2020年福建南平高三一模数学试卷(理科)

中心为点 ，作
为外接球的球心：
，
，
即球 半径为
．
故选： ．
， 交 中垂线 于点 ，
，
13.
解析:
∵
当
时，
，
，∴ 单减区间为
．
14.
解析:
由题意，从 名志愿者中选 人有
种，
再分派到 个不同的舍去参加公益活动，则不同的分派方案有
故答案为： ．
种．
15.
解析:
∵数列 为等差数列，且 是 和 的等比中项，
∴
10. B 解析:
9
函数 的最小正周期为
令
，
，
则函数 在
，故①正确； ， ，
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
故②错误；
令
，
，
，
，
则函数 关于点
对称，故③错误；
综上所述，①正确，②③错误． 故选 ．
11. B
解析:
数列 满足
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
累加后得，
，
则
，
10
则数列
的前 项和是，
，
由余弦定理得
，
∴
，
于是
的周长为
．
18.（ 1 ）证明见解析．
13
（2）
．
解析:
（ 1 ）设 交 于点 ，
∵
，
，
所以
≌
，
所以
，
在
中，
且
即
，
又平面
平面
，平面
所以
平面
，
又
平面
，
所以
．
（ 2 ）平面
平面
，平面
平面
，
平面 平面
，得
，
，
平面
，
，
平面 ，
，所以
以 为原点，以射线 ， ， 为 轴， 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系，
③函数 的图象关于点
对称．
其中正确结论的个数是（ ）． A. B. C. D.
11. 设数列 A. B. C. D.
满足
，
，则数列
的前 项和是（ ）．
12. 在棱长为 的正方体
中， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱
上，
，若平面
交
于点 ，四棱锥
，的五个顶点都在球 的球
面上，则球 半径为（ ）．
A.
B.
现金
会员卡
扫码
比例
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 折优惠，扫码支付的顾客随机优
惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为 ，
5
享受 折优惠的概率为 ，现有一名顾客购买了 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相 应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少．
（ 2 ）设
，
由
得
因为
，
故
，
，
，
，
．
．
，
， 在椭圆 上，
，即
，
．
20.（ 1 ） 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）
．
解析:
（1）
，
15
当
时，
， 单调递增；
当
时，
， 单调递减．
所以 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（ 2 ）由
得
，
也就是
，令
，
则
，由
知，
．
设
，
，在
单调递增，
又
，
，所以存在
使得
3
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数
的单调递减区间是
．
14. 将 名志愿者分派到 个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排 人参加活动，则不同的分
派方案共有
种；（用数字作答）
15. 设 是公差不为零的等差数列， 是 与 的等比中项，
，则
．
16. 双曲线
的左、右焦点分别是 ， ，若双曲线上存在点 满足
，． ， ， ， ， ，
8. B 解析:
8
设向量 与夹角为 ，
∵
，
∴
，
，
又由
，
则
，
所以
．
故选 ．
9. A 解析: 如图过点 作
垂直准线交准线于点 ，过点 作
y
4
垂直准线交准线于点 ，
2
–4 –2 O
x
2
4
–2
抛物线
的焦点的坐标为
，联立
得
由韦达定理知
，
，
∴
，
，
由抛物线定义知
，
，
∴
∴
，
∴
．
故选 ．
， ，
∴全称命题，
，
的否定为特称命题，
，
．
故选 ．
4. D
5. C
解析:
的定义域为 ，
∵
，
∴ 为偶函数，
∵
，
，
∴
．
故选 ．
6. C
解析:
由题意，两数的平方和小于 ，对应的区域的面积为
，从区间 随机抽取 个数 ， ，
， ，，，
构成 个数对
，
，，
对应的区域的面积为 ，
∴
，
∴
．
故选： ．
7
2
7. B 解析: 如图程序框图中，初始值为 第 次循环： ． 不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，成立． 循环终止，输出 ． 故选 ．
单调递减的函数是（ ）．
5. 已知函数 A.
，则函数
的图象大致为（ ）．
B.
C. D.
1
6. 从区间 随机抽取 个数 ， ， ， ， ， ， ， ，组成坐标平面上的 个点
，
，
，其中到原点距离小于 的点有 个，用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 执行如图所示的程序框里，输出的结果是（ ）．
即
．
故答案为：
．
（ 2 ）设点
则 到直线 的距离为：
， ，
当
时，
，
设
的面积为 ，
则
．
17
故答案为：
．
23.（ 1 ） ；解集为
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由
可得：
，即
，
解集为
，所以 ，
当
时，不等式
化成
，解得：
；
当
时，不等式
化成
，解得：
，
综上所述，解集为
．
（ 2 ）由题意得
对一切实数 恒成立，
，
，
，
，
，
，
设平面 的法向量为
，则
，
取
，得
，
设平面 的法向量为
，则
，取
，得
，
设所求角为 ，则
，
，
14
∴所求的锐二面角余弦值为
．
19.（ 1 ）
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由椭圆
设
，
，
联立
和
整理得
所以
，
的长轴长是离心率的两倍得
， ，
依题意得：
即
，
由①②得依题意得
所以椭圆 的方程为
故答案为：
，
，
，求平面 与平面 所成锐
19. 已知椭圆
的长轴长是离心率的两倍，直线
， 点，且 的中点横坐标为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 若 ， 是椭圆 上的点， 为坐标原点，且满足
