3.1.3 空间向量基本定理
高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。
2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。
3、向量的数量积：a ·bba4、5、a 与b 平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b =λa ；a ⊥b 的充要条件：a ·b =0。
6、三角形ABC 中，D 是BC 中点，则AD =21AB +21AC 。
7、给定四点O,P,A,B ，其中，O,A,B 为不共线的三点，且OP =x OA +y OB ，则A,P,B 三点共线 的充要条件是 x+y=1 .8、空间向量基本定理：如果1e 、2e 与3e 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a ，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a =λ1e +μ2e +ν3e 。
9、对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C ，都有OP =x OA +y OB +z OC 。
则点P 与A,B,C 四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .10、空间向量的坐标表示：a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），则①a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）；②λa =（λx 1，λy 1，λz 1）；③a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ；④ 11、空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴两两互相垂直 。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。
高中数学--空间向量基本定理--课件
[答案] .
问题2：.在图中任意找一个向量 ，是否都能用 ， ， 来表示？表示唯一吗？
[答案] 是，表示唯一.
问题3：.若 ， ， ，且 ， ， 两两成 的角，如何求 ？
[答案] ， = .
新知生成
1.空间向量基本定理:如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ______________.
（3）下结论：利用空间向量的一组基 可以表示出空间所有向量.结果中只能含有 ， ， ，不能含有其他形式的向量.
1.设 ， ， ，且 是空间的一组基.给出下列向量组:① ；② ；③ ；④ .其中可以作为空间的基的向量组有____个.
3
[解析] 如图所示，设 ， ， ，则 ， ， ， .由 ， ， ， 四点不共面可知向量 ， ， 也不共面,同理可知 ， ， 不共面， ， ， 也不共面，可以作为空间的基.因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为空间的基.
4.类比平面向量基本定理，猜想三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量.
[答案] 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的三元有序实数组 ，使得 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.( )
[解析] 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， 使得 ， . ， ， 不共面，∴ 此方程组无解， ， ， 不共面， 可以作为空间的一组基.
方法总结 空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断.
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量的坐标运算
3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。
3.1.3空间向量的基本定理
推论： 设点O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间任一点P，都存在 唯一的有序实数组( x，y，z)，使 OP xOA yOB zOC 注：空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底
A P B P O P
C
如： a, b, c} {
例 : 在正方体OADB CA' D' B'中，点E是AB与 OD的交点，M是OD' 与CE的交点，试分别用 向量OA, OB, OC表示向量OD'和OM .
y y z z a b c x x x x
从而 a, b, c 共面,这与已知 a, b, c 不共面矛盾 因此,有序实数组
( x, y, z )
是唯一的.
基底: 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么空 间的每一个向量都可由向量 e1 , e2 , e3 线性 表示.把 {e1 , e2 , e3} 称为空间的一个基底 基向量: e1 , e2 , e3 正交基底: 如果空间一个基底的三个向量是两 两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底. 单位正交基底: 当一个正交基底的三个基向量都是 单位向量时,称这个基底为单位正交基底. 通常用 {i, j , k}表示
A B' Q A' D' N C'
D
B
C
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、 、 . BG AG
P
G A N D
B B
C
1 1 1 OA OB OC 如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中， ＝a， AB
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.3 空间向量根本定理一、根底过关1． p ：a 、b 、c q ：{a ，b ，c pq 的____________条件． 2．①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．3． a 、b 、c 是不共面的三个向量，那么以下选项中能构成一个基底的一组向量是__________．①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c4． 以下说法正确的选项是________(填序号)．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的正交基底； ③正交基底中的基向量模为1且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的正交基底． 5．①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，那么a 、b 、c 共面；②假设两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，那么a 、b 共线； ③假设a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底．6． 空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，假设m 与n 共线，那么x ＝________，y ＝________.7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，假设EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，那么λ＝______.8． 从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，那么GH →＝__________________.(用a ，b ，c 表示)二、能力提升9． 假设向量MA →、MB →、MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足以下关系(O 是空间任一点)，那么能使向量MA →、MB →、MC →成为空间一个基底的关系是________(填序号)．①OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →②MA →≠MB →＋MC → ③OM →＝OA →＋OB →＋OC → ④MA →＝2MB →－MC →10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连结对应顶点．设AA 1→＝a ，AB→＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →的结果是____________． 11.如下列图，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底．(1)求BD 1→；(2)假设M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →. 