最新平面与平面平行的判定定理
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
面面平行定理和判定定理
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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
证明两平面平行的判定定理
证明两平面平行的判定定理平面是我们日常生活中常见的几何概念之一，它是由无数个相互平行的直线组成的。
而判定两个平面是否平行，则是几何学中一个重要的问题。
在几何学中，有一个重要的定理可以帮助我们判定两个平面是否平行，即两平面平行的判定定理。
定理表述如下：如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
要理解这个定理，我们首先要明确什么是平行。
在几何学中，两条直线或两个平面平行，意味着它们的方向相同，永远不会相交。
也就是说，两个平面平行，其中任意一条直线都与另一个平面平行。
接下来，我们来证明这个定理。
证明：设有两个平面P和Q，它们都与一条直线L平行。
我们取平面P上的一条直线a，使其与直线L相交于点A。
然后，在平面Q上取一条与直线a平行的直线b，并使其与直线L 相交于点B。
由于直线a与直线L平行，所以直线a与直线b也平行。
现在，我们来证明平面P与平面Q平行。
假设平面P与平面Q不平行，那么它们一定会相交于一条直线。
设这条直线为m，它与平面P的交点为C，与平面Q的交点为D。
由于直线a和直线b都与直线L平行，所以它们与直线m也平行。
根据平面与直线的关系，直线a与平面P相交于点A，直线b与平面P相交于点B，直线a与直线m相交于点C，直线b与直线m 相交于点D。
根据平面与直线的性质，直线a与直线m相交于点C，那么点C必定在平面P上。
同理，点D也必定在平面Q上。
所以，点C既在平面P上，又在平面Q上，这与平面P与平面Q 不相交的条件矛盾。
因此，假设不成立，得出结论：平面P与平面Q平行。
如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
这个定理的证明使用了平面与直线的性质以及平行线的性质，通过构造相交的直线和平面，利用矛盾法得出结论。
这个定理为我们判定两个平面是否平行提供了一个有效的方法。
在实际应用中，我们可以利用这个定理来解决很多几何问题。
比如，在建筑设计中，我们可以通过判定两个墙面是否平行来确定房间的布局；在制图中，我们可以通过判定两条边是否平行来确定平行四边形的形状等等。
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
平面与平面的平行判定定理
熟记定理，再来一次！ 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直 线分别平行于另一个平面， α 那么这两个平面平行。
符号语言：
a b
c
若：a b a∩ b=A a// β b// β
(定理拓展)
//β a//c, c β b//d, dβ
d
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。
小菜一碟：
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β 平行. ( )
(2).若平面 内有无数条直线与平面 平行,则 与 平行.
(3)平行于同一条直线的两个平面平行. (4).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.
F′ E′ C′ B′ F A B C E D D′
a
α
一个定理一个推论
1．面面平行的判定定理☆
b c d
2．面面平行的判定定理的推论☆
一种思想---
立体化平面
线面平行 面面平行
一种思路-
线线平行
关键点-找平行线
方法一：三角形的中位线定理；
方法二：平行四边形的平行关系。
（六）课后作业： P79 例1+（图形PAB 中，
P
F E C B
面面平行
例2：如图，在长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 中， ' 求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D .
证明：由长方体 ABCD－ABCD 可知， DC // AB // AB，
D' A' B' C'
专题2：平面与平面平行的判定与性质
专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ， 求证：平面EFG∥平面ABC ．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
平面与平面平行的判定ppt正式完整版
AC、BC、SC的中 ∴平面EFG∥平面ABC.
本节学习难点：平行关系的相互转化．
点，试
判断SG与
平面DEF的
位置关系，
∴PA∥平面D1BQ.
