________________________________ ．1 2AB 地点时，水面2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－ x ，当拱桥下水位线在4宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（）A ． 3mB． 2 6m C． 4D． 9m3m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 地点时，水面的宽为 4 6米，水位上升4 米，就达到戒备线CD，这时水面宽为 4 3米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 米的速度上升，则水过戒备线后几小时吞没到拱桥顶端M 处？四、讲堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为 5m．（ 1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式 y＝ ax 2＋ c 的形式，请依据所给的数据求出a、c 的值；（ 2）求支柱 MN 的长度；（ 3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔绝带），此中的一条行车道可否并排行驶宽 2m，高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽视不计）？请谈谈你的原因．2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，假如水位上升的宽是 10m．（ 1）建图①立以下图的直角坐标系，求此抛物线的分析式．（ 2）现有一辆载有营救物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km （桥长忽视不计）．货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶1h 时，突然接到紧迫通知：前面连降暴雨，造成水位以每小0.25m 的速度持续上升（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，严禁车辆通行）．试问：假如货车按本来速度行驶，可否安全经过此桥？若能，请说明原因．若不可以，要使货车安全经过此桥，速度应超出每小时多少千米？第 13 课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基天性质二、学习目标：灵巧运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y＝ kx 2＋ 2x＋ 1（ k＜ 0）的图象可能是（）2．如图：（ 1）当 x 为何范围时， y1＞ y2?（ 2）当 x 为何范围时， y1＝ y2?（ 3）当 x 为何范围时， y1＜ y2?3．如图，是二次函数y＝ ax2－ x＋ a2－ 1 的图象，则a＝ ____________．13 5 24．若 A（－4，y1），B（－ 1，y2）， C（3，y3）为二次函数y＝－ x － 4x＋ 5 图象上的三点，则 y1、 y2、 y3的大小关系是（）A ．y1＜ y2＜ y3B ． y3＜ y2＜ y1 C． y3＜ y1＜ y2 D． y2＜ y1＜ y35．抛物线 y＝(x －2) (x ＋ 5)与坐标轴的交点分别为 A 、B、C，则△ ABC 的面积为 __________ ．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD ＝ 5．若矩形以每秒 2 个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿A→ B→C→ D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动．（1）求点 P 从点 A 运动到点 D 所需的时间．（2）设点 P 运动时间为 t （秒）①当 t＝ 5 时，求出点P 的坐标．②若△ OAP 的面积为S，试求出S 与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量 t 的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的图像经过 A （－ 1， 0），B （ 3，0）两交点，且交y 轴于点 C．（1）求 b、 c 的值；（2）过点 C 作 CD ∥x 轴交抛物线于点 D ，点 M 为此抛物线的极点，试确立△ MCD 的形状．。

二次函数(导学案)九年级数学上册同步备课系列(人教版)(解析版)

22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

学习重点：二次函数的概念和解析式。

学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。

如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。

(精)人教版教材数学九年级上册《二次函数》全章导学案

课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。

课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。

因此，n边形的对角线总数d = 。

（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a为，b为，c为，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)(2) (3) (4))1(xxy-=(5))1)(1()1(2-+--=xxxy(6) 23712y x x=+-－2、函数2y ax bx c=++，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系，是的函数。

