3.1.3 空间向量基本定理

3.1.3 空间向量基本定理

一、基础过关

1． 设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p

是命题q 的____________条件． 2． 下列命题中真命题有________(填序号)．

①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．

3． 已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是

__________．

①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c 4． 下列说法正确的是________(填序号)．

①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；

④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底． 5． 在以下三个命题中，真命题的个数是________．

①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；

②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底．

6． 已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝

________，y ＝________.

7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D

→

＝0 (λ∈R )，则λ＝______.

8． 从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →

＝b ，

PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用

a ，

b ，

c 表示)

二、能力提升

9． 若向量MA →、MB →、MC →

的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列

关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →、MB →、MC →

成为空间一个基底的关系是

________(填序号)．

①OM →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →

②MA →≠MB →＋MC → ③OM →＝OA →＋OB →＋OC → ④MA →＝2MB →－MC →

10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1(使△A 1B 1C 1与△ABC 不共面)，连结对应顶点．设AA 1→

＝a ，

AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底{a ，b ，c }表示向量AM →＋AN →

的结果是____________． 11.

如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c 作为基底．

(1)求BD 1→；

(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →

. 12.

如图，平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→

＝c .

(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→

；

(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →

. 三、探究与拓展

13．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →

＝－

3e 1＋e 2＋2e 3，OC →

＝e 1＋e 2－e 3.

(1)判断P 、A 、B 、C 四点是否共面；

(2)能否以{OA →，OB →，OC →

}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一

基底表示向量OP →

.

答案

1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a ＋12b ＋1

2

c

9．③ 10．3

2

a ＋

b ＋c

11．解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→

＝BA →＋AD →＋DD 1→

＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN → ＝MD →＋DC →＋12

CC 1→

＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .

12．解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→

＝OC →－OA →＋OO ′→

＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →

＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)

＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋1

2(a ＋b ＋c ＋c )

＝1

2

(c －b )． 13．解 (1)假设四点共面，则存在实数x 、y 、z 使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

，且x ＋y ＋z ＝1，

即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)，比较对应项的系数，得到关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －3y ＋z ＝2，2x ＋y ＋z ＝－1，

－x ＋2y －z ＝3，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝17，y ＝－5，

z ＝－30，

与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故四点不共面；

(2)若向量OA →、OB →、OC →共面，则存在实数m 、n 使OA →＝mOB →＋nOC →

，同(1)可证，这不

可能，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，联立得到方程组，从中解得⎩⎪⎨⎪

⎧

e 1＝3a －b －5c ，e 2＝a －c ，e 3＝4a －b －7c .

所以OP →＝17OA →－5OB →－30OC →.