并给予证明． 观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线．
∵P，Q分别为DD1，CC1的中点，
[解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[例2] 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，
(2)依判定定理通过一平面内有两相交直线与另一平面平行来判定两平面平行(线面平行⇒面面平行)．
∵[点E评F⊄] 平应面且用SA定SB理，A时S＝B，⊂一平S定面B要S＝A把B定，S理C的条，件找S全G. 为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是
又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR⊂平面PQR，EF，FG⊂平面EFG，∴平面PQR∥平面EFG.
c⊂β，d⊂β⇒α∥β
.
3．α∥β，a⊂α⇒ a∥β .
本节学习重点：平面与平面平行的判定定理． 本节学习难点：平行关系的相互转化．
1．由面面平行的定义知，若α∥β，则α与β无公共点， 若a⊂α，则a与β无公共点，从而a∥β.这样我们可以由“面 面平行”得到“线面平行”．
应用判定定理时，应特别注意“两相交直线”这个条 件，否则如右图α∩β＝a，a1∥a，a2∥a，……，a1、a2…… 都与α平行，但显然α不与β平行．
[分析2] 由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不 难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，
又SG⊂平面SAB，从而得出SG∥平面DEF. [证法2] ∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F， ∴平面SAB∥平面DEF， 又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理有很多，其中一些常用的定理如下:
1.平面平行定理：如果两条直线在同一平面上且互相平行，
那么它们所在的平面一定平行。
2.平行面定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的
任意一条直线都平行。
3.垂直平面定理：两个平面垂直，当且仅当它们的法向量
互相垂直。
4.平面夹角定理：如果两个平面互相垂直，那么它们之间
的夹角为90度。
5.平面交线定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间
没有交线。
6.平面平行于直线定理：如果一个平面与直线平行，那么
这个平面所有的直线都与该直线平行。
7.平面垂直于直线定理：如果一个平面与直线垂直，那么
这个平面所有的直线都与该直线垂直。
8.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
9.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
10.平面平分线段定理: 如果一个平面平分线段，那么这个平
面所有直线都与该线段平分。
这些定理都是几何学中的基本定理，用于解决平面与直线、线段之间关系的问题。
在解决几何问题时，可以运用这些定理来确定平面和直线、线段之间的关系，为进一步的解决问题提供依据。
平面与平面平行的判定
空间两 条直线
空间直线和平面
空间两个平面
1.两个平面的位置关系：
(1)两个平面平行-------没有公共点 (2)两个平面相交-------有一条公共直线
记作：α ∥ β
两个平面平行的判定
2.两个平面平行的判定
(1)定义 (2)判定定理：如果一个平面内有两 条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。
β
线线→←线面→←面面
α
例1 求证：垂直于同一条直线的 个平面平行
a’ A’ b’ δ
β γ α a b
证明：设经过直线AA’的两个 平面γ,δ分别与平面α,β交于直 线a,a’和b,b’. ∵AA’⊥α, AA’⊥ β.
A
∴ AA’⊥a, AA’⊥a’. ∵aㄈγ，a’ㄈγ,
∴a∥a’,于是a’ ∥α 同理可证=A’
∴α∥β
练习：
1 判断下列命题的真假。 (1) mㄈα,nㄈα,m∥β,n ∥β=＞ α ∥β (2) α内有无数条直线平行于β=＞ α ∥β (3) α内任意一条直线平行于β=＞ α ∥β
2如图，a,b是异面直线，aㄈα,b ∥ α,bㄈβ,a ∥β 求证 α ∥β
证明：设经过a的平面γ
β
a’ γ a
b
γ ∩β=a’
a∥ β
得 a ∥a’,所以a’ ∥ α 又b ∥ α,a’和b 相交(?) ∴α ∥β
α
小结：