二次函数导学案人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数22.1.1 二次函数学习目标1.了解二次函数的有关概念．2.会确定二次函数关系式中各项的系数.3.确定实际问题中二次函数的关系式.重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.难点：会列二次函数表达式解决实际问题.学习过程一、创设问题情境问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为?问题2: n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?（可以画图分析4边、5边、6边…）问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示?观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?二、揭示问题规律y=6x 2，m=12n 212n ，y=20x 2+40x+20三个函数都是用自变量的二次式表示的.故可得二次函数定义：1. 二次函数定义：形如y=_________________ (a 、b 、、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，_______叫做二次函数的系数，_______叫做一次项的系数，_______叫作常数项．强调以下几个问题：（1）关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax 2，二次项系数则仅是指a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 三、尝试应用例1：下列函数中哪些是二次函数？（1）y=3x 211x+2; (2)y=9x 25x+x 3; (3)y=2x 2x+23x. (4)y=x 25 例2：已知函数y=(m 24)x 2+（m+2）x+3.(1)当m 为何值时，此函数是二次函数？（2）当m 为何值时，此函数是一次函数？例3：如图，矩形的长是4cm ，宽是3cm ，如果将其长与宽各增加x cm ，那么面积增加y cm 2．（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）上述函数是什么函数？（3）自变量x 的取值范围是什么？(独立思考后，组内交流)四、自主总结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax 2+bx+c 中a ≠0，a 、b 、c 为常数的条件.五、达标测试一、选择题1.下列函数中，y 是x 二次函数的是（）A ．y=x1B ．y=x 2+1x10 C ．y=x 2+2x D ．y 2=x1 2.下列说法中一定正确的是（）A ．函数y=ax 2+bx+c （其中a ，b ，c 为常数）一定是二次函数B ．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C ．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D ．圆的周长是关于圆的半径的二次函数y=（m 2+m ）221m m x --是二次函数，则m 的值是（）A ．m=1±2B ．m=2C ．m=1或m=3D ．m=34.在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm 2，设金色纸边的宽度为xcm 2，那么y 关于x 的函数是（）A ．y=（60+2x ）（40+2x ）B ．y=（60+x ）（40+x ）C ．y=（60+2x ）（40+x ）D ．y=（60+x ）（40+2x ）4题图 6题图二、填空题5.将二次函数y=2（x2）2化成一般形式，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．6.如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分面积y （厘米2）与时间t （秒）之间的函数关系式为__________.三、解答题7.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=1622x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？8.已知函数y=（m+2）22m x -（m 为常数），求当m 为何值时：（1）y 是x 的一次函数？（2）y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为8的点的坐标．参考答案达标测试1.C 解析：A 、一次函数，不是二次函数；B 、不是关于x 的整式，不是二次函数；C 、是二次函数；D 、y 的指数为2，不是二次函数．2.B 解析：选项A 、只有当a≠0才是二次函数，错误；选项B 、由已知得S=πR 2，S 是R的二次函数，正确；选项C 、由已知得v=s t，s 一定，是反比例函数，错误；选项D 、由已知得C=2πR ，是一次函数，错误． 3.D 解析：根据题意的得：222120m m m m --+≠⎧⎨⎩＝，解得：3101m m -≠⎨⎩-⎧＝或且，∴m=3．4.A 解析：矩形的长是：60+2x ，宽是：40+2x ，由矩形的面积公式得则y=（60+2x ）（40+2x ）．5.2，8，8 解析：y=2（x2）2变形为：y=2x 2+8x+8，所以二次项系数为2；一次项系数为8；常数项为8．6..y=12（202t ）2 解析：AM=202t ，则重叠部分面积y=12×AM 2=12（202t ）2，y=12（202t ）2（0≤t≤10）．7.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x30）元，则依题意可得：y=(1623x)(x30)即y=3x 2+252x4860由此可知y 是x 的二次函数.8.解：（1）由y=（m+2）22m x -（m 为常数），y 是x 的一次函数，得22120m m -+≠⎧⎨⎩＝，解得y 是x 的一次函数；（2）y=（m+2）x m22（m 为常数），是二次函数，得22220m m -+≠⎧⎨⎩＝，解得m=2，m=2（不符合题意的要舍去），当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=8时，8=4x 2，解得，故纵坐标为8，0）．。

数学九年级上册《二次函数》导学案

5.1二次函数班级______学号_____姓名___________ 学习目标： 1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2、会用二次函数的定义解决简单的问题。

学习重点：体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数学习难点：理解并运用定义解决简单问题；学习过程：一、自主学习1.我们学过的函数有函数.2.一次函数的关系式是y = （）；特别，当时，一次函数就是正比例函数y = .3.反比例函数的关系式是y = ( ).4.一元二次方程的一般形式是：（），其中是二次项，是一次项，是常数项，是一次项系数，是二次项系数.5.若关于x 方程013)1(12=++++x x k k是一元二次方程，则k = .二、合作探究活动一：想一想1、课本从生活实际中得到的三个函数与一次函数和反比例函数有何不同？这三个函数有什么共同特征？活动二：说一说1、像这样，形如的函数称为二次函数。