率的平方之积是定值．
交于 ，求证： ， 斜
20. 已知函数
（ 1 ） 求 的单调区间．
（2） 若
在
，
．
上成立，求 的取值范围．
开始
A. B. C. D.
8. 已知非零向量 ， 满足， ）．
A. B.
否 是
输出
结束
，
，则向量 ， 夹角为（
2
C. D.
9. 设抛物线 值为（ ）． A. B. C. D.
焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点，且
，则 的
10. 已知函数
，给出下列三个结论：
①函数 ②函数
的最小正周期是 ；
在区间
上是增函数；
，则双曲线 离心率的取值范围为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 锐角
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
．
（1） 求 ．
（2） 若
，且
的面积为 ，求
的周长．
18. 如图，在四棱锥 ．
中，平面
平面
，
，
，
（ 1 ） 求证：
．
（2）
4
若 为线段 上的一点， 二面角的余弦值．
16
（ 2 ）记一名顾客购物支付的费用为 ， ， ， ， ，
分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）．
22.（ 1 ）曲线 的普通方程
，直线 的直角坐标方程为
．
（2）
．
解析:
（ 1 ）直线 的极坐标方程
化成
，
∵
，
，
∴直线 的直角坐标方程为
，
曲线 的参数方程化成：
，（ 为参数），
平方相加得
，
2020年福建南平高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合 A.
， B.
，则 C.
（ ）． D.
2. 在复平面内，复数
对应的点在（ ）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知命题
，
A.
，
C.
，
，则 为（ ）．
B.
，
D.
，
4. 下列函数中，既是奇函数又在 A. B. C. D.
，
最小二乘估计公式分别为：
， ，，
，
， ，其回归直线
．
． 的斜率和截距的
（ 1 ） 根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 关于活动推出天数 的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 天使用扫码支付的人，．
（ 2 ） 推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
，
即
．
当
时，
当
时，
所以
所以 的取值范围是
，在 ，在
．
单调递减； 单调递增； ．
21.（ 1 ）
，．
（ 2 ）0.85a元．
解析:
（ 1 ）由
，两边同时取常用对数得：
百度文库
设
，
∴
，
∵
，
，
， ，
∴
把样本中心点
代入
，
得：
，
∴
，
∴
，
∴ 关于 的回归方程为：
把
代入上式，
，
活动推出第 天使用扫码支付的人次为 ．
， ，
，故 正确； 故选 ．
12. A
解析:
如图，建立空间直角坐标系，
，
由题意可知，
为正方体，且棱长为 ，
故可以设
，
，
，
，
，
m
,
又点 是 的中点，故
，
点 是 上的中点，故
，
点在
上，且
，故
，
连接 ，取 中点为 ，则
，
在
上取点 ，被
故有：
，点 即为平面
与
的交点，则有
，
，
即有
，
即
，
过点 作
，
在
中有：
11
取矩形
（2） 求
面积的最大值．
23. 已知函数
，若
的解集为
．
（ 1 ） 求 并解不等式
．
（ 2 ） 已知：
，若
，对一切实数 都成立，求证：
．
【答案】 1. A
解析: ∵ ∴ 对于 ∴ ∴ 故选： ．
2. C 解析:
对应的点为
， ， ， ， ．
， ，位于第三象限．
6
故选 ．
3. D
解析:
全称命题的否定为特称命题，
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在平面直角坐标系 方程为
中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标
，曲线 的参数方程为：
，（ 为参数）， ， 为
直线 上距离为 的两动点，点 为曲线 上的动点且不在直线 上．
（ 1 ） 求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程．
从而
，
∵
，
∴
的最小值为 ，
∴
，又
，
∴
．
18
，即
，∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
．
故答案为：
．
16.
解析:
设
，
，
则
，
12
， 又由余弦定理得：
，
即
①，
又由双曲线定义得
，
即
②，
而
，
即
③，
② ③得
，
将①代入得：
，
即
，
∴
，
∴
．
17.（ 1 ） ．
（2）
．
解析: （ 1 ）由已知及余弦定理可得：
，
∴
，
∵
为锐角三角形，
∴
．
（ 2 ）由正弦定理，可得
，
∵
，
∴
，
解得
，
21. 某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推 广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”，现统计了活动刚推出一周内每天使用 扫码支付的人次，用 表示活动推出的天数， 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
参考数据：设
，
参考公式：对于一组数据