1.两个平面的位置关系： 平行；相交 2.两个平面平行的判定 (1)定义 (2)判定定理：如果一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行。 (3)垂直于同一条直线的两平面平行。 两个转化思想：线面→←面面
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
平面平行平面的判定定理
平面平行平面的判定定理平面平行平面的判定定理，听起来有点高大上，但其实它也没那么复杂，咱们可以轻松聊聊。
你想象一下，一个平面就像是一块大桌子，坐在上面的东西都是在这块平面上。
平行呢，就是说有两个这样的桌子，它们永远不会碰到一起，哪怕你再怎么挪动它们。
这就很有意思了，生活中有很多事情都像这样，比如说你和朋友一起排队，大家站得整整齐齐，虽然你们在不同的平面上，但依旧不妨碍彼此。
如何判定这两个平面是不是平行呢？简单来说，就是得看它们的角度。
想象一下，如果你把两块桌子放在同一个房间，它们的高度差不多，但一个偏左一个偏右，嘿，它们就是平行的。
这就像咱们生活中的一些好朋友，虽然性格不同，但始终保持着一种默契，永远不会走到一起。
这种感觉，真的很奇妙，不是吗？就像是两条永不相交的路，永远朝着同一个方向走去。
在几何的世界里，有个重要的概念叫做“法线”。
法线就像是平面上的一根铅笔竖着放着，直直的指向天空。
要是有两个平面，它们的法线也平行，那么这两个平面绝对也是平行的。
这就有点像是你和你的室友，虽然各自的生活方式大相径庭，但你们的价值观却不谋而合，彼此的关系自然就稳稳的。
生活中有时候就是这样，许多看似复杂的事情，其实都能用一种简单的方式去理解。
假如你碰到两个平面，想要判断它们是否平行，你首先可以看看它们的法线。
如果它们的法线方向一致，那就基本可以认定这两个平面是平行的了，没错，这就像是看一个人的眼神。
如果眼神闪烁，肯定有猫腻，但如果目光坚定，那就可以放心了。
这种直观的判断法，在生活中也常常适用，别再被那些复杂的公式给搞晕了，平常心，简单点，就能看得更清楚。
还有一种情况，如果有一条直线与这两个平面都相交，那么这条线就会在两个平面上形成两个角。
这两个角如果相等，那么这两个平面也是平行的。
这就好比说你和好朋友一起打麻将，虽然你们的手牌不一样，但打出来的点数如果相同，那你们就是心有灵犀。
这种时候，大家就能心照不宣，一拍即合，这就是生活的乐趣所在。
高考数学复习平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，交线具有什么位置关系？
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
符号语言:α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，a∥b
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
D1
E
(2)求证：面AMN∥面EFBD. N
A1
M
C1
F B1
D
C
A
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∴ 四边形ABDC是平行四边形.
∴ AB=CD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例2. 如图所示，矩形ABCD的四个顶点A、B、C、 D均在四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、 BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形A′B′C′D′ 是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文字 语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过 程。
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，
D
D∈α， B∈β ,C∈β，求证:AB=CDα A
证明:
C
∵AB//CD, ∴ 过AB,CD可作平面γ,
βB
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
平面与平面平行的判定与性质
方法总结： 判定平面与平面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)； (4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平
面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
【练习 1】如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G， H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG.
＝1×1×1× 3×2＝ 3.