2、一般地，二次函数c bx ax y ++=2自变量的取值范围是，课本从生活实际中得到的三个函数的自变量的取值范围分别是、、。

（你是怎么得到的？）活动三：试一试1、判断：下列函数是否为二次函数？如果是，指出其中常数a.b.c 的值.如果不是二次函数，n n 请说明理由？(1) 231x y -= (2) )5(-=x x y (3) 123212+-=x x y (4) 23)2(3x x x y +-= (5) 12312++=x x y (6)652++=x x y (7) 1224-+=x x y (8) c bx ax y ++=22、课本P7练习（若是二次函数，请将结果化为c bx ax y ++=2的形式）答案写在下面：题1：题2：题3：题4：活动四：探一探当k 为何值时，函数12)1(2-+-=+kx x k y k k（1）为二次函数？(2)为一次函数？活动五：做一做1.下列函数：（1）y=3x 2+x2+1;(2)y=61x 2+5;(3)y=(x-3)2-x 2;(4)y=1+x-22x ,属于二次函数的是 (填序号).2.函数y=(a-b)x 2+ax+b 是二次函数的条件为 .3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系4. 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y=_________.5.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x ，第一季度营业额y （万元）与x 的函数关系式为 .6、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为n 81，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V 与n 的函数关系式为 .7、已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值.8.圆的半径为2cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm 2).(1)写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当圆的半径分别增加1cm 、cm 3时，圆的面积分别增加多少？（3）当圆的面积为5πcm 2时,其半径增加了多少?三：达标反馈1、下列函数中，是二次函数的有（）Ａ．y=152+-x x Ｂ．c bx ax y ++=2 Ｃ.y=123212+--x x D.y=3212++x x . 2、已知函数22-+=x x y 当x=0，y= 当y=0， x= 。

学年人教版九年级册《二次函数》导学案

学年人教版九年级册《二次函数》导学案第一段--自学质疑〔第1课时〕【环节一】自主学习——明白目的自学教材(12分钟)1.目的导学在预习的进程中，明白本节的学习内容与目的，留意义务的要求和时间的分配，重在了解，积极参与自主探求，提高学习效率.2. 教材自学〔时间：4分钟〕独立仔细预习课本P28-P29页的内容，弄清：〔1〕依据课本给出的实践效果失掉相关的函数关系式.〔2〕二次函数的概念及二次项系数、一次项系数和常数项.〔3〕二次函数中a,b.c有怎样的要求？当a=0时，这个函数是二次函数吗？3.资源助学〔时间：4分钟〕观看微课«二次函数的基本概念»(或其它资源：课件、文本资料等)，弄清：〔1〕二次函数及其有关概念.〔2〕依据二次函数的有关概念处置一些复杂效果.4.协作互学〔时间：4分钟〕组内结对检测互查以下效果：二次函数的定义：形如___________ 的函数叫做二次函数．自变量x取值范围为__________．【环节二】自学检测---在线测学质疑思学〔5分钟〕1.在线测学〔时间： 3分钟〕先独立完成导学案上的自学检测题，然后在线上提交客观题的答案,对照正确答案,对错题停止反思.1. 某工厂一种产品的年产量是20件，假设每一年都比上一年的产品添加x 倍，两年后产品y 与x 的函数关系是〔〕A. y=20〔1﹣x 〕²B. y=20+2xC. y=20〔1+x 〕²D. y=20+20x ²+20x2.有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S 〔cm 2〕与它的一边长x 〔cm 〕之间的函数关系式为〔〕A. S=60xB. S=x 〔60﹣x 〕C. S=x 〔30﹣x 〕D. S=30x3. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x 米，面积为S 平方米，那么下面关系式正确的选项是〔〕A. S=x 〔40﹣x 〕B. S=x 〔40﹣2x 〕C. S=x 〔10﹣x 〕D. S=10〔2x ﹣20〕4. n 个球队停止单循环竞赛〔参与竞赛的任何一只球队都与其他一切的球队各赛一场〕，总的竞赛场数为y ，那么有〔〕A. y=2nB. y=n ²C. y=n 〔n ﹣1〕D. y=21n(n-1) 5.以下函数中哪些是y 关于x 的二次函数？〔1〕22x y = (2) 22y x a =+ (3) 212y x x=-〔4〕y 〔5〕2(1)3y x =--〔6〕322y x x =- 〔7〕22(2)y x x =-- 〔8〕2y ax x =-2.总结反思〔时间：2分钟〕典例解析:〔时间：13分钟〕例1、函数y=(m2-4)x2+(m2-3m+2)x-m-1(1)当m为何值时，y是x的二次函数？(2)当m为何值时，y是x的一次函数？例2、某玩具厂方案消费一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．消费x只玩具熊猫的本钱k(元)，售价每只p(元)，且k，p与x的关系式区分为:k=500+30x，p=170-2x〔1〕假定每日取得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式。