12.如图，平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 三、探究与拓展13．{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3.(1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；(2)能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一个基底？假设不能，说明理由；假设能，试以这一基底表示向量OP →.答案1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a ＋12b ＋12c9．③ 10．32a ＋b ＋c11．解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN → ＝MD →＋DC →＋12CC 1→＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .12．解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )． 13．解 (1)假设四点共面，那么存在实数x 、y 、z 使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，－x ＋2y －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝－5，z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；(2)假设向量OA →、OB →、OC →共面，那么存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC →，同(1)可证，这不可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .所以OP →＝17OA →－5OB →－30OC →.。
3 空间向量基本定理教案
3.1.3空间向量基本定理一、教学目标：1．掌握空间向量基本定理及其推论；2．理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．二、教学重难点：1、空间向量基本定理．2、理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示及其惟一性．三、教学方法建议：新授课、启发式一一引导发现、合作探究． 四、教学流程与教学方法设计（A ）类问题（自学通过）1．复习平面向量的基本定理： .2．类比思考得出空间向量的基本定理： .3.预习基底，基向量，正交基底，单位正交基底的定义4.空间向量的基本定理推论： .（B ）类问题（师生互动）5.在正方体'''B D CA OADB 中，点E 是AB 与OD 的交点,M 是'OD 与CE 的交点，试分别用向量 O A ， OB ， O C 表示'O D 和O M ．6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2M G GN =，用基底向量 O A ， OB ，O C 表示向量O G ．ABC OMN G五、问题解决情况检测（A ）类问题检测1.已知空间四边形OABC 中，点N M ,分别是BC OA ,的中点，且,,,c OC b OB a OA ===→→→试用向量c b a ,,表示向量→MN .（B ）类问题检测2.如图，空间平移ABC ∆到111C B A ∆，连接对应顶点，已知1 AA a ＝， AB b ＝， AC c ＝，且M 是1BC 的中点，N 在1AC 上，12 AN NC ＝,试用向量 a ， b ， c 表示 M N ．。
空间向量基本定理(20页)
当堂检测
练习1：若{，，
Ԧ
}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个
Ԧ
基底的是( B )
A、 + ,
Ԧ , − Ԧ
B、Ԧ + , Ԧ − , Ԧ
C、 ,
Ԧ Ԧ + , Ԧ −
D、 Ԧ + , Ԧ + + ,
Ԧ Ԧ
解析：
A、 + ,
所以EF =
D’ F
1
2
− D’ E
=
1
1
1
Ԧ − Ԧ =
2
2
2
所以EF = CA，所以EF//AC.
Ԧ − Ԧ ， CA = DA − DC = Ԧ − Ԧ.
新课讲授
例3：如图，正方体ABCD − A’ B’ C ’ D’ 的棱长为1，E，F，G分别为C ’ D’ ，A’ D’ ，
D’ D的中点.
如果向量中存在零向量，则不能作为基底
②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量
可以，则不能作为基底
假设 a＝λb＋μԦc ，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
新课讲授
例1：如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段
个基底．
思考：你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？
新课讲授
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，Ԧc不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序
Ԧ
实数组(x, y, z)，使得Ԧ = Ԧ + + .
Ԧ
若三个向量，，
3.1.3 空间向量基本定理
结论：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段 的终点坐标减去它的起点坐标．
练一练
已知A（1，0，0），B（0，10，0），C（0，
0，2），点D满足DB∥AC，DC∥AB，求
点D的坐标．
回顾小结
本节课学习了以下内容：
1．用坐标表示空间向量的坐标运算；
2．用向量的坐标判断两个空间向量平行； 3． 思想方法上，类比的思想由平面向量的坐标表示得 出空间向量的坐标表示方法及性质．
4． 空间向量要注重数形结合，．
解：OD OA＋OB＋OC ＝ 1 1 1 OM＝ OA＋ OB＋ OC 3 3 3
B’
C A’
D’
M
B E O A D
例2 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB在线段MN 上， 且MG＝2GN，用基底OA，OB，OC表示向量OG. 2 1 2 解：OG＝OM＋MG＝OM＋ MN＝ OA＋ (ON－OM ) 3 2 3 O 2 1 1 1 ＝ OA＋ [ (OB＋OC )－ OA] 2 3 2 2 M 1 1 1 C ＝ OA＋ (OB＋OC )－ OA 2 3 3 G 1 1 A 1 N ＝ OA＋ OB＋ OC 6 3 3 B 1 1 1 OG＝ OA＋ OB＋ OC 6 3 3
回顾小结
本节课学习了以下内容：
1．掌握空间向量基本定理及其推论；
2. 理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；
3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量； 4．思想方法上，类比的思想由平面向量的基本定理 扩展到空间向量的基本定理； 5.空间向量要注重数形结合．
3.1.3空间向量的共线与共面问题
M
A
G
B
4.下列命题中a yb p与 a 、 b 共面 ; (2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、 AC，M和N分别是OA、BC的中点 ， G 在 MN 点 上，且使MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
６.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
b（ b ≠ 0 ） 2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且 OP OA OB，求 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ t R ,使 OP OA t AB ∴ OP (1 t )OA tOB
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
空间向量的基本定理
OA 3 (ON OA) OA 3 ON 3 OA
4
4
4
1 OA 3 (1 OB 1 OC) 4 43 3
1 OA 1 OB 1 OC. 444
O
PN C
M B
例题解析
例2. 如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AB 4,AD 4,AA1 5,DAB 600,BAA1 600,
OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
例题解析
例1. 如图1.2—2，M是四面体OABC的中点，点N在线段OM上，
点P在线段AN上，且MN 1 ON, AP 3 AN,
2
4
用向量OA, OB, OC表示OP. A
解：OP OA AP
OA 3 AN 4
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一
向量p,存在有序实数组x, y, z,使得
p xa yb zc.