32
3
本节课你学会了平面与平面平行的判断的哪些方法？
1、平面与平面平行的判定定理：
a⊂β,b⊂β,
a∩b=P, a∥α, b∥α
β∥α
2、平面与平面平行的性质定理：
（1）
α∥β,
a∥α,
a⊂β
γ
b β
（2）
a α
α∥β α∩γ=a β∩γ=b
a∥b
【例题 1】如图，在多面体
中，
是正
方形， ⊥平面
， ⊥平面
，= ，
点 为棱 的中点．求证：平面 //平面 ；
又 CN∩MN＝N，
∴平面 CMN∥平面 PA B．
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．
由已知，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝ 3，
∴三棱锥 P-ABM 的体积
V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC
别是
AC
，A1C
1
上的点，且平面
BC
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
平面与平面平行判定定理
平面与平面平行判定定理平面与平面平行判定定理，这个听起来有点儿严肃的名字，其实在我们的生活中随处可见。
想想看，咱们每天走在街上，看到的楼房、车道，甚至是大广场，那些地面跟周围的建筑是不是都呈现出一种和谐的平行关系？要是这些平面不平行，那可就要出事儿了，想象一下，走着走着，脚下一抖，差点摔个狗吃屎，那场面可真让人哭笑不得。
好啦，咱们说说这平面与平面平行判定定理到底是个啥。
简单来说，就是如果两个平面之间的距离始终保持不变，永远不会相交，那它们就是平行的。
就好比你跟你的好朋友在同一条街上走，一左一右，始终保持着一定的距离。
再比如，老天爷给咱们安排的日出和日落，虽然一直在变，但始终不会相交，这也是一种平行。
咱们再看看数学上是怎么定义的。
一般来说，平面可以用一个点和一个法向量来描述。
这个法向量就像是平面的“身份证”，它告诉我们这个平面是怎么“站”的。
要是两个平面的法向量是成比例的，那这两个平面就是平行的。
说白了，就是这两个平面就像是一对双胞胎，长得一模一样，绝对不会跑偏。
生活中，平面与平面平行的例子比比皆是。
想想看，地铁的轨道，它们是多么完美地平行着，确保每一列车都能安全到达目的地。
再想想飞机起飞时的跑道，宽宽的，笔直笔直的，平行得让人心安。
这些都不是偶然，而是因为它们遵循了平行的法则，让我们的生活变得更有秩序。
哎呀，讲到这儿，大家可能觉得这平行的概念有点儿无趣，但我告诉你，了解这些东西可真有意思。
比如说，建筑师在设计一座大楼时，绝对得考虑到这些平行的关系。
要是设计得不够好，可能就会出现奇葩的建筑，像是“歪脖子楼”，那可就笑话了。
大家常说“千里之行，始于足下”，这平行的道理其实也能让我们在生活中走得更顺畅。
只要方向对了，努力向前，总能到达目的地。
咱们也不能忽视那些让平行的关系出错的因素。
比如说，地震来了，地面一抖，平行的轨道就可能变得不再平行。
还有些时候，天气变化也会对交通产生影响。
这就是为什么有些事情，虽然理论上是平行的，但在实际操作中却可能会出现偏差。
专题05 直线与平面、平面与平面平行的判定定理(深度精讲)(原卷版)
2019-2020学年高一数学知识讲学（必修2）专题05 直线与平面、平面与平面平行的判定定理【知识导图】【重难点精讲】重点一、直线与平面平行的判定定理文字平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行语言图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行重点二、平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行图形语言符号语言a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β 作用证明两个平面平行【典题精练】考点1、线面平行的判定定理例1－1．在正方体1111ABCD A B C D -中，下面四条直线中与平面1AB C 平行的直线是（ ） A ．1DB B ．11A D C ．11C D D ．1A D例1－2．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-的六个面所在的平面中，（1）与AB 平行的平面是______；（2）与AA '平行的平面是______；（3）与AD 平行的平面是______.例1－3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别是AC 和1BB 的中点.求证：//MN 平面11A B C .考点点睛：1.线面平行判定定理应用的误区(1)条件不全，最易忘记的条件是a ⊄α与b ⊂α．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．2．判定直线与平面平行的两类方法(1)用定义①用反证法说明直线与平面没有公共点；②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行．(2)用判定定理设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内．考点2、线面平行判定定理的实际应用例2－1．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45例2－2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，则1BD 与平面ACE 的位置关系为__________．例2－3．已知正方形ABCD ,如图(1),,E F 分别是,AB CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图(2)如图所示.求证://BF 平面ADE .考点3、两个平面平行的判定例3－1．如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，点D 在11A B 上，且1AA BD ∥，点M 是111A B C △内（含边界）的一个动点，且有平面BDM 平面1A C ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．平面B ．直线C ．线段，但只含1个端点D ．圆例3－2．如图,已知在三棱锥P ABC -中,,D E F 分别是棱,,PA PB PC 的中点,则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是______.例3－3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .考点点睛：平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．。
平面与平面平行的判定定理的证明