新人教版九年级数学上册二次函数总复习导学案

新人教版九年级数学上册二次函数总复习导学案知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 3、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

4、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.5、抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . （3）顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--6、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）7、几种特殊的二次函数的图像特征如下函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-= (ab ac a b 4422--，)案例分析：考点一、二次函数的定义例1函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（） A ：m n 、为常数，且m ≠0。

九年级数学下册第26章《二次函数》全章导学案

1第5课时二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质一、阅读课本：第9页．二、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题．三、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：x… －4 －3－2－112…y ＝－12(x ＋1)2－1……由图象归纳：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12(x ＋1)2－12．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．四、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x -h)2y ＝a (x －h)2＋k开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴右侧）2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．五、课堂练习21．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（）A ．y ＝12 (x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12(x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值．7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为__________________．六、目标检测1．开口方向顶点对称轴y ＝x 2＋1y ＝2 (x －3)2y ＝－ (x ＋5)2－42．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）ABCD3第6课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质一、阅读课本：第10页．二、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．三、探索新知：1．求二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y ＝12 x 2－6x ＋212．画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．列表：x… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝12x 2－6x ＋21 ……3．用配方法求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点与对称轴．四、理一理知识点：y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a(x －h)2y ＝a(x －h)2＋k y ＝ax 2＋bx＋c开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）五、课堂练习1．用配方法求二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y ＝3x 2＋2x 的顶点坐标． 3．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b ＝________，c ＝_________．4．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．六、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝12x 2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容．二、学习目标：1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．三、基本知识练习1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______，与x轴的交点坐标_______．2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________．4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________，△＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．四、知识点应用1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．（1）a决定：开口方向、形状（2）c决定与y轴的交点为（0，c）（3）b与－b2a共同决定b的正负性（4）△＝b2－4ac⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx例3 如图，由图可得：a_______0 b_______0c_______0 △______0例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．①当k为何值时，对称轴为y轴；②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．五、课后练习1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．3．如图：由图可得：a_______0 b_______c_______0△＝b2－4ac______0六、目标检测1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．3．如图：由图可得：a _________0b_________0c_________045第8课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式求法一、阅读课本：第12～13页．二、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式．三、课前基本练习1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________．2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．四、例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．6五、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）六、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？七、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．八、目标检测1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数第9课时用函数观点看一元二次方程一、阅读课本：第16～19页二、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式△＝b 2－4ac 判断二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数．三、探索新知1．问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系h ＝20t －5t 2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y ＝x 2＋x －2的图象与x 轴有____个交点，则一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y ＝x 2－6x ＋9的图像与x 轴有___________个交点，则一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴________公共点，则一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式△_______0．四、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．五、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________ 5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0六、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0②如图2a＋b_______04a＋2b＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．七、目标检测根据图象填空：78（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0；（6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0；（8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________；（9）当y ＞0时，x 的范围为___________；（10）当y ＜0时，x 的范围为___________；八、课后训练1．已知抛物线y ＝x 2－2kx ＋9的顶点在x 轴上，则k ＝____________．2．已知抛物线y ＝kx 2＋2x －1与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围___________．3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象如图所示，则关于x 的方程 ax 2＋bx ＋c －4＝0的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根4．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c ＞0； ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．9第10课时实际问题与二次函数（1）一、阅读教科书：P22的问题二、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值．三、课前基本练习1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．2．抛物线y ＝12 x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．3．抛物线y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．四、例题分析：（P15的探究）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？五、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？六、目标检测如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？D CBA F E DC B AHG FD C第11课时实际问题与二次函数（2）商品价格调整问题一、阅读课本：第23页（探究1）二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？1011第12课时实际问题与二次函数（3）一、阅读课本：第25页探究3 二、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题．三、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m 3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？四、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？图①12第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1（k ＜0）的图象可能是（）2．如图：（1）当x 为何范围时，y 1＞y 2?（2）当x 为何范围时，y 1＝y 2?（3）当x 为何范围时，y 1＜y 2?3．如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝____________．4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 5．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间．（2）设点P 运动时间为t （秒）①当t ＝5时，求出点P 的坐标． ②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，0），B （3，0）两交点，且交y 轴于点C ．（1）求b 、c 的值；（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．。

