余角和补角的定义和性质

互 余
数量 关系 对 应 图 形 性
互
补
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
21
等角的余角相等
2
1
等角的补角相等．
质
注
意
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
180 , 90 角 的余角是 ，补角是 3 同一个锐角的补角比余角大 90。
北 北
B
1 2 A
东
东
归纳 如何表示乙地对甲地的方位角
北
观 测 点
乙地
被观测点
甲地
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
乙地对甲地的方位角
乙地
北
视线
甲地
2. 把中心点和目的地用线连接起來
乙地对甲地的方位角
乙地
北
甲地
3.度量向北的射线和视线之间的角度
拓展应用
南偏西40 ° 北偏东400 1.说出B在A的＿＿＿＿，那么 A在B的＿＿＿ ___.
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
补角性质：
等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与 ∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么 ∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。 根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 互补定义) 则∠1 + ∠2 =180 .( 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 互余定义) 则 ∠3 + ∠4 =90 .(
解： （1）∠1=∠3
D
B
A
∵∠COD=∠EOD=90° ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° 又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3 （等角的余角相等）
C
3
4
2 1 O
E
巩固练习
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °∠1 与∠2是什么关系？
A
D
1
解： ∵∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °
这条射线，画出表示下列方向的角：
０ ０
０
（１）南偏东２５
（２）北偏西６０ A
北
60° 西
300
东 25° 南
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
3
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
我来试一试：
∠α
5° 32°
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
45° 77°
62°23′
x
练习
2=4 9 8=28
检测
D
E C A O B
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °. 2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE。
同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之 间的关系？并试着说明理由？
2
1 4 3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 1 3 4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
∴∠1+∠DOB=90° ∠2+∠DOB=90° ∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
O
2
B C
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4 x 8) ,

则1 _____, 2 _____.
解： 1与2互余
(6 x 8) (4 x 8) 90 x9 1=6 9+8=62
北 东 西
D
西
北
40 °
B
东
O
南
60 °
A
O
C 南
60 °
A
2、如图，OA表示北偏东32°方向线， OB表 示南偏东 43°方向线，则∠ AOB 等于 ———— 。
3、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A 的方向是（ ） （A）南偏东60°（B）南偏西60° （C）南偏东30° （D）南偏西30°
北
西
北
C
●
B
东
40° 400 D 南
B是观测点
西
●
A
A是被观测点
东
南
4、 小明从点A出发向北偏西50° 方向走了3米，到达点B，小林从点A 出发向南偏西40°方向走了4米，试 画图确定出A、B、C三点的位置（用 1厘米表示3米），并从图上求出B点 到C点的实际距离。 北
B 500
西
400 A 东
C
C 2
1
D
B
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 说明它们相等的原因。
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
巩固应用
1.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直 线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说 明理由？
余角和补角
2
1
2
1
互为余角 如果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个角的和是一 个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
4
3
4 互为补角 如果两个角的和是一个 平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
余角性质：
等角的余角相等
A
1 O 2
D
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
D B 4 E 3 2 1 O C A
200m
300m
你知道方位角吗？
西北 北 东北
西
东
西南
南
东南
探究：方位角
北 D E 45° 45° 西 B O
（1）正北，正南，正西，正东，
射线OD OC OB H OA
射线OE （2）西北方向:_________ 射线OF 西南方向:__________ 东 A 射线OG 东南方向:__________
一、填空
1、70°的余角是
20° ，补角是
110 °
。
2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ）
∠的补角是（180 °—∠ ）
例1
若一个角的补角等于它的余角的
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等； 等角的余角（补角）相等。
探索研究 如图，已知AOB是一直线，OC是 ∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图 中哪些角互余？哪些角互补？哪些角 相等？ C D
E
4
3
1
2
O
A
B
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？ ∠A与∠B互余 ∠A与∠2互余 ∠1与∠B互余 ∠1与∠2互余 A
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？