平面与平面平行的判定定理的证明亲爱的朋友们，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面与平面平行的判定定理的证明。
让我们先来了解一下这个定理是什么吧！平面与平面平行的判定定理，就是告诉我们如何判断两个平面是否平行。
这个定理在我们的日常生活中有很多应用，比如说在建筑设计、地理测绘等领域。
这个定理究竟是如何证明的呢？就让我来给大家详细讲解一下吧！我们需要了解什么是平面。
平面就是一个没有厚度的空间，它可以看作是一个无限大的纸张上的一小片区域。
而平面与平面平行，就是指这两个平面之间没有交点，它们就像两条永不相交的直线一样。
我们该如何证明两个平面是否平行呢？这里就需要用到一种叫做“公理系统”的方法。
公理系统是一种用来描述自然界和社会现象的数学体系，它是由一系列经过严密推理和验证的基本假设组成的。
在这个公理系统中，有一个非常重要的公理，那就是“如果两个平面没有交点，那么它们就是平行的”。
现在，我们已经知道了这个定理的基本概念和证明方法。
我们就可以用这个方法来证明平面与平面平行的判定定理了。
我们需要准备两个平面。
假设我们有两个平面A 和B,我们需要证明它们是否平行。
第一步，我们要证明两个平面没有公共点。
为了做到这一点，我们可以先观察一下这两个平面上的任意三点。
如果这三个点都在同一个平面上，那么这两个平面就有公共点；如果这三个点都不在同一个平面上，那么这两个平面就没有公共点。
这样一来，我们就证明了两个平面之间没有交点。
第二步，我们要证明两个平面是平行的。
根据刚刚得到的结论，我们知道这两个平面之间没有交点，那么它们就像两条永不相交的直线一样。
我们可以得出结论：这两个平面是平行的。
朋友们，经过一番周折，我们终于证明了平面与平面平行的判定定理啦！希望我的讲解能够帮助大家更好地理解这个定理。
在今后的学习生活中，希望大家都能运用这个定理去解决更多的问题哦！。
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析 如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可． 证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点， 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审 取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾．检查答题规范． 【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。
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线面平行 线线平行
面面平行
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D A
C B
1：在一个平面内找出两条相交直线； 2：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。 3：利用判定定理得出结论。
练一练,巩固新知:P58练习1,2,3题
1P、A，如P图B：，三PPCP棱DA中锥点PPP，-EBABPPCCF, D,E,F分别是棱 P
求证：平面DEF∥平面ABC。
D
F
A EC
B
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M， N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重 心，求证：平面MNG∥平面ACD。 B
N· ·G
M·
A
D
C
例： 如图所示，平面ABCD∩平面EFCD = CD， M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点， 求证 : 平面 MNH // 平面 DBF
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行 符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a
线不在多，重在相交
已知平：面在平平行面的内判，定有定两理条的直证线明 a、b相交且
和平面平行．
求证： // ．
证明：用反证法证明．
假设 c ．
a/ /,a , a//c
同理 b // c, a//b
平面与平面平行的判定 定理
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
（１）平面内有一条直线与平面平行，，平 行吗？
（２）平面内有两条直线与平面平行，，平 行吗？
（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方 体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平 面ABCD与平面BCC'B'不平行。
条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行； 3．利用垂直于同一条直线的两个平面平行； 4．两个平面同时平行于第三个平面，那么这两 个平面平行； 5．利用“线线平行”、“线面平行”、“面面 平行”的相互转化．
D
E
A M
CN
H
F
B
小结：
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
证明面面平行的方法有： 1．面面平行的定义； 2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两
这与题设 a和 b是相交直线是矛盾的．
//
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行； ×
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
Hale Waihona Puke 例题讲解： 例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：平面AB1D1//平面C1BD
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
（2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α 与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面 BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不 平行。 如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面 会不会一定平行？
Q
P
新课讲授： 两个平面平行的判定定理：