人教版数学九年级上册《二次函数》导学案

九年级数学上册课题： 22.3实质问题与二次函数 3 课时：12九年级 ____ __ 班姓名：知学习目标：会成立直角坐标系解决桥洞水面宽度等实质问题识一、自主研究（课前导学）链1．以抛物线的极点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴成立直角坐标接系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．：1 x22．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y，当拱桥下水位线C y4Eh 是在 AB地点时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度x（）A O F BA ．3m B．2 6m C ．4 3m D．9m三、议论沟通（展现评论）3．下列图是抛物线拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m ，水面宽4m，用二次函数的知识解决拱桥类问题要注意①成立适合的平面水面降落 1m ，水面宽度增添多少？直角坐标系 .②抛物线的分析式假定适合会给解决问题带来方便 .③擅长依据已知条件看抛物线上某些特别点的坐标，求出分析式 .四、讲堂检测（当堂训练）1 、如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8m ，拓展延长（课外练习）：1.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8水位上升 3m ，就达到戒备水位 CD ，这时水面宽 4m ，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，求水过戒备水位后几小时淹到桥拱顶．2.某学校九年级的一场篮球竞赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 米，与篮圈中心的水平距离为7 米，当9球出手后水平距离为 4 米时抵达最大高度 4 米，设篮球运转轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米．（1 ）成立如图 2 的平面直角坐标系，问此球可否正确投中？（2 ）此时，若对方队员乙在甲眼前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 米，那么他可否获取成功？y双侧距地面 4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ．求学二、合作研究（讲堂导学）这个门洞的高度．（精准到0.1m ）实验研究：一个涵洞成抛物线形，它的法截面如图，现测得，当水面宽指AB 1.6m时，涵洞极点与水面的距导离为 2.4m ．这时，走开水面 1.5m 处，：涵洞宽 ED 是多少？能否会超出(第 13 题)AB 的宽是1m ？ 2 、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面分析依据已知条件，要求 ED 宽，图20m，假如水位上升 3m 时，水面 CD 的宽为10m，只需求出 FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只需求出点）成立如下图的直角坐标系，求此抛物线的分析式；D 的横坐标．由于点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可获取点D（2）现有一辆载有营救物质的货车从甲地出发，要经过此桥开的纵坐标，因此利用抛物线的函数关系式能够进一步算出点 D 的横坐往乙地，已知甲标．你会求吗？地到此桥 280km ，（桥长忽视不计）货车以 40km/ h 的速度开往乙地，当行驶到 1 小不时，突然接到紧迫通知，前面连降大雨，4m3mO4m3m x3 、一男生在校运会的竞赛中推铅球，铅球的前进高度y（m）与水平距离x（ m ）之间的关系用如图 2 所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求 y 与 x 之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球抵达的最大高度的地点为点B，落地址为 C ，求四边形 OABC 的面积．做一做：连结着汉口集家咀的江汉三桥 ( 晴川桥 )，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥 .它如同一道漂亮的彩虹超越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观 . 桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面 (视为水平的 )与拱肋用垂直于桥面的系杆连结，相邻系杆之间的间距均为 5m (不考虑系杆的粗细 )，拱肋的跨度 AB 为280m，距离拱肋的右端70m处的系杆 EF 的长度为42m.以 AB 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴成立如图（2）所示的平面直角坐标系.（1）求抛物线的分析式；（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？能否存在一根系杆的长度恰巧是 OC 长度的一半？请说明原因 .造成水位以 0.25m / h 的速度连续上升，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达、到桥拱最高点O时，严禁车辆通行。