a, b, c都叫做基向量.
作业: 课本P15 习题1.2 3，4题
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
(2) 由于 0为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向 量，二者是相关联的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
第1章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量的基本定理
复习引入
1.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件3.1空间向量基本定理
BE= BB1,DF= DD1.
3
3
(1)证明:A,E,C1,F 四点共面;
(2)若 =x +y +z1 ,求 x+y+z.
(1)证明 ∵ 1 = + + 1 = +
+(
2
+ 3 1 )=(
1
+ 1
3
2
+ 1 =(
3
+ )+( + )= + ,∴ 1 , , 共面,
y=b+c,z=c+a,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④
{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的一组基的向量组有②③④(填序号).
解析 如图,由 a= ,b=1 ,c= ,得 x=1 ,y=1 ,z= ,a+b+c=1.由
A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知向量b,c,z不共面,向
D.O,A,B,C 四点共面
解析 由, , 不能构成一组基,知, , 三个向量共面,所以一定
有 O,A,B,C 四点共面.
3.[人教B版教材习题]如果空间向量a,b,c不共面,且3a-2b+c=xa+yb+zc,求
x,y,z的值.
解 ∵a,b,c 不共面,
3 = ,
= 3,
A.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的向量, ,
B.三棱锥 A-BCD 中的向量, ,
C.三棱柱 ABC-A1B1C1 中(E 是 A1C1 的中点)的向量1 , , 1
D.四棱锥 S-ABCD 中的向量, ,
空间向量基本定理(解析版)
第2讲空间向量基本定理新课标要求了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。
知识梳理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．名师导学【例1-1】有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．根据空间向量的基本定理即可判断的正误，找出反例判断命题错误，即可得到正确选项．【解答】解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．【变式训练1-1】已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此逐项判断即可； 【解答】解：因为，所以，，共面．又因为，所以，，共面．不存在，，使得，所以，，不共面，故可作为空间的一个基底．故选C.【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在面对角线AC ，1A C 上且2CM MA =，12A N ND =．记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN ．【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论． 【解答】解：11MN MA AA A N =++11111123312()()3311123333111333111.333AC AA A DAB AD AA A A AD ABAD AA ADa b cMN a b c =-++=-++++=--++=-++∴=-++【例2-2】如图所示，在平行六面体中，，，，，．求的长；求与的夹角的余弦值．【解析】解，．． 设与的夹角为，设，，，依题意得，．【变式训练2-1】如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP→＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【解】 BF→＝12BP →＝12(OP →－OB →)＝12[OP →－(OA →＋OC →)]＝12c －12a －12b .BE→＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP →＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋c 2－b 2.AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →)＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PB ，PC 的中点，∴EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．求求EG 的长． 【答案】解：设，，，则，，，，，，，；，，，即EG 的长为．名师导练A组-[应知应会]1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，与不能与、构成空间的一个基底，又与和不共面，可与、构成空间的一个基底．故选C．2.（东城区期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AF FD=，E为BC中点，则EF等于()A．112223EF AC AB AD=+-B．112223EF AC AB AD=--+C．112223EF AC AB AD=-+D．112223EF AC AB AD=-+-【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点， 所以211112()322223EF AF AE AD AB AC AC AB AD =-=-+=--+． 故选：B ．3．（菏泽期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【分析】推导出111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，由此能求出x y +的值．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心， 111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=． 故选：B ．4．（济宁期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则(CM = )A ．1122a b c ++B ．1122a b c -+C ．1122a b c -++D ．1122a b c --+【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解． 【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点；∴CM CB BM =+111()2CB BA BC =++111122AD BA BC =-++1111()()22AD BA AA BC CC =-++++1111112222AD AB AA AD AA =--+++ 1122a b c =--+；故选：D ．5．（阳泉期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG 等于( )A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【分析】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．即可得出．【解答】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．∴111244OG OA OB OC =++． 故选：C ．6．（烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．【解答】解：如图，设，，，棱长均为1，则，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．7．（多选）（南通期末）设a ，b ，c 是空间一个基底( ) A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底 【分析】利用a ，b ，c 是空间一个基底的性质直接求解． 【解答】解：由a ，b ，c 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交或平行，故A 错误； 在B 中，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++，故C 正确； 在D 中，a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底，故D 正确． 故选：BCD ．8．（邯郸期末）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++，则x y z ++= ．【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解； 【解答】解：连接AE （图略）， 由题意可得1122AE AB AD =+， 则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-． 因为11A E xAA y AB z AD =++， 所以1x =-，12y z ==，所以0++=．x y z故答案为：09.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．【分析】本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．【解答】解：设则，，，，则对角线的长为．