平面向量习题整理

向量习题分类精选

类型1. 向量的模

点评：向量模的处理思路：几何法，平方，坐标 1. (2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·

b ＝0，(a －

c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( B ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2

2. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，满足：对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( C )

A ．a ⊥e

B ．a ⊥(a －e )

C ．e ⊥(a －e )

D ．(a ＋e )⊥(a －e )

3. (16上期中)若向量,a b r r 满足|||2|2a a b =+=r r r ,则a r 在b r

方向上的投影的最大值是________.

4. 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( A )

A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积

B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积

C ．以a ，b 为两边的三角形的面积

D ．以b ，c 为两边的三角形的面积

5. 【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r

g

则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈u u u r u u u r u u u r

所表示的区域的面积是 （ D ）

A ．

B ．

C ．

D ．6. 【 2013湖南6】已知,a b 是单位向量，0a b =r r

g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是r r r ( A )

A ．⎤⎦

B ．⎤⎦

C ．1⎡⎤⎣⎦

D ．1⎡⎤⎣⎦

7. 【2015湖南理2】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r

的最大值为（ B ）

A.6

B.7

C.8

D.9

8. 【2013重庆，理10】在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r

.若12

OP

取值范围是（ D ）

A 、⎛ ⎝

B 、

C 、

D 、 9. 【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r

=1，则

OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r

的最大值是_________.110. 【2015高考浙江，理15】已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足125

2,2

b e b e ⋅=⋅=r r r r ，

且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r

，则0x =___．0y =__．b =r __．

1，2，22.

11. 【2013高考重庆理第10题】在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，

|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP u u u r |＜1

2，则|OA u u u r

|的取值范围是( D )．

A ．⎛ ⎝

B ．

C ．

D ．

12. 已知ABC ∆中，||3,||4AB AC ==，点O 是ABC ∆所在平面内一点.若||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r

，且

()

12

AO AB AC R λλλ-=+∈u u u r u u u r u u u r ，则cos BAC ∠= .

13. （2017届武汉市二月调考.理11）已知n m ,为两个非零向量，且2||=

m ，2|2|=+n m ，则

|||2|n n m ++的最大值为（ D ）

A ．24

B ．33

C ．

237 D ．3

3

8 类型2. 平面向量基本定理，基底转化，双参数问题

常见处理方法:线性运算（加、减、数乘）直接转化；待定系数法；方程组法。 14. 【2013年.浙江卷.理17】设21,e e 为单位向量，非零向量2

1e y e x b +=，x ，y ∈R.若21,e e 的夹角为

π

6

，则

|

|||b x 的最大值等于__________．2

15. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →

＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2

点评：三点共线经常作为隐含信息出现，不容易察觉。

16. 在边长为1的正ABC ∆中，向量,BA x BD =,CA y CE =0,0>>y x ，且,1=+y x 则BE CD ⋅的最大值为________.

点评：思路1.基底法.可选取,BC BA u u u r u u u r

为基底.

思路2.坐标法，关键是D,E 两点坐标表示.

17. 如图所示，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →

与OB →

的夹角为120°，OA →

与OC →

的夹角为30°

.且|OA →

|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______．λ＋μ＝6.

18. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →

，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变

动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．2

点评：思路1.利用||1OC =u u u r ,得22

1x y xy +=+，基本不等式求得（有漏洞：x 、y 可能为负数！）.

思路2.坐标法，设(cos ,sin )C θθ，得2cos 3,[0,]3

x y π

θθθ+=+∈求解. 思路3.几何法，设AB 交OC 于T ，,[1,2]OC OT λλ=∈u u u r u u u r

，由A 、T 、B 三点共线得x y λ+=.