九年级(上)数学二次函数复习导学案

秋九年级（上）数学复习导学案第22章二次函数一、知识要点：1、二次函数的定义及图像特征二次函数：如果，那么y 叫做x 的二次函数．通过配方，可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2. 二次函数c bx ax y ++=2的性质值＞0 ＜0抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y 最小值= ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x= 时y 最大值= . 规律：| a |越大开口越小，| a |越小开口越大3、二次函数图象的平移规律抛物线c bx ax y ++=2可由抛物线y=ax2（a ≠0）平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．平移规律：左右上下 4.、、、及的符号与图象的关系⑴a →决定抛物线的；a ＞0. ；a ＜0，．⑵a 、b →决定抛物线的位置：a 、b 同号，对称轴（2bx a =-＜0）在y 轴的侧； a 、b 异号，对称轴（2bx a =-＞0）在y 轴的侧.简称：左同右异⑶c →决定抛物线与y 轴的交点（此时点的横坐标x ＝0）的位置：c ＞0，与y 轴的交点在y 轴的； c ＝0，抛物线经过；c ＜0，与y 轴的交点在y 轴的． ⑷b2－4ac →决定抛物线与x 轴交点的个数：①当b2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有交点；②当b2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有个交点（即抛物线的）； ③当b2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴交点． 5、二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即 (1)当抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;(2)当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根（3）当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根. 6、二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；二、典例剖析：例1 、二次函数2y x 2x 1=+－－通过向（左、右）平移个单位，再向________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数213y x =-的图象. 例2、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a －b+c ，b2－4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2例3、如上图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x 轴交于A 、B 两点，且OA ：OB=3：1，则m 的值为（）A. － 53B. 0C. － 53 或0 D. 1例4、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b ，ca）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例6、若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2– 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为（） A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定例7、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值是．例8、已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，这m的值是 .例9、已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，则m的取值范围是 .三、随堂练习：（一）填空题1、已知函数42)1(22-++-=mxxmy．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．2、函数y=21x2-6当x=____________时，y有最____________值为__________.3、开口方向和开口大小与y=3x2相同，顶点在（0，3）的抛物线的关系式是4、抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n时，y的值为____________.5、抛物线22121xxy-+=可由抛物线221xy-=向平移个单位，再向平移个单位而得到．6、若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.7、已知方程05322=--xx的两根是25，-1，则二次函数5322--=xxy与x轴的两个交点间的距离为．8、函数132++-=xaxaxy的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值是（二）选择题1、抛物线y=3x2，y=-3x2，y=31x2+3共有的性质是（）A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x值的增大而增大2、将二次函数y=3（x+2）2-4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式是（）A.y=3（x+5）2-5 B.y=3（x-1）2-5 C.y=3（x-1）2-3 D.y=3（x+5）2-33、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则a、b、c满足（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a>0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c<04、直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（）5、对于y = ax 2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（）A.a越大开口越大，a越小开口越小B.a越大开口越小，a越小开口越大C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大D.| a |越大开口越大，| a |越小开口越小6、已知二次函数bxay+-=2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定（三）应用题1、已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当t=25时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，2360元件，若按每件25（1）试求y与x（2）w最大？每月3、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）试写出P、Q两点的距离y（cm）与P、Q两点的移动时间x（s）之间的函数关系式；（2）经过多长时间P、Q两点之间的距离最小（注：算术平方根的值随着被开方数的增大而增大，随着被开方数的减小而减小）？。

九年级上册《二次函数的应用》导学案

九年级上册《二次函数的应用》导学案二次函数是高中数学大家都不陌生的一个章节，而在九年级上册中也有一定的涉及。

通过本导学案的学习，可以使学生们更好的掌握二次函数的应用。

1.二次函数的特点二次函数一般式为y=ax²+bx+c，其中a不等于0。

二次函数的图像都是一个开口向上或者向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

其次，二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f（-b/2a））。

其中，-b/2a是坐标轴的对称轴，也就是说，抛物线两侧的图像是相似的；f(-b/2a)是抛物线的最值，当a>0时，二次函数的最小值是f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值是f(-b/2a)。

2.二次函数在现实生活中的应用2.1 飞行员起飞问题假设一架飞机以加速a起飞，加速后的速度为v，飞行员需要提前计算起飞距离。

假设起飞距离是x，此时的二次函数为y=ax²/v²。

根据牛顿第二定律F=ma可以得出，a=v²/2x，将其代入二次函数中可以得出x=v²/2a。

2.2 投掷运动问题当一个球沿着一定角度进行抛射运动时，其最高点的高度和最远点的位置可以通过二次函数进行计算。

在没有阻力的情况下，其最高点可以表示为y=(v*sinθ)²/(2g)，最远点可以表示为x=(v²*sin2θ)/g。

2.3 建造悬索桥问题在建造悬索桥时，需要考虑悬索的形状，而悬索的形状可以通过二次函数进行计算。

假设悬索的形状为y=(x²/2c)*(1+√(1-(4h²/c²)))，其中c为两端柱子的距离，h为悬索的最低点到水平线的垂直距离。

3.实例分析某班级每个人交了5元钱作为班级活动费用，活动结束后发现还缺少223元。

老师决定按照身高不同的组员交的钱数差异，来补齐这223元的差额。

其中身高较高的同学交了6元钱，身高较低的同学交了4元钱，则需要多少个身高较高的同学来出一名身高较低的同学的差价？思路：在这里，我们将身高较高的同学交的钱数与身高较低的同学交的钱数之差记作x。