2017届二轮复习 简单线性规划 专题卷(全国通用)

简单线性规划
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]
2．不等式组⎩⎨⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.32 B ．23 C.43
D ．34
C [平面区域如图中阴影部分所示．
解⎩⎨⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，43，
|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝4
3.]
3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧
2x －y ≤0，
x ＋y ≤3，
x ≥0，
则2x ＋y 的最大值为( )
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎨⎧
2x －y ＝0，
x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y
取最大值为2×1＋2＝4.]
4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎨⎧
x －y ≤0，
x ＋y ≥－2，
x －2y ≥－2
的解集记为D ，若(a ，
b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )
A ．1
B ．4
C ．－1
D ．－4
A
[由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎨⎧
a －
b ≤0，
a ＋
b ≥－2，
a －2
b ≥－2，
以a 为横轴，b 为纵轴
建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，
由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]
5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束
条件⎩⎨⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥1，
则实数k 的最大值为( )
A ．1
B ．2 C.32
D ．12
B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]
二、填空题
6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最
大值为__________.
【导学号：66482291】
4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]
7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧
x －2y ＋4≥0，
2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，
则x 2＋y 2的取值
范围是________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩
⎨⎧
x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，
所以d max ＝22
＋32
＝13，d min ＝|－2|22＋12
＝25，所以d 2
的最小值为
45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
45，13.]
8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y
满足⎩⎨⎧
2x ＋y ≥0，
x －y ≥0，
0≤x ≤a ，
设b ＝x
－2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________.
【导学号：66482292】
10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b
2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]
三、解答题
9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围.
【导学号：66482293】
[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分
则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎨⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩
⎨⎧
－1－m ＋m <0，
2＋3m ＋m <0，
所以m 的取值范围是m <－1
2. 12分
10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y ≥1，
x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0). 2分 平移初始直线12x －y ＋1
2＝0， 过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1， 所以z 的最大值为1， 最小值为－2. 6分
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a
2<2，解得－4<a <2. 10分
故所求a 的取值范围为(－4,2). 12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －2≤0，
x ＋2y －2≥0，
x －y ＋2m ≥0
表示的平面区域为三角
形，且其面积等于4
3，则m 的值为( )
A ．－3
B ．1
C.43
D ．3
B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，
C ，
D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．
S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋m －
2＋2m 3＝(1＋m )⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋
m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．] 2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y
满足条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y ≤2，
2x －y －3≤0，
则
目标函数z ＝y
x
的最大值为__________．
1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
53，13为顶点的三角形及
其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y
x 经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
【导学号：66482294】
[解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. 5分
(2)约束条件为
⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，
整理得⎩⎨⎧
x ＋3y ≤200，
x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
8分
目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，
作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值， 由⎩⎨⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧
x ＝50，y ＝50.
所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元. 12分。