故答案为．10.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．【解析】解：为空间的一个基底，且，，，设向量，，共面，则存在实数m，n，使，，解得，；因此不能作为空间的一个基底．故答案为：不能．11．（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，,,a b c 为空间向量的一组基底，计算： （1）EF BA ； （2）||EG ．【分析】（1）利用数量积公式先求c a 的值，再根据11()()22EF BA c a a =--求得结果；（2）由111222EG EB BC CG a b c =++=-++，先平方，再开平方．【解答】解：（1）由题意，AB a =，AC b =，AD c =， 则||||||1a b c ====，a <，b b >=<，c c >=<，60a >=︒，∴111()()224EF BA c a a =--=； （2）111222EG EB BC CG a b c =++=-++，∴222211111114442222EG a b c a b a c b c =++--+=， 2||2EG ∴=，即||EG =． 12．（三门县校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．（1）用a ，b ，c 表示AC ； （2）求AC 的长．【分析】（1）由空间向量加法法则得111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，由此能求出结果． （2）221()AC a b c =++，由此能求出1AC 的长．【解答】解：（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，∴111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．（2）5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．∴221()AC a b c =++222222a b c a b a c b c =+++++259160254cos60234cos60=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 82=．1AC ∴的长1||82AC =．13.如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，，求异面直线OG与AB 所成角的余弦值．【分析】本题考查平面向量数量积的运算、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模及平面向量基本定理的应用，属于基础题．由，得出，即，即可求出结果；利用，和数量积的定义，代入求出，再求出，代入夹角公式，即可求出结果．【解答】解：，，，又，；由知又，，，，，，，，，即，，，．B组-[素养提升]1.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，如图所示，则当的值为多少时，平面并给予证明．【分析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量的基本定理及应用，考查向量垂直的判断与证明，考查分析与计算能力，属于中档题．要使平面，可证明且，欲证，则可证明，即，计算求证即可求解．【答案】证明：当时，平面．证明如下：要使平面，可证明且．欲证，则可证明，即，即．由于，显然当时，上式成立．同理可得，当时，．因此，当时，平面．。
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3.1.3 空间向量基本定理
一、基础过关
1． 设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p
是命题q 的____________条件． 2． 下列命题中真命题有________(填序号)．
①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
3． 已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是
__________．
①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c 4． 下列说法正确的是________(填序号)．
①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；
④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底． 5． 在以下三个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；
②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
6． 已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝
________，y ＝________.
7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D
→
＝0 (λ∈R )，则λ＝______.
8． 从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →
＝b ，
PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用
a ，
b ，
c 表示)
二、能力提升
9． 若向量MA →、MB →、MC →
的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列
关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →、MB →、MC →
成为空间一个基底的关系是
________(填序号)．
①OM →＝13OA →＋13OB →＋13
OC →
②MA →≠MB →＋MC → ③OM →＝OA →＋OB →＋OC → ④MA →＝2MB →－MC →
10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连结对应顶点．设AA 1→
＝a ，
AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →
的结果是____________． 11.
如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c 作为基底．
(1)求BD 1→；
(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →
. 12.
如图，平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→
＝c .
(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→
；
(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →
. 三、探究与拓展
13．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →
＝－
3e 1＋e 2＋2e 3，OC →
＝e 1＋e 2－e 3.
(1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；
(2)能否以{OA →，OB →，OC →
}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一
基底表示向量OP →
.
答案
1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a ＋12b ＋1
2
c
9．③ 10．3
2
a ＋
b ＋c
11．解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→
＝BA →＋AD →＋DD 1→
＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN → ＝MD →＋DC →＋12
CC 1→
＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .
12．解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→
＝OC →－OA →＋OO ′→
＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →
＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)
＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋1
2(a ＋b ＋c ＋c )
＝1
2
(c －b )． 13．解 (1)假设四点共面，则存在实数x 、y 、z 使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，且x ＋y ＋z ＝1，
即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，
－x ＋2y －z ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝17，y ＝－5，
z ＝－30，
与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；
(2)若向量OA →、OB →、OC →共面，则存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC →
，同(1)可证，这不
可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪
⎧
e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .
所以OP →＝17OA →－5OB →－